高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(5)

1.如圖，已知四棱錐尸―A5CD的底面是菱形，對角線AC,3D交于點。，04=4,

08=3,OP=4,OP，底面ABC。，瓦E分別為側(cè)棱P5PD的中點，點河在CP上且

(1)求證：歹四點共面;

(2)求直線上4與平面所成角的正弦值.

2.己知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=￡-l其中。為常數(shù).

(1)過原點作了(尤)圖象的切線/,求直線/的方程；

⑵若玉?0,+<?),使/(x)Wg(x)成立，求。的最小值.

3.已知橢圓。:=+多=1(a>b>0),四點《(—2,1),￡(0,0),6(2,1),4(3,1)

a~b

中恰有三點在橢圓C±.

(1)求橢圓C的方程；

(2)橢圓C上是否存在異于「2的兩點加，N使得直線鳥M與￡N的斜率之和與直線MN

的斜率(不為零)的2倍互為相反數(shù)？若存在，請判斷直線MN是否過定點；若不存在，

請說明理由.

4.2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識，〃大學(xué)

舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽

(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其

中4道題，記小王在初賽中答對題目個數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對一

題的前提下，仍未進入決賽的概率；

(2)以大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對進入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎

勵.獎勵規(guī)則如下：已進入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中

獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎

中獎的概率均為。［

,且每次是否中獎相互獨立.

(i)記一名進入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為了(2)，求/'(0)的極大值;

(ii)”大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值

不小于1120元，試求此時P的取值范圍.

5.對于數(shù)列｛勺｝,若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱｛4｝為P

數(shù)列.

(1)若｛4｝的前〃項和S'=3"+2,試判斷｛qj是否是P數(shù)列，并說明理由；

(2)設(shè)數(shù)列a],4，%，，，％0是首項為—1、公差為d等差數(shù)列，若該數(shù)列是尸數(shù)列，求

d的取值范圍；

(3)設(shè)無窮數(shù)列｛%｝是首項為“、公比為4的等比數(shù)列，有窮數(shù)列出｝,匕｝是從｛4｝

中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項和分別為刀，T2,求｛4｝是尸

數(shù)列時a與4所滿足的條件，并證明命題“若。＞0且Z=(，貝|｛4｝不是尸數(shù)列”?

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練(5)

15.如圖，己知四棱錐P—A5CD的底面是菱形，對角線ACM交于點。，。4=4,

08=3,0尸=4,0尸，底面43?！?,瓦E分別為側(cè)棱尸3,PD的中點，點〃在CP上且

CM=2MP.

(1)求證：AE,M,歹四點共面；

(2)求直線上4與平面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解答

⑵巫

10

【解答】

【分析】(1)易知AC13。，由線面垂直的性質(zhì)可得OP，AC,OP,3D,建立如圖空

22

間直角坐標系。一盯z,利用空間向量法證明AM=§4石+耳4/，即可證明；

(2)由(1)求出8M的坐標，利用空間向量法求解線面角即可.

【小問1詳解】

因為平面A3CD是菱形，所以AC1瓦人

由。尸，平面ABC￡>,4。,8。匚平面48。￡),得。P,AC,OP，BD,

所以O(shè)P,OA,OB兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系O-xyz,

33

A(4,0,0),3(0,3,0),C(T0,0),0(0,—3,0),P(0,0,4),則E(0,j,2),F(0,-1,2),

48

由OW=2MP，得V(-§,0，m),

所以AF=(-4,-1,2),AE=(-4,I，2),AM=(-y,0.|),

__.2—2一

則40=彳4石+彳4e，所以共面，

33

又直線的公共點為A,所以4瓦加,少四點共面;

【小問2詳解】

48

由(1)知，PA=(4,0,-4),DB=(0,6,0),BM=)

設(shè)平面的一個法向量為“=(X,y,Z)，

n-DB=6v=0

則48，令z=l,得％=2,y=。,

n-BM=——x-3y+—z=0

33

所以“=(2,0,1),

II\PA-n\4限

得cosP4,〃~T=—^=—

1

網(wǎng)何人巨義加10

16.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=f-1其中。為常數(shù).

(1)過原點作了(九)圖象切線/，求直線/的方程；

(2)若'e(0,zo),使/(x)Kg(x)成立,求)的最小值.

【答案】(1)x—ey=。

⑵」.

e

【解答】

【分析】(1)設(shè)切點，求導(dǎo)得出切線方程，代入原點，求出參數(shù)即得切線方程；

⑵由題意，將其等價轉(zhuǎn)化為。2%(必丫+1)在(。,+8)有解，即只需求/，(％)=x(lnx+l)

在(0,+8)上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析推理即得。的最小值.

【小問1詳解】

r(x)=；

Ji

設(shè)切點坐標為億In。,則切線方程為y—lnf=：(xT),

因為切線經(jīng)過原點。，所以—lnf=：(T),解得/=e,

所以切線的斜率為工，所以/的方程為x-ey=O.

e

【小問2詳解】

BXG(0,+OO),f(x)<g(x),即-1成立,

則得a2x(lnx+1)在(0,+8)有解，

故有x6(0,+8)時，a之[x(lnx+l)[血.

令/z(x)=x(lnx+l),x＞0,”(x)=lnx+2,

令九'(x)＞0得xe(!，+oo)；令〃(無)＜。得xw(0,，),

故無0)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

所以"(Hmm="[5]=一：，

則。25,故。的最小值為Z-.

ee

22

17.已知橢圓C：工+3=1(。＞匕＞0),四點片(—2,1),P10ah1(2,1),

ab

4(3,1)中恰有三點在橢圓c上.

(1)求橢圓c的方程；

(2)橢圓C上是否存在異于尸2的兩點加，N使得直線鳥”與EN的斜率之和與直線MN

的斜率(不為零)的2倍互為相反數(shù)？若存在，請判斷直線MN是否過定點；若不存在,

請說明理由.

22

【答案】(1)—+^=1

82

(2)存在，直線MV過定點(0,-2&).

【解答】

【分析】(1)根據(jù)橢圓的對稱性，確定橢圓c過的三點，再代入方程求解作答.

(2)設(shè)出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合已知及斜率坐標公式列式

求解即可.

【小問1詳解】

由橢圓的對稱性知，《(-2,1),鳥(0,夜)，鳥(2,1)三點在橢圓C上，

41r2v2

故/=2,=+7T=1,得"=8,從而橢圓。的方程為二+匕=1.

a2b282

【小問2詳解】

直線MN過定點(0,-2&),證明如下：

假設(shè)存在，不妨設(shè)直線打”、P2N、MV的斜率分別為％1，k2,k,滿足

勺+女2+2女=0,

設(shè)直線MN的方程為、=履+〃7(左20),且“(％,%),N(x2,y2),

與橢圓c的方程聯(lián)立，得(1+4-)f+sknvc+4(/—2)=0,

則A=64F%2—16(1+4-)(4一2)>0,即〃/<8左2+2(*),

-8km

M1M=-----

J-1+4左2

且’4(病-2)

=-----J

I121+4左2

那么勺+4+2左=/—血+%―8+2左=0,

王龍2

化簡得，4AXJX2+(m-\/2)(%1+%2)=0,

即4k-~+(加一血)?-8—=0整理得：m2+6m—4=0,

1+4左21+4產(chǎn)

解得加=—20或加=攻，當(dāng)根=尬時，M,N中一點與鳥重合，故舍去，

故直線過定點(0,-2A/2).

X【小結(jié)】關(guān)鍵小結(jié)：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線MN的

方程為，=履+加(左#0),且“(％,%),N(%,%)，將其與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理

式，再將斜率之間的關(guān)系式整理從而將韋達定理代入，最后化簡得加2+6篦-4=0,解

出m值并檢驗.

18.2024年7月26日至8月11日將在法國巴黎舉行夏季奧運會.為了普及奧運知識，M大

學(xué)舉辦了一次奧運知識競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽

(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對則進入決賽.已知這6道題中小王能答對其

中4道題，記小王在初賽中答對的題目個數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望以及小王在已經(jīng)答對一

題的前提下，仍未進入決賽的概率；

(2)以大學(xué)為鼓勵大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，對進入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎

勵.獎勵規(guī)則如下：已進入決賽的參賽大學(xué)生允許連續(xù)抽獎3次，中獎1次獎勵120元，中

獎2次獎勵180元，中獎3次獎勵360元，若3次均未中獎，則只獎勵60元.假定每次抽獎

中獎的概率均為。(0<?<1■],且每次是否中獎相互獨立.

(i)記一名進入決賽的大學(xué)生恰好中獎1次的概率為/'(0)，求/'(0)的極大值；

(ii)以大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎金的期望值

不小于1120元，試求此時P的取值范圍.

44

【答案】(1)E(X)=—,-

4

(2)(i)-；(ii)

93,4

【解答】

【分析】(1)6道題中小王能答對4道，答錯2道，結(jié)合超幾何分布計算即可，再結(jié)合條件

概率計算即可.

(2)由/(°)=3/—6°2+3°(0<0<：］,運用導(dǎo)數(shù)研究其極大值即可.

(3)分析每名進入決賽的大學(xué)生獲得的獎金的期望E(y),解不等式9石(F)21120即可.

【小問1詳解】

由題意知，X的可能取值為0』,2,

1

貝"(x=o)=中

15

11

P(X=1)=*cC8

15

「2ro

P(X=2)=青2

5

故X的分布列為

X012

182

p

15155

iQ94

則石(X)=0x—+lx?+2x—=—.

V'151553

記事件A：小王已經(jīng)答對一題，事件3：小王未進入決賽,

則小王在已經(jīng)答對一題的前提下，仍未進入決賽的概率

4x2_4

【小問2詳解】

(i)由題意知，f(p)^C\p(l-pf=3p3-6p2+3/?fo<

則/'(P)=3(3PT(P—1),

令f(p)=。,解得P=g或P=1(舍)，

當(dāng)時,1f(p)>0,當(dāng)f'(p)<Q,

所以/(7)在區(qū)間[o]]內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)p=;時，/(?)有極大值，且/(夕)的極大值為=:.

(ii)由題可設(shè)每名進入決賽的大學(xué)生獲得的獎金為隨機變量F，

貝UY的可能取值為60,120,180,360,

p(Y=60)=(1-p)3,

p(y=120)=€^(1-/?)2,

p(y=180)=cy(I-/?),

P(Y=360)=p\

所以

E(y)=60(1-0)3+120c5(1_p)2+180C；p2(1_p)+360p3=60(2p3+3p+r),

所以9石“)21120,

即540(2/+30+1”1120,整理得2P3+3p—絲\0,

i29

經(jīng)觀察可知p=3是方程2P3+3p—句=0的根,

故

2"+3p—||=2卜

2?9

因為2p~H—p---->0恒成立，

39

2911

所以由2〃3+3p—藥20可得p—§20,解得得

3「13、

又0<?<],所以P的取值范圍為1.

19.對于數(shù)列｛4｝,若從第二項起的每一項均大于該項之前的所有項的和，則稱｛4｝為P

數(shù)列.

(1)若｛a,｝的前〃項和S〃=3"+2,試判斷｛4｝是否是P數(shù)列，并說明理由;

(2)設(shè)數(shù)列％，4，。3，，qo是首項為-1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是尸數(shù)列，求

d的取值范圍；

⑶設(shè)無窮數(shù)列｛?！埃鞘醉棡楣葹?的等比數(shù)列，有窮數(shù)列也｝,｛。"｝是從｛?！埃?/p>

中取出部分項按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項和分別為北，T2,求｛4｝是P

數(shù)列時。與q所滿足的條件，并證明命題“若。>0且工=(，貝叫4｝不是尸數(shù)列”.

【答案】(1)是，理由見解答；(2)0,/；(3)當(dāng)｛4｝是尸數(shù)列時，。與4滿足的條件

a<0

a>0z；-、

為〈?；?lt;I1-^.I八,證明見解答.

q>2qG------,0o(0,1)

【解答】

【分析】

(1)由P數(shù)列定義知，僅需驗證當(dāng)上eN*時，為+i-S/〉0恒成立即可;

⑵寫出S),，a“+i的表達式，則S“—a“+i<0對滿足"=1,2,3-,9的任意〃都成立，則將

此問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題，然后據(jù)此去求解d的范圍；

(3)根據(jù)數(shù)列｛4｝是P數(shù)列，可以得到。=$<4所以需要分a>0,4>1和

a<0,4<1去討論，和(2)相似，還是去求解使得a“+i>S“的a,q取值范圍，仍然是將其

轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，然后在不同的情況下求出對應(yīng)的q的取值范圍即可.在證明命

題“若。>0且4=看，則｛%｝不是p數(shù)列”時，考慮使用反證法：先排除掉數(shù)列｛〃｝的項

都在數(shù)列匕｝中、數(shù)列｛%｝的項都在數(shù)列出｝中的情況.若數(shù)列出｝至少有一項不在數(shù)列

｛c?)中，且數(shù)列｛&｝至少有以一項不在數(shù)列出｝中冼去掉其公共項得到數(shù)列,

設(shè)數(shù)列1二］的最大項為am(m>2),且數(shù)列,；｝的最大項比數(shù)列上］的最大項

大，然后根據(jù)數(shù)列｛為｝是P數(shù)列的性質(zhì),得到以<T，從而推出矛盾，進而所求證得證.

【詳解】（I）：S〃=3〃+2,

an=Sn-Sn_x=2^-\n?2｝,

當(dāng)〃=1時，q=H=5,

5,72—1

故""一12-3"T,n>l'

那么當(dāng)上eN*時，為+1-5=2-3*-3&-2=3&-2>0,符合題意，

故數(shù)列｛4｝是尸數(shù)列；

（2）由題意知，該數(shù)列的前幾項和為S,Dd,an+l=-l+nd,

由數(shù)列「，即）是尸數(shù)列，可知。2〉Si=q,故公差d>0,

_。=+]=萬*_11+5““+1<0對滿足〃=1,2,3,9的任意〃都成立，則

4-92-9fl+|^+l<0,解得

2I2J27

故d的取值范圍為

⑶①若｛4｝是尸數(shù)列，則。=5]<?=的，

若。>0,則4>1,又由?！?1>,對一切正整數(shù)，都成立，可知aq"〉a?"L即

q-i

/[\n

2-q<-對一切正整數(shù)〃都成立，

n

/1\（[

由->0,lim-=0,故2—q<0,可得q?2；

若。<0,則4<1,又由?！?i〉5"對一切正整數(shù)〃都成立，可知aq"〉a?義二L即

q-1

（2—q）q”<1對一切正整數(shù)〃都成立，

又當(dāng)qe（—oo,—1]時，（2—q）q"<l當(dāng)"=2時不成立,

”(0,1)qe(-1,0)'1-亞

故有《或V0、2/解