高二年級上學期六校聯(lián)考數(shù)學

本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號

填寫在答題卡上.并用2B鉛筆將對應的信息點涂黑，不按要求填涂的，答卷無效.

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑，如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相

應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.

不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，只需將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

22

C:—=1（。>0/>0）

1.已知雙曲線礦b~的離心率為J5,則C的漸近線方程為（）

A口，2亞

A.y=+—xB.y=+——x

y=±2x

【答案】D

【解析】

b

【分析】由雙曲線的離心率求出一的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.

1+與=逐，可得2=2,

【詳解】由題意可得e=￡=

/7

b

因此，雙曲線C的漸近線方程為y=±-x=±2x.

故選：D.

2.數(shù)學家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為三角

形的歐拉線.已知及鉆。的頂點坐標為A(O,O)I(0,4),C(4,4),則歐拉線的方程為()

A.x+y-4=0B.x-j+4=0

C.x+y+4=0D.x-y-4=0

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，判斷三角形形狀并求出垂心及外心，進而求出歐拉線的方程.

【詳解】由4(0,0)1(0,4),C(4,4),得則RtAABC的垂心為8(0,4),外心為(2,2),

所以VABC歐拉線的方程為丁=——x+4,即x+y-4=0.

2—0

故選：A

3.已知拋物線必=：的準線為/,則/與直線8x—4y+3=0的交點坐標為(

5_j_

8，-2

7

昌16

【答案】D

【解析】

【分析】求出直線/的方程，再將直線/的方程與直線8尤-4丁+3=0的方程聯(lián)立，可得出交點坐標.

【詳解】對于拋物線必=：,2P=3,可得p=所以，其準線方程為y=-

224o

r1L-7

y——16

聯(lián)立78,解得士:,

8x-4y+3=0y=

故選：D.

4.如圖，在平行六面體—4與42中，底面ABC。和側面4人。2都是正方形，

2兀

NB4A=3-,A3=2,點P是與CR的交點，則APAB^()

5,C1

X----------------%

A.4-2石B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，取空間的基底{AB.AZZAA},求出ARM,再利用數(shù)量積的運算律計算即得.

【詳解】在平行六面體ABCD一中，AB±AD,AAl±AD,AB=AD=AAl=2,

由點尸是與C。的交點，得AP=AD+DP=+++

..1

而ABj=AB+A4t,因此AP-AB]=5(45+胡+24。>(43+朋)

——-2-2一

110202271

=-(AB+A4+2AJB-A41)=-(2+2+2x2x2xcosy)=2.

故選：B

5.在三棱錐尸-ABC中，PA=PB=BC=6,AC=642,ABIBC,平面平面ABC,若球。是三棱

錐P-ABC的外接球，則球0的表面積為()

A.96兀B.84TIC.72兀D.48兀

【答案】B

【解析】

【分析】令.ABC.PA3的外心為取中點。，由己知可得四邊形。。。儀是矩形，利用球的

截面性質求出球半徑即可得解.

【詳解】在VABC中，BC^6,AC=6^/2,AB1BC,則AB=?A=PB=6,AC中點。1為VABC

的外心，

于是OO]，平面ABC,取AB中點。，連接尸￡>,則而平面平面ABC,

平面上18c平面ABC=AB,FDu平面上45，則？D,平面ABC,OOJ/PD,

令正的外心為。,,則。，為的3等分點，0,D=工PD義昱AB=#)，

332

又。。2,平面已45,則而則四邊形OQDQ是矩形，

OOy=O2D=y/3,因此球。的半徑R=。4=J(g)2+(3板力=再,

所以球0的表面積為S=4兀笈=8471.

故選：B

6.已知點。(3,0)和圓河：/+丁—4x—4y+4=0,圓M上兩點4B滿足|AO|=2|AD|,|BO|=2|BD|,

。是坐標原點.動點尸在圓M上運動，則點P到直線4B的最大距離為()

A.V2B.20C.2+A/2D.4+后

【答案】C

【解析】

【分析】求出滿足IQO|=2|QD|的動點。的軌跡方程，進而求出直線A3方程，再借助點到直線距離公式

求得答案.

【詳解】設滿足IQO|=2|QD|的動點Q(x,y),則2g-3)2+/=卜+$，

整理得元2+9一8彳+12=0,則點。的軌跡是以(4,0)為圓心，2為半徑的圓，

依題意，點在圓尤2+,2一8了+12=0上，圓M:(x-2)2+(y-2)2=4的圓心”(2,2),半徑為2,

因為J(4—2)2+(?！?)2=2應w(0,4)，所以兩圓相交，

則直線方程為x—y—2=0,

2L

點”(2,2)到直線43的距離1=g=42,所以點P到直線的最大距離為2+J5.

故選：C

y/

22

7.已知。是橢圓M:三+2r=1（0<b<3）上的動點，若動點。到定點尸（2,0）的距離|P0的最小值為1,

9b

則橢圓河的離心率的取值范圍是（）

【答案】D

【解析】

【分析】設Q（3cosa》sin<9）,整理可得歸6—12cos6+4+/,根據(jù)題意結合二次函

數(shù)分析可得34。2<9,進而可求離心率.

【詳解】由題意可設：Q（3cosa》sin。），

2

則|PQ『=（3cos9—2）2+sh?6>=（3cos9—2）2+匕2（1一Cos6?）

=（9-b2kos之。一12cose+4+/,

令，=cosde［—1,1］,貝=（9—"2.2—12/+4+/,

注意到0<6<3,則9-加>（）,

可知了（。=（9—12f+4+/的圖象開口向上，對稱軸為/=3*>0,

當U^<1，即0<〃<3時，可知/⑺在［—1』內的最小值為

則4占卜倒"）［合［［4—卜4+從”

整理得"―6b2+9=o,解得/=3,不合題意；

當了，之1,即34/<9時，可知/?）在［-U］內的最小值為/。）=1，符合題意；

綜上所述：3<b2<9.

故選：D.

【點睛】關鍵點點睛：設Q（3cosa》sin〃），整理得|PQ『=（9—/'os??！?2COS6+4+ZA換元

r=cos6>e[-l,l],分類討論對稱軸的取值范圍，結合二次函數(shù)最值求〃的取值范圍.

8.已知矩形ABCZ）,AB=3,AD=遙，M為邊。C上一點且=1,AM與交于點。，將

沿著AM折起，使得點。折到點尸的位置，貝Usin/PBQ的最大值是（）

A1B6「2回

33310

【答案】A

【解析】

【分析】分析可知，結合垂直關系可知40，平面P3Q,結合長度關系可知點P

在以點。為圓心，半徑為且的圓上，結合圓的性質分析求解.

2

【詳解】在矩形ABC。，AB=3,AD=C，DM=1,

由tan/2OC=弓可得/8。。=30,由tanZAATO=若可得NAMD=60，

則ZDQM=90,即5。，3,

可知折起后，PQBQ=Q,PQ,BQu平面P5Q,

故AM±平面PBQ,

因為40是確定的直線，故對任意點尸，尸,用Q都在同一個確定的平面內，

因為PQ=DQ=孝，可知點P在以點。為圓心，半徑為手的圓上（如圖）,

p

\QIB

由圖知，當且僅當PB與該圓相切時，NP3Q取到最大值，則sin/MQ也取到最大值，

息

此時ZBPQ=90,=乎，則sinZPBQ的最大值為余=

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵在于在證明40，平面P3Q后，要考慮動點尸的軌跡，同時將5。

理解為點3與圓。上的點P的連線，結合圖形，得出當且僅當與該圓相切時，NP3Q取到最大值的結

論.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知圓。：必+/=4,P是直線/:x+y—6=0上一動點，過點尸作直線加，分別與圓C相切于點

A,B,則()

A.圓C上恰有1個點到直線/的距離為3行-2

B.|出|的最小值是

C.|48|存在最大值

D.|AB|的最小值是生且

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出圓心C到直線的距離判斷A；利用切線長定理計算判斷B；利用四邊形面積求得

|A6|=4/1—屋『，借助|PCI的范圍求解判斷CD.

【詳解】圓。:爐+尸=4的圓心C(0,0),半徑廠=2,

對于A,點C到直線/的距離△=+=3、歷，點尸到直線/的距離的最小值為［―廠=3、歷—2,

因此圓C上恰有1個點到直線/的距離為30-2,A正確;

對于B,|PA|=7lPC|2-IAC|2=7|PC|2-r2>7^2-r2=V14>當且僅當PC，/時取等號，B正

確;

對于CD,由PC垂直平分AB得，S_=1|PC||ABMSPACMPA||ACH

44A/7

—f=+,當且僅當PC，/時取等號，D正確，C錯誤.

則3甯寸-潟“J(3揚23

故選：ABD

拋物線r頂點在原點并以廠為焦點，過尸的直線/交拋物

43

線「于%),3(%,%)兩點，下列說法正確的是()

A.若玉+%2=8,則|AB|二IO

B.當6/=4E4時，直線/的傾斜角為45?；?35。

若”(4,2),P為拋物線「上一點，貝叫+戶盟的最小值為屈

D.4AF+5尸的最小值為9

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線r的方程，再結合拋物線的定義及韋達定理逐項計算判斷得解.

22

【詳解】橢圓C:?+(=l的右焦點尸(1,0),則拋物線r的方程為y2=4x,其準線為x=—1,

對于A,|AB|=|AF|+1BF|=+1+x2+1=10,A正確;

x=(y+l

對于B,直線/不垂直于y軸，設直線凡8：%=。+1,由＜2\消去心

y=4x

得/一4?-4=0,則H+由3歹=4取，得%=一4%，

34

聯(lián)立解得％=±1,加=±公，因此直線/的斜率為±§,傾斜角不為45°，B錯誤；

對于C,過點尸作PG垂直于準線x=—1于G,過M作MQ垂直于準線x=—1于。,

由拋物線定義得|=|PG|,因此|+1PF|=|PG|+1閆MG|.M2=5,

當且僅當尸是線段MQ與拋物線「的交點時取等號，C錯誤；

對于D,|AF|=X+L|5F|=X2+1，由選項B知，/%=-4,則//=（"]'）=1，

又玉,々〉0，因此41A+=4石+4+%+1=4%+5>2^4x1x2+5=9,

當且僅當4玉=%2=2時取等號，D正確.

故選：AD

11.如圖，三棱臺A3C—4與。1中，M是AC上一點，平面,zABC=90°,

AB=BC=CQ=2,AlBi=1,貝!!()

A.AB〕//平面BMC]

B,平面BMC]，平面3。。1片

7

c.三棱臺ABC—A用G的體積為-

D.若點P在側面上運動(含邊界)，且CP與平面ABB】A所成角的正切值為4,則2尸長度的最

小值為好

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】令⑸C=0,利用線面平行判定推理判斷A；求出點M在平面片上的投影點位置

判斷B；求出棱臺體積判斷C；求出點尸的軌跡判斷D.

【詳解】對于A,令3cl「30=0,連接M0,由用￡/ABC,蛆=M=_L,得

BCAB2

B04cl_1

由得出=!=虹，則AB//MO,

2MC2OC

而MOu平面3GM,A4a平面5GM,則A5"/平面3G”,A正確；

對于B,由CG，平面ABC,ABu平面ABC,得CCi^AB,而

CC[3。=。,。。],3。匚平面3。。4,則AB,平面3CC1用，在3c上取點N,

使得BN=LNC,則4"=網(wǎng)，MN//AB,因此平面5?！暧?，

2MCNC

即點M在平面3CC1用上的投影為線段BC上靠近點B較近的3等分點N,又點N不在直線BCi,

則過點M與平面BCC&1垂直的直線不在平面BMC,內，因此平面BMC,與平面BCC^不垂直，B錯

誤；

對于依題意，

C,XA1lB1lC1l=90,SARC=—xlxl=—2',SAQBUC=—2x2x2=2,

三棱臺ABC-A.B.C,體積V=g(g+,gx2+2)x2=g,C正確；

對于D,由選項B知，A3,平面5CG4,而ABu平面A54A，則平面，平面§CG片，

過C作“，33]于“，平面平面BCC13i=33],則CH1.平面45及4,

CC24

在直角梯形BCCi與中，sin/CBg=瑞=不，在直角Va“中，CH=CBsinNCBB1=忑

BH=正，由CP與平面ABB】A所成角的正切值為4,得tanNCPH=4,HP=———=叵,

5tanZCPH5

因此尸點軌跡是以“為圓心，手為半徑的圓在側面內圓弧，的最小值為骼=骼,

故選：ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線4:四一丁一2024=0,/2：（3。一2）%+世+2025。=。，若乙上乙,則實數(shù)°的值為.

【答案】0或1

【解析】

【分析】利用兩條直線垂直的充要條件，列式求出。值.

［詳解］直線4:ax-y-2024=0,/2:(3a-2)x+ay+2025a=0,

由乙_1_4，得a(3a—2)—a=0,解得a=0或a=1,

所以實數(shù)。的值為0或1.

故答案為：0或1

22

13.已知片，鳥,3分別是橢圓C:=+二=l（a〉6〉0）的左、右焦點和上頂點，連接并延長交橢圓C

ab

于點P,若.為等腰三角形，則橢圓c的離心率為

【答案】9小

【解析】

【分析】若1咫1=根，根據(jù)橢圓的定義有1尸8|=。+機、\PF2\=2a-m,應用余弦定理及

cos/PGB+cosNBGB=0得到橢圓參數(shù)的齊次方程，即可求離心率.

【詳解】由氏2臺為等腰三角形，耳|=|8瑪|=〃，則有|P8|=|PBI,而|尸耳|+|尸耳|=2〃,

IPB|=|PF1|+1BF1|,若|PFX\=m,則|PB\=a+m,\PF2\=2a—m,

由a+"i=2a—m,得加="|,貝ij|尸耳尸61二三,

在△地工中，CM即右冒吃

在.「6月中，cosZPF^=+TM「_至-a2

2|P耳||朋|ac

即￡='「―2廠，整理得3c2=4，則0=￡=走

+cosZBfJ7^=0,

COSZPFXF2

aaca3

14.已知實數(shù)x、y滿足％忖+引引=1,則|x+y—4]的取值范圍是.

【答案][4-0,4)

【解析】

【分析】化簡曲線方程，作出圖形，令/=x+y—4,求出當直線x+y—f—4=0與曲線相切時，以及直線

x+y—/—4=0與直線x+y=0重合時對應的『的值，數(shù)形結合可得出/的范圍，由此可得出|x+y—4|的

取值范圍.

【詳解】當x?0,yNO時，曲線方程可化為必+/=1；

當x<0,y?0時，曲線方程可化為V—爐=i；

當x<0,y<0時，曲線方程可化為—爐一y2=],即曲線1國+丁3=1不出現(xiàn)在第三象限;

當了20,y?0時，曲線方程可化為爐―V=i,

作出曲線%閃+引丁|=1的圖形如下圖所示:

設/=x+y——4,即x+y——/——4=0,

由圖可知，當直線x+y-f—4=0與圓爐+丁=1相切，且切點在第一象限時，

l-r-41廣

則^^=1，且—f—4<0,解得.=我一4，

72

由因為雙曲線-y2=1、y2_%2=1的漸近線方程均為x土y=。，

當直線x+y—t—4=0與直線x+y=0重合時，

所以，—4〈/〈行—4，故|x+y—4|="e[4—后,4).

故答案為：[4-72,4).

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：

(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系;

(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(4)利用己知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四面體ABCZ)中，平面A8CLL平面AC。，ABLBC,AC=AD=2,BC=CD=\.

D

（1）求四面體ABCD的體積;

（2）求平面ABC與平面48。所成角的正切值.

【答案】（1）旦;

8

（2）^1.

7

【解析】

【分析】（1）作OOLAC于。并求出。0,證得平面ABC,再利用錐體的體積公式計算得角.

（2）過。作OE/ABC交于E，利用幾何法求出面面角的正切.

【小問1詳解】

在四面體ABC。中，在平面ACQ內過點。作DOJ_AC于。，

由平面ABCLL平面ACD,平面ABC平面ACD=AC,得。。_1_平面ABC,

在A8中，AC=AD=2,CD=1,貝=位JsinZA。=、"=史,

AC4V44

于是。0=CDsinNACD=孚，在VABC中，AB±BC,BC=1,則AB=防—儼="

S.ABC=-ABBC=~，所以四面體ABC。的體積V=1SABC-D0=-X—X^-=—.

△由223ABC3248

由（1）知，OOL平面ABC,ABu平面ABC,則。O_LAB,

過。作OE/ABC交43于E,連接。￡,由ABL3C,得0ELA5,

而OE。0=0,0石,。0<=平面。?！?則平面。又DEu平面。0E，

因此AB_L,ZDEO是平面ABC與平面ABD所成的角，

由(1)知AO=-,由三=皿，得。E=?,

44BCAC8

所以平面ABC與平面ABD所成角的正切值tanZDEO=型=羽5.

0E7

16.已知點尸、。的坐標分別為(—2,0)、(2,0)直線尸河、相交于點〃，且它們的斜率之積是

(1)求點〃的軌跡方程；

(2)若直線A3與點M的軌跡交于A3兩點，且Q4LOB,其中點。是坐標原點.試判斷點。到直線

A3的距離是否為定值.若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

【答案】⑴±-+/=1(%^±2)

(2)定值，且定值為2叵

5

【解析】

【分析】(I)設點w(x,y),則xw±2,利用斜率公式結合左=-；化簡可得出點"的軌跡方

程；

(2)分析可知，直線Q4、08的斜率存在且都不為零，設直線Q4的方程為丁=依，則直線08的方程

為丁=-將直線Q4的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出|。4「，同理可得出口卻2,再利用等面積法可求

k

得點。到直線A3的距離.

【小問1詳解】

設點”(x,y),貝Uxw±2,

由題意可得即“生———=---整理可得土+丁=1.

x+2x-244

所以，點/的軌跡方程為、+/=1(*片±2).

【小問2詳解】

由題意可知，直線。4、03的斜率存在且都不為零，

設直線Q4的方程為丁=依，則直線08的方程為丁=-

k

4

y=kx1+4左24+4/2

聯(lián)立可得＜，貝可。=x2+.y2

x1+4y2=44k2―1+4左2

y2

1+4左2

同理可得|。砰

則原點。到直線的距離為

d_|。葉|。3|_|。4卜|。3]_]_]_275

lABlJ|OA|+|OB|2I][]Jl+442+42工5

'V|O4「\OBfV―4-2+4

因此，點。到直線AB的距離為公已.

5

【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種:

(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關;

(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

17.如圖，在斜三棱柱ABC-431G中，VA3C是邊長為2的等邊三角形，側面BCQ耳為菱形,

NBBiC=60,ABt=3.

(1)求證：±BXA；

（2）若尸為側棱8片上（包含端點）一動點，求直線PG與平面ACC4所成角的正弦值的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析

屈3713

(2)-B-，13

【解析】

【分析】（1）由題意結合圖形中的幾何關系取的中點。，先證明平面再由BC〃4G證得

與G1平面AB0,從而證出BXCXLBXA.

（2）根據(jù)圖形中幾何關系建立空間直角坐標系，再利用向量法求出線面角正弦值的表達式，最后結合函數(shù)

的單調性求出正弦值的取值范圍.

【小問1詳解】

如圖所示,

取5c的中點為O,3CG用為菱形，且/84。=60,

所以用為等邊三角形，BC±BXO,

又VA3C為等邊三角形，則3C_LAO,

所以BCL平面AO瓦，

又BC〃B\Q,BXCX1平面AOB,，用Au平面AOB1,

所以用與A.

【小問2詳解】

如圖所示，

Zk

在，AO與中，AO=BlO=y/3,ABi=3,由余弦定理可得

(百產+(百T—3212兀

cosZAOBj=所以NAC>4=可-

2x^3x^3

由（1）得3cl,平面AO4，因為3Cu平面ABC,所以平面A04_1_平面ABC,

所以在平面AOB1內作Oz，QA,則Oz_1平面ABC,

以。L,OC,Oz所在直線為了軸、V軸、z軸建立空間直角坐標系如圖所示:

則0,；],3(0,-1,0),A(后0,0),c(0,1,0),G

I22J

設方=（x,y,z）是平面ACGA的一個法向量，AC=^-A/3,1,0^,

-+y=0

[巫23、n-AC=0

AC1=1F?,則?即v3四c3八

n-AC1-0--------x+2y+—z=0

、22

取z=l得"=(—6,—3,1),

設第=2陰（0<2<1）,

C[P=GB+BP=C]B+ABB]

設直線PC,與平面ACQA所成角為夕,

n-CP_________6__________________3

則sin。=cosx

I4MV13xj4(3-3/U3)岳x，川-34+3

3

令/(#=（OVXWl）,則/（4）在［0,1］單調遞增,

而x〃2—32+3

V393A/13

所以/■(/1)€

-B-，13

V393A/13

故直線PC.與平面ACQA所成角的正弦值的取值范圍為-B-，13

18.已知雙曲線C的漸近線方程為百x±y=O,過右焦點/(2,0)且斜率為左的直線/與C相交于A、B

兩點?點3關于％軸的對稱點為點E.

(1)求雙曲線C的方程：

(2)求證：直線AE恒過定點，并求出定點的坐標；

(3)當人之2時，求△AEF7面積的最大值.

2

【答案】(1)f—匕=1

3

(2)證明見解析，定點坐標為

(3)18

【解析】

【分析】(1)設雙曲線C的標準方程為，-.=1(?！?］〉0),根據(jù)題意可得出關于。、b的方程組,

解出這兩個量的值，即可得出雙曲線C的標準方程；

(2)分析可知，k彳0,設機=工，可得出直線/的方程為％=切+2,點力(%,%)、5(%2,y2),則點

k

E(馬,—%)，分析可知，直線AE過x軸上的定點7億0),將直線/的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋

達定理，求出直線AE的方程，將點T的坐標代入直線AE的方程，求出/的值，即可得出定點的坐標；

(3)利用三角形的面積結合韋達定理可得出S&EF=1其中加e［結合函數(shù)的單調性可得

----3mI2

m

出4AEF面積的最大值.

【小問1詳解】

22

根據(jù)題意，設雙曲線C的標準方程為與-4=l(a>Q,b>0),

CTb2

/+b2=4

b廠〃二1

由題意可得《—=V3,解得<廣，故雙曲線C方程為必

a［力=方

a>0,b>0

【小問2詳解】

當左=0時，此時，點A、3為雙曲線的頂點，不合乎題意;

當上中0時，設機=工，則直線/的方程為x=my+2,

設點4（%1,yj、B（%2>y2）,則點￡（%，—%），

由對稱性可知，直線AE過x軸上的定點T（t,0）,

x=my+2

聯(lián)立可得（3辰-1）/+12沖+9=0,

3x2-y2=3

3m2-1^0

由題意可得《/\/\,解得mw±是,

A=144m92-36（3m92-11=36（m92+1）>03，

12m9

由韋達定理可得%+%=-

3療—1'y'y2~3m1-1

7y+%y+g

則AE的斜率為左”二，直線AE的方程為—、

將點T的坐標代入直線AE的方程可得，=曰（"西），

不俎一V%（%—々）_%逮2+%弘_（7盯1+2）%+（7盯2+2）%

口J代工=X------------------------------=--------------------------------

%+%%+%X+%

18m

：2切必?c=3療-1?1

_%+%12m5，

3m2-1

此時，直線AE過定點

綜上所述，直線AE過定點

【小問3詳解】

1(119

因為人之2,則/九=740,7,且%%=——-——<0,

k[2一一3m--1

9

---3m

m

因為函數(shù)/(機)=l一3根在(0,；上單調遞減，

19F

故當機=—時，S^F取最大值，且最大值為03".

22-3

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

19.如圖所示，在平面直角坐標系中，點P(x,y)繞坐標原點。逆時針旋轉角。至點P(x',y').

x'=xcos6-ysin0,

(1)試證明點的旋轉坐標公式：\.八八

y=xsin，+ycos”.

(2)設6e(O,2?),點《(0,-1)繞坐標原點。逆時針旋轉角夕至點4，點，再繞坐標原點。旋轉角，

至點鳥，且直線片鳥的斜率左=—1,求角夕的值；

(3)試證明方程爐+若孫=6的曲線C是雙曲線，并求其焦點坐標.

11

TV

【答案】（i）證明見解析；（2）e=u上、,；（3）證明見解析;焦點坐標為6（-2A/3,-2）與R（2A/3,2）.

266

【解析】

【分析】（1）由任意角的三角比定義及三角恒等變換可得出變換前后的坐標的聯(lián)系，從而得證；（2）把點

4,鳥的坐標先用極坐標表示，然后利用直線《2的斜率左=-1列出方程，再根據(jù)角e的范圍求出e的

可能值；（3）由旋轉坐標公式求出旋