專(zhuān)題突破卷12解三角形中的最值范圍問(wèn)題

孱題型預(yù)策

向與對(duì)邊型（基本不等式法）

角與對(duì)邊理（三角函數(shù)法）

有角無(wú)邊理（三角函數(shù)法）

角與鄰邊型（三角函教法）

1.角與對(duì)邊型（基本不等式法）

B+c

1.在①csin--—=asinC,②2cosN伍cosC+ccosB）=a,@（sinB-sinC）2=sin274-sin5sinC,這三個(gè)條

件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線上，回答下面問(wèn)題.

在IBC中，已知內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若.

（1）求/的值；

（2）若邊長(zhǎng)。=3,求AABC面積的最大值.

【答案】（1）/=5

⑵孚

【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解，

（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.

【詳解】（1）若選①：由csinO1^=asinC及正弦定理有：

sinCsin1~~~）=siiL4sinC,

由于sinCwO,所以cos—=sin/=2sin—cos—,

222

由于:，，'['儂：>。，

即sin《=〈,所以所以4=

22263

若選②：2cos/(6cosC+ccos5)=a,

由正弦定理得2cos力(sinScosC+sinCcos5)=sirU,

即2cos/sin(B+C)=2cos/siM=siib4,

?/si必〉0,二.cos^=—,

2

又/e(O,7i),所以N=1；

若選③：(sinB-sinC)2=sin2A-svaBsinC,

2222

由正弦定理得(6-c)2=a-bef即b+c-2bc=a-be,

...a2=b2+c2-bc=b2+c2-2bccosA，/.cos/=；,

由于/e(O,兀)，所以/=(

(2)由余弦定理得：a1-b2+c2-IbccosA,即鄉(xiāng)二從+片一人。，

b2+C1>2bc,9>2bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)等號(hào)成立,

州C一1八??1。有一9月

KJS——Z?csiiL4V—x9x——-----,

“ABRC2224

則“3C面積的最大值為氈

4

cos/?2a-b

2.448c的內(nèi)角48,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知6=2sinfi,--

cosCc

⑴求。；

(2)求“BC周長(zhǎng)的最大值.

【答案】⑴G

(2)373

【分析】（1）運(yùn)用正弦定理結(jié)合條件求解即得;

（2）運(yùn)用余弦定理和基本不等式求解.

【詳解】（1）由正弦定理，可知1=2a-b2siib4-sinB

cosCcsinC

整理得sinCcos5+siaScosC=2siib4cosC,

因?yàn)?+5+。=兀，所以siivl=2siib4cosC,

因?yàn)?w(0,萬(wàn))，所以siib4>0,所以cosC=；,

又因?yàn)镃e(O,7r),所以C=g,

pbcbsinC.7trz

又瓦r菽'所以c=Mr=2smj6

(2)由余弦定理，得cosC二

lab2

所以〃2+/=ab+c2=ab+3,

3

則―3加3>―)2+3,所以“+P5當(dāng)且僅當(dāng)“人后時(shí)取得等號(hào),

所以AABC周長(zhǎng)G+6+C的最大值為3也;

綜上，c=6周長(zhǎng)〃+b+c的最大值為小月.

向

3.在。中，角4瓦。的對(duì)邊分別為。也c,——bsinC+ccosB=a.

3

(1)若。=21=1,求力3C的面積；

(2)若。=2,求。5C周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】⑴字

⑵(4,6]

【分析】(1)利用正弦定理把邊化為角，結(jié)合三角變換與同角基本關(guān)系可求得C,結(jié)合已知與面積公式即

可求解；

(2)用正弦定理把邊化角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的值域求解，即可得到答案.

【詳解】(1)因?yàn)橐?sinC+ccos8=a,

3

由正弦定理，可得Y^sin8sinC+sinCcos8=sin/，

3

又由4+5+。=兀，可得sin/=sin(B+C),

h

所以sin5sinC+sinCeos5=sin(5+C),

所以——sin5sinC+sinCcos8=sin5cosC+cos8sinC,

3

即sin5sinC=sinBcosC，

3

因?yàn)锽E（0,加），可得sin8〉0,所以3sinC=cosC,即tanC=J^

又因?yàn)镃e(0㈤，所以C=；IT,

所以^ABC的面積為工absinC=—x2xlxsin—=

TT

(2)由(1)可知。=§

由正弦定理得sin/sin5sinC所以Q=-------sin=------sin5，

sm—33

月f以a+b+。=---sinAH-------sinB+2=------sinA.H-------sin

3333

=------smZd-------cosA+2=4sinA+—+2,

3122J<6J

2冗

因?yàn)?/p>

ll?、I7T.7L57rllt、il,|J兀、/-a

所以；+所以彳<sinZ+》Wl,

6662I6J

故”BC周長(zhǎng)的取值范圍為(4,6].

4.在A48c中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,且指(a-6cosc)=csin2,b=2#).

⑴求"3C外接圓的半徑；

⑵求a+c的取值范圍.

【答案】(1)2

⑵(2百,46]

【分析】(I)利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式求出B,最后由正弦定理求出外接

圓的半徑;

(2)由余弦定理及基本不等式求出的最大值，再由三邊關(guān)系求出的范圍.

【詳解】(1)因?yàn)?("6cosc'hcsinB,

由正弦定理得6sin/-Gsin2cosC=sinCsinB,

且sinZ=sin（3+C）=sinBcosC+cos8sinC,

所以百cosBsinC=sinCsin5,

因?yàn)閟inC>0,所以百cos8=sin_B,

所以tanB=g,又8e(O,7i),所以8=1，

上=速=4=2尺

又sin5-邁--，所以H=2,

~2

即外接圓的半徑為2.

(2)由余弦定理得/=a2+c2-laccos5=a1+c2-ac=(a+c『一3。。,

因?yàn)轫帧慈收?，?dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào)，

4

所以(〃+C)2-3acN(Q+C)2-1(a+c)2=；(Q+C)2,

即62z；(a+c)2,b>^,所以a+cV46,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=時(shí)取等號(hào),

且a+c>b=2^3，

5.在銳角三角形4BC中，角N,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,滿足缶sin8=6.

⑴求角/;

(2)若。=4,求△NBC的面積的最大值.

【答案】(1)/=?

4

⑵40+4

【分析】(1)利用正弦定理進(jìn)行邊化角即可得到答案；

(2)利用余弦定理和基本不等式即可求出加的最大值，最后利用三角形面積公式即可.

【詳解】(1)在A/8C中，由條件及正弦定理得亞sinNsin8=sin8,

:Be(。，萬(wàn))，；.sinBwO,sinA=,

(2),.,(2=4,由余弦定理得/=16="+c?-26ccosN2(2-后)6c,

.-.ZJC<16+8V2，當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2"+2行時(shí)等號(hào)成立,

.■.S"c=?csin/W4立+4，

所以“BC的面積的最大值為4逝+4.

6.在。8C中，。，4c分別為內(nèi)角4B,C所對(duì)的邊，若/=%a2=(c-b)2+4.

(1)求O8C的面積；

⑵求。的最小值.

【答案］⑴百

(2)2

【分析】(1)利用余弦定理結(jié)合題干條件可推出6c=4,然后由三角形的面積公式求解；

(2)結(jié)合(1)中推出的條件和基本不等式進(jìn)行求解.

【詳解】(1)由余弦定理，a2=b2+c2-bc,結(jié)合。2=(。-6丫+4可得/+/一6c=(。-?+4,

整理可得6c=4,根據(jù)三角形的面積公式，SABC=—Z>csin^=—x4x—=73.

"c222

(2)由(1)知bc=4,根據(jù)基本不等式，a2=b2+c2-bc^2bc-bc=4,

當(dāng)b=c=2時(shí)，。的最小值是2.

2.角與對(duì)邊型(三角函數(shù)法)

7.在AA8C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別“，b,c,5=pb=2通,若“BC有且僅有一個(gè)解，則

。-c的取值范圍是.

【答案】卜2后2向

【分析】根據(jù)正弦定理可得"c=4sin(/-$,據(jù)此可求a-c的取值范圍.

【詳解】由正弦定理可得a-c=2Rsin/-2RsinC=-^-(sin/-sinC)

sin5

=4sin4—sin(a+y)=4(；sinA-cosA)=4sin(/-y)

因此^ABC有且僅有一個(gè)解，

故直線ka—與/⑷=4sin(/J)在(0巾上的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，I,而〉=smf在［一為增函數(shù)，

故/⑷=4sin("$在(0用上為增函數(shù)，

因/⑼=一2石，=故”。4一2后26),

故答案為：卜26,2月).

8.“BC三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別是。，b,c.若6=6，a2+c2-4?>ac=b2,貝U26a+c的最大值為

（）

A.277B.3亞C.25/57D.3屈

【答案】C

【分析】由已知及余弦定理可得B=I再應(yīng)用正弦定理有a=2&sin/,c=2y/3smC,將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為

0

26a+c=2V57sin（C+⑼且tan夕=手，利用正弦型函數(shù)性質(zhì)求最大值即可.

【詳解】因?yàn)?+02一6如=〃，由余弦定理853="2+02一〃=巫,又0<8<兀，故B=?

2ac26

ba

由正弦定理知:=2G,則a=2V3sinA，c=2A/3sinC,

sin8sin4sinC

5TL

所以2石a+c=12sin/+2/sinC,而/=▼-C,

6

貝I」2百a+c=12sin4+2百sinC=12siny-Cj+2V3sinC

=12^siii^-cosC-cos^-sincj+2V3sinC

=6cosC+8A/3sinC

=2扃sin（C+0,且tan0=/，

又0<C<",當(dāng)。+0=當(dāng)時(shí)2怎+c的最大值為2目.

62

故選：C

2a-cb

9.已知銳角AA8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c日---；------=----------

HCOS(4+B)cos(4+C)，

（1）求角3的大小;

（2）若6=3,求a+c的取值范圍.

【答案】（1）5=1

⑵(3石,6]

【分析】（1）先利用誘導(dǎo)公式及正弦定理化邊為角，再結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可得解;

（2）先利用正弦定理求出6,c,再根據(jù)三角恒等變換結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

2a-cb2a-cb

【詳解】（1）由/jn\―1.Q,即/―/9

cos（4+5）COS（/+C）COS（7l-C）COS（71-5）

2a-cb

得-----=-----,

cosCcos5

2sin/-sinCsin5

由正弦定理可得

cosCcosB

即(2siiL4-sinC)cos5=sinScosC,

所以2sirL4cosB=sin5cosc+sinCcos5=sin(5+C),

所以2siib4cos5=siii4,因?yàn)閆E（0,兀），所以siiL4〉0,

所以cosB：1又8?0,兀)，所以B=g；

(2)由正弦定理n號(hào)=三h=一c二，

SIIL4sin/5sinC

所以a+c=b(siih4+sinC)=26siih4+sin

sinB

(垂)1、

2月sirvlH-----cos^+—sirb4siib4+—cosZ6sin1/+.),

122J2J

因?yàn)椤?C為銳角三角形，且8=W，

￡(373,6],

所以b+c的取值范圍為卜百,61

10.已知函數(shù)/(x)=coscos2x-V3

JT

⑴若xe0,-,求函數(shù)〃x）的值域;

（2）設(shè)三角形/3C中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為。、b、c,已知b=2,且銳角5滿足/（5）=0,求Q+C

的取值范圍.

⑵(2,4]

【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為/（x）=2sin（2x+5j,由xe0尚可求出2x+1的取值

23

范圍，結(jié)合正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)/（X）的值域;

（2）由已知條件可得出sin125+gJ=0,結(jié)合角8的取值范圍可得出角3的值，利用余弦定理結(jié)合基本不

等式可得出〃的最大值，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得出。+。的取值范圍.

【詳解】（1）解：f（x）=cos-2x^+2^/3cos2x-V3=sin2x+V3（2cos2x-1）

=sin2x+A/3cos2x=2sin^2x+y^,

當(dāng)工￡0,—時(shí)，一<2xd—<—,貝！J—（sin12'+']W1,故一V^</（1）<2,

_2」3332I3）

當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)〃x）的值域?yàn)椴钒?2].

（2）解：因?yàn)?（3）=2sin（23+gj=0,可得sin12B+g）=0,

因?yàn)?<8<5,則g<22+g〈學(xué)，所以，22+々=兀，解得8=^,

因?yàn)?=2,由余弦定理可得〃=4=tz2+c2-2accosB=a2+c2-ac

/、2/、23(a+c}2(a+cV

=(Q+C)-3QCN(Q+C)——――=---^―?

可得a+c?4,當(dāng)且僅當(dāng)。=。=2時(shí)，等號(hào)成立，

又因?yàn)镼+C>6=2,故2<Q+CW4,故Q+c的取值范圍是（2,4].

11.已知函數(shù)〃+忘小+”,44由吟

⑴求了（X）的最小正周期和對(duì)稱中心；

（2）已知銳角。8c的三個(gè)角4民C的對(duì)邊分別為a/,c,若/（4）=等,.=4,求。3c周長(zhǎng)的最大值.

【答案】⑴〃x）的最小正周期為兀，對(duì)稱中心為+左eZ）.

⑵12

【分析】（1）化簡(jiǎn)Ax）,根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期公式和對(duì)稱中心可求出結(jié)果；

（2）由〃/）=*,A為銳角得/=1,根據(jù)B的范圍求出sinB+sinC的最大值后可得周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】（1）〃x）=V^sin（x+jsin（x-+sinxcosx

昌（.兀.KV.71.兀）.

=>/3smxcos—+cosxsm—sinxcos——cosxsin—+sinxcosx

I44大44j

3盧皿+q……sx

〔22人22J

x-cos2x)+sinxcosx

cos2x+-sin2x

2

=sin(2x-y).

O-jr

〃x)的最小正周期為胃=兀，

令2x-三=kn,keZ,^x=—+—,keZ,

326

所以/(x)的對(duì)稱中心為(左eZ).

(2)由/(/)=*,得制2"至=等，因?yàn)椤癇C為銳角三角形，?！?《，

所以所以=A=^.

_asinB_4sin5_8^/3.r-

因?yàn)椤?4,Z所以"=飛才=^^=亍51口氣同理得°=2sinC,

V

(27r\27r2TT

所以sin5+sinC=sin5+sin[丁-5J=sin5+sin-cosB-cos-sinB

=sin5+^-cos5+—sin5=—sin5+—cos5=V3sinf8+2]>

2222k6；

因?yàn)?<。=@一8〈火，且0<8〈工，所以&<8〈工，

32262

“…兀八712兀

所以；+

363

所以當(dāng)8+2=3,即B=g時(shí)，sinB+sinC取得最大值為百,

623

從而a+b+c=4+~~~(sinB+sinC)取得最大值為12.

即AABC周長(zhǎng)的最大值為12.

12.在A/BC中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=2,/歷1C的角平分線/。交BC于點(diǎn)D

(1)若6=1,ZBAC=60°,求4D的長(zhǎng)度；

(2)若“BC為銳角三角形，且孕=1+嗎，求“BC周長(zhǎng)的取值范圍.

btan5

【答案】(1)月。=半

(2)(2+273,6]

【分析】(1)方法一：由關(guān)系S"BC=S“B0+S“CB。，結(jié)合面積公式列方程求解;

ABBD—?1—?2—?

方法二：由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式證明其=7有，再由向量線性運(yùn)算可得=兩

邊平方結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)可求的長(zhǎng)度；

(2)由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)求C,結(jié)合正弦定理利用角A表示。+6,結(jié)合正弦型函

數(shù)的性質(zhì)求6的范圍，由此可得結(jié)論.

【詳解】(1)方法一：

因?yàn)?D為/A4c的角平分線，ABAC=600,

所以ABAD=ACAD=30°,

因?yàn)镾/Be=SA*BD+S.CBD

所以工x2xlxsin60°=—x2xAD-sin300+—xlxAD-sin30°,

222

所以4。=漢！.

3

法二：設(shè)三角形的邊BC上的高為〃，

因?yàn)?。為/以。的角平分線

0-AB-ADsinZBAD,-BD-h

所以J=________________=里D=2---------BD2

"小，1AC1

<4。-AC^ADsinZCAD*-CDhCD1

22

所以麗=2皮，所以屈—方=2%—2方，

―?1—?2—?

所以4D=—4B+—/C.

33

因?yàn)閎=1，c=2,

—,2(1—?2--V1--24―?—?4--288

所以4。=-AB+-AC=—AB+-AB-AC+-AC=-+-cos60°,

(33199999

所以3學(xué)

2a2sirb4,tanC

(2)在。5C中，由正弦定理得,——=———=1+------

bsin5taiiS

sinC

2sin/,rn^C?sinCcosBsinBcosC+sinCcosBsin(C+J9)

所以-----=1+華?=1+---------------=-------------------------------=—--------L

sin5sin5sinBcosCsin5cosCsinBcosC

cos5

又sin(C+B)=sin(兀-4)=sin4,貝|?‘由"=sinA

sinBsinBcosC

又sin3〉0,sinZ〉0

所以cosC=1,又Ce(0,[],則0=^.

2<2J3

a_b_c_2_4

在AABC中，由正弦定理得，sig—.(2nTsinC_也一0

I3)2

所以Q+b=~^=[iib4+sin[g_4)=4sin+巳)

因?yàn)椤?C是銳角三角形，所以0<4<g,0<竺-于是[〈NV/

23262

所以“+/仁朗，

OkJJ)

7T

所以sin(N+z)e,從而2G<a+b<4

6

所以三角形“BC周長(zhǎng)的取值范圍為（2+2指,6].

3.有角無(wú)邊型（三角函數(shù)法）

13.在銳角三角形48c中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知acos8-6cos/=6,則一絲的取值范

a+c

圍是（）

B.(2-V3.1)

C.^2—V3,V2—1jD.（C+l,V^+2）

【答案】C

JrTTh

【分析】由正弦定理邊化角得到/=23,由銳角三角形求出然后將一的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)

64a+c

的值域問(wèn)題求解即可.

【詳解】因?yàn)閍cosB-bcosZ=6,所以由正弦定理得：sinACQSB-sinBCQSA=sin5,

即sin（/—5）=sinB,所以4—5=3,即Z=25,又Z+B+C=%所以。=兀一35.

?！?甘0<2*

7171

因?yàn)殇J角三角形NBC,所以4Q<B<即＜0<B<-解味吟

2,2

71兀

0<C<0<兀一35<

22

bsin5sin3sin5

a+csinJ+sinCsin25+sin(TI-35)sin28+sin35

_sin5_1_1

sin2B+sin2BcosB+cos2BsinB2cosB+2cos2B+2cos2B-l4cos2B+2cosB-1

令cosB=t,因?yàn)樗裕辏?/p>

64I22J

則％_1V2

在te單調(diào)遞減,

a+c4〃+2t—1

所以-1).

故選：C.

在銳角三角形中，角/,的對(duì)邊分別為且滿足

14./3CB,Ca,b,c,sin8_GcosC=9If__0—，則2

2abc

的取值范圍為().

C.—,2D.—,+?

\2)v7

【答案】A

【分析】利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可得sinN=，L,進(jìn)而求得/=弓，再把&化為

23c

包0=sin(/+C)=sin/cosC+cos/sinC=石+工，結(jié)合住,0即可求解.

sinCsinCsinC2tanC2<62J

【詳解】?」sm5-&。sC=01/

,?.labsinB-26abcosC=V3c2-拒a?

labsinB=VJc2-V3tz2+2y/3abcosC=6(c?-a1+2abcosC^=y/3^c2-a2+a2+b2-c2^

即labsinB=43b2,2sinAsin2B=Msin2B，

,「BE[o,』，sinBwO,「.sin4=-^.

,,Jefo—'A=—,COST4=-6_sin5_sin(^4+C)_sin^4cosC+cos^4sinC_VJ1

I2J32csinCsinCsinC2tanC2

BG

故選：A.

15.在銳角三角形中，其內(nèi)角4華。所對(duì)的邊分別為名6,。，且滿足/=2反

(1)求證：b2+bc-a2=0;

(2)求學(xué):的取值范圍.

bcosB

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

rf-10

⑵4V2,—

IJ7

【分析】(1)先利用倍角公式得到sin4=2sin5cosB,再利用正弦定理與余弦定理的邊角變換得到

伍-口僅c+〃-叫=0,再利用銳角三角形排除6-c=0即可得證；

2

(2)結(jié)合(1)中結(jié)論得到c=6+2bcos/,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為4cos5+——-,進(jìn)而利用角3的取值范圍與

cos5

對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)?=25,所以sin/=sin25=2sin5cos6,

2.2_72

由正弦定理與余弦定理得。=26x",

lac

所以a2c=+02一〃)，整理得(b—c)僅0+〃一。2)=0,

7T

若b—c=0,即6=c,則8=。，所以4+8+。=4B=兀，即3=—,

4

TT

故/=28=5,與是銳角三角形矛盾，故6。。，

所以/+/〃2=。

(2)因?yàn)?+bc-/=0,所以〃2=為+兒,

Xtz2=b2+C1-2bccosA,^T&,b2+c2-2bccosA=b2+bc,故c=b+26cos4,

又因?yàn)?=25,

匚si3b+c4b+2bcosA4+2cos2B4cos25+2.「2

所以-----=-----------=----------=----------=4cos5+-----,

bcosBbcosBcos5cos8cos5

*.*A=2B,—<A+B<7t,0<A=2B<—,—<B<一,<cosB<,

226422

因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)/(x)=4x+2在上單調(diào)遞增，

xI22.)

/行］.抗s2.r-/若14也q21073

/=4x---l-2x—==,f——=4x---F2X—==----,

2J2y/2J(2)2V33

/.4后＜4cos8+—＜竺立，.??絲￡的取值范圍為4正,中.

cos53bcosB(3)

16.在“8C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,已知。=笑+1.

bcosB

TT

(1)若C=Z，求A,B；

⑵求的取值范圍.

【答案】⑴8=(兀，A=\

⑵("3)

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，再結(jié)合兩角差的正弦公式、二倍角公式得到sin(N-8)=sin28,即

可得到/=33,結(jié)合三角形內(nèi)角和求出A,B；

(2)由(1)可得4=38,即可求出5的取值范圍，由正弦定理將邊化角，由三角恒等變換公式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化

為B的三角函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

a-bcosAsin4一sin5cosA+cosB

【詳解】(1)因?yàn)?1,由正弦定理可得

bcosB

所以(sin4-sin3)cosB=sin5(cosA+cosB),

所以sin/cos5-sin5cos5=sin5cos力+sin5cosB,

所以sinZcosB-sinBcos/=2sinBcosB,

所以sin-5)=sin2B,

又48E(0,兀)，則(一兀㈤,所以Z-B=2L或/-8二兀一28,

TT55

若A—B=2B,又。=—且4+5+。=兀，解得8=—兀，A=-7i,

6248

^-A-B=n-2B,則/+8=兀，顯然不符合題意，故舍去，

所以3=三無(wú)，/無(wú).

248

0<A=3B<71TT

(2)由(1)可知4=38,又,所以0<2<二,

0<A+B=4B<71

所以Y^<COSB<1，

2

由正弦定理可得

bcosBsinBcosBsinBcosB

sinBcos2B+cosBsin2B4cos25-1

=4cosB---------,

sinBcosBcos5

I-(仄、

☆，=cosB,則^■</<；!,令/(。=4/一,，te——,1,

2\1)

(B、(5、

顯然/⑺在手,1上單調(diào)遞增，又/三=6,/⑴=3,

v2JI2J

所以加)式后,3),即意1的取值范圍為(立3).

17.在銳角。BC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,。，且2=1±乎，則”的最大值為_(kāi)_____.

acosZ2a

13

【答案】V

O

【分析】利用正弦定理邊化角，即可得到sin(8-N)=sin/,從而得到5=24,再由正弦定理將昨轉(zhuǎn)化

2a

為關(guān)于A的三角函數(shù)，結(jié)合A的取值范圍及余弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)?=1+C°SB,所以6cos/=a+acos5,

acosA

由正弦定理可得sin8cos4=sin4+sin4cosB,

sin(5-A)=sinA,

兀兀

?：0<A<-0<B<-,

22f

/.——兀<Bc-A,<—兀,

22

:.B-A=A,即3=2/,

，C=冗一B—4=冗一34,

?.7C

0<A<—

2

TTyryr

由“8C為銳角三角形得O<24<7,解得三</<：.

264

0<TL-3A<—

[2

3b-c_3sinB-sinC_3sin2^4-sin3^4_6sinAcosA-sin2AcosA-cos2AsinA

2a2sin/2sin42sinZ

6sinAcosA-2svnAcos2A-cos2AsinA。,2,1c,

=------------------------------------------------------=3cosA-cosA——cos2A

2sin42

=3cos^4-cos224-COS2A+-=-2COS2/+3COS/+」=-2(cos^4--|+—,

22I8

因?yàn)楫?dāng)</<3，所以cosNe9,W,

所以當(dāng)cos/=]時(shí)，器取得最大值二.

42a8

13

故答案為：--

O

18.在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,若sin2/=sin?B+sin8sinC,則，的取

b

值范圍為.

【答案】(1,2)

【分析】由正弦定理將邊角互化，結(jié)合余弦定理及兩角和差的正弦公式得到sin(/-8)=sin8,根據(jù)。

為銳角三角形可得/=28,C=兀-38以及,再由正弦定理可得?=當(dāng)=嗎，利用兩角和的

64bsinBsmB

正弦展開(kāi)式和COSB的范圍可得答案.

【詳解】因?yàn)閟in?/=sin?5+sin5sinC,由正弦定理可得/=〃+bc,

由余弦定理/=/+一2兒cosAf所以be=c?一2bccos4,即6=c-2bcos/,

由正弦定理可得sinB=sinC—2sinBcos/,

所以sin8=sin(4+3)—2sin5cos/,

EPsinB=sinAcosB+cos4sinB—2sinBcosA,

所以sin5=sin—5),

因?yàn)?<N<],0<5<p所以-曰<4-3<；,

所以8=/-3,即4=28,所以C=TI-38,

'llTT]L

由。8c為銳角三角形，所以0VZ=25VG，0<C=TI-35<-,可得:<8<:，

2264

所以<cosB<，—<cos2B<—,

2224

由正弦定理彳曰c_sinC_sin35_sin(25+5)_sin2BcosB+cos2BsinB

bsinBsinBsinBsinB

=2cos之5+cos25=4cos25-1e(1,2),

即:的取值范圍為(L2).

故答案為：。,2).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是通過(guò)邊角互化得至Usin5=sin(4-5),從而得到4=25,最后由正弦定理將

式子轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

4.角與鄰邊型(三角函數(shù)法)

TT

19.在銳角。8C中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b=2,C=-,則c的取值范圍為()

A.(2,2百)B.(2百,+oo)C.(V3,2A/3)D.(2,+CO)

【答案】C

【分析】根據(jù)銳角“BC可確定角2的范圍，結(jié)合正弦定理表示出c,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得答案.

TT

【詳解】在銳角“3C中，6=2,C=y,

71

c0<B<-

/jr7TT1|

故4=?—5,貝I)則7〈sinBvl

32K_7i622

N0<------B<—

[32

?V3L

由正弦定理可得，=姆吆=。=正€(百,26)’

sinBsinBsinB

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題難度并不大，解答的關(guān)鍵是根據(jù)三角形為銳角三角形要確定角2的范圍，結(jié)合正

弦定理表示出c,即可求得答案.

20.在中，角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,V3asinB-b=bcosA.

⑴求

(2)若6+c=2,求a的取值范圍.

【答案】嗚

⑵口，2)

【分析】(1)正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換求得角4

2R=------------------

(2)由正弦定理結(jié)合三角恒等變換把6,c用3表示，代入6+c=2可得叫，進(jìn)而可得

,x/3smD-\—

I6j

1

，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論?

I6j

【詳解】(1)因?yàn)?bcos4,由正弦定理可得由sin%sinB-sinB=sinBcos/,

且5￡（0,兀），貝！JsinBwO,

則VJsin4-l=cos/,整理得sin（Z-/=彳，

且Lt//€/(八0,兀\)，則/一.]7Le|(一7]L,二5兀;?，