第第頁南通市2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)2025.01.15注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效.3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解對數(shù)不等式求集合，再由集合交運算求集合.【詳解】集合，又，所以.故選：B2.已知向量，滿足，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)已知求向量的點坐標(biāo)，再由向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角.【詳解】設(shè)，，因為，，所以，解得，所以，，，則，因為，則．故選：B3.某正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱與底面的夾角為60°，則該正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用線面角求出正四棱錐的高，再利用其體積.【詳解】在正四棱錐中，令，連接，平面，則，由，得，所以該正四棱錐的體積為.故選：A.4.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，成等差數(shù)列，則（）A.1 B.2 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】利用等差中項列式求出公比即可得解.【詳解】由，，成等差數(shù)列，得，則，即，因此等比數(shù)列的公比，所以.故選：C5.在某個時期，某湖泊中的藍(lán)藻每天以的增長率呈指數(shù)增長.若增長為原來的倍經(jīng)過了4天，則增長為原來的2倍需要經(jīng)過的天數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.6 B.12 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知可得，進(jìn)而可得，利用指對數(shù)關(guān)系、對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式求n即可.【詳解】若原來藍(lán)藻數(shù)量為，則，可得，令經(jīng)過天后藍(lán)藻增長為原來的2倍，則，即，可得天.故選：B6.定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到的圖象的對稱軸是，周期是8，進(jìn)一步有，結(jié)合單調(diào)性即可得解.【詳解】定義在上的奇函數(shù)滿足，所以，的圖象的對稱軸是，所以的周期是8，所以，因在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為為的左支上一點，與的一條漸近線平行.若，則的離心率為（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由題意得，，由此建立方程即可求解.【詳解】因為與的一條漸近線平行，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)，又因為，所以，注意到，所以，即，整理得，因為，所以，解得.故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若在上有且只有個零點，且對任意實數(shù)，在上存在極值點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及零點個數(shù)、極值點的定義列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】由題意，當(dāng)時，，因為函數(shù)，若在上有且只有個零點，

則，解得．又對任意實數(shù)，在上存在極值點，且的長度為，而函數(shù)的最小正周期為，則，解得，綜上，的取值范圍是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若為實數(shù)，則是實數(shù) B.若為虛數(shù)，則是虛數(shù)C.若，則是實數(shù) D.若，則【答案】BC【解析】【分析】對于AB，設(shè)，由復(fù)數(shù)概念以及乘法即可判斷；對于CD，設(shè)，由復(fù)數(shù)概念以及乘法即可判斷.【詳解】對于A，B，設(shè)，則，若為實數(shù)，則，但這不一定能得到，比如，這個時候滿足為實數(shù)，但不是實數(shù)，故A錯誤；若為虛數(shù)，則，這一定能得到，也就是說這個時候是虛數(shù)，故B正確；對于C，D，設(shè)，若，這就表明，所以是實數(shù)，故C正確；若，這表明，但不一定等于0，比如，這個時候有，但，故D錯誤.故選：BC.10.口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地均相同，顏色分別為紅、黃、藍(lán)的3個球.從口袋內(nèi)無放回地依次抽取2個球，記“第一次抽到紅球”為事件，“第二次抽到黃球”為事件，則（）A. B.C.與為互斥事件 D.與相互獨立【答案】AB【解析】【分析】應(yīng)用列舉法寫出所有可能事件，應(yīng)用古典概型的概率求法求，再根據(jù)條件概率公式、互斥事件的定義、獨立事件的判定判斷各項的正誤即可.【詳解】由題設(shè)，抽取結(jié)果有紅黃、紅藍(lán)、黃紅、黃藍(lán)、藍(lán)紅、藍(lán)黃，共6種情況，其中第一次抽到紅球有紅黃、紅藍(lán)，共2種，則，A對，第二次抽到黃球有紅黃、藍(lán)黃，共2種，則，顯然事件不互斥，C錯，且第一場抽到紅球，第二次抽到黃球的概率，則，D錯，所以，B對.故選：AB11.已知正方體的棱長為分別是棱的中點，則（）A.平面B.向量不共面C.平面與平面的夾角的正切值為D.平面截該正方體所得的截面面積為【答案】AC【解析】【分析】對A選項，可以用向量法得到平面的法向量與共線；對B選項，可以利用坐標(biāo)法，得到三個向量共平面；對于C選項，先求兩個向量的法向量，兩個法向量所在直線的夾角即為兩個平面的夾角，然后求出所求的正切值即可；對于D選項，可做出截面計算面積.【詳解】如圖以為坐標(biāo)原點，，,為，和軸正向建立坐標(biāo)系：，，，，，，對于選項A，可以設(shè)平面的一個法向量，根據(jù)線面垂直的判定可知，，可令得，，可得與共線，即平面，選項A正確；對B選項，，，，可利用坐標(biāo)計算得到，三個向量共面，B選項錯誤；對C選項，可設(shè)平面的一個法向量為平面的一個法向量為，由，得到，令，，可設(shè)與得夾角為，則，由題意兩平面夾角為銳角，設(shè)兩平面夾角為，則與互補，，，，選項C正確;對選項D，如圖做出截面：過在平面內(nèi)做的平行線，交于點，連接，過點做的平行線，交于點，根據(jù)平面平行的性質(zhì)，易證和為平面與立方體外表面的交線，連接，可得五邊形即為所求截面.，，，可求得，，，結(jié)合圖可知截面五邊形面積小于，選項D錯誤.故選：AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知二項式，則__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項展開式，利用賦值法，即可解出．【詳解】解：令得，①，令得，②①②得，．故答案為：．13.已知拋物線的焦點為，直線的傾斜角為，且過點.若與相交于兩點，則以為直徑的圓被軸截得的弦長為__________.【答案】【解析】【分析】由，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理得，再由拋物線的定義、中點公式求圓的半徑和圓心橫坐標(biāo)，最后應(yīng)用幾何法求弦長.【詳解】由題意，聯(lián)立，則，顯然，所以，故，所以，以為直徑的圓的圓心橫坐標(biāo)為3，半徑為4，故以為直徑的圓被軸截得的弦長為.故答案為：14.將1，2，3，4，5，6隨機排成一行，前3個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)a，后三個數(shù)字構(gòu)成三位數(shù)b.記，則m的最小值為______，m小于100的概率為______.【答案】①.47②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合差的絕對值的對稱性，逐一分析各個數(shù)位上的數(shù)字即可求出最小值；分兩步探討，結(jié)合古典概率列式計算得解.【詳解】由中的對稱性，不妨令，要最小，百位必相鄰，的百位為4，的百位為3；對于十位，的十位盡可能的大，為6，的十位盡可能的小，為1；同理的個為5，的個位為2，因此，所以m的最小值為47；要m小于100，百位必相鄰，且較大數(shù)的十位小于較小數(shù)的十位，個位無限制，分兩步：取百位的概率為；取十位，在剩下的4個數(shù)字中取兩數(shù)分配給作十位，而的十位大于的十位與的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率為，所以m小于100的概率為.故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點點睛：按兩步分析，分別求出各步發(fā)生的概率求得第二空.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某學(xué)校舉行運動會，為了解學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別是否有關(guān)，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機抽樣，得到如下數(shù)據(jù)：女男未參加跳繩比賽參加跳繩比賽（1）能否有的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)（2）為了進(jìn)一步了解女生的平時運動情況，利用分層抽樣的方法從這人中抽取人進(jìn)行研究，老師甲從這人中隨機選取人，求至少有人參加跳繩比賽的概率．附：其中．【答案】（1）有（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出的觀測值，再與臨界值比對即可.（2）利用分層抽樣求出抽取12人中參加與未參加跳繩的人數(shù)，再借助組合計數(shù)問題求出古典概率.【小問1詳解】由表格中的數(shù)據(jù)，得，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生參加跳繩比賽與學(xué)生的性別有關(guān)．【小問2詳解】利用分層抽樣的方法從女生這人中抽取人，則未參加跳繩比賽的有人，參加跳繩比賽的有人，老師甲從這人中隨機選取人，記“至少有人參加跳繩比賽”為事件，則，所以至少有人參加跳繩比賽的概率是.16.在中，已知.（1）求；（2）若為的平分線，面積為14，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，再利用兩角差的正切公式結(jié)合即可求解.（2）由（1）的結(jié)論以及三角形中求出角C的正弦，再利用正弦定理與三角形面積公式求出b邊和c邊，再用等面積法轉(zhuǎn)化即可求解.【小問1詳解】在中，，所以，因為，所以，因為，所以，所以.所以，所以，又因為，所以.【小問2詳解】由，所以，所以.記中角A、B、C所對的邊為a、b、c，由正弦定理可得，所以，所以，解得（負(fù)值舍去），所以.又由，得，所以由，得，所以，解得.17.如圖，在直三棱柱中，.（1）證明：三棱柱是正三棱柱；（2）證明：；（3）設(shè)平面平面，若直線與平面的距離為，求三棱柱外接球的表面積.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）通過證明三角形全等得到，即可證明三棱柱為正三棱柱；（2）建系，利用空間向量的方法證明線線垂直；（3）根據(jù)垂直關(guān)系得到可以作為平面的法向量，然后利用點到面的距離公式列方程，解方程得到，然后求外接球表面積即可.【小問1詳解】在直三棱柱中，又因為，所以，所以，所以三棱柱為正三棱柱.【小問2詳解】取的中點，連結(jié)，則.因為平面，所以平面.以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，，所以.因為，所以，所以，所以.所以，所以，即.【小問3詳解】因為平面平面，又因為，所以不妨取平面的法向量.因為直線與平面的距離為，所以點到平面的距離為.因為，所以點到平面的距離，所以.所以正三角形的外接圓半徑，所以正三棱柱的外接球的半徑，所以三棱柱外接球的表面積為.18.已知函數(shù)的圖象與x軸的三個交點為A，O，B（O為坐標(biāo)原點）.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有三個零點，求a的取值范圍；（3）若，點P在的圖象上，且異于A，O，B，點Q滿足，，求的最小值.【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)根的個數(shù)可得，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）令，求出函數(shù)的定義域，并證明為奇函數(shù)，由零點的個數(shù)及奇函數(shù)的對稱性，將問題化為在上有且僅有一個零點，討論、研究在上零點的個數(shù)，即可得參數(shù)范圍；（3）設(shè)，且，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得，進(jìn)而有，最后應(yīng)用基本不等式求最小值.【小問1詳解】由已知得，有三個根，令，得或，所以有兩個不同的解，所以，又，令，得或，令，得，所以當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.小問2詳解】令，得，令，因為，所以為奇函數(shù).因為，所以0是的一個零點，要使有三個零點，只需要在有且僅有一個零點.在上單調(diào)遞增，.當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞增，由，得在上無零點，不合題意，舍去.當(dāng)，即時，，所以存在，使得.當(dāng)時，，所以在上遞減；當(dāng)時，，所以在上遞增.當(dāng)時，，且.當(dāng)時，，令，解得，所以，所以在上存在唯一的零點.綜上，.【小問3詳解】設(shè)，且，因為點異于，所以.由，得，即，解得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，判斷的奇偶性，將問題化為在有且僅有一個零點為關(guān)鍵.19.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.定義第次操作為：經(jīng)過上點作斜率為的直線與交于另一點，記關(guān)于軸的對稱點為，若與重合，則操作停止；否則一直繼續(xù)下去.（1）求的方程；（2）若為左頂點，經(jīng)過3次操作后停止，求的值；（3）若是在第一象限與不重合的一點，證明：的面積為定值.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由離心率、橢圓所過的點列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；（2）設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去y，結(jié)合求得，根據(jù)題設(shè)定義，利用對稱性有得到方程，即可求參數(shù)值；（3）由（2）易得與關(guān)于原點對稱，結(jié)合橢圓對稱性有與關(guān)于原點對稱，與重合，進(jìn)而有是以4為周期的周期點列，得的面積等于的面積，再應(yīng)用點線距離公式、三角形面積公式求面積.【小問1詳解】由題設(shè)有，解得，所以橢圓的方程