23.2一元二次方程的應(yīng)用制作:魯紅坡ax2+bx+c=0學(xué)習(xí)如逆水行舟不進則退第1頁一、一元二次方程根判斷式一元二次方程，(1)當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根：(2)當(dāng)時，方程有兩個相等實數(shù)根：(3)當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．根判別式知識點一：根判斷式用配方法將其變形為：第2頁一、一元二次方程根判斷式【例1】不解方程，判斷以下方程實根個數(shù).解

(1)

∴原方程有兩個不相等實數(shù)根．∴原方程有兩個相等實數(shù)根．(2)原方程可化為：例1第3頁解方程一、解一元二次方程方法：第4頁1.直接開方法；因式分解法（提取公因式法、十字相乘法（利用根與系數(shù)關(guān)系）。第5頁一、一元二次方程根判斷式【例1】不解方程，判斷以下方程實根個數(shù).方法提煉：△與0大小關(guān)系決定方程實根情況；另外，在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程普通形式．解

(3)

∴原方程沒有實數(shù)根．原方程可化為：例1第6頁一、一元二次方程根判斷式【例2】解一元二次方程．解法一（因式分解）移項,得①方程化為普通形式解題步驟②因式分解成A.B=0形式③A=0或B=0④寫出方程兩個根方程左邊因式分解,得例2解法一第7頁兩邊同時除以3,得配方，得開平方,得①二次項系數(shù)化1.②配方,并寫成(x+m)2=k(k≥0)形式.③開平方,寫出方程兩個解.一、一元二次方程根判斷式【例2】解一元二次方程．解法二（配方法）解題步驟例2解法二第8頁2.配方法：（1）解完全一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)能夠轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法形式(x+m)2=n;(2)記住配方關(guān)鍵是“添加常數(shù)項等于一次項系數(shù)二分之一平方”；(3)在數(shù)學(xué)思想方法方面，體會“轉(zhuǎn)化”思想和掌握配方法。第9頁3.用配方法解一元二次方程步驟

(1)化二次項系數(shù)為1；

(2)移項，使方程左邊只有二次項及一次項；

(3)在方程兩邊都加上一次項系數(shù)二分之一平方；

(4)變形為(x+m2)=n形式，假如n≥0，得x+m=±,x=-m±.所以x1=-m+,x2=-m--第10頁一、一元二次方程根判斷式【例2】解一元二次方程．解法三（公式法）解題步驟移項,得①將方程化成普通式,并確定出a,b,c值.②求出b2-4ac值(尤其注意b2-4ac＜0)③代入求根公式.④寫出方程兩個根.故例2解法三第11頁公式法：強調(diào)公式條件：第12頁二、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系一元二次方程兩個根為：說明：一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系由十六世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達發(fā)覺，所以通常把此定理稱為韋達定理．知識點二：韋達定理韋達定理成立前提是．方程可化為：第13頁根與系數(shù)關(guān)系第14頁1.應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系時，首先要把已知方程化成普通形式.2.應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系時，要尤其注意，方程有實根條件，即在初中代數(shù)里，當(dāng)且僅當(dāng)

b2-4ac≥0時，才能應(yīng)用根與系關(guān)系.3.能夠經(jīng)過一元二次方程系數(shù)判斷方程根情況.第15頁二、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系例3(1)(2)第16頁二、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系例3(3)(4)第17頁二、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系方法提煉：利用根與系數(shù)關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

韋達定理表達了整體代換思想．例3方法提煉第18頁二、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系例4解法一第19頁二、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系例4解法二-3-2-10123-1-2-3123xy第20頁

課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.一元二次方程求解方法：①直接開平方法；②因式分解法；③公式法；④配方法等，通常先考慮直接開平方法和因式分解法。課堂小結(jié)2.應(yīng)用韋達定理時,務(wù)必要注意韋達定理成立條件是;依據(jù)根與系數(shù)關(guān)系有方程.

求根公式：第21頁某鋼鐵廠去年一月份某種鋼產(chǎn)量為5000噸，若二月份產(chǎn)鋼量上升,增加了20％,則【情景引入】（1）二月份增加產(chǎn)鋼量為多少噸？（2）該鋼鐵廠二月份產(chǎn)鋼量為多少噸？（3）若該鋼鐵廠三月份產(chǎn)鋼量增加了

20％，則三月份產(chǎn)鋼為多少噸？第22頁某廠一月份產(chǎn)鋼50噸，二、三月份增加率都是10％，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？【小試牛刀】某廠一月份產(chǎn)鋼a噸，二、三月份增加率都是x，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？增加率問題：(1)

最終產(chǎn)量=原產(chǎn)量+增產(chǎn)量(2)增產(chǎn)量=原產(chǎn)量×增加率(3)最終產(chǎn)量

=原產(chǎn)量＋原產(chǎn)量×增加率

=原產(chǎn)量×(1＋增加率)．歸納第23頁某鋼鐵廠去年一月份某種鋼產(chǎn)量為5000噸，若二月份產(chǎn)鋼量下降,降低了20％,則【情景引入】（1）二月份降低產(chǎn)鋼量為多少噸？（2）該鋼鐵廠二月份產(chǎn)鋼量為多少噸？（3）若該鋼鐵廠三月份產(chǎn)鋼量降低了

20％，則三月份產(chǎn)鋼為多少噸？第24頁某廠一月份產(chǎn)鋼50噸，二、三月份下降率都是10％，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？【小試牛刀】某廠一月份產(chǎn)鋼a噸，二、三月份下降率都是x，則該廠三月份產(chǎn)鋼多少噸？歸納下降率問題：(1)

最終產(chǎn)量=原產(chǎn)量-減產(chǎn)量(2)減產(chǎn)量=原產(chǎn)量×下降率(3)最終產(chǎn)量

=原產(chǎn)量-原產(chǎn)量×下降率

=原產(chǎn)量×(1-下降率)．第25頁

解：設(shè)平均每個月增加率為x．依據(jù)題意得

5000(1+x)2=7200

某鋼鐵廠去年一月份某種鋼產(chǎn)量為5000噸，三月份上升到7200噸，這兩個月平均每個月增加百分率是多少？

(1+x)2=1.44解得x1=0.2，x2=-2.2（不合題意，舍去）取x=0.2=20％．

答：平均每個月增加百分率是20％．第26頁1.學(xué)校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預(yù)計到明年年底增加到7.2萬冊.求這兩年年平均增加率.2.某市進行環(huán)境綠化，計劃兩年內(nèi)把綠化面積增加44%，問平均每年增加百分率是多少？【課堂練習(xí)】3.某種藥劑原售價為4元,經(jīng)過兩次降價,現(xiàn)在每瓶售價為2.56元,問平均每次降價百分之幾?

第27頁【探究升級】某商場今年2月份營業(yè)額為400萬元,3月份營業(yè)額比2月份增加10％,5月份營業(yè)額到達633.6萬元,求3月份到5月份營業(yè)額平均月增加率?(年廣東省中考數(shù)學(xué)試題)第28頁2、情景引入：（1）、年本市將作為足球分賽區(qū)參加奧運會，為此，本市領(lǐng)導(dǎo)決定，將年已經(jīng)有綠化面積300公頃，經(jīng)過兩年綠化，到年底增加到363公頃，假如每年增加率均為x，這年綠化面積為

公頃；年綠化面積為

公頃?？闪蟹匠?/p>

:

大家一起來加油！加油！300（1+x）300（1+x）2300(1+x)2=363第29頁（2）、秦新大世界有一個線衣從原來每件40元，經(jīng)兩次調(diào)價后，調(diào)至每件32.4元，若兩次調(diào)價降價率均為x，則第一次調(diào)價后降至

元，第二次調(diào)價后降至

元?？闪蟹匠虨椋?/p>

。40（1-x）40（1-x）240（1-x）2=32.4第30頁增加率問題：設(shè)基數(shù)為a，平均增加率為x，則一次增加后值為，二次增加后值為降低率問題：若基數(shù)為a，降低率為x，則一次降低后值為，二次降低后值為．智慧結(jié)晶a(1+x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2最終產(chǎn)值、基數(shù)、平均增加率或降低率、增加或降低次數(shù)

基本關(guān)系：

M=a(1±x)n

n為增加或降低次數(shù)

M為最終產(chǎn)量，a為基數(shù)，x為平均增加率

或降低率

第31頁例1：政府為了處理老百姓看病貴問題，決定下調(diào)一些藥品價格，某種藥品原售價為125元/盒，連續(xù)兩次降價后售價為80元/盒，假設(shè)每次降價百分率相同，求這種藥品每次降價百分率數(shù)學(xué)與日常生活第32頁解：設(shè)這種藥品每次降價百分率為x依據(jù)題意得：

125(1-x)2=80

解這個方程，得：

x1=0.2，x2=1.8∵x=1.8不合題意，舍去?！鄕=0.2=20%答：這種藥品每次降價率為20%。第33頁例2、年，自治區(qū)黨委、人民政府決定在烏魯木齊、庫爾勒等八個城市創(chuàng)辦區(qū)內(nèi)初中班，重點招收農(nóng)牧民兒女及其它家庭貧困學(xué)生．某市年9月招收區(qū)內(nèi)初中班學(xué)生50名，并計劃在年9月招生結(jié)束后，使區(qū)內(nèi)初中班三年招生總?cè)藬?shù)到達450名．若該市區(qū)內(nèi)初中班招生人數(shù)平均每年比上年增加率相同，求這個增加率．

第34頁解：設(shè)平均增加率為Ｘ

：50：50(1+X)：50(1+X)2

列方程得： 50+50(1+X)+50(1+X)2＝450得X１＝1.37X２＝-4.37

∵X２不符合題意

∴X＝137%答：平均增加率為137%。第35頁一元二次方程解法舉例(選取適當(dāng)方法解方程)1.解一元二次方程方法有：①因式分解法②直接開平方法③公式法④配方法⑴5x2-3x=0⑵3x2-2=0⑶x2-4x=6⑷2x2-4x-16=0⑸x2+7x-7=0

2.引例：給以下方程選擇較簡便方法（利用因式分解法）（利用直接開平方法）（利用配方法）（利用配方法）（利用公式法）（方程一邊是0，另一邊整式輕易因式分解）（()2=CC≥0

）(化方程為普通式）（二次項系數(shù)為1，而一次項系為偶數(shù)）（二次項系數(shù)不為1時，先在方程兩邊同時除以二次項系數(shù)再配方）第36頁例1.選擇適當(dāng)方法解以下方程：①（x-2)2=9②t2-4t=5③(m+1)2-4(2m-5)2=0

解：x-2==3∴x=23∴x1=5,x2=-1解：t2-4t+4=5+4（t-2)2=9∴t-2==3∴t=23∴t1=5,t2=-1第37頁鞏固練習(xí)：

1、填空：

①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤（x-3）2=2(3-x)⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0⑨(x-2)2-16=0

適合利用直接開平方法適合利用因式分解法適合利用公式法適合利用配方法

②3x2-1=0

⑥5(m+2)2=8③-3t2+t=0⑤（x-3）2=2(3-x)

⑨(x-2)2-16=0①x2-3x+1=0

⑦3y2-y-1=0

⑧2x2+4x-1=0④x2-4x=2

規(guī)律：①普通地，當(dāng)一元二次方程一次項系數(shù)為0時（ax2+c=0），應(yīng)選取直接開平方法；若常數(shù)項為0（

ax2+bx=0），應(yīng)選取因式分解法；若一次項系數(shù)和常數(shù)項都不為0(ax2+bx+c=0），先化為普通式，看一邊整式是否輕易因式分解，若輕易，宜選取因式分解法，不然選取公式法；不過當(dāng)二次項系數(shù)是1，且一次項系數(shù)是偶數(shù)時，用配方法也較簡單。⑨

(x-2)2-16=0⑧2x2+4x-1=0第38頁②公式法即使是萬能，對任何一元二次方程都適用，但不一定是最簡單，所以在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開平方法”、“因式分解法”等簡單方法，若不行，再考慮公式法（適當(dāng)也可考慮配方法）第39頁例2.解方程

①(x+1)(x-1)=2x②(x-2)2-2(x-2)=-1