難點(diǎn)與解題模型14四邊形中模型、角度與面積（6大熱考題型）題型一：中點(diǎn)四邊形模型題型二：十字架模型題型三：對(duì)角互補(bǔ)模型題型四：半角模型題型五：四邊形中特殊角度問(wèn)題題型六：四邊形中的面積問(wèn)題題型一：中點(diǎn)四邊形模型“中點(diǎn)四邊形”，也叫瓦里尼翁平行四邊形，是順次連接四邊形各邊中點(diǎn)而組成的四邊形，是四邊形的內(nèi)接四邊形的一種特殊情況，一般有以下三種形態(tài)：（原四邊形ABCD依次是：凸四邊形，凹四邊形，折四邊形）（一）中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形當(dāng)原四邊形對(duì)角線(xiàn)相等時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為菱形當(dāng)原四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為矩形當(dāng)原四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直且相等時(shí)，其中點(diǎn)四邊形為正方形（二）中點(diǎn)四邊形的周長(zhǎng)等于原四邊形對(duì)角線(xiàn)之和（三）中點(diǎn)四邊形的面積等于原四邊形面積的二分之一【中考母題學(xué)方法】【典例1-1】（2024·青?！ぶ锌颊骖}）綜合與實(shí)踐順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱(chēng)這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線(xiàn)對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對(duì)角線(xiàn)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開(kāi)探究．【探究一】原四邊形對(duì)角線(xiàn)關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn)．求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是AB、、CD、的中點(diǎn)，∴、分別是和的中位線(xiàn)，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形．（1）請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對(duì)角線(xiàn)關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形菱形從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對(duì)角線(xiàn)相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想Ⅰ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后續(xù)的證明過(guò)程．【探究三】原四邊形對(duì)角線(xiàn)關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形②________（3）從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對(duì)角線(xiàn)垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想Ⅱ，請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出后續(xù)的證明過(guò)程．【歸納總結(jié)】（5）請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形．原四邊形對(duì)角線(xiàn)關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對(duì)角線(xiàn)③________時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④________．【答案】（1）①中位線(xiàn)定理（2）證明見(jiàn)解析（3）②矩形（4）證明見(jiàn)解析（5）補(bǔ)圖見(jiàn)解析；③且；④正方形【分析】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)（1）利用三角形中位線(xiàn)定理即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，菱形判定定理即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；（4）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，矩形判定定理即可解決問(wèn)題；（5）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理，正方形判定定理即可解決問(wèn)題.【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線(xiàn)定理；（2）證明：∵分別是的中點(diǎn)，∴分別是和的中位線(xiàn)，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點(diǎn)四邊形是菱形．（3）②矩形；故答案為：矩形（4）證明∵分別是的中點(diǎn)，∴分別是和的中位線(xiàn)，∴，，∴．同理可得：．∵∴，∴∴中點(diǎn)四邊形是矩形．（5）證明：如圖4，∵分別是的中點(diǎn)，∴分別是和的中位線(xiàn)，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點(diǎn)四邊形是菱形．∵由（4）可知∴菱形是正方形．故答案為：③且；④正方形

【典例1-2】（2023·山西·中考真題）閱讀與思考：下面是一位同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)筆記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點(diǎn)分別是邊，的中點(diǎn)，順次連接，得到的四邊形是平行四邊形．

我查閱了許多資料，得知這個(gè)平行四邊形被稱(chēng)為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁是法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關(guān)系密切．

①當(dāng)原四邊形的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足一定關(guān)系時(shí)，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與原四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度也有一定關(guān)系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．∵分別為的中點(diǎn)，∴．（依據(jù)1）

∴．∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形．（依據(jù)2）∴．∵，∴．同理，…任務(wù)：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：_____________．依據(jù)2是指：_____________．(2)請(qǐng)用刻度尺、三角板等工具，畫(huà)一個(gè)四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，使得四邊形為矩形；（要求同時(shí)畫(huà)出四邊形的對(duì)角線(xiàn)）(3)在圖1中，分別連接得到圖3，請(qǐng)猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)與對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】(1)三角形中位線(xiàn)定理（或三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半）；平行四邊形的定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）(2)答案不唯一，見(jiàn)解析(3)平行四邊形的周長(zhǎng)等于對(duì)角線(xiàn)與長(zhǎng)度的和，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理和平行四邊形的定義解答即可；（2）作對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形，再順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)即可；（3）根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得瓦里尼翁平行四邊形一組對(duì)邊和等于四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)，即可得妯結(jié)論．【詳解】（1）解：三角形中位線(xiàn)定理（或三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半）平行四邊形的定義（或兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形）（2）解：答案不唯一，只要是對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形，它的瓦里尼翁平行四邊形即為矩形均可．例如：如圖即為所求

（3）瓦里尼翁平行四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)與BD長(zhǎng)度的和，證明如下：∵點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，∴．∴．同理．∴四邊形的周長(zhǎng)．即瓦里尼翁平行四邊形的周長(zhǎng)等于對(duì)角線(xiàn)與長(zhǎng)度的和．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形中位線(xiàn)．熟練掌握三角形中位線(xiàn)定理是解題的關(guān)鍵．【典例1-3】（2024·江蘇泰州·三模）如圖，點(diǎn)分別在菱形的各邊上．【初步認(rèn)識(shí)】（1）如圖，若，則四邊形一定是（

）A．梯形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【變式探究】

（2）如圖，若交于點(diǎn)，分別是上一點(diǎn)，，，的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交在于點(diǎn)，求證：四邊形是矩形．【深入思考】（3）如圖，若交于點(diǎn)，且，當(dāng)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，可作出兩個(gè)不同矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．（4）在（3）的條件下，設(shè)，請(qǐng)?zhí)剿髋c滿(mǎn)足的關(guān)系式．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)詳解（3）且（4）或【分析】（1）連接，交與點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，即證明四邊形是平行四邊形，再證明，，即可得到，故可選出．（2）根據(jù)菱形性質(zhì)可得，易證，，從而得出，四邊形是平行四邊形，根據(jù)，得四邊形是矩形．（3）根據(jù)已知條件可得，即，分兩種情況和，，分開(kāi)討論做矩形，找到他們的公共解集即可．（4）當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)，，和的取值范圍均為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，綜合兩種情況即可．【詳解】（1）解：連接，交與點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，又∵，∴，又∵，，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，，，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴四邊形是矩形，故選．（2）證明：∵四邊形是菱形，∴，，∴，又∵，，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形．（3）∵，，∴，∴，①當(dāng)四邊形形成的矩形如圖一樣時(shí)，此時(shí)，此時(shí)滿(mǎn)足的條件為，②當(dāng)四邊形形成的矩形如圖一樣時(shí)，，，由圖可得最大為，點(diǎn)與點(diǎn)重合，最小時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，，∵，，，，∴，帶入數(shù)值得，解得，∴由勾股定理可得，∴當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足四邊形為矩形，當(dāng)時(shí)，，如圖所示，∴此時(shí)四邊形同時(shí)滿(mǎn)足①②，∴故不能形成兩個(gè)矩形，不滿(mǎn)足題意，綜上可得，當(dāng)滿(mǎn)足且時(shí)，可作出兩個(gè)不同矩形．（4）由（3）可得①當(dāng)時(shí)，即，②∵的取值范圍為，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得的取值范圍為，即，綜上可得：或．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，勾股定理解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【中考模擬即學(xué)即練】【變式1-1】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、、依次連接、、、、得到四邊形．

(1)求證:四邊形為平行四邊形；(2)連接與，當(dāng)與滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？(3)如圖2，若四邊形是菱形，則四邊形是什么圖形，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)矩形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到，，，，推出，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形的對(duì)角線(xiàn)滿(mǎn)足的條件時(shí)，四邊形是矩形；（3）根據(jù)三角形中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半可得，，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，可得四邊形是矩形．【詳解】（1）證明：連結(jié)，如圖1所示：

、分別是、中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，，，、分別是、中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，，，，，四邊形是平行四邊形；（2）解：時(shí)，四邊形是矩形．理由如下：連結(jié)、，如圖2所示：

、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，又四邊形是平行四邊形，平行四邊形是矩形；（3）解：四邊形是矩形．理由如下：連結(jié)、，如圖3所示：

、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，，，平行四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查中位線(xiàn)定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線(xiàn)靈活利用三角形中位線(xiàn)證明是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，已知對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為，邊上的中點(diǎn)，連接．求證：四邊形為菱形．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了中位線(xiàn)，菱形的判定，熟練掌握中位線(xiàn)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵由中位線(xiàn)可得，，可證四邊形為平行四邊形，同理可得，由，可得，進(jìn)而結(jié)論得．【詳解】證明：∵E，F(xiàn)分別為邊上中點(diǎn)，而H，G分別為邊上中點(diǎn)，∴，，∴四邊形為平行四邊形．同理可得．∵，∴，∴為菱形．【變式1-3】（2023·陜西寶雞·一模）問(wèn)題提出如圖，在中，．若，則的值為_(kāi)_________．問(wèn)題探究如圖，在四邊形中，對(duì)角線(xiàn)、BD相交于點(diǎn)，、、、分別為AB、、CD、AD的中點(diǎn)，連接、、、．若，求四邊形EFGH的面積．問(wèn)題解決如圖，某市有一塊五邊形空地，其中米，米，米，米，現(xiàn)計(jì)劃在五邊形空地內(nèi)部修建一個(gè)四邊形花園，使點(diǎn)、、、分別在邊AB、、CD、上，要求請(qǐng)問(wèn)，是否存在符合設(shè)計(jì)要求的面積最大的四邊形花園？若存在，求四邊形面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】問(wèn)題提出：；問(wèn)題探究：；問(wèn)題解決：存在四邊形面積的最大值，四邊形的最大面積為平方米．【分析】問(wèn)題提出：由，得，得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；問(wèn)題探究：根據(jù)三角形中位線(xiàn)性質(zhì)可得出，，，，從而得出四邊形是平行四邊形，四邊形EFGH是平行四邊形，從而，進(jìn)一步得出結(jié)果；問(wèn)題解決：延長(zhǎng)，CD，交于，可得出四邊形是矩形，設(shè)，，表示出和的面積，進(jìn)而表示出四邊形的面積，配方后求出結(jié)果．【詳解】解：?jiǎn)栴}提出∵，∴，∴，∴，故答案為：；問(wèn)題探究如圖，設(shè)，交于點(diǎn)，BD，交于點(diǎn)，作于，∵、、、分別為AB、、CD、AD的中點(diǎn)，∴，，，，∴四邊形是平行四邊形，四邊形EFGH是平行四邊形，∴，∴，∴；問(wèn)題解決：如下圖，延長(zhǎng)，CD，交于，∵∴四邊形是矩形，∴，，∵，，∴，，∵，∴可設(shè)，，∴，∴，∴∴存在四邊形面積的最大值，當(dāng)米時(shí)，四邊形的最大面積平方米)．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線(xiàn)定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的應(yīng)用，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)變量建立函數(shù)關(guān)系式．【變式1-4】（2024·寧夏銀川·一模）如圖1．在中，D、E分別為的中點(diǎn)，連接：操作1．將繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置．操作2．延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．試探究與有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？（1）請(qǐng)結(jié)合操作1或操作2的方法所得出的結(jié)論，我們可以得到三角形中位線(xiàn)定理，．【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖2，四邊形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H、依次連接，得到四邊形．

①求證：四邊形為平行四邊形；②當(dāng)與滿(mǎn)足時(shí)，四邊形是矩形，當(dāng)與滿(mǎn)足時(shí)，四邊形是菱形.③若，，，求四邊形的面積．【問(wèn)題解決】（3）如圖3所示，在一個(gè)四邊形的草坪上修一條小路，其中點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為邊和邊的中點(diǎn)，且，，，求小路的長(zhǎng)度．

【答案】（1）三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半；（2）①見(jiàn)解析；②；；③；（3）5【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)或全等三角形的判定與性質(zhì)證明，，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）①根據(jù)（1）中結(jié)論，得到，，，，根據(jù)平行四邊形的判定可得結(jié)論；②根據(jù)矩形和菱形的判定，當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形；、③先根據(jù)（1）中結(jié)論求得，，再根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)求得，過(guò)H作于M，利用正弦函數(shù)定義求得，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；（3）連接，取的中點(diǎn)M，連接，，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到，，，，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)可推導(dǎo)出，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）操作1：將繞點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，則，，，∴，即，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；操作2．延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接．∵E分別為的中點(diǎn)，∴，又，∴,∴，，∴，即，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；∴三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半，故答案為：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊且等于第三邊的一半（2）①∵四邊形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H、依次連接，∴，，，，∴四邊形為平行四邊形；②當(dāng)時(shí)，四邊形為矩形，理由：∵，，，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形為矩形；當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形，理由：∵，，，∴，∴四邊形為菱形；③∵，，∴，，∵，，，∴，過(guò)H作于M，則，∵四邊形為平行四邊形，∴四邊形的面積為；（3）連接，取的中點(diǎn)M，連接，，∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別為邊和邊的中點(diǎn)，，，∴，，，，∴，，∵，∴，∴，即小路的長(zhǎng)度為5．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與行線(xiàn)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理、矩形的判定、菱形的判定、解直角三角形、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加合適的輔助線(xiàn)是解答的關(guān)鍵．【變式1-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·三模）折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，有的同學(xué)玩過(guò)折紙，可能折過(guò)小動(dòng)物、飛機(jī)、小船等．在折紙過(guò)程中，不僅可以得到一些美麗的圖形，而且其中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)．如圖①，菱形紙片中，．

(1)活動(dòng)一：如圖②，折疊菱形紙片，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，則折痕的長(zhǎng)為_(kāi)________；菱形紙片的面積是_________；(2)活動(dòng)二：如圖③，分別是菱形紙片各邊的中點(diǎn)，分別沿著折疊并展開(kāi)．猜想四邊形是什么特殊四邊形，并證明你的猜想；(3)活動(dòng)三：如圖④，先將菱形紙片沿折疊再展開(kāi)，點(diǎn)分別在邊上且，再分別沿著折疊再展開(kāi)，若四邊形是正方形，則_________；(4)活動(dòng)四：如圖⑤，折疊菱形紙片，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，則折痕的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】(1)，(2)矩形，證明見(jiàn)解析．(3)(4)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可推知，然后用解直角三角形的方法求得菱形的高，最后再算出菱形的面積．（2）分別連接對(duì)角線(xiàn)，然后根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理，并結(jié)合菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直的性質(zhì)證明四邊形是矩形．（3）充分利用含角的菱形與其內(nèi)接正方形的條件，將已知與待求的量通過(guò)相似三角形的成比例線(xiàn)段聯(lián)系在一起，從而使問(wèn)題求解．（4）充分利用直角三角形的性質(zhì)和折疊的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，將待求的量與已知量聯(lián)系在一起，從而解得待求的量．【詳解】（1）如圖2，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，∴．所以．在直角中，，，，∴，，因此折痕的長(zhǎng)為．菱形的面積為：．（2）如下圖，連接．

∵E、F、G、H分別是的中點(diǎn)，∴由三角形中位線(xiàn)定理得，，∴，同理，．則是平行四邊形．又∵菱形的對(duì)角線(xiàn)與相互垂直，，，則，，∴四邊形是矩形．（3）連接，與交于點(diǎn)O、點(diǎn)Q．設(shè)相交于點(diǎn)P．

∵菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直，且平分內(nèi)角，∴．由得，故與為含角的直角三角形．由得，又，則Q為的中點(diǎn)，同理，P為中點(diǎn)．所以均為正方形連長(zhǎng)的一半，且四邊形為正方形．可設(shè)．在直角三角形中，∵，∴，．∴．由得，，即．解得：．∴．（4）如下圖，過(guò)點(diǎn)F作線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)M作的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)G．

由知，，在直角中，∴，由勾股定理得，．根據(jù)折痕的性質(zhì)，設(shè)，則．在直角中，，即．解得：．在直角中，，則，．連結(jié)，因F為的中點(diǎn)，則為等邊三角形邊的高，，則，在直角三角形中，設(shè)，則，．由勾股定理得，，即，解得：，即．∴．在直角三角形中，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、折疊的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用勾股定理列出待求未知數(shù)的方程，并求解是解本題的關(guān)鍵．題型二：十字架模型在正方形或矩形中存在兩條線(xiàn)段相交且垂直,因其形似“十字架”,所以我們稱(chēng)其為“十字架”模型.類(lèi)型正方形過(guò)頂點(diǎn)型矩形過(guò)頂點(diǎn)型圖示條件在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊CD,AD上,AE⊥BF在矩形ABCD中,點(diǎn)在邊AD上,CE⊥BD解題思路利用正方形的各邊相等且四個(gè)角均為直角,及AE⊥BF將同角的余角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,證明△ABF和△DAE全等進(jìn)行求解利用矩形的四個(gè)角均為直角及CE⊥BD將同角的余角進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明△BCD和△CDE相似,進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解結(jié)論△ABF≌△DAE.BF=AE【中考母題學(xué)方法】【典例2-1】（2021·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1.將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（

）A．2 B．2 C．6 D．5【答案】D【分析】作FH⊥AB于H，交AE于P，設(shè)AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再證明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根據(jù)S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF求解即可【詳解】解：作FH⊥AB于H，交AE于P，則四邊形ADFH是矩形，由折疊的性質(zhì)可知，AG=GE，AE⊥GF，AO=EO．設(shè)AG=GE=x，則BG=3-x，在Rt△BGE中，∵BE2+BG2=GE2，∴12+(3-x)2=x2，∴x=．在Rt△ABE中，∵AB2+BE2=AE2，∴32+12=AE2，∴AE=．∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，∴∠HAP=∠OFP，∵四邊形ADFH是矩形，∴AB=AD=HF．在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG，∴FG=AE=，∴S四邊形AGEF=S△AGF+S△EGF=====5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【典例2-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）學(xué)習(xí)了正方形后，小飛同學(xué)對(duì)正方形中兩條互相垂直線(xiàn)段，且兩條線(xiàn)段的端點(diǎn)分別在正方形兩組對(duì)邊上的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究．請(qǐng)根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：如圖，正方形中，點(diǎn)F、E、G分別在上，且．(1)尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)G作垂線(xiàn)交于點(diǎn)H．（只保留作圖痕跡）(2)證明，將下面的過(guò)程補(bǔ)充完整．證明：四邊形是正方形，，，，，①，，，②，四邊形為矩形，，③．（④____）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②；③；④【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線(xiàn)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握基本作圖方法和特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖作垂線(xiàn)的方法畫(huà)圖即可；（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合題意可證明，又易證和四邊形為矩形，即可間接得出，即可證，得出．【詳解】（1）解：如圖，即為所作；（2）證明：四邊形是正方形，，．，，．，，，，四邊形為矩形，，，，．【典例2-3】（2024·河南·一模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在正方形中，已知，求證：．

甲小組同學(xué)的證明思路如下：由同角的余角相等可得．再由，，證得（依據(jù)：________），從而得．乙小組的同學(xué)猜想，其他條件不變，若已知，同樣可證得，證明思路如下：由，可證得，可得，再根據(jù)角的等量代換即可證得．完成任務(wù)：（1）填空：上述材料中的依據(jù)是________（填“”或“”或“”或“”）【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】同學(xué)們通過(guò)交流后發(fā)現(xiàn)，已知可證得，已知同樣可證得，為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論是否具有一般性，又進(jìn)行了如下探究．【遷移探究】（2）在正方形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)M，N分別在上，連接交于點(diǎn)P．甲小組同學(xué)根據(jù)畫(huà)出圖形如圖2所示，乙小組同學(xué)根據(jù)畫(huà)出圖形如圖3所示．甲小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知仍能證明，乙小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)已知無(wú)法證明一定成立．①在圖2中，已知，求證：；②在圖3中，若，則的度數(shù)為多少?【拓展應(yīng)用】（3）如圖4，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)M在邊上，且，點(diǎn)F，N分別在直線(xiàn)上，若，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)所夾較小角的度數(shù)為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②；（3）或【分析】（1）先證明，結(jié)合，可知根據(jù)即可證明；（2）①作于點(diǎn)H，先證明，然后根據(jù)即可證明即可證明結(jié)論成立；②于點(diǎn)L，同理可證，從而，然后利用直角三角形兩銳角互余和三角形外角的性質(zhì)即可求解；（3）①當(dāng)N、F在邊上時(shí)，作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，則四邊形和四邊形都是矩形，同理可證，求出，設(shè)，則，利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)．當(dāng)N、F在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可求出的長(zhǎng)【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：；（2）①作于點(diǎn)H，

∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形是矩形，∴，，∴．∵，∴，∴，∴，∴；②作于點(diǎn)L，

同理可證四邊形是矩形，∴．∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：①當(dāng)N、F在邊上時(shí)，如圖，，作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，則四邊形和四邊形都是矩形，

同理可證，∴．∵，∴，∴．∵，∴∵，∴，∴．設(shè)，則，∵，∴，∴（負(fù)值舍去），∴．②當(dāng)N、F在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，同理可得：，，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵．【典例2-4】（2024·河南商丘·三模）（1）【操作判斷】如圖1，在正方形中，點(diǎn)分別在邊上，且，則與的數(shù)量關(guān)系為；（2）【遷移探究】如圖2，在矩形中，，點(diǎn)分別在邊上，且與交于點(diǎn)O，試說(shuō)明（1）中的結(jié)論是否發(fā)生變化，如果結(jié)論不變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果變化，請(qǐng)寫(xiě)出新結(jié)論并給出證明；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，當(dāng)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)，且時(shí)，直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）變化，；（3）或【分析】（1）圖1中，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得即可；（2）圖2中，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，則；（3）根據(jù)點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)，分為①當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，證出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，再根據(jù)，得出，，即可解答；②當(dāng)時(shí)，同理即可解答；【詳解】解：（1）如圖1，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，∴，∴四邊形、四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴．（2）變化，理由：如圖2，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，∵四邊形是矩形，，∴四邊形，四邊形都是矩形，，，，，又，，，，，；（3）∵點(diǎn)D為的三等分點(diǎn)，①當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，則，，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即；②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，則，，，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即；綜上，或．【點(diǎn)睛】本題是相似三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定以及分類(lèi)討論等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，證明三角形相似和三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．【中考模擬即學(xué)即練】【變式2-1】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）某興趣小組在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，對(duì)四邊形內(nèi)兩條互相垂直的線(xiàn)段進(jìn)行了如下探究：【初探猜想】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是、上的兩點(diǎn)，連接，，若，試判斷線(xiàn)段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；【類(lèi)比探究】如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊、上一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是邊、上一點(diǎn)，連接，，若，則______；【知識(shí)遷移】如圖3，，在四邊形中，，點(diǎn)、分別在線(xiàn)段、上，且，連接，若為等邊三角形，求的值；【拓展應(yīng)用】如圖4，在正方形中，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且交于M，連接和，當(dāng)時(shí)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】初探猜想：，理由見(jiàn)解析類(lèi)比探究：知識(shí)遷移：拓展應(yīng)用：【分析】初探猜想：證明，進(jìn)而結(jié)論得證；類(lèi)比探究：如圖2，過(guò)作于，過(guò)作于，則四邊形均為矩形，，，證明，進(jìn)而可求結(jié)果；知識(shí)遷移：如圖3，過(guò)作的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作于，過(guò)作于，則四邊形是矩形，四邊形是矩形，，同理類(lèi)比探究，，則，由為等邊三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后計(jì)算求解即可；拓展應(yīng)用：以、為鄰邊作平行四邊形，連接，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H，先根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再證和全等得出，求的最小值轉(zhuǎn)化為求的最小值，當(dāng)A、G、N在一條直線(xiàn)上時(shí)最小，即為的長(zhǎng)，在等腰直角中求出的長(zhǎng)即可．【詳解】初探猜想：解：，理由如下：∵正方形，∴，，∵，∴，即，∵，，，∴，∴；類(lèi)比探究：解：如圖2，過(guò)作于，過(guò)作于，∴，∵矩形，∴，∴四邊形均為矩形，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∴；知識(shí)遷移：解：如圖3，過(guò)作的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作于，過(guò)作于，∵，，∴四邊形是矩形，∴四邊形是矩形，，∵，同理類(lèi)比探究，，∴，∵為等邊三角形，，∴，，由勾股定理得，，∴；拓展應(yīng)用：解：以、為鄰邊作平行四邊形，連接，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴，，∵E是的中點(diǎn)，∴，在中，，，由勾股定理得，∵，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∵，∴當(dāng)A、G、N在一條直線(xiàn)上時(shí)最小，即最小，此時(shí)最小值是的長(zhǎng)，為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2024·湖北恩施·三模）綜合與探究問(wèn)題背景：如圖3，四邊形是矩形，，點(diǎn)G、H、E分別是線(xiàn)段、、上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)E作的垂線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)F（只考慮F在上的情況）

（1）①如圖1，當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，若，，，則的值為_(kāi)_____（直接寫(xiě)答案）②如圖2，當(dāng)點(diǎn)G不與A點(diǎn)重合，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，若，試求的值．問(wèn)題探究：（2）如圖3，當(dāng)G不與A重合，E不與B重合時(shí)，用含m的式子表示的值．問(wèn)題拓展：（3）如圖4，將背景問(wèn)題中的矩形改成已知“在四邊形中，，，，，則的值為_(kāi)_____．（直接寫(xiě)答案）【答案】（1）①2；②2；（2）；（3）．【分析】（1）①如圖，證明，可得，結(jié)合，，，從而可得答案；②如圖，過(guò)作交于，而，可得，再利用①的結(jié)論即可；（2）如圖，過(guò)作交于，而，可得，同理可得：，過(guò)作交于，同理可得：四邊形為平行四邊形，可得，，結(jié)合①可得答案；（3）如圖，過(guò)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作的垂線(xiàn)交于，而，證明四邊形為矩形，，設(shè)，則，求解，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得答案．【詳解】解：（1）①如圖，∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴

∵，，，∴，∴；②如圖，過(guò)作交于，而∴，∵矩形，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，

由①可得：，∴；（2）如圖，過(guò)作交于，而∴，同理可得：，過(guò)作交于，同理可得：四邊形為平行四邊形，∴，，

由①可得：，∴；（3）如圖，過(guò)作的平行線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作的垂線(xiàn)交于，而，∴，，，∴四邊形為矩形，∴，

∵，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，結(jié)合（1）的結(jié)論可得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的利用類(lèi)比的數(shù)學(xué)方法解題是關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）【探究證明】（1）如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，GH分別交AD、BC于點(diǎn)G、H，求證：；【模型應(yīng)用】（2）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，點(diǎn)M、N分別在邊BC、AB上，求的值．【變式拓展】（3）如圖3，平行四邊形，，，直線(xiàn)與平行四邊形相交，將平行四邊形沿直線(xiàn)l折疊，當(dāng)其中有一組對(duì)角頂點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出折痕的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）

（3）或【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，交于，過(guò)點(diǎn)作，交于，如圖1，易證，，，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)作平行于的直線(xiàn)，交過(guò)點(diǎn)平行于的直線(xiàn)于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，如圖3，易證四邊形是矩形，由（1）中的結(jié)論可得．設(shè)，，則，，根據(jù)勾股定理列出方程組解出x，y，問(wèn)題得以解決．（3）分兩種情況，①沿l折疊后點(diǎn)重合，過(guò)作垂線(xiàn)垂足為，構(gòu)造矩形，由（1）的結(jié)論可得；②沿l折疊后點(diǎn)重疊，過(guò)作垂線(xiàn)垂足為，由（1）的結(jié)論可得．【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)作，交于，過(guò)點(diǎn)作，交于，如圖1，四邊形是矩形，∴，．四邊形、四邊形都是平行四邊形，，．又，，．四邊形是矩形，，，．，，，（2）過(guò)點(diǎn)作平行于的直線(xiàn)，交過(guò)點(diǎn)平行于的直線(xiàn)于，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，如圖2，則四邊形是平行四邊形．，是矩形，，，．，由（1）中的結(jié)論可得，設(shè)，，則，，在中，①，在中，②，由②①得③，解方程組，得，，．（3）①若沿l折疊，點(diǎn)重疊，設(shè)l與的交點(diǎn)為．則垂直，過(guò)作垂線(xiàn)垂足為，∵，，，∴，∴∴，在中由探究結(jié)論可得，∴，∴；②若沿l折疊，點(diǎn)重疊，設(shè)l與的交點(diǎn)為．則垂直，過(guò)作垂線(xiàn)垂足為，∵，，∴，∴∴，在中由探究結(jié)論可得，∴，∴．所以，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解二元二次方程組等知識(shí)，運(yùn)用（1）中的結(jié)論是解決第（2）、（3）小題的關(guān)鍵．題型三：對(duì)角互補(bǔ)模型模型1:全等形一-90°對(duì)角互補(bǔ)模型模型2:全等形--120°對(duì)角互補(bǔ)模型模型3:全等形一一任意角對(duì)角互補(bǔ)模型模型4:相似形一-90°對(duì)角互補(bǔ)模型【中考母題學(xué)方法】【典例3-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線(xiàn)段上時(shí)，試探究線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類(lèi)比、歸納、猜想，探究出線(xiàn)段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，證明過(guò)程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，(3)【分析】（1）連接，當(dāng)時(shí)，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過(guò)的中點(diǎn)作的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類(lèi)討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，畫(huà)出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，當(dāng)時(shí)，，即，，，，,，，即，

，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過(guò)的中點(diǎn)作的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，是的中點(diǎn)，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)上時(shí)，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，同①，可得，，，，，同①可得，，即線(xiàn)段之間數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線(xiàn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接同（1）中原理，可證明，可得，，，，，同①可得，即線(xiàn)段之間數(shù)量關(guān)系為,

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)F在射線(xiàn)上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，；（3）解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)段，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)段，交于點(diǎn)，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，根據(jù)（2）中的結(jié)論，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，正確地畫(huà)出圖形，作出輔助線(xiàn)，找對(duì)邊之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【典例3-2】（2024·四川成都·二模）如圖，在矩形中，（n為正整數(shù)），點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，P為中點(diǎn)，連接，將射線(xiàn)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，與矩形的邊交于點(diǎn)F．【嘗試初探】（1）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，試探究線(xiàn)段，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；【深入探究】（2）若，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，求的最小值；【拓展運(yùn)用】（3）若，設(shè)的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，于，可證得，得出，再由，，得出：，，可得：，，則，，結(jié)合已知即可求得答案；（2）設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)作于，可證得，得出，進(jìn)而推出，，則，即可求得答案；（3）確定以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)點(diǎn)的位置：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，即可求得答案．【詳解】解：（1）結(jié)論：，理由：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，于，則，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，即，，，，為中點(diǎn)，，∵，，，，，，，，，，，；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)作于，如圖2，則，，，，，，，，，，，，點(diǎn)在邊上，，即，，，的最小值為；（3），，，在中，，為中點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，如圖3，，，，，即，，的中點(diǎn)為，；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，如圖4，是斜邊的中點(diǎn)，，，，，，即，，的中點(diǎn)為，，；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖5，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．【點(diǎn)睛】本題是矩形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的識(shí)圖和邏輯思維能力，屬于中考?jí)狠S題．【典例3-3】（2024·河南·一模）已知，點(diǎn)是的角平分線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，現(xiàn)有一個(gè)直角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩直角邊，分別與直線(xiàn)，相交于點(diǎn)，點(diǎn).（1）如圖1，若，猜想線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.（2）如圖2，若點(diǎn)在射線(xiàn)上，且與不垂直，則（1）中的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？如成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；如不成立，請(qǐng)寫(xiě)出線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.（3）如圖3，若點(diǎn)在射線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)度.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）先證四邊形為矩形，再證矩形為正方形，由正方形性質(zhì)可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證四邊形為正方形，再證，可得；（3）根據(jù)，可得.【詳解】解：（1）∵，，，∴四邊形為矩形.∵是的角平分線(xiàn)，∴，∴，∴矩形為正方形，∴，.∴.（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，∵平分，，∴四邊形為正方形，由（1）得：，在和中，，∴，∴，∴.（3），，∴.∵，，∴，∴，∴，的長(zhǎng)度為.【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：矩形，正方形的判定和性質(zhì).熟練運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵.【典例3-4】（2024廣東中考一模）如圖，已知，在的角平分線(xiàn)上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線(xiàn)相交于點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求線(xiàn)段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）是的角平分線(xiàn)在中，，同理：（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)作于，于由（1）知，，且點(diǎn)是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)（3）結(jié)論為：.理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線(xiàn)OM上一點(diǎn)，∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．【典例3-5】（2024·江蘇淮安·一模）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，我們做以下探究．在中，，，是邊上一點(diǎn)，且(為正整數(shù)），、分別是邊和邊上的點(diǎn)，連接，且．【初步感知】（）如圖，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【深入探究】（）如圖，當(dāng)，試探究線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；請(qǐng)通過(guò)類(lèi)比、歸納、猜想，探究出線(xiàn)段，，之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．【拓展運(yùn)用】（）如圖，點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，若，求點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】（）證明見(jiàn)解析；（），理由見(jiàn)解析；；（）【分析】（1）由“”可證，可得，即可求解；（2）①先證和是等腰直角三角形，可得，，，，可求，，通過(guò)證明，可求，即可求解；②分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求解；（3）連接，，，由題意可得點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，由題意易得，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，假設(shè)此時(shí)的中點(diǎn)為N，即為原來(lái)的點(diǎn)M，進(jìn)而得出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后問(wèn)題可求解．【詳解】（）證明：連接，∵，，且當(dāng)時(shí)，，，，，，，，∴∠EDF，，在和中，，∴，，，即；（），理由如下：過(guò)點(diǎn)作于，于，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，四邊形是矩形，，，又，，，，；如圖4，當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，于，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，∴，，設(shè)，，，，，，，，四邊形是矩形，，，又，，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖5，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，∴，，設(shè)，，，，，，，，四邊形是矩形，，，又，，，，；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，；（3）解：連接，，，如圖（1），的中點(diǎn)為，，，∴點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，∵點(diǎn)D為靠近B的四等分點(diǎn)，∴，由（2）得，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，如圖，∴，∴，∴∴，∴，∵，代入得，∴；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，假設(shè)此時(shí)的中點(diǎn)為N，即為原來(lái)的點(diǎn)M，如圖， ∵，代入得，∴，∴如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡即為的長(zhǎng)，∵在Rt中，∴∴∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【中考模擬即學(xué)即練】【變式3-1】（2024·江蘇·?？家荒＃┤鐖D，已知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，且，，．過(guò)頂點(diǎn)C作于E，則的值為（

）A． B．9 C．6 D．7．2【答案】B【分析】要求的值，主要求出AE和BE的長(zhǎng)即可，注意到AC是角平分線(xiàn)，于是作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，可以證得兩對(duì)全等三角形，結(jié)合已知數(shù)據(jù)可以求得AE和BE的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，則∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CFD=∠CEB=90°，∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF，∵四邊形ABCD對(duì)角互補(bǔ)，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠CBE=∠CDF，在△CBE和△CDF中，∴△CBE≌△CDF（AAS），∴BE=DF，在△AEC和△AFC中，∴△AEC≌△AFC（AAS），∴AE=AF，設(shè)BE=a，則DF=a，

∵AB=15，AD=12，∴12+2a=15，得，∴AE=12+a=，BE=a=，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)造全等三角形進(jìn)而得出等量關(guān)系．【變式3-2】（2024·安徽六安·三模）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，某同學(xué)進(jìn)行了如下操作：如圖，在直角三角形紙片

內(nèi)剪取一個(gè)直角，點(diǎn)，，分別在，，邊上．請(qǐng)完成如下探究：（1）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，若，

（2）當(dāng)，、時(shí)，的長(zhǎng)為

【答案】/度【分析】（1）連接，根據(jù)為的中點(diǎn)，可得，，則，根據(jù)，，易得四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，根據(jù)圓周角定理，則有；（2）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，易證，可得，即，根據(jù)，有，，即；根據(jù)，得到，即，可得，即有，即．【詳解】解：（1）如圖1，連接，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，，∴四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則有：，∴，∴，∵∴，∴，∵，，∴又∵，∴，則有，即．∵，∴，即，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，平角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2024·陜西·一模）問(wèn)題提出(1)如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊交邊DC于點(diǎn)E，線(xiàn)段PB和線(xiàn)段PE相等嗎？請(qǐng)證明；問(wèn)題探究(2)如圖2，移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；問(wèn)題解決(3)繼續(xù)移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）PB＝PE還成立(3)PB＝PE還成立【詳解】試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，而PM⊥CD，則四邊形PMCN是矩形，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PM=PN，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠PBC+∠CEP=180°，再利用等角的補(bǔ)角相等得到∠PBM=∠PEN，然后根據(jù)AAS證明△PBM≌△PEN，則可證明；（2）連接PD，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，由“SAS”以及四邊形的內(nèi)角和得證；（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由“AAS”可證.試題解析：(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠PBC＋∠CEP＝180°，而∠CEP＋∠PEN＝180°，∴∠PBM＝∠PEN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(AAS)，∴PB＝PE(2)如圖2，PB＝PE還成立．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠MPE＝90°，而∠MPE＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE(3)如圖3，PB＝PE還成立．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M，PN⊥CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四邊形PMCN為正方形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°，∵∠BPE＝90°，∠BCD＝90°，∴∠BPM＋∠BPN＝90°，而∠BPN＋∠EPN＝90°，∴∠BPM＝∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN(ASA)，∴PB＝PE【變式3-4】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第96頁(yè)的部分內(nèi)容．我們已經(jīng)知道角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)是角的對(duì)稱(chēng)軸．如圖所示，是的平分線(xiàn)，P是上任一點(diǎn)，作，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．將沿對(duì)折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合．由此即有：角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．已知：如圖所示，是的平分線(xiàn)，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：．分析：圖中有兩個(gè)直角三角形和，只要證明這兩個(gè)三角形全等，便可證得．（1）請(qǐng)根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫(xiě)出“角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理”完整的證明過(guò)程．【定理應(yīng)用】（2）如圖②，已知是的平分線(xiàn)，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊上，連結(jié)，．若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（3）如圖③，在平行四邊形中，，平分交于點(diǎn)E，連結(jié)，將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，若，則四邊形的面積為_(kāi)_____．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）因?yàn)槭堑钠椒志€(xiàn)，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，可得，即證得；（2）作，垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N，證，可得，，，因?yàn)?，，可得，證，可得，因?yàn)?，所以，即，，可得的長(zhǎng)；（3）證，可得，因?yàn)?，所以，證，可得，已知，平分，可得，，求得，根據(jù)四邊形的面積=四邊形的面積、的面積的面積=2個(gè)的面積，求得的面積，可得四邊形的面積．【詳解】解：（1）證明：∵是的平分線(xiàn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）作，垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N，∵是的平分線(xiàn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，故答案為：5；（3）作，垂足分別為點(diǎn)M和點(diǎn)N，由于繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在邊上，即，∵平分，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∵，∴四邊形的面積，故答案為：．【變式3-5】（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，作射線(xiàn)DE，與邊AB交于點(diǎn)E，射線(xiàn)DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與直線(xiàn)AC交于點(diǎn)F．（1）依題意將圖1補(bǔ)全；（2）小華通過(guò)觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終有DE=DF．小華把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：由點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造一邊的平行線(xiàn)，利用全等三角形，可證DE=DF；想法2：利用等邊三角形的對(duì)稱(chēng)性，作點(diǎn)E關(guān)于線(xiàn)段AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，由∠BAC與∠EDF互補(bǔ)，可得∠AED與∠AFD互補(bǔ)，由等角對(duì)等邊，可證DE=DF；想法3：由等腰三角形三線(xiàn)合一，可得AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)定理，構(gòu)造點(diǎn)D到AB，AC的高，利用全等三角形，可證DE=DF…….請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小華證明DE=DF（選一種方法即可）；（3）在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直接寫(xiě)出BE，CF，AB之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）將圖1補(bǔ)全見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）數(shù)量關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)F在A(yíng)C邊上時(shí)，；,當(dāng)點(diǎn)F在A(yíng)C延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可；（2）選擇一種自己比較熟練的方法進(jìn)行證明即可；（3）本題分點(diǎn)F在A(yíng)C邊上，點(diǎn)F在A(yíng)C延長(zhǎng)線(xiàn)上，兩種情況分析即可.【詳解】解：（1）如圖1，

（2）想法1：證明：如圖2，過(guò)D作，交AC于G，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴DG=AB．∴△CDG是等邊三角形．∴∠EDB+∠EDG=120°．∵∠FDG+∠EDG=120°，∴∠EDB=∠FDG．∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，∴△BDE≌△GDF．∴DE=DF．想法2：證明：如圖3，連接AD，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD是△ABC的對(duì)稱(chēng)軸．作點(diǎn)E關(guān)于線(xiàn)段AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，點(diǎn)P在邊AC上，∴△ADE≌△ADP．∴DE=DP，∠AED=∠APD．∵∠BAC+∠EDF=180°，∴∠AED+∠AFD=180°．∵∠APD+∠DPF=180°，∴∠AFD=∠DPF．∴DP=DF．∴DE=DF．想法3：證明：如圖4，連接AD，過(guò)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC．∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM=DN．∵∠A=60°，∴∠MDE+∠EDN=120°．∵∠FDN+∠EDN=120°，∴∠MDE=∠FDN．∴Rt△MDE≌Rt△NDF．∴DE=DF．（3）當(dāng)點(diǎn)F在A(yíng)C邊上時(shí)，；證明：如圖5中，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，在△BDM與△CDN中，，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD=AB；當(dāng)點(diǎn)F在A(yíng)C延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，．如圖6，∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，∴△BDM≌△CDN，∴BM=CN，DM=DN，又∵∠EDF=120°=∠MDN，∴∠EDM=∠NDF，又∵∠EMD=∠FND=90°，∴△EDM≌△FDN，∴ME=NF，∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=AB【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)得出結(jié)論，雖然本題的內(nèi)容較多但是題目難度并不大，所以要認(rèn)真讀題，第三問(wèn)的問(wèn)題要畫(huà)出兩種情況的圖形，利用三角形全等的出結(jié)論即可.題型四：半角模型“半角”模型是從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),引出兩條形成45°角的射線(xiàn),這兩條射線(xiàn)與正方形的兩邊相交,從而形成一個(gè)特殊的幾何圖形,如圖①,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)EF分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是通過(guò)旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形,具體操作如下:第一步:如圖②,將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使AD與AB重合,點(diǎn)F落在點(diǎn)G處;第二步:由旋轉(zhuǎn)可知∠ABG=∠D=90°,∠BAG=∠DAF,AG=AF,可得到G、B、E三點(diǎn)共線(xiàn)∠GAE=∠EAF=45°；第三步:得到結(jié)論:①∠GAF=90°;②ΔAGE≌ΔAFE;③EF=BE+DF.【中考母題學(xué)方法】【典例4-1】（2024·四川樂(lè)山·中考真題）在一堂平面幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)課上，劉老師先引導(dǎo)學(xué)生解決了以下問(wèn)題：【問(wèn)題情境】如圖1，在中，，，點(diǎn)D、E在邊上，且，，，求的長(zhǎng)．解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【問(wèn)題解決】上述問(wèn)題情境中，“①”處應(yīng)填：______；“②”處應(yīng)填：______；“③”處應(yīng)填：______．劉老師進(jìn)一步談到：圖形的變化強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀(guān)點(diǎn)來(lái)研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應(yīng)萬(wàn)變．【知識(shí)遷移】如圖3，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，滿(mǎn)足的周長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)的一半，連結(jié)，分別與對(duì)角線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)．探究的數(shù)量關(guān)系并證明．

【拓展應(yīng)用】如圖4，在矩形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且．探究的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．

【問(wèn)題再探】如圖5，在中，，，，點(diǎn)D、E在邊上，且．設(shè)，，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

【答案】【問(wèn)題解決】①；②；③5；【知識(shí)遷移】，見(jiàn)解析；【拓展應(yīng)用】；【問(wèn)題再探】【分析】【問(wèn)題解決】根據(jù)題中思路解答即可；【知識(shí)遷移】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．由旋轉(zhuǎn)的特征得．結(jié)合題意得．證明，得出．根據(jù)正方形性質(zhì)得出．結(jié)合，得出．證明，得出．證明．得出．在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【拓展應(yīng)用】如圖所示，設(shè)直線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，根據(jù)，證明，得出，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．得出，證明是等腰直角三角形，得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可證明；【問(wèn)題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．由旋轉(zhuǎn)的特征得．根據(jù)，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)，表示出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)表示出，，同理可得．，證明四邊形為矩形．得出，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；【詳解】【問(wèn)題解決】解：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴①．∴．又∵，∴在中，②．∵，，∴③．【知識(shí)遷移】．證明：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到．過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，連接．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．由題意得，∴．在和中，，∴．∴．又∵為正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．在和中，，∴．∴．在中，，∴．【拓展應(yīng)用】．證明：如圖所示，設(shè)直線(xiàn)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．則．則，，，，在和中，，∴，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，則四邊形為矩形．∴，，，是等腰直角三角形，，，，，，在中，，，∴，即，又∴，∴，即，【問(wèn)題再探】如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)、交于點(diǎn)．

由旋轉(zhuǎn)的特征得．，，，即，在和中，，，，，，又，，，，，，即，，同理可得．，，，又∵，∴四邊形為矩形．，，在中，．，解得．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定、正方形的性質(zhì)和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換作圖，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【典例4-2】（2022·湖北十堰·中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．【解決問(wèn)題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線(xiàn)的長(zhǎng)比路線(xiàn)的長(zhǎng)少（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】370【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，，從而求得的長(zhǎng)，根據(jù)材料可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，，，是等邊三角形，,,在中，，，，，，中，，，，，，中，是等腰直角三角形由閱讀材料可得，路線(xiàn)的長(zhǎng)比路線(xiàn)的長(zhǎng)少．故答案為：370．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵．【典例4-3】（2022·貴州黔西·中考真題）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），且．(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)猜想BE，EF，DF三條線(xiàn)段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)如圖2，連接AC，G是CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，，垂足為K，交AC于點(diǎn)H且．若，，請(qǐng)用含a，b的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先利用正方表的性質(zhì)求得，，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性質(zhì)求解；（2）延長(zhǎng)CB至M，使，連接AM，先易得，推出，，進(jìn)而得到，最后利用全等三角形的性質(zhì)求解；（3）過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，易得，進(jìn)而求出，再根據(jù)（2）的結(jié)論求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴，．在和中，∴，∴；（2）解：BE，EF，DF存在的數(shù)量關(guān)系為．理由如下：延長(zhǎng)CB至M，使，連接AM，則．在和中，∴，∴，．∵，∴．∴∠MAE=∠FAE，在和中，∴，∴EM=EF，∵EM=BE+BM，∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N，則．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．∵，，∴，∴，由（2）知，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線(xiàn)，構(gòu)建三角形全等是解答關(guān)鍵．【典例4-4】（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱(chēng)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線(xiàn)段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點(diǎn)在邊上，且，點(diǎn)是線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折得．(1)問(wèn)題解決：如圖①，當(dāng)，將沿翻折后，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則______；(2)問(wèn)題探究：如圖②，當(dāng)，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時(shí)的最小值；(3)拓展延伸：當(dāng)，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫(huà)出圖形，并求出的值．【答案】(1)(2)(3)作圖見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）連接，設(shè),然后結(jié)合勾股定理分析求解．【詳解】（1），是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，為邊上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）如圖，連接，，則，設(shè)，則，，折疊，，，，，，，，，，，在中，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖，，，，，，在中，，，．同理，當(dāng)點(diǎn)F落在下方時(shí)，．綜上，m的值為【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【典例4-5】（2022·遼寧朝陽(yáng)·中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明ADE≌ABC，從而可證BC+CD＝AC，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段OD的長(zhǎng)．【答案】(1)AC=BC+CD；理由見(jiàn)詳解；(2)CB+CD=AC；理由見(jiàn)詳解；(3)或【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．證明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等邊三角形，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：CB+CD=AC．如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．證明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，證明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．如圖3-2中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．

∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE的等邊三角形，∴CE=AC，∵CE=DE+CD，∴AC=BC+CD；（2）解：結(jié)論：CB+CD=AC．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)N．

∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠CDA+∠CBA=180°，∵∠ABN+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABN，∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM=BN，AM=AN，∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴AC=CM，∵AC=AC．AM=AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM=CN，∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC；（3）解：如圖3-1中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．

∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD=CB，∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴，∴，∵AB=AD=，∠DAB=90°，∴BD=AD=2，∴OD=．如圖3-2中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，

同法可證，，綜上所述，滿(mǎn)足條件的OD的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．【中考模擬即學(xué)即練】【變式4-1】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題情境：如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是，上的點(diǎn)，且，探究圖中線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使DG＝，連接，先證明，再證明，可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，，在小徑，上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測(cè)量得，米，米，試在小王同學(xué)研究的基礎(chǔ)上，求兩涼亭之間的距離．【答案】25米/【分析】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形并兩次證全等是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)至，使，連接，可證得進(jìn)而證得，進(jìn)一步求得，即可得出最后結(jié)果．【詳解】如圖，延長(zhǎng)至，使，連接，

，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，米，米，米．故答案為：25米．【變式4-2】（2023·吉林長(zhǎng)春·二模）【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖①，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，，試判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系．小聰同學(xué)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，可證，進(jìn)而得到，從而得出、、之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____不需要證明．【類(lèi)比引申】如圖②，四邊形中，，，，點(diǎn)、分別在邊、上，請(qǐng)回答當(dāng)與滿(mǎn)足什么關(guān)系時(shí)，仍有【問(wèn)題呈現(xiàn)】中、、之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【探究應(yīng)用】如圖③，在四邊形中，，，，，點(diǎn)、分別在線(xiàn)段、上，且，，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】問(wèn)題呈現(xiàn)：；類(lèi)比引申：，證明見(jiàn)解析；探究應(yīng)用：【分析】問(wèn)題呈現(xiàn)：由正方形的性質(zhì)得，，則，而，即可證明，得，，再由，推導(dǎo)出，即可證明，則；類(lèi)比引申：由【問(wèn)題呈現(xiàn)】中與的數(shù)量關(guān)系，可知當(dāng)時(shí)，，先證明，得，，可推導(dǎo)了，再證明，則；探究應(yīng)用：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，由，，得，可證明是等邊三角形，則，則是等邊三角形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，，所以，，則，所以，于是得，所以．【詳解】問(wèn)題呈現(xiàn)：；證明：四邊形是正方形，，，，，，即，，，，，，，，，．類(lèi)比引申：，證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，，，，，，，，，，，，．探究應(yīng)用：線(xiàn)段的長(zhǎng)，理由：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，，，，，，，，，是等邊三角形，，是等邊三角形，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，，，，，，，，，，線(xiàn)段的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的補(bǔ)角相等、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、類(lèi)比與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2024·廣東深圳·一模）綜合與探究【問(wèn)題背景】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P89第12題（以下圖片框內(nèi)）．【初步探究】（1）我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化．如圖1，在與中，，，．求證：．【類(lèi)比探究】（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且．連接，，，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【深入探究】（3）如圖3，D，P是等邊外兩點(diǎn)，連接并取的中點(diǎn)M，且，．試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【拓展應(yīng)用】（4）如圖4，在四邊形中，，，，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）詳