第四章概率與統(tǒng)計章末題型大總結(jié)

知識網(wǎng)絡(luò)

概

率

與

統(tǒng)

計

題型總結(jié)

兩點(diǎn)分布

二項(xiàng)分布

條件概率、乘法公式及全概率公式

超幾何分布

相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

正態(tài)分布

隨機(jī)變■分布列及性質(zhì)

題型分類一元線性回歸方程

隨機(jī)變■的期望與方差

非線性回歸方程

期望與方差的性質(zhì)獨(dú)立性檢驗(yàn)

概率統(tǒng)計的綜合問題

02題型精講

題型01條件概率、乘法公式及全概率公式

解題錦囊

1.求條件概率的主要方法

P(AAB)

（1）利用條件概率公式P（B|A）

尸⑷

（2）針對古典概型，可通過縮減基本事件總數(shù)求解.

2.應(yīng)用乘法公式的注意點(diǎn)

在利用乘法公式解決實(shí)際問題時，要注意區(qū)分P（B|A）和P（A|B）的不同，P（B|A）表示在事件A發(fā)生的條件下,

事件8發(fā)生的概率；而P（A|B）則表示在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率.

【典例1]（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）秋冬季節(jié)是某呼吸道疾病的高發(fā)期，為了解該疾病的

發(fā)病情況，疾控部門對該地區(qū)居民進(jìn)行普查化驗(yàn)，化驗(yàn)結(jié)果陽性率為1.96%,但統(tǒng)計分析結(jié)果顯示患病率為

1%,醫(yī)學(xué)研究表明化驗(yàn)結(jié)果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為0.01,

則該地區(qū)患有該疾病的居民化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的概率為（）

A.0.99B.0.98C.0.97D.0.96

【變式工】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如圖，一個質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)等可能

地向左或向右移動一個單位，共移動4次，在質(zhì)點(diǎn)第一秒位于1的位置的條件下，該質(zhì)點(diǎn)共經(jīng)過兩次2的

位置的概率為（）

-4-3-2-101234x

1131

A.-B.-C.—D.一

4886

【變式2】（23-24高二下?浙江寧波?期中）已知甲、乙兩個袋子各裝有10個球，其中甲袋子中裝有4個黑

球、3個白球和3個紅球，乙袋子中裝有3個黑球、2個白球和5個紅球.規(guī)定拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若

正面朝上，則從甲袋子中隨機(jī)摸出一個球：若反面朝上，則從乙袋子中隨機(jī)換出一個球，下列概率中等于04

的為（）

A.摸到黑球B.摸到紅球

C.在拋出的硬幣正面朝上的條件下，摸到白球D.在拋出的硬幣反面朝上的條件下，摸到紅球

【變式3]（23-24高二下?重慶九龍坡?期中）在某次流感疫情爆發(fā)期間，A,B,C三個地區(qū)均爆發(fā)了流感，

經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計A,B,C地區(qū)分別有10%,9%,8%的人患過流感，且A,B,C三個地區(qū)的人數(shù)的比為9:6:7.現(xiàn)

從這三個地區(qū)中隨機(jī)選取一人，則此人患過流感的概率為（）

111911

A.—B.—C.---D.

1150100150

【變式4】（23-24高二下?內(nèi)蒙古通遼?階段練習(xí)）某廠生產(chǎn)螺口燈泡和卡口燈泡兩種燈泡，其中螺口燈泡的

產(chǎn)量占70%,螺口燈泡的合格率是95%,卡口燈泡的合格率是85%.現(xiàn)隨機(jī)取一只燈泡，發(fā)現(xiàn)是合格的，這

只燈泡是螺口燈泡的概率約為（）

A.0.665B.0.723C.0.7D.0.737

題型02相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

lr=========================:------==.----11

||解題錦囊|

1.求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率需注意的三個問題

III

||（1）“P（A8）P（A）P（B）”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具.|

11（2）涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系.I

III

II（3）公式“P（A+B）1—P（彳三）”常應(yīng)用于求相互獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率.I

2.在解決概率問題時，一定要根據(jù)有關(guān)概念判斷是互斥事件、相互獨(dú)立事件，條件概率等，用基本事件表示?

II較復(fù)雜的事件，選擇正確的計算方法，同時要注意幾種事件的綜合問題，需全面考慮.I

L=====================================U

【典例1］（24-25高二上?四川眉山?階段練習(xí)）某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而

且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨

傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時下雨的概率均為:，不

2

下雨的概率均為且與過去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋

雨的概率為（）

1620828

A.—B.—C.—D.—

81812781

【變式1】（24-25高二上?廣東佛山?階段練習(xí)）投籃測試中，每人投2次，至少投中1次才能通過測試.已知

某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為（）

A.0.24B.0.48C.0.84D.0.94

【變式2】（24-25高二上?湖北鄂州?期中）"五道方"是一種民間棋類游戲，甲，乙兩人進(jìn)行“五道方"比賽，

17

約定連勝兩場者贏得比賽.若每場比賽，甲勝的概率為乙勝的概率為則比賽6場后甲贏得比賽的概

率為（）

.321642

A.---B.---C.---D.---

729729729729

【變式3】（24-25高二上?湖北武漢?期中）概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個“賭金分配”的問題：

博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒有平局.雙方約定：各出賭金210

枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金.但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局，問這420

枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為"概率"的知識，合理地給出了賭金分配方

案.該分配方案是（）

A.甲315枚，乙105枚B.甲280枚，乙140枚

C.甲210枚，乙210枚D.甲336枚，乙84枚

【變式4】（23-24高二下?貴州?期中）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間

隔相等的圓柱形鐵釘，并且每一-排鐵釘數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個鐵釘恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰

鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個直徑略小于兩顆鐵釘間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時，由

于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排

鐵釘如此繼續(xù)下去，在最底層的5個出口處各放置一個容器接住小球.理論上，小球落入2號容器的概率

是多少（）

回固國回回

題型03隨機(jī)變量分布列及性質(zhì)

解題錦囊

II分布列的兩個性質(zhì)

①.20,",2,???,n；②pi+p2H-----\~pnl.

―====================================

[真加1]（23-24高三木產(chǎn)法寶林.期東）隨加爰量丫的分編列務(wù)不袤所示，若隔就盛各1,則：（）

Y-202

p(y)abc

A.a+b+c=lB.2a+2c—4

C.-2o+2c=2D.a=c

【變式1】（23-24高二下?遼寧沈陽?期中）隨機(jī)變量X的分布列如下（上為常數(shù)）:

X012

Pk6k0.3

A.0.6B.0.7C.0.9D.1.2

【變式2】（23-24高二下?河北滄州?期末）設(shè)隨機(jī)變量乂的分布列尸（*=左）=61仕=1,2,3,4,5）,則

—1

P（X"）=（）

【變式3】（23-24高二下?福建莆田?期末）隨機(jī)變量自服從兩點(diǎn)分布，其分布列如下

題型04隨機(jī)變量的期望與方差

11解題錦囊

II

離散型隨機(jī)變量的期望和方差是隨機(jī)變量中兩種最重要的特征數(shù),它們反映了隨機(jī)變量取值的平均值及其穩(wěn)

11定性.期望與方差在實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是高考的熱點(diǎn).

II

I解決均值、方差的應(yīng)用時，先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列.對于一般類型的隨機(jī)

11變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計算，此時解題的關(guān)鍵是概率的計算.計算概率時要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活

II地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識求解.

IL=====================================

（2/25高二上?湖1層麻期中5示迷麗扇盒中有通個除所標(biāo)雙號函知同■的底，它行務(wù)可標(biāo)有

數(shù)字1,1,2,3,現(xiàn)從中隨機(jī)取2個球.

⑴求取到2個標(biāo)有數(shù)字1的球的概率；

（2）設(shè)X為取出的2個球上的數(shù)字之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【變式工】（23-24高二下?青海?期末）已知一組數(shù)據(jù)1,2,2,5,5,6的第80百分位數(shù)為機(jī)，隨機(jī)變量

X的分布列為

X2m14

P0.30.60.1

D（X）=（）

A.5B.6C.9.8D.10.8

【變式2】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期中）高考數(shù)學(xué)試題第二部分為多選題，共3個小題，每小題有4個

選項(xiàng)，其中有2個或3個是正確選項(xiàng)，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.若正確答案是2

個選項(xiàng)，只選對1個得3分，有選錯的得。分；若正確答案是3個選項(xiàng)，只選對1個得2分，只選對2個得4分，

2

有選錯的得。分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個正確選項(xiàng)的概率是記X為小明隨機(jī)選擇1個

選項(xiàng)的得分，記y為小明隨機(jī)選擇2個選項(xiàng)的得分，則（）

A.尸（X=3）=尸（y=4）+尸（y=6）B.E（y）＜E（X）

C.O（x）=：D.E（X2）"（X）=；

【變式3】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期中）某志愿者社團(tuán)計劃在周一和周二兩天各舉行一次活動，分

別由甲、乙兩人負(fù)責(zé)活動通知，已知該社團(tuán)共有〃位同學(xué)，每次活動均需左位同學(xué)參加.假設(shè)甲和乙分別將

各自活動通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該社團(tuán)％位同學(xué)，且所發(fā)信息都能收到.

⑴當(dāng)〃=8,左=3時，求該社團(tuán)只有小明同學(xué)同時收到甲、乙兩人所發(fā)活動通知信息的概率；

（2）記至少收到一個活動通知信息的同學(xué)人數(shù)為X

①設(shè)〃=5,k=2,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

②求使尸（X=m）取得最大值的整數(shù)m.

題型05期望與方差的性質(zhì)

解題錦囊II

II均值、方差的性質(zhì)

（1）若〃b是常數(shù)），忑是隨機(jī)變量，則〃也是隨機(jī)變量，且E（〃）E（逋+b）aE（J+6.

II（2）r>（a<f+Z?）a2O（a.

y—————————————————————————————————————=u

C.E（x）=2,D（x）=1.8D.E（Y）=3,D（Y）=7.2

【變式1］（23-24高二下?新疆?期中）已知E（X）=3,D（2X-1）=8,則（）

A.￡（2X-1）=5B.E（2X-1）=6

C.D（X）=2D.D（X）=4

【變式3】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）（多選）某中學(xué)組織了足球射門比賽.規(guī)定每名同學(xué)有

5次射門機(jī)會，踢進(jìn)一球得8分，沒踢進(jìn)得-4分.小明參加比賽且沒有放棄任何一次射門機(jī)會，每次踢進(jìn)

2

的概率為I，每次射門相互獨(dú)立.記X為小明的得分總和，J為小明踢進(jìn)球的次數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.E⑷=gB.

C.P（X=4）=C嘲D.E（X）=20

【變式4】（2024高二?全國?專題練習(xí)）（多選）如圖，一個質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)。出發(fā)，每隔

1s等可能地向左或向右移動一個單位.設(shè)移動“次后質(zhì)點(diǎn)位于位置X.,則下列結(jié)論正確的是（）

-6-5-4-3-2-10123456

A.P（X5=-1）=A

B.￡（X5）=0

C.D（X6）=3

D.移動6次后質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)。的概率最大

題型06兩點(diǎn)分布

解題錦囊I

I

兩點(diǎn)分布：是很簡單的一種概率分布，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果只有兩種可能，且概率和為1；兩點(diǎn)分布列又稱°一1分|

II布列或佰努利分布列；兩點(diǎn)分布能清晰的反映出事件的正反兩面.兩點(diǎn)分布的應(yīng)用十分廣泛，如抽取的彩票是否11

I

11中獎，買回的意見產(chǎn)品是否為正品，新生兒的鑒定，投籃是否命中等.|

U======================================y

【典例1】已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P（X=l）=0.4,設(shè)y=2X—1,那么P（y=-1）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【變式1】已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=l）=0.6.設(shè)y=3X-2,那么尸（y=-2）等于（）

A.0.6B.0.3C.0.2D.0.4

【變式2】已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=0）=2—5P（X=l）=a,貝（）

3112

A.-B.-C.—D.一

4233

【變式3】隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且尸（X=l）=0.2,令y=3X—2,則p（y=-2）=（）

A.0.1B.0.2C.0.4D.0.8

題型07二項(xiàng)分布

lr==============:=======================Tl

||解題錦囊|

11二項(xiàng)分布11

III

||若。?3（〃，p）,貝！IEfp,D^np{\—p）.|

根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)I

III

II”和變量的概率，求得概率.

【典例1］（23-24高二下?山東泰安?期末）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，X-5（10,0.7）；隨機(jī)變量丫服從

二項(xiàng)分布，且y~3（10,0.8）,則下列結(jié)果正確的有（）

A.E（X）=0.7,E（y）=6.4B,D（X）=0.21,0（7）=1.6

3773

C.P（X=3）=CjoO.7xO.3D.P（y=3）=C^OO.8X0.3

3

【變式1】【變式4】（23-24高二下?河南商丘?期末）設(shè)隨機(jī)變量X3（3,#,若O（X）="則P（XN2）=

（）

1321

A.—B.-C.-D.一

3432

【變式2】（23-24高二下?吉林白山?期末）已知隨機(jī)變量X~3（”,0.5）,當(dāng)且僅當(dāng)％=4時，P（X=/r）取得最

大值，貝U〃=（）

A.7B.8C.9D.10

【變式3】（23-24高二下?北京海淀?期末）小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，

若投中一次得2分，沒投中得。分，總得分為X,則（）

A.E（X）=2.4B,E（X）=4.8C.D（X）=0.48D,￡＞（%）=0.96

【變式4】（23-24高二下?四川綿陽?期末）某市政道路兩旁需要進(jìn)行綠化，計劃從甲，乙，丙三種樹木中選

擇一種進(jìn)行栽種，通過民意調(diào)查顯示，贊成栽種乙樹木的概率為g,若從該地市民中隨機(jī)選取4人進(jìn)行訪

談，則至少有3人建議栽種乙樹木的概率為（）

5481

A.—B.—C.—D.一

2727819

題型08超幾何分布

11解題錦囊

II

II超幾何分布

"什.nM（N—M）（N—n）

||右己~H（N,n,Af）則n后“-,D?.1（__］）-

II

II對超幾何分布的三點(diǎn)說明

II（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣.

II

（2）超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n.

（3）超幾何分布可解決產(chǎn)品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、學(xué)生中的男和女等問題，往往由具有明

［顯差異的兩部分組成.

建=====================================

【典例1］（23-24高二下,江蘇南通?階段練習(xí)）廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布N（90,b］,

其中J不低于85的為合格品.已知合格率為80%,廠家將合格品按100件一箱包裝出廠.某經(jīng)銷商購進(jìn)一

批該產(chǎn)品分等級銷售，質(zhì)量指標(biāo)高于95的貼“一等品"標(biāo)簽，其余貼"二等品"標(biāo)簽，每件"二等品"的利潤是

12元.

⑴經(jīng)銷商在購進(jìn)的產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是"一等品"的概率；

（2）從一箱產(chǎn)品中任取3件，需要貼"一等品"標(biāo)簽的個數(shù)為X,求X的分布列；

⑶已知一箱產(chǎn)品利潤的期望是1800元，求每件"一等品”的利潤.

【變式1】（23-24高二下?江蘇揚(yáng)州,階段練習(xí)）己知甲參加青年志愿者的選拔，選拔以現(xiàn)場答題的方式進(jìn)

行.已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6道題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行

測試，設(shè)甲答對的試題數(shù)為X,則X=2的概率為（）

【變式2】（23-24高二下?山東青島?期中）數(shù)學(xué)老師從6道題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答

正確2道題才能及格.某同學(xué)只能正確求解其中的4道題，則該同學(xué)能及格的概率為（）

,4231

A.-B.-C.—D.一

5352

【變式3】（23-24高二下?新疆省直轄縣級單位?階段練習(xí)）一個班級共有30名學(xué)生，其中有10名女生,

現(xiàn)從中任選三人代表班級參加學(xué)校開展的某項(xiàng)活動，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X,男生的

人數(shù)為變量「則P（乂=2）+「*=2）等于（）

AcX,c；0+c；。

A*「3b,p3

joJo

rCM-+C；oC；o（C；o+C；。）.（C；o+C；。）

-

【變式4】（23-24高二下?云南保山?階段練習(xí)）為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動全市黨員干部群眾用

好"學(xué)習(xí)強(qiáng)國"學(xué)習(xí)平臺，某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識競賽，競賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回

答，規(guī)定參賽者至少要答對其中2道才能通過初試.已知某參賽黨員甲只能答對其中的6道，那么黨員甲抽

到能答對題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為.

題型09正態(tài)分布

解題錦囊

1.正態(tài)分布

[（%—4）

若Xfz,玲，則網(wǎng)，萩，X的概率密度函數(shù)”）而一▽

2.正態(tài)分布的概率求法

（1）注意“3c原則”的適用范圍.記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率.

（2）注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對

稱性結(jié)合圖像解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題.

【典例1］（23-24高二下?四川德陽?期末）為弘揚(yáng)我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學(xué)生

進(jìn)行了"成語”聽寫測試，經(jīng)過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次聽寫測試成績服從正態(tài)分布N（78,4）.試根據(jù)正態(tài)分

布的相關(guān)知識估計測試成績不小于90的學(xué)生所占的百分比為（）

參考數(shù)據(jù)：若t］~N出吟,貝IJP（〃一a）<X<"+￡）=0.6826,尸（〃一2a<X<〃+2cr）=0.9544,

尸（〃-3c<X<〃+3b）=0.9974.

A.0.13%B.1.3%C.3%D.3.3%

【變式1］（23-24高二下?河南安陽?期中）某次高三統(tǒng)考共有12000名學(xué)生參加，若本次考試的數(shù)學(xué)成績X

服從正態(tài)分布N（100Q2）,已知數(shù)學(xué)成績在70分到130分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的（，則此次考試中數(shù)學(xué)

成績不低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）

A.2400B.1200C.1000D.800

【變式2］（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（4,4）,p（x>5）=0.3,

則P（3<X<4）=（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【變式3］（23-24高二下?上海金山?期末）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N出吟,若P（X<-1）>P（X>3）,

則實(shí)數(shù)M的取值范圍是.

題型10一元線性回歸方程

II解題錦囊

對于線性回歸直線方程的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩個方面.II

（1）判斷兩個變量的關(guān)系，主要體現(xiàn)在分析兩個變量的相關(guān)性，畫出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖或相關(guān)系數(shù).確定兩變II

［量具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出線性回歸方程.II

（2）如果x,y的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計意義，就可以用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測和控制.預(yù)測是指對于x的取；

"值范圍內(nèi)任一個xo,y取相應(yīng)值加的估計；控制是指通過控制x的值把y的值控制在指定范圍內(nèi).

1!=====================================2

【典例1］市場監(jiān)管部門對某線下某實(shí)體店2023年前兩季度的月利潤情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如

下：

月份X123456

凈利潤y（萬元）1.01.41.72.02.22.4

⑴是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？請用相關(guān)系數(shù)r加以說明；（參考：若上|20.75時，則線性

相關(guān)程度較高，0.3<卜|<0.75,則線性相關(guān)程度一般，計算「時精確度為0.01）

（2）利用最小二乘法求出y關(guān)于x的回歸方程；用樣本估計總體，請預(yù)估第9月份的利潤.

附：對于一組數(shù)據(jù)（如片）（，=1,2,3,,〃），其回歸直線￡=&+/“的斜率

￡uivj-nu-vE%%-nu.v

8="------------相關(guān)系數(shù)r=建'=[屋_

￡d-n(u)2uf-n(u)2-1^v,2-n(v)2

i=lVi=lVi=l

參考數(shù)據(jù)：y=1.78,6（y）2?19.01,Z%M=42.3,yf=20.45,J17.5xl.44=5.02，——?0.28.

i=iz=i875

【變式1】（24-25高二上?河南南陽?階段練習(xí)）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額，的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

廣告費(fèi)用X/萬元4235

銷售額，/萬元49263954

根據(jù)上表可得線性回歸方程>=意+4中的A為9.4,據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為（）

A.9.1萬元B.9.2萬元

C.67.7萬元D.65.5萬元

【變式2】（23-24高二下?河北?階段練習(xí)）由于人們健康意識的提升，運(yùn)動愛好者人群不斷擴(kuò)大，運(yùn)動相

關(guān)行業(yè)得到快速發(fā)展.某運(yùn)動品牌專賣店從2019年至2023年的年銷售額如下表：

年份20192020202120222023

年份編號工12345

年銷售額，/萬元3035458080

⑴請根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求'與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程亍=九+&,并預(yù)測2024年該店的年銷售額.

（2）該專賣店為了回饋廣大消費(fèi)者，推出了消費(fèi)抽獎返現(xiàn)活動，規(guī)則如下：凡一次性消費(fèi)滿700元可抽獎1

次，滿1000元可抽獎2次.其中一次抽獎返現(xiàn)金額及概率如下表:

返現(xiàn)金額70100

2

概率

73

已知一位消費(fèi)者一次性消費(fèi)滿7。。元的概率無，滿1。。。元的概率為:，求這位消費(fèi)者抽獎返現(xiàn)金額X的

分布列與期望.

附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程亍=殘+&中，B=J-----------------=號--------,a=y-x.

可2^xr-rix2

i=li=l

【變式3】（23-24高二下?內(nèi)蒙古呼和浩特?階段練習(xí)）某品牌電腦專賣店的年銷售量'與該年廣告費(fèi)用尤有

關(guān)，如表收集了4組觀測數(shù)據(jù):

X（萬元）1456

y（百臺）30408070

以廣告費(fèi)用了為解釋變量，銷售量y為預(yù)報變量對這兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析.

⑴已知這兩個變量呈線性相關(guān)關(guān)系，試建立丁與x之間的回歸方程y=bx+a；

⑵假如2017年該專賣店廣告費(fèi)用支出計劃為10萬元，根據(jù)你得到的模型，預(yù)測這一年的銷售量，.

2（%-可（％-歹）

參考公式：b=-----------=y---------，a=y-bx.

可2支X；-標(biāo)2

i=li=l

題型11非線性回歸方程

解題錦囊

II建立非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型的基本步驟

1.確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應(yīng)變量；

II2.由經(jīng)驗(yàn)確定非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的模型；

3.通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗(yàn)回歸模型轉(zhuǎn)化為線性經(jīng)

II驗(yàn)回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；

4.按照公式計算經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

II5.消去新元，得到非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

L_________________________________=_____________________________________________________________________________________________________________________________==___________

頊碗1】痰施詢百18衽紀(jì)瑞王的一種藪學(xué)游戲，玩家需要瓶搪9x9盤面下的巨知數(shù)字，推理出訪看

剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3x3）內(nèi)的數(shù)字均含1?9,且不重復(fù).數(shù)獨(dú)愛

好者小明打算報名參加"絲路杯"全國數(shù)獨(dú)大賽初級組的比賽.

參考數(shù)據(jù)：t=-

77

ft*t

Z=1Z=1

17700.370.55

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,匕），（M2,V2）,回，（"",乙）,其經(jīng)驗(yàn)回歸方程。=&+筋的斜率和截距的最小二

〃__

乘估計分別為6=中--------，6=

C2—2

z=l

⑴賽前小明進(jìn)行了一段時間的訓(xùn)練，每天解題的平均速度y（秒/題）與訓(xùn)練天數(shù)％（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到

如下數(shù)據(jù):

X（天）1234567

y（秒/題）910800800440300240210

現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；（用分?jǐn)?shù)表示）

X

（2）小明和小紅玩"對戰(zhàn)賽"，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨(dú)題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定

2

先勝3局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為且各局之間相互獨(dú)立，設(shè)比賽X局后結(jié)束，求隨機(jī)變

量X的分布列及均值.

【變式1】（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?期中）某學(xué)校為了解校慶期間不同時段的校門人流量，從上午8點(diǎn)

開始第一次反饋校門人流量，以后每過2小時反饋一次，共統(tǒng)計了前3次的數(shù)據(jù)（i,y）,其中，=1,2,3,%

為第i次人流量數(shù)據(jù)（單位：千人），由此得到y(tǒng)關(guān)于，的回歸方程y=61og2，+a.已知7=4,根據(jù)回歸方程，

可預(yù)測下午2點(diǎn)時校門人流量為（）千人.

參考數(shù)據(jù)：log237.6

A.9.6B.10.8C.12D.13.2

【變式2]（23-24高二下?河南南陽?期中）某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定

下一年的研發(fā)投入計劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億

元）的影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x和年銷售額九該團(tuán)隊(duì)建立了兩個函數(shù)模型：=?+

②y=其中a,尸口，均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù).經(jīng)對歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖.令

%=人必=lny（72,-,12），計算得到如下數(shù)據(jù).

Ay/億元

80.

75■:

70-/

65■?

60j..?

萬[1015202530x/K元

121212

X(yi-y)2

Xy￡(%-呼2（元，-元）（匕-比）

i=li=li=l

206677020014

121212

S(w,-?)2

UV2("-篦)(人-刃

Z=1i=li=l

4804.2031270000.30821700

⑴設(shè)變量〃和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)為6,變量尤和變量v的樣本相關(guān)系數(shù)為弓，請從樣本相關(guān)系數(shù)的角度,

選擇一個，與X相關(guān)性較強(qiáng)的模型.

⑵（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；

（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測下一年的研發(fā)資金投入量.

￡（西一?。ā芬弧罚?/p>

附：胸土8.9443,04382。。80；樣本相關(guān)系數(shù),=/”=經(jīng)驗(yàn)回歸方程勺=&+叁，其中

\￡（一）苣（…2

VZ=1Z=1

。-可（必-歹），

g=上—----------,a=y-bx.

￡（%-寸

i=l

【變式3］（23-24高二下?寧夏銀川?階段練習(xí)）紅蜘蛛是柚子的主要害蟲之一，能對柚子樹造成嚴(yán)重傷害,

每只紅蜘蛛的平均產(chǎn)卵數(shù)V（個）和平均溫度x（C）有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點(diǎn)

圖及一些統(tǒng)計量的值.

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=云+。與＞=*&（其中e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適合作為平均產(chǎn)卵

數(shù)N（個）關(guān)于平均溫度x（C）的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）由（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出'關(guān)于x的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.1）

nn

￡（為一可（y-y）Zv’T政

附：回歸方程中亍=加+2A=上%-----------=嚀---------,a^y-bx

￡（七-才力-戒2

i=li=l

題型12獨(dú)立性檢驗(yàn)

I解題錦囊

獨(dú)立性檢驗(yàn)的兩個關(guān)鍵

I一是弄清問題中的兩個變量及其取值分別是什么，其次掌握2x2列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)特征.

二是利用2x2列聯(lián)表計算*的值，再結(jié)合常用的顯著性水平及對應(yīng)的分位數(shù)表來分析兩變量相關(guān)的可能性

|大小.

L________________________________________________________

【嵬碗1】（24-25高二上嘿無遷哈爾濱?期前）隨著冬天的信逅哈爾濱氏座冰雪之城，將氤血為旅游

的熱門目的地.為更好地提升旅游品質(zhì),我市文旅局隨機(jī)選擇100名青年游客對哈爾濱出行體驗(yàn)進(jìn)行滿意度評

分（滿分100分），80分及以上為良好等級，根據(jù)評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，求x的值并估計該評分的上四分位數(shù)；

⑵若采用按比例分層抽樣的方法從評分在[70,80）,[80,90）的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3

人進(jìn)行單獨(dú)交流，求選取的4人中評分等級為良好的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶為進(jìn)一步了解不同年齡段游客對哈爾濱出行體驗(yàn)的反饋，我市文旅局再次隨機(jī)選擇100名中老年游客進(jìn)

行滿意度評分，發(fā)現(xiàn)兩次調(diào)查中評分為良好等級的人數(shù)為120名.請根據(jù)小概率值￡=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

分析游客的評分等級是否良好與年齡段（青年或中老年）是否有關(guān).

2n^ad-bcy

附:,(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【變式1】（23-24高二下?天津?yàn)I海新?期末）現(xiàn)在，很多人都喜歡騎"共享單車"，但也有很多市民并不認(rèn)

可.為了調(diào)查人們對這種交通方式的認(rèn)可度，某同學(xué)從交通擁堵嚴(yán)重的A城市和交通擁堵不嚴(yán)重的8城市

分別隨機(jī)調(diào)查了20名市民，得到了一個市民是否認(rèn)可的樣本，具體數(shù)據(jù)如下2義2列聯(lián)表：

AB總計

認(rèn)可15823

不認(rèn)可51217

總計202040

a0.100.050.0250.010.005

%2.7063.8415.0246.6357.879

1

2n(ad-be)

附:%=-------------------------n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，下列說法中，正確的是（）

A.沒有95%以上的把握認(rèn)為“是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)"

B.有97.5%以上的把握認(rèn)為"是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)"

C.可以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為"是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)"

D.可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為"是否認(rèn)可與城市的擁堵情況有關(guān)"

【變式2】（23-24高二下?河北?階段練習(xí)）（多選）根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到/

已知尸（1.6.635）=0.01,依據(jù)&=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，下列結(jié)論正確的是（）

A.若a<6.635,則變量x與