專題16平面向量及其應用（六大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01平面向量的有關概念

?題型02平面向量的線性運算

?題型03平面向量的數(shù)量積

?題型04平面向量的基本定理與坐標表示

?題型05平面向量的綜合應用

?題型06三角形的“心”的向量表示

?題型01平面向量的有關概念

I.下列說法錯誤的是（）.

A.零向量沒有方向

B.兩個相等的向量若起點相同，則終點必相同

C.只有零向量的模等于0

D.向量在與筋的長度相等

2.若向量方與B為非零向量，下列命題中正確的是（）

A.若君,則21>35

B.BC-JA-DC=DA

c.若非零向量同+W=B+可，則口與B的方向相同

D.若同=網(wǎng)=同，則1=B=/

3.與向量￡=（1,1）平行的所有單位向量為（）

(42V20

B.

7

c.昌,士用6V2I-V2

D.萬萬或一

T

4.已知兩個單位向量入B的夾角是60。，則口-3可=.

?題型02平面向量的線性運算

5.在“8C中，。是3C的中點，E在/。上，且屈=2而，則屜=()

A.-AB--ACB.--AB+-JC

3333

2—?1—?

C.-AB——ACD.--AB+-AC

3333

6.如圖所示，在“8C中，。為8c邊上的三等分點，若刀=入AC=b，E為4D中點，則屜=()

「2-

B.一〃H—b

3636

1-1r11-

C.——a+—bD.-a+-b

3636

7.如圖，在平行四邊形/3C。中，E、尸分別是。。邊上的兩個三等分點，則下列選項錯誤的是()

B.AD+^C=^B+JC

―?2―?1—?

C.CB-CE=EBD.AF=-AD+-AC

33

8.在。中，。為中點，連接4D,設石為4D中點，且說=焉屜=/，則前=()

A.4元+2歹B.-4x+y

C.-4x-2yD.4y-2x

9.如圖所不，a—b=()

一13一

10.已知向量萬/不共線，則向量-歷+B與共線時，實數(shù)%=（）

A.逅B.土逅C.|D.±-

3333

11.已知M是邊長為1的正A48C的邊/C上靠近C的四等分點，N為AB的中點，則加7.疚的值是（）

1111

A.——B.——C.vD.-

2424

12.在O8C中，就.數(shù)=0且（就+前）.（就-前）=0,則錯誤的選項為（）

A.\CA-CB^CA+CB\B.\AB-AC\=\BA-BC\

C.\CA-BA^\CB-AC\D.\CA+CB^=\AB-AC^+\BA-CA^

?題型03平面向量的數(shù)量積

13.在“8C中，內角4伉C所對的邊分別為“也c,。是8C的中點，BC.AD=2c2,則器=___.

smC

14.在“8C中，~BD=^~BC,P是線段AD上的動點（與端點不重合），設歷=x0+y直，則葉上的最

3xy

小值是.

15.已知向量2］滿足，卜卜|=2，,一刃|=2石，則73=（）

A.-2B.-2A/3C.273D.6

16.已知平面向量有，7均為單位向量，若應-3司=近，則向量藍，工的夾角（應㈤=（）

兀兀712兀

A.-B.—C.-D.—

6433

17.若向量3=（41）與3=（4,2）的夾角為銳角，則實數(shù)X的取值范圍是.

18.已知已是單位向量，且|23-同=,+20在己上的投影向量為53,則不與己的夾角為（）

19.已知向量網(wǎng)=3,阿|=2,就=（機-〃而+（2"-機-1）礪，若方與麗的夾角為60。，且反

1罰，則實數(shù)4的值為（）

m

7461

A.-B.—C.—D.一

8356

20.在矩形A8CD中，AB=4,BC=2,E為4D的中點，尸為N2的中點，。為邊上的動點（包括端

點），則班?方的取值范圍為.

21.已知48是圓。：x2+r=2的直徑，M,N是圓。上兩點，且NMON=120。，貝l］（而+西）?在的最小

值為（）

A.0B.-2C.-4D.-4百

22.在平行四邊形/BCD中，NC=28。=4,點P為該平行四邊形所在平面內的任意一點，則

I強『+|向定|而『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

?題型04平面向量的基本定理與坐標表示

23.設乙、乙是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（）

A.,和G+2gB.,+2g與3,—e2

C.C]+2^與_2q—4^D.3q—4與4g一G

24.在AABC中,內角4,B,2所對的邊分別為b,c.向量〃=(a+c,-b),q=(a+"。一c),若[//1,

則角。的大小為()

7171712兀

A.-B.—C.—D.—

6323

25.已知向量3，B的夾角為事，忖=1,|陷=2,在AABC中，AB=2a+3b,AC=2a-bBD=~BC,

則固=()

A.2B.2V2C.2V3D.6

26.已知向量m=0,0）石=（4,"。，若可不超過2亞，則小的取值范圍為（）

A.[-B.[-C.[—3,3]D.[—2,2]

27.如圖，在等腰梯形ZBCQ中，AB=BC=2,CD=3詼=4瓦,則。.衣=.

28.如圖，點。是A/8C的重心，點。是邊2c上一點，且就=42元，OD=mAB+nAC,則一=()

29.如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O,P為圓。上任一點，若蘇=x：S§+y就，則x+y的最

大值為()

30.如圖，四邊形48。是邊長為1的正方形，延長CD至E,使得。E=2CZ?.動點尸從點/出發(fā)，沿正

方形的邊按逆時針方向運動一周回到/點，AP=AAB+^iAE,則2+〃的取值范圍為.

—?—?1

31.已知菱形Z3CQ邊長為1,且萬若為線段力。的中點，若尸在線段上，且

―?—?5—?

BF=XBA+-BC,則4=_______，點G為線段4C上的動點，過點G作的平行線交邊于點〃，過

6

點M做2C的垂線交邊3c于點N,貝M詬+疝〉府的最小值為.

?題型05平面向量的綜合應用

ACAB手，則“BC的形狀為（

32.在AABC中，E4-AC+AC2=0>)

[AC\|ZB|

A.等腰直角三角形B.三邊均不相等的三角形

C.等邊三角形D.等腰（非直角）三角形

33.已知圓錐S。的底面半徑為2,點尸為底面圓周上任意一點，點。為側面（異于頂點和底面圓周）上任

意一點，則而?麗的取值范圍為（）

A.（T4）B.[-4,4]C.（-2,2）D.[-2,2]

34.已知圓C的半徑為1,過圓C外一點尸作一條切線與圓C相切于點A,\PA\=2,。為圓C上一個動點,

則方?河的取值范圍為（）

A.[2,4]B.[2,6]C.[0,4]D.[4,6]

35.如圖所示，。點在“8C內部,分別是NC,2C邊的中點，且有名+2萬+3反=6,則△NEC的

面積與。0c的面積的比為（）

43

A.一BC.一D.

2-134

?題型06三角形的“心”的向量表示

36.已知在AASC中，〃為“3C的垂心,O是—BC所在平面內一點,且方+礪=函，則以下正確的

是（）

A.點。為“8C的內心B.點。為的外心

C.ZACB=90D.08c為等邊三角形

37.已知O,A,B,C是平面上的4個定點，A,B,C不共線，若點尸滿足麗=9+2（次+就），其

中;LeR,則點尸的軌跡一定經過“3C的（）

A.重心B.外心C.內心D.垂心

38.在中，角4瓦。所對的邊分別為。力,c,點O,G,P,。分別為“8C所在平面內一點，且有

\OA^+\BC|2=|OB^+\CA|2=|OC|2+1|2,GA+GB+GC=0,

(PA+PB\AB=(PB+PC\BC=il^C+PA)-CA=Q,aQA+bQB+cQC=0,則點。,G,P,0分別為“3C的

()

A.垂心，重心，外心，內心B.垂心，重心，內心，外心

C.外心，重心，垂心，內心D.外心，垂心，重心，內心

39.點。是平面。上一定點，A,B,C是平面a上“BC的三個頂點，NB,/C分別是邊/C,N8的對

角.有以下四個命題：

①動點P滿足而=OA+PB+PC，則&4BC的外心一定在滿足條件的P點集合中；

②動點P滿足萬=/+彳『+三（九＞。），則的內心一定在滿足條件的P點集合中;

—?—?ABAC

③動點P滿足8=3+4———+日——（A＞0）,則“8C的重心一定在滿足條件的尸點集合中;

ABsin5

—.—~TR~7C

④動點尸滿足0P=。4+彳——+『——（彳＞0）,則O8C的垂心一定在滿足條件的尸點集合中.

其中正確命題的個數(shù)為

一、單選題

1.（2022海南?模擬預測）已知向量2=（2,m）花=（1,-1）,若（￡-初4,則加=（）

A.-1

2.（2024?重慶?三模）已知）=（1,2）,向量B為單位向量，儀+司.方=4,則cos&,B〉=（）

A.在B.一旦C.-D.--

5555

3.（2024?黑龍江大慶?模擬預測）己知AA8C的三個內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,A=^,

DC=2BD，。=3,c=l,則線段40的長為（）

V7V31

3亍

4.（2024?浙江寧波?模擬預測）已知。8c是邊長為1的正三角形，/N=§NC,尸是3N上一點且

貝歷?方=

5.（2024?江蘇泰州?模擬預測）在平行四邊形N8CD中/=45°,48=1,4D=&,若/=方+x而（xeR）,

則|萬|的最小值為（）

D.V2

6.（2024?四川成都三模）已知正方形ABCD的邊長為1,M,N分別是邊AB,AD上的點（均不與端

點重合），記“MN,ACMN的面積分別為品邑.若SX=\CM-AB\-\CN-AC\,貝|邑的取值范圍是

1311

一,一0一14一,一

4442

7.（2024?四川綿陽?模擬預測）如下圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊星上

有10個不同的點6，P2,4,記兇=五五?而（i=l,2,…,10）,則峪+必+…+峪。=（）

B、B2B3

B.180C.-18D.-180

8.（2024?廣東廣州?三模）設向量）=（再,乂），b=（x2,y2）,當xg無2，且必＞%時，則記作當

花＜工2，且必v為時，則記作。有下面四個結論：

①若3=（2,-4）,彼=（3,4）,貝

②若1》g且行》癡，則幾2〃；

③若方》石，則對于任意向量3,都有屋己；

④若方則對于任意向量己，都有花

其中所有正確結論的序號為（）

A.①②③B.②③④C.①③D.①④

二、多選題

9.（2020?山東泰安?模擬預測）己知向量￡=（2,1）1=（1,-1）,工=（心-2,-"），其中九〃均為正數(shù)，且

^a-b）//c,下列說法正確的是（）

A.0與3的夾角為鈍角

B.向量Z在3方向上的投影為。

C.2m+n=4

D.的最大值為2

10.（2024?遼寧?二模）"BC的重心為點G,點O,P是“8C所在平面內兩個不同的點，滿足

OP=OA+OB+OC，貝I（）

A.3RG三點共線