專題9-3橢圓雙曲線離心率題型歸類

目錄

【題型一】................................................................2

【題型二】................................................................2

【題型三】................................................................3

【題型四】................................................................4

【題型五】................................................................5

【題型六】................................................................6

【題型七】................................................................7

【題型八】................................................................8

【題型九】................................................................9

【題型十】................................................................9

真題再現(xiàn).................................................................12

模擬檢測.................................................................13

綜述

1.離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法:

①求出a,c,代入公式e=￡；

a

②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式，結合。2=c2一層轉化為a,c的齊次式，

然后等式（不等式）兩邊分別除以?；驅愚D化為關于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得

e（e的取值范圍）.

e越大，橢圓越扁；e越小,

橢圓越圓

1

3.雙曲線離心率：e=^=y1+為e￡（l,co）

熱點題型歸納

【題型一】定義與幾何性質求離心率

【典例分析】

設橢圓，+/=1的左右焦點分別為瑪，B，焦距為2c,點3在橢圓的內部，點P是橢圓上的動點,

且歸國+|尸。|<5］耳同恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（）

【提分秘籍】

基本規(guī)律

L橢圓第一定義：IP片|+|P6|=2a

雙曲線第一定義：||P￡|—|「乙||=2a

2.一般情況下，見到與一個焦點有關的長度，則利用第一定義轉化為與另一個焦點的距離。

|P￡|=2a士|尸鳥|（橢圓是減，雙曲線是結合左右兩支判斷加減）

【變式演練】

1.

若橢圓E的頂點和焦點中，存在不共線的三點恰為菱形的中心和頂點，則E的離心率等于（）

A."B.叵4C.白或立D.旦或反1

222222

22

2.已知雙曲線C:下方=1（〃>0*>0）的左焦點為F虛軸的上端點為B,尸為雙曲線右支上的一個動點，若

△P3尸周長的最小值等于實軸長的4倍，則該雙曲線的離心率為（）_

A.行B.72C.巫D.巫

25

3.過雙曲線的一個焦點尸2作垂直于實軸的直線，交雙曲線于尸，。，月是另一焦點，若/尸￡。=5,則雙曲線的離

心率e等于（）

A.72-1B.石C.y/2+1D.72+2

【題型二】利用點差法求離心率

【典例分析】

22

已知橢圓二+當=l（a>6>0）,P（0,2）,2（0-2）,過點P的直線4與橢圓交于A,B,過點Q的直線4

ab

與橢圓交于C,D,且滿足〃〃2,設AB和c。的中點分別為"，N,若四邊形PMQN為矩形，且面積

為4百，則該橢圓的離心率為().

A.-B.-C.也

333

【變式演練】

1.已知直線y=—x+1與橢圓「+馬=1(。>6〉0)相交于A,3兩點，且線段A6的中點在直線

ab

%-2y=0上，則此橢圓的離心率為

,v21

2.已知雙曲線E：1-與=l(a>0,b>0)斜率為-g的直線與E的左右兩支分別交于A,8兩點，尸點的坐

abo

標為(-1,2),直線轉交E于另一點C,直線BP交E于另一點、D,如圖L若直線CO的斜率為-"，則E的

A.力B.孝C.D.*

22

3.已知月，B分別為雙曲線※-方=1(。>0力>0)的左、右焦點，以用工為直徑的圓與雙曲線在第一象限

和第三象限的交點分別為"，N,設四邊形耳蟆加的周長為。，面積為S,且滿足325=/,則該雙曲

線的離心率為.

【題型三】焦點三角形與離心率

【典例分析】

22

已知橢圓C:'+方=l(a>b>0)的左，右焦點分別為月，F(xiàn)2,以坐標原點。為圓心，線段月工為直徑的

圓與橢圓C在第一象限相交于點A.若|4村〈2恒6|,則橢圓C的離心率的取值范圍為.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

焦點三角形

(1)焦點三角形面積：

橢圓：S"FF=b?tan/RPF2S=-------

△廠|F「2C雙曲線：，f2tan幺匕

2

2.頂角

橢圓頂角在短軸頂點處最大。

3.與正余弦定理結合

X2y2

設橢圓=+彳=1（a>0,b>0）的兩個焦點為F1、屋,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PFiFz

ab

sinac

中，記/4NP4￡=/,/片入尸=7,則有[-----：—=—=e.

sin/+sin，a

x2y2

設雙曲線J=1（a>0,b>0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，

ab

sinac

在△PF1F2中，記/耳2鳥=。，APFF=（3,AFFP=Y，則有------------二—=e

X2X2Isin/-sin0a

【變式演練】

22

1.已知橢圓C:=+4=l（a>6>0）的左右焦點分別為片，鳥，直線丫=履（4>。）與C相交于M,N兩點（其

ab

中M在第一象限），若M,耳，N,工四點共圓，且直線NF2傾斜角不小于則橢圓C的離心率e的取

O

值范圍是（）

A.惇1]B.與，6-1C.[73-1,1）D.（0,^-1]

22

2.已知月，尸2分別是雙曲線5-當=1（。>0，b>0）的左、右焦點，雙曲線上有一點M,滿足

ab

\MFi\^A\MF2\^<A<^）,且//鳴=60。，則該雙曲線離心率的取值范圍是一

22

3.已知月，瑞是雙曲線C：宗-3=1（。>0功>0）的左，右焦點，過點月傾斜角為30。的直線與雙曲線的

左，右兩支分別交于點A,B.若|鉆|=|理則雙曲線C的離心率為（）

A.aB.石C.2D.y/5

【題型四】第三定義與離心率

【典例分析】

22

已知雙曲線2-方=1（“>0,6>0）的兩個頂點分別為A,B,點尸為雙曲線上除A,8外任意一點，且點尸

與點A,8連線的斜率為尤，k2,若尤.履=8,則雙曲線的離心率為（）

A.V2B.若C.2D.3

【提分秘籍】

基本規(guī)律

第三定義：

l.A,B是橢圓C:++方=1（a>0,8>0）上兩點，M為A.B中點，則KAB*KOM=--

a~（可用點差法快速證明）

結論拓展

22

已知直線/：丁=丘+機/工0,加工0）與橢圓二+當=1相交于A,8兩點，M為A3的中點，。為坐

ab

h2

標原點，則k-k=--.

OMa

2

x2v2b

2AB是雙曲線C:益一方=1（心0,6>0）上兩點，M為A,B中點，則KAB?KOM=-■

a（可用點差法快速證明）

結論拓展

22

已知直線/：丁二"+機（后w°，加?！悖┡c雙曲線"=1相交于A,5兩點，M為45的中點，O為坐

ab

一h2

標原點，貝1，k=F

【變式演練】

22

1.已知平行四邊形A3C。的四個頂點均在雙曲線C:j-4=1（。>04〉0）上，。為坐標原點，E,F為

ab

線段A昆AD的中點且OEQF的斜率之積為3,則雙曲線。的離心率為.

2

2.若A,B分別是橢圓E:/+匕=1,（根>1）短軸上的兩個頂點，點P是橢圓上異于A,B的任意一點，若

m

4

直線AP與BP的斜率之積為—一,則橢圓的禺心率為.

m

22

3..已知A,B是不過原點。的直線/與橢圓C：+方=1（。>6>0）的兩個交點，E為A,B中點，設直線

AB,?！甑男甭史謩e為且軟B、kOE，若3B?心E=-J，則該橢圓的離心率為.

【題型五】第二定義與離心率

【典例分析】

22

已知橢圓C：工+與=1（°>6>0）的左，右焦點4,匕過原點的直線/與橢圓C相交于M,N兩點.其中

ab

M在第一象限.四時=由瑪，尚之理，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.(0,B.(0,^-2]

c.(O,V3-1]D.(^-,73-1]

【提分秘籍】

基本規(guī)律

_〃2C

橢圓雙曲線第二定義：動點（％y）到定點9°）的距離與它到直線”一三的距離的比為常數(shù)]（即離心

率）.

【變式演練】

1.已知A,歹分別是橢圓=+與=l（a>b>0）的左頂點和右焦點，尸是橢圓上一點，直線"與直線/:丈=幺

a'b~c

相交于點。.且△APQ是頂角為120。的等腰三角形，則該橢圓的離心率為（）

A.-B.1C.|D.-

3234

22尸2為其左右焦點，若黑的最小值為114,

2.已知P為雙曲線三-斗=1（°>0,6>0）左支上一點，月，

ab

則雙曲線的離心率為（）

A9-屈口9+733?9土屈

A.-----D.--------------C.-----

222

22

3.若點尸為雙曲線C:]=1（.*>0）上任意一點，則尸滿足性質：點尸到右焦點的距離與它到直線

22

元=幺的距離之比為離心率e,若C的右支上存在點。，使得。到左焦點的距離等于它到直線x=幺的距

CC

離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是.

【題型六】焦點弦余弦定理與離心率

【典例分析】

已知橢圓瓦的左焦點片和右焦點工，上頂點為A,的中垂線交橢圓于點3,若左焦點可在線段A3

上，則橢圓離心率為.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

焦點弦型雙三角形雙余弦定理，常見的一般模型如下圖:

可分別在倆三角形中各自用余弦定理，聯(lián)立解離心率

【變式演練】

22

1.已知橢圓三+與=1的右焦點為F,橢圓上的A,8兩點關于原點對稱，照|=2日8|,且E4-EB

4

<-a2,則該橢圓離心率的取值范圍是（

2.已知雙曲線C：W-1=l（a>0,"0）的左、右焦點分別為用工，分別過耳，耳，作斜率為2的直線交C在x

ab

軸上半平面部分于P,。兩點.記。尸耳,0Q工面積分別為力邑，若邑=3工，則雙曲線C的離心率為

22

3.已知月，居分別是雙曲線=1（。>0,10）的左、右焦點，點尸在雙曲線右支上且不與頂點重合，過尸2

ab

作/耳尸耳的角平分線的垂線，垂足為A.若|耳H=屜，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）

A.(1,72)

【題型七】定比分點與離心率

【典例分析】

22

橢圓C:3+當=1（。>6>0）的左右焦點分別為月，F(xiàn),過點月的直線/交橢圓C于A,B兩點，己知

廿日國-Y3?？赲!工下I店用\刀力，1，12>AX

ab

（A&+G&）-Aa=0,AFX=^F,B,則橢圓C的離心率為（

B-Tc-T

【提分秘籍】

基本規(guī)律

過圓錐曲線的焦點F的弦AB與對稱軸（橢圓是長軸，雙曲線是實軸）的夾角為

0,且人尸二九人民（注意方向）貝！Jecos6=|----1（e為離心率）

【變式演練】

22

1.在平面直角坐標系xOy中，點尸是橢圓。:一+當■=l（Q>b>0）的左焦點，A為橢圓的上頂點，過點A

作垂直于A尸的直線分別與冗軸正半軸和橢圓交于點M,N,若AM=3MN,則橢圓。的離心率￡的值為

22

2.已知點P為雙曲線二-斗=1（。>0,/>0）的左焦點，過原點。的直線與雙曲線交于A、B兩點（點B

ab

在雙曲線左支上），連接2尸并延長交雙曲線于點C,且忸。=3忸同，AF±BC,則該雙曲線的離心率為（）

AVioR而「MnVio

2335

22

3.設/為雙曲線C:鼻-當=1（。>0,6>0）的右焦點，過/且斜率為f的直線/與雙曲線C的兩條漸

abb

近線分別交于A,2兩點，且,可=2出耳，則雙曲線C的離心率為.

【題型八】三角形四心與離心率

【典例分析】

fv2

已知橢圓宗+方=1（。>6>0）的左右焦點為乃、尸2,點尸為橢圓上一點，心的重心、內心分別為G、

UU

I,若/G=2（1,0）,（4/0）,則橢圓的離心率e等于（）

A.|B.亞C.-D.

2242

【變式演練】

22

1.已知橢圓2+1=1（。>6>0）的左、右焦點分別為月、F2,經(jīng)過月的直線交橢圓于A,B,.A8鳥的內

切圓的圓心為/,若3/3+4Z4+5怎=0,則該橢圓的離心率是（）

A.亞B.-C.且D.J

2.已知雙曲線=1（。>0/>0）的左、右頂點分別是A,B,點點P在過點。且垂直于x軸

的直線/上，當AAB尸的外接圓面積達到最小時，點尸恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

A.也_B.空C.V3D."

32

22

3.已知雙曲線5-與=1（“>0,6>。）的左、右焦點分別為片，耳，尸為雙曲線上的一點，/為△刊詔的內心,

ab

且4+2低=2P/,則C的離心率為（）

A.-B,-C.—D,2

353

【題型九】切線與離心率

【典例分析】

已知橢圓G：￡+M=1（。>6>0）與圓C,:/+V=也，若在橢圓G上不存在點P,使得由點P所作的圓

ab5

G的兩條切線互相垂直，則橢圓&的離心率的取值范圍是（

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓的切線：

（x-a'）2+（y—b'）2=i2外一點尸（xo，州）做切線，切點所在直線方程（切點弦方程）為：（尤0—°）（無一a）+

（yo-b^-b^r2.

同理，橢圓雙曲線的切線與切點弦統(tǒng)一方程為：警土邛=1（./>0）

a2b2v'

【變式演練】

1.國家體育場“鳥巢”的鋼結構鳥瞰圖如圖1所示，內外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的

鋼結構與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點A和短軸一端點8分別向內層橢圓

2

引切線AC,BD,且兩切線斜率之積等于-則橢圓的離心率為（）

y

圖1圖2

A.-B,-C.走D.亞

3334

2

2.在直角平面坐標系心中，片,與分別是雙曲線Y年=1①>0）的左、右焦點，過點片作圓V+y2=l的

切線，與雙曲線左、右兩支分別交于點A,8,若I工8|=|A8|,則b的值是.

22

3.已知雙曲線E:二-2=l（a>0,6>0）的左，右焦點分別為月，招，過尸?作圓。：/+22="的切線，切

ab

點為T,延長gr交雙曲線E的左支于點P.若|尸6|>2|*|,則雙曲線E的離心率的取值范圍是（）

A.（2,?）B.（右,+qC.（2,+oo）D.（V2,A/5）

【題型十】共焦點橢圓與雙曲線離心率

【典例分析】

2222

設片，尸?分別為橢圓5+方=1（卬>4>0）與雙曲線。2：，方=1（%濁>。）的公共焦點，它們在

第一象限內交于點/切鳴=9。。，若橢圓的離心率qe1，半，則雙曲線。2的離心率4的取值范

圍為.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

.橢圓與雙曲線共焦點及、B，它們的交點尸對兩公共焦點及、尸2的張角為/［尸工=26,橢圓與雙

曲線的離心率分別為/、e2,則空2+與2=1

,14

【變式演練】

1.我們把焦點相同，且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”.已知耳,8是一對相關曲線的

焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當N耳尸工=60。時，這一對相關曲線中橢圓的離心率為

A.立B.昱C.立D.1

3222

2222

2.設耳，B分別為橢圓G：｝=1（°>6>0）與雙曲線C?：1一樂=1（4>4>0）的公共焦點，它們

在第一象限內交于點M,一F"E=9>,若橢圓的離心率ee=，畢，則雙曲線G的離心率/的取值

143

范圍為

「2而3近

A--------

3.已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為用B，且兩條曲線在第一象限的交點為

P,△尸片耳是以尸片為底邊的等腰三角形，若|尸耳|=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為G，則e「4+l的

取值范圍是

A.(l,+oo)B.p+00

c.(|z10

D.§,+co

【題型十一】雙曲線漸近線與離心率

【典例分析】

22

已知雙曲線1-4=1（。>0/>0）的左、右焦點分別為瓦，工，點A是雙曲線漸近線上一點，且AK，A。

ab

（其中。為坐標原點），M交雙曲線于點B,且|AB|=|做則雙曲線的離心率為（）

A.叵B.典C.72D.73

44

【變式演練】

1.己知雙曲線c：1-1=im>o,b>o）的左、右焦點分別為￡、F2,過大作一條漸近線的垂線，垂足為點A,

ab

與另一漸近線交于點B,若耳8=3筋，則C的離心率為（）

A.76B.如C.73D.2

2

22

2.已知雙曲線C:=-R=l,（a>0/>0）過C的右焦點尸作垂直于漸近線的直線,交兩漸近線于A、B兩

ab

AF1

點、兩點分別在一、四象限，若隹=彳，則雙曲線的離心率為（）

A8BF2C

A.空B.2C.6D.75

3

22

3.已知產(chǎn)為雙曲線C：三-斗=1（。>人>0）的一個焦點，過歹作C的一條漸近線的垂線/,垂足為點A,

〃b

/與C的另一條漸近線交于點2,若|45|=品，則C的離心率為（）

A.2B."C.氈D.姮

233

【題型十二】“小題大做”計算離心率（韋達定理型）

【典例分析】

22

.耳，心分別是橢圓=+3=l（a>b>0）的左右焦點，B是橢圓的上頂點，過點耳作的垂線交橢圓C

ab

于P，Q兩點，若3尸凡=7EQ,則橢圓的離心率是（）

A.顯或顯B,還或旦C.叵或過-

335577D甜半

【提分秘籍】

基本規(guī)律

韋達定理型解題思維：

（1）設直線方程，設交點坐標為a，%），仁，％）;

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于X（或y）的一元二次方程，必要時計算A；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關系轉化為王+尤2、再%（或%+%、/%）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

【變式演練】

2

1.點大，居是曲線c：r]-y2=i的左右焦點，過及作互相垂直的兩條直線分別與曲線交于A,8和c,D-,

線段AB,CD的中點分別為M,N,直線即與無軸垂直且點G在C上.若以G為圓心的圓與直線MN恒有

公共點，則圓面積的最小值為（）

2.已知。為坐標原點，雙曲線二-2■fa>。,“。）上有A,8兩點滿足。4_LO3,且點。到直線AB的距

ab

離為C,則雙曲線的離心率為.

畋晨真題再現(xiàn)

22

1.（2022.全國.高考真題（理））橢圓U0r+Av=l（〃>b>O）的左頂點為A,點尸，。均在。上，且關于y

ab

軸對稱.若直線AP,4。的斜率之積為I，則C的離心率為（）

4

A.立B."C.1D.-

2223

22

2.（山東.高考真題）己知月是雙曲線5-2=1（。〉0,&>0）的左焦點，點P在雙曲線上，直線尸耳與

ab

尤軸垂直，且|尸制=〃，那么雙曲線的離心率是（）

A.6B.6C.2D.3

丫22

3.（2021.天津?高考真題）已知雙曲線r-K=l（“>°，6>°）的右焦點與拋物線丁2=2/（。>。）的焦點重合，

ab

拋物線的準線交雙曲線于A,B兩點,交雙曲線的漸近線于C、。兩點，若|CD|=a|A8|.則雙曲線的離心

率為（）

A.y/2B.73C.2D.3

22/

4.（2021.北京.高考真題）若雙曲線C：3-1=1離心率為2,過點（衣司，則該雙曲線的方程為（）

A.2x2-y2=1B.X?-工=1C.5%2-3y2=lD.--^=1

-326

22

5.（2021.全國.高考真題（理））設B是橢圓C:j+A=l（〃>b>0）的上頂點，若C上的任意一點尸都滿足

ab

|P3|W2A,則C的離心率的取值范圍是（）

6.（2021.全國?高考真題（理））已知片，B是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點，且N耳尸耳=60。,|「耳|=3|尸E],

則C的離心率為（）

A.也B.巫C.用D.V13

22

7.（2022.浙江?高考真題）已知雙曲線吞的左焦點為E過尸且斜率為鄉(xiāng)的直線交雙曲

a2b-4a

線于點4（占,%）,交雙曲線的漸近線于點力）且再<。<3.若|EB|=3|E4|,則雙曲線的離心率是

22

8.（2020.山東.高考真題）已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點尸與雙曲線a-方=1（°>0,"0）的左焦點

重合，若兩曲線相交于Af,N兩點，且線段MN的中點是點/，則該雙曲線的離心率等于.

9.（2020?全國?高考真題（理））已知產(chǎn)為雙曲線C:「-《=l（a>0,10）的右焦點，A為C的右頂點，B為

C上的點，且8尸垂直于無軸.若A8的斜率為3,則C的離心率為.

10.（浙江?高考真題（文））橢圓J+（a>6>0）的右焦點尸（c,0）關于直線y。的對稱點。在

橢圓上，則橢圓的離心率是.

H.（重慶?高考真題（理））已知雙曲線4-4=1（〃>0,8>0）的左、右焦點分別為耳（-c,0）,同（c,0）,若雙曲

ab

線上存在一點尸使吧與器=3,則該雙曲線的離心率的取值范圍是_________.

sinZ,PF2FXC

r22

12.（2019?全國?高考真題（理））已知雙曲線C：1-與=1（“>08>0）的左、右焦點分別為B,F?,過B

ab

的直線與C的兩條漸近線分別交于A,8兩點.若耳A=AB,=貝UC的離心率為.

模招檢測

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1.已知耳，F(xiàn)?分別為橢圓E：1r+方=i（a>6>0）的左、右焦點，E上存在兩點A,B使得梯形的

高為c（其中c為半焦距），且A4=33耳，則E的離心率為（）

A.立B.逅C.BD.-

3323

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2.如圖，已知雙曲線M：三-方=l（a>0,6>0）的左，右焦點分別為百,工，正六邊形A38的一

邊AM的中點恰好在雙曲線M上，則雙曲線"的離心率是（）

AW+lRV13+1-713-1n2屈-2

2323

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3.已知橢圓C京+2=1（。>6>0）,月，居分別為橢圓的左