熱點(diǎn)題型?解答題攻略

專題01新高考情景下的創(chuàng)新定義問(wèn)題

*>-----------題型歸納?定方向-----------*>

目

題型01集合中的新定義.........................................................................1

題型02平面解析幾何中距離的新定義............................................................3

題型03函數(shù)中的新定義.........................................................................5

題型04立體幾何中的新定義.....................................................................6

題型05概率與統(tǒng)計(jì)中的新定義...................................................................8

題型06導(dǎo)數(shù)中的新定義........................................................................11

題型07圓錐曲線中的新定義....................................................................13

題型08數(shù)列中的新定義........................................................................15

?>-----------題型探析?明規(guī)律------------<>

題型01集合中的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

1、集合新定義問(wèn)題的方法和技巧

（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；

（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；

（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用

書(shū)上的概念.

2、解決以集合為背景的新定義問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)

（1）準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決新定義問(wèn)題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求

進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.

（2）方法選取：對(duì)于新定義問(wèn)題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)

性質(zhì)求解.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024?北京西城?三模)記集合Q=|a,.e{0,1},，=1,2,…2).對(duì)任意a=。,

/=(4也，…也)e。，記〃(％/)=(|弓-々|,[%-4卜，，1%-，|),對(duì)于非空集合A=。，定義集合

D(A)={d(a,6)|aeA,(3eA].

⑴當(dāng)〃=2時(shí),寫(xiě)出集合。；對(duì)于A={(0,0),(0,1),(1,0)},寫(xiě)出。⑷；

⑵當(dāng)場(chǎng)=3時(shí)，如果O(A)=Q,求card(A)的最小值；

(3)求證：card(Z)(A廬card(A).

(注：本題中，card(A)表示有限集合A中的元素的個(gè)數(shù).)

2.(2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè))已知集合4={陽(yáng)％…,a“}(OMq<出若對(duì)任意的i,

jeN(l<z<J<M),有4+%eA或a廠qeA,則稱集合A為完美集合.

(1)分別判斷集合8={0,2,4,6}與C={1,2,3,4}是否為完美集合；

⑵當(dāng)〃=3時(shí)，若，=2,求完美集合A；

2024

(3)若集合。={弓,%,…,%024}(0<4<%024)為完美集合，記$2024=E%，求證：

Z=1

,2024=1012aoi2+01013)1

3.(2024?浙江?二模)已知集合￡={芯,尤2，電,…，毛},記2E={S|SqE},X\Y={x\x&X,x^Y},N是自然

數(shù)集

?稱函數(shù)/Z:2E.N,若對(duì)于任意SU&A(S)eN；

?稱函數(shù)〃：2與fN是單調(diào)的，若對(duì)于任意XaFaE,/7(x)<//(r)；

?稱函數(shù)〃：2EfN是次季的，若對(duì)于任意X、yc￡,/z(xuy)+/?(xnr)</7(x)+/?(y)

已知函數(shù)/：2EfN是衣模的.

(D判斷了是否一定是單調(diào)的，并說(shuō)明理由；

(2)證明：對(duì)于任意XaFaE,e^E\Y,f(Xu{e})-/(X)>/(Ku{e})-f(r)；

⑶若/是單調(diào)的，左是正整數(shù)，k<n,記尸={S|S恰含有左個(gè)元素,S=E},已知集合滿足

/(S*)</(S),VS€F.初始集合V=0,然后小明重復(fù)上次如下操作：在集合中選取使得了(Mu{e})

最小的元素e加入集合最終得到集合wF.證明：

4.(2024.福建泉州.二模)進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，如果約定滿二進(jìn)一，就是

二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制：滿十六進(jìn)一，就是十六進(jìn)制.七進(jìn)制的基數(shù)就是我們?nèi)粘Ｉ钪凶钍?/p>

悉、最常用的就是十進(jìn)制.例如，數(shù)3721也可以表示為：3721=3x103+7x1()2+2x101+1x10°一般地，如

果上是大于1的整數(shù)，那么以左為基數(shù)的上進(jìn)制數(shù)可以表示為。,/"+%一/"-"-+川+。/°=力。/'.其中

；=0

0<an<k,an_i,a?_2,-,al,a0E[Q,l,2,--；k-i].為了簡(jiǎn)便，也會(huì)把它寫(xiě)成一串?dāng)?shù)字連寫(xiě)在一起的形式：

…％期⑻，如果不加下標(biāo)就默認(rèn)是十進(jìn)制.

⑴令集合A={012,3,4},3=[々+||_+/+*4,€4力=1,2,3,4，，將8中的元素按從大到小的順序排列，則

第100個(gè)數(shù)為多少？

______________________63

(2)若〃=44-…44⑵,記T(〃)為整數(shù)”的二進(jìn)制表達(dá)式中0的個(gè)數(shù)，如7(2)=1,7(3)=0,求±7(")的

〃=1

值.(用數(shù)字作答)

(3)十進(jìn)制中的數(shù)999在其他進(jìn)制中是否也可以表示成一個(gè)各位數(shù)字之和為27的三位數(shù)？如果能，請(qǐng)求出所

有的人進(jìn)制數(shù)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2024?浙江杭州?一模)已知正項(xiàng)有窮數(shù)列4%%，…，aN(N>3),^T=\x\x=^A<i<j<N\,記T

Iai,

的元素個(gè)數(shù)為尸(T).

⑴若數(shù)列A:1,2,4,16,求集合T,并寫(xiě)出尸(T)的值；

⑵若A是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，求證："P(T)=N-1”的充要條件是“A為等比數(shù)列”；

⑶若N=2〃+l,數(shù)列A由2,4,8,…,2",4"這〃+1個(gè)數(shù)組成，且這〃+1個(gè)數(shù)在數(shù)列A中每個(gè)至少出現(xiàn)一次，求

P(T)的取值個(gè)數(shù).

題型02平面解析幾何中距離的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

1、設(shè)尸(玉，x),Q(%,%)為平面上兩點(diǎn)，則定義|尤2-七|+|%-%|為“折線距離”“直角距離”或“曼哈頓距

離“，記作d(P,Q)=昆一%|+昆一%|?

結(jié)論1：設(shè)點(diǎn)〃(乙),%)為直線/：4+為+。=0外一定點(diǎn)，Q為直線/上的動(dòng)點(diǎn)，則

_|—為0+8%+C]

d（P，Q）min

-max{|A|,|B|}

結(jié)論2：設(shè)點(diǎn)尸為直線At+gy+G=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為直線獨(dú)+8,+。2=0上的動(dòng)點(diǎn)，則

d(PQ)=―G—02〔_

(Qminmax{|A|JB|)

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（24-25高三上?四川?期中）定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,2的坐標(biāo)分別為

（%,%）,（%,%），那么稱d（A3）=Bi-司為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離；

￡）（A,8）=J（X|J+（%-%）為A，B兩點(diǎn)間的歐幾里得距離.

⑴己知4（。尸）=1,求。（。,尸）的最小值;

（2）已知M（3,2）,D（O,TV）=2,求"（M,N）的最大值；

（3）已知。＞0,點(diǎn)4（占,乂）在函數(shù)〃（x）=-’（x＜0）圖象上，點(diǎn)3（々,羽）在函數(shù)g（x）=alnx—x圖象上，且

x

y產(chǎn)必，點(diǎn)A，8有d（AB）的最小值為4,求實(shí)數(shù)a的取值.

2.（2024?山東.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)集M.={（a1M2，%LM“）l4w{0,l},14i4〃,ieN*},從集合此中任取兩個(gè)不

同的點(diǎn)人（4，%,。3,…,%），鞏4也也，…也），定義A，B兩點(diǎn)間的距離d（A,B）=WJq-“

i=l

⑴求M中d（AB）=2的點(diǎn)對(duì)的個(gè)數(shù)；

（2）從集合M“中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,用隨機(jī)變量X表示他們之間的距離d（AB）,

①求X的分布列與期望；

②證明：當(dāng)"足夠大時(shí)，4D（X）＜/?2.（注：當(dāng)”足夠大時(shí)，2-"々0）

3.（24-25高三上?廣東惠州?階段練習(xí)）人臉識(shí)別技術(shù)在各行各業(yè)的應(yīng)用改變著人類的生活，所謂人臉識(shí)別，

就是利用計(jì)算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識(shí)別信息，最終判別對(duì)象的身份，在人臉識(shí)

別中為了檢測(cè)樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測(cè)試，常用測(cè)量距離的方式有3種.設(shè)網(wǎng)與力），

則歐幾里得距離皿A,2）=。占-%%%y；曼哈頓距離d（A3）=|x「封余弦距離

e（AB）=l-cos（A,B）,其中cos（A,3）=cos（05,礪）（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

⑴若點(diǎn)M（3,l）,N（l,3），求M,N之間的歐幾里得距離D（M,N）,曼哈頓距離d（M,N）和余弦距離e（M,N）；

（2）若點(diǎn)M（3,l）,d（M,N）=2,求e（MN）的最大值;

⑶已知點(diǎn)M（3,l）,曲線/:y=Y-6x+8,問(wèn)曲線/上是否存在點(diǎn)N使得d（M,N）2&D（KN）,若存在，

求e（M,N）的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型03函數(shù)中的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

函數(shù)新定義問(wèn)題，命題新穎，常?？紤]函數(shù)的性質(zhì)，包括單調(diào)性，奇偶性，值域等，且存在知識(shí)點(diǎn)交叉，

會(huì)和導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列等知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，很好的考慮了知識(shí)遷移，綜合運(yùn)用能力，對(duì)于此類問(wèn)題，一定要解讀

出題干中的信息，正確理解問(wèn)題的本質(zhì)，轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解決。

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.（24-25高三上?河北滄州?期中）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)/（x）=asinx+6cosx,稱向量=為

函數(shù)/（X）的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)/（尤）為向量麗的相伴函數(shù).

⑴記向量?jī)?9,0）的相伴函數(shù)為〃尤），若當(dāng)〃x）=3且時(shí)，求x的值；

⑵設(shè)g（尤）=A/5COS[X+T+COS]-xj（xeR）,試求函數(shù)g（x）的相伴特征向量麗，并求出與麗?同向的

單位向量；

（3）已知次=（0,1）為函數(shù)?。┑南喟樘卣飨蛄?，若在VA3C中，AB=2,cosC=〃]J,若點(diǎn)G為該VABC的

外心，求文.荏+乙5.國(guó)的最大值.

2.（2024.甘肅白銀.一模）設(shè)A為一個(gè)非空的二元有序數(shù)組（x,y）的集合，集合B為非空數(shù)集.若按照某種確

定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,使得A中任意一個(gè)元素（x,y）,在3中都有唯一確定的實(shí)數(shù)z與之對(duì)應(yīng)，則稱對(duì)應(yīng)關(guān)系了為

定義在A上的二元函數(shù)，記作2="羽丫）,（見(jiàn)可€4已知二元函數(shù)〃%刈%》—*）滿足

f(x,y+l)y〃x+l,y)

且〃1，1)=L

〃元,y）y+1'〃占y）

⑴求〃1,2）,"2,2）的值；

⑵求的解析式；

1

sinanx

⑶已知數(shù)列｛4｝滿足4+1=數(shù)列,xe（O㈤的前〃項(xiàng)和為證明：Tn>0.

an

3.（2024?上海寶山?一模）已知y=/（九），y=g（x）都是定義在實(shí)數(shù)集上的可導(dǎo)函數(shù).對(duì)于正整數(shù)%,當(dāng)機(jī)、〃分

別是y=/（X）和y=g（X）的駐點(diǎn)時(shí)，記Ar=1〃I,若AxVA,則稱f（x）和g（x）滿足尸（幻性質(zhì)；當(dāng)占、x2eR,

且g(玉)Hg(2)時(shí)，記Ay=,若綠zk,則稱/(x)和g(x)滿足Q(Q性質(zhì).

g(±)-g(X2)

⑴若/(x)=2x+l,g(x)=x,判斷f(x)和g(x)是否滿足。(2)性質(zhì)，并說(shuō)明理由；

⑵若F(x)=(x-1)2,g(x)=",且/(x)和g(x)滿足P⑴性質(zhì)，求實(shí)數(shù)?的取值范圍；

e

⑶若y=/(x)的最小正周期為4,且g(-l)=/(-l),g⑴=/⑴.當(dāng)尤注-1,3］時(shí)，＞=/(尤)的駐點(diǎn)與其兩側(cè)區(qū)間

的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

X-1(-1,1)1(1,3)3

/(X)0+0—0

極小值-1極大值1極小值-1

已知了(X)和g(x)滿足。(幻性質(zhì)，請(qǐng)寫(xiě)出〃x)=g(x)的充要條件，并說(shuō)明理由.

題型04立體幾何中的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

面對(duì)新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與己知的立體幾何知識(shí)相結(jié)合。明確解題

目標(biāo)后，靈活運(yùn)用基本定理和性質(zhì)，如平行、垂直的判定與性質(zhì)，以及空間角、距離的計(jì)算公式。在解題

過(guò)程中，合理構(gòu)造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關(guān)系，簡(jiǎn)化問(wèn)題。對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可嘗試建立空間直角

坐標(biāo)系，利用向量法進(jìn)行計(jì)算和證明。同時(shí)，要善于將空間問(wèn)題平面化，通過(guò)截面、投影等方式轉(zhuǎn)化求解

對(duì)象。最后，解題后要進(jìn)行驗(yàn)證和反思，確保結(jié)論的正確性，并總結(jié)所使用的方法和技巧，以便在未來(lái)遇

到類似問(wèn)題時(shí)能夠迅速應(yīng)對(duì)

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(23-24高一下?重慶?期末)球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球。的半徑為R.

A、B、C為球面上三點(diǎn)，劣弧2C的弧長(zhǎng)記為。，設(shè)。。,表示以。為圓心，且過(guò)8、C的圓，同理，圓。3，

。2的劣弧AC、A5的弧長(zhǎng)分別記為6、c,曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形.若設(shè)二面角C-Q4-8,

A-OB-C,3—OC—4分別為夕、7,則球面三角形的面積為S球面=(戊+月+7-萬(wàn))長(zhǎng)

(1)若平面Q4B、平面。AC、平面03c兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；

(2)若平面三角形ABC為直角三角形，AC±BC,設(shè)NAOC=q,ZBOC=02,44。8=4.則:

①求證：cos0}+cos02-cos03=1

②延長(zhǎng)40與球。交于點(diǎn)。.若直線D4,0c與平面A3C所成的角分別為1,BE=ABD,Ae(O,l],S

為AC中點(diǎn)，T為BC中點(diǎn)，設(shè)平面QBC與平面EST的夾角為。，求sin。的最小值，及此時(shí)平面AEC截球。

的面積.

2.(24-25高三上?江西萍鄉(xiāng)?期中)定義：多面體M在點(diǎn)尸處的離散曲率為

①P=1一二億2尸?+/。,尸。3+…+/QMQk+/2尸&)，其中尸為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，。(i=1,2,…#,

271

左23且無(wú)eN*)為多面體M的所有與點(diǎn)尸相鄰的頂點(diǎn)，且平面平面。/Qs、L、平面以一丁2和平

面Q』Q,為多面體”的所有以P為公共點(diǎn)的面.如圖，在四棱錐P-ABCD中，_L平面ABCD,底面ABCD

為正方形，CD=2,DP=2yf3.

⑴求四棱錐P-ABCD在頂點(diǎn)C處的離散曲率；

(2)求四棱錐尸-MCD內(nèi)切球的表面積；

(3)若Q是棱尸3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求直線CQ與平面ABC。所成角的取值范圍.

3.(2024.江西新余?模擬預(yù)測(cè))我們規(guī)定：在四面體P-ABC中，取其異面的兩條棱的中點(diǎn)連線稱為尸-MC

的一條"內(nèi)棱"，三條內(nèi)棱兩兩垂直的四面體稱為''垂棱四面體

p

zt

My/M2

/M,

Mx

(1)如左圖，在四面體P-MC中，Mj(i=l,2,...,6)分別為所在棱的中點(diǎn)，證明：P-ABC的三條內(nèi)棱交于一

點(diǎn).

(2)同左圖，若尸-MC為垂棱四面體，必%=2,必監(jiān)=4,必〃6=6,求直線網(wǎng)與平面ABC所成角的正

弦值.

2

(3)如右圖，在空間直角坐標(biāo)系中，x°y平面內(nèi)有橢圓C：/+匕=1,五|為其下焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)用的直線》=丘+加

2

與C交于43兩點(diǎn)，尸為宜刀平面下方一點(diǎn)，若尸-為垂棱四面體，則其外接球表面積S是％的函數(shù)

S(k),求S⑹的定義域與最小值.

題型05概率與統(tǒng)計(jì)中的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

解決計(jì)數(shù)原理與概率背景下的新定義問(wèn)題，就是要細(xì)讀定義關(guān)鍵詞，理解本質(zhì)特征，適時(shí)轉(zhuǎn)化為“熟悉”問(wèn)

題.總之，解決此類問(wèn)題，取決于已有知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想的掌握和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，還需要不斷

的實(shí)踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024?江西?模擬預(yù)測(cè))在信息理論中，X和y是兩個(gè)取值相同的離散型隨機(jī)變量，分布列分別為:

P(X=%)=",P(y=x,.)=n;,>0,%>0,i=l,2,定義隨機(jī)變量X的信息量

i=lz=l

"(X)=-￡/l°g2/，X和y的“距離”K“X|Rkf/njogz".

/=1i=ini

⑴若X?求H(x)；

(2)已知發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)為。和1,接收臺(tái)收到信號(hào)只有。和1.現(xiàn)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)為0的概率為。(0<1),

由于通信信號(hào)受到干擾，發(fā)出信號(hào)。接收臺(tái)收到信號(hào)為。的概率為4,發(fā)出信號(hào)1接收臺(tái)收到信號(hào)為1的概

率為4(0<”1).

（i）若接收臺(tái)收到信號(hào)為0,求發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)為。的概率；（用P,4表示結(jié)果）

（ii）記隨機(jī)變量X和y分別為發(fā)出信號(hào)和收到信號(hào)，證明：KL（X|,）20.

2.（2024?湖北?一模）在某一次聯(lián)考中，高三（9）班前10名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)%1=1,2,…,10）和物理成績(jī)

y?=1,2,…,10）如下表：

學(xué)生編號(hào)12345678910

數(shù)學(xué)成績(jī)11613112412612111010699118117

數(shù)學(xué)名次71324891056

物理成綃80787981746563707384

物理名次35426910871

⑴從這10名同學(xué)任取一名，已知該同學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀（成績(jī)?cè)?20分（含）以上），則該同學(xué)物理也優(yōu)秀（物

理成績(jī)?cè)?8分（含）以上）的概率；

（2）已知該校高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)x,物理成績(jī)，，化學(xué)成績(jī)z兩兩成正相關(guān)關(guān)系，經(jīng)計(jì)算這10名同學(xué)的數(shù)學(xué)

成績(jī)X和物理成績(jī)y的樣本相關(guān)系數(shù)約為0.8,已知這10名同學(xué)物理成績(jī)y與化學(xué)成績(jī)Z的樣本相關(guān)系數(shù)約

為胃，分析相關(guān)系數(shù)的向量意義，求無(wú)，z的樣本相關(guān)系數(shù)的最大值.

（3）設(shè)N為正整數(shù)，變量X和變量y的一組樣本數(shù)據(jù)為｛（即％）1i=其中％[=1,2,…,N）兩兩不相

同，=…,N）兩兩不相同，按照由大到小的順序，記無(wú)，在｛力a=1,2,…,N｝中排名是s,位

G=l,2,…,N）,%在｛%|“=1,2,…,N｝中的排名是叱位（i=l,2,…,N）.定義變量尤和變量y的斯皮爾曼相關(guān)系

數(shù)（記為夕）為變量七的排名s,和變量y的排名嗎的樣本相關(guān)系數(shù).記4=s廠叱，其中i=l,2,…N,證明：

。=1一而^^力，并用上述公式求這組學(xué)生的數(shù)學(xué)成頻和物理成績(jī)的斯皮爾曼相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）

（參考公式:)

3.（2024.廣東?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X,丫的取值分別為｛%,無(wú)2…｛w%，--，%｝（PUeN*）.定

義X關(guān)于事件“卜=匕”（1Wj<q）的條件數(shù)學(xué)期望為：E（X|丫=力）=方x,P（X=x,|Y=%）.已知條件數(shù)學(xué)

i=\

q

期望滿足全期望公式：E（X）=￡E（X|y=y,）P（y=M）.解決如下問(wèn)題：

;=1

為了研究某藥物對(duì)于微生物A生存狀況的影響，某實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃進(jìn)行生物實(shí)驗(yàn).在第1天上午，實(shí)驗(yàn)人員向

培養(yǎng)皿中加入10個(gè)A的個(gè)體.從第1天開(kāi)始，實(shí)驗(yàn)人員在每天下午向培養(yǎng)皿中加入該種藥物.當(dāng)加入藥物

時(shí)，A的每個(gè)個(gè)體立即以相等的概率隨機(jī)產(chǎn)生1次如下的生理反應(yīng)(設(shè)A的每個(gè)個(gè)體在當(dāng)天的其他時(shí)刻均不

發(fā)生變化，不同個(gè)體的生理反應(yīng)相互獨(dú)立)：

①直接死亡；②分裂為2個(gè)個(gè)體.

設(shè)第〃天上午培養(yǎng)皿中A的個(gè)體數(shù)量為X”.規(guī)定E(XJ=10,D(XJ=0.

⑴求E2因=6)；

⑵求E(X“)；

⑶已知E(X；|Xi=A)=-R+l)(keN*),證明：O(X")隨著"的增大而增大.

4.(2024?江西?二模)在三維空間中，立方體的坐標(biāo)可用三維坐標(biāo)(勺出嗎)表示，其中生€{。,1}』=1,2,3,

而在〃維空間中(〃22,”eN),以單位長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)的“立方體”的頂點(diǎn)坐標(biāo)可表示為“維坐標(biāo)

(%,4,%,……其中qe{0,l}(lWiW〃,ieN).現(xiàn)有如下定義：在凡維空間中兩點(diǎn)間的曼哈頓距離為兩

點(diǎn)(％,生,%,...此)與侑也也,....也)坐標(biāo)差的絕對(duì)值之和，即為

k-4|+|%-R+E—勾1——2I-回答下列問(wèn)題：

(1)求出〃維“立方體”的頂點(diǎn)數(shù)；

(2)在〃維“立方體”中任取兩個(gè)不同頂點(diǎn)，記隨機(jī)變量X為所取兩點(diǎn)間的曼哈頓距離.

①求X的分布列與期望；

②求X的方差.

5.(2024.安徽蕪湖.模擬預(yù)測(cè))有一個(gè)摸球游戲，在一個(gè)口袋中裝有彳個(gè)紅球和〃個(gè)白球，這些球除顏色外

完全相同，每次從中摸一個(gè)球，記錄摸出球的顏色，然后再將球放回口袋中.

(1)若；1=10、〃=20,重復(fù)上述摸球試驗(yàn)5次，用X表示5次中摸出紅球的次數(shù)，求X的分布列及方差；

(2)若;1=10,〃=10.

①當(dāng)甲在游戲的過(guò)程中，又來(lái)了乙和丙，他們一起玩摸球游戲，第一次由甲摸球，若甲摸到紅球，則下一

次甲繼續(xù)摸球，否則隨機(jī)在另外兩人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到紅球，則下一次還是

他自己繼續(xù)摸球，否則也隨機(jī)在另外兩人中等可能地指定一人摸球，如此進(jìn)行下去，記冊(cè)為第"次是甲摸

球的概率，求巴；

②第二天，甲獨(dú)自一人繼續(xù)摸球游戲，每次從袋中摸一個(gè)球，記錄摸出球的顏色，然后將球放回口袋中，

當(dāng)?shù)?次摸到紅球時(shí)停止游戲，否則游戲一直繼續(xù)進(jìn)行下去，以隨機(jī)變量y表示所需摸球的次數(shù)，這里y

服從的分布稱作帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布.帕斯卡分布的定義如下：在重復(fù)、獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)中，若每

次試驗(yàn)成功的概率為P(O<P<I),失敗的概率為g=i-p,若將試驗(yàn)進(jìn)行到恰好出現(xiàn)廠(廠為常數(shù))次成功

時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，以隨機(jī)變量y表示所需試驗(yàn)的次數(shù)，則y是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，稱y服從以八。為參數(shù)的

帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布，記作y~NB(r,p).帕斯卡分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散概率分布，常用于描述生物

群聚性，醫(yī)學(xué)上也用來(lái)描述傳染性或非獨(dú)立性疾病的分布和致病生物的分布.根據(jù)定義，我們能夠得到這

里的〃eN*,n＞1.求E(Y).

題型06導(dǎo)數(shù)中的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題主要分兩類：一是概念新定義型，主要是以函數(shù)新概念為背景，通常考查考生對(duì)函數(shù)新概

念的理解，涉及函數(shù)的三要素的理解；二是性質(zhì)新定義型，主要是以函數(shù)新性質(zhì)為背景，重點(diǎn)考查考生靈

活應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)的能力，涉及函數(shù)的各種相關(guān)性質(zhì)的拓展延伸.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024?上海?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=，如果存在常數(shù)對(duì)任意滿足玉〈尤2＜當(dāng)一＜x”的

實(shí)數(shù)無(wú)1，無(wú)2,…L，其中西,々，…，ZT，尤“e。，都有不等式恒成立，則稱函數(shù)

i=2

y=/(x),xeD是“絕對(duì)差有界函數(shù)”

⑴函數(shù)=是“絕對(duì)差有界函數(shù)”，求常數(shù)M的取值范圍；

⑵對(duì)于函數(shù)y=/(x),xe［a,b］,存在常數(shù)%,對(duì)任意的藥,電可。，6］，有歸左歸-引恒成立，求

證：函數(shù)y=/(x),xe［a,可為“絕對(duì)差有界函數(shù)”

71

cos__0］

⑶判斷函數(shù)〃尤)=5?一是不是“絕對(duì)差有界函數(shù)”？說(shuō)明理由

0,x=0

2.(24-25高三上.內(nèi)蒙古赤峰.階段練習(xí))若函數(shù)/(尤)在［a,句上存在不，龍2(“＜玉＜%＜為，使得

((5)=八"⑷,做,則稱“X)是［a,句上的“雙中值函數(shù)”，其中國(guó),馬稱為“X)在

b—cib—u.

目上的中值點(diǎn).

⑴判斷函數(shù)/(力=*3-3丁+1是否是［一1,3］上的“雙中值函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)己知函數(shù)〃尤)=；尤2-尤lnx-at,存在旭＞”＞0，使得/(")=/(〃)，且〃尤)是［凡何上的“雙中值函數(shù)”,

再,尤2是/(x)在［n,m\上的中值點(diǎn).

①求a的取值范圍；

②證明：玉+%＞。+2.

3.（22-23高二下?山東濟(jì)南?期中）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理數(shù)多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的

方法，給定兩個(gè)正整數(shù)機(jī)"，函數(shù)?。┰趚=0處的［〃同階帕德近似定義為我⑴且滿

足：/⑼:氏⑼，/10）=~（。）,/乂0）=肥（。）."（""）（0）=7?（"+"）（0）.已知/（力=111（》+1）在》=0處的［1』階帕德

近似為R（x）=.注：/⑴=［廣（切’"”⑴=［＜（切‘,f^x==［/w4-

⑴求實(shí)數(shù)a，）的值；

⑵求證：（x+

⑶求不等式「的解集，其中，e=2.71828...

4.（2024.湖南長(zhǎng)沙.模擬預(yù)測(cè)）定義：如果函數(shù)/'（x）在定義域內(nèi)，存在極大值/（石）和極小值/（%）且存在

一個(gè)常數(shù)3使/&）-/（當(dāng)）=左（王-%）成立，則稱函數(shù)/（x）為極值可差比函數(shù)，常數(shù)左稱為該函數(shù)的極

值差比系數(shù).已知函數(shù)〃%）=尤-L-。111%.

X

（1）當(dāng)時(shí)，判斷了（%）是否為極值可差比函數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）是否存在。使/（X）的極值差比系數(shù)為2-。？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若當(dāng)Wavg,求/（"的極值差比系數(shù)的取值范圍.

5.（2024?上海徐匯?一模）已知定義域?yàn)?。的函?shù)y=/（x）,其導(dǎo)函數(shù)為y=/'（x）,若點(diǎn)（1,%）在導(dǎo)函數(shù)

y=f'（x）圖象上，且滿足則稱4為函數(shù)y=/（久）的一個(gè)“T類數(shù)”，函數(shù)y=fO）的所有

“T類數(shù)”構(gòu)成的集合稱為“T類集”.

⑴若〃x）=sinx,分別判斷!■和日是否為函數(shù)y=fO）的“T類數(shù)”，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)y=,⑴的圖象在R上連續(xù)不斷，集合M={引/'（無(wú)）=0}.記函數(shù)y=/（x）的“T類集”為集合S,若

SuR,求證：M蠱；

⑶己知=-工cos（0X+9）3＞0）,若函數(shù)y=〃＞）的“T類集”為R時(shí)。的取值構(gòu)成集合A,求當(dāng)eeA時(shí)

CD

?的最大值.

題型07圓錐曲線中的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

圓錐曲線背景下的新定義問(wèn)題，關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，并將其與常規(guī)圓錐曲線知識(shí)相結(jié)合。

方法總結(jié)如下：

1、明確新定義：首先仔細(xì)閱讀題目，明確新定義的內(nèi)容、符號(hào)及其含義。

2、聯(lián)系常規(guī)知識(shí)：將新定義與圓錐曲線的第一、第二定義或標(biāo)準(zhǔn)方程等常規(guī)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，找出它們的相

似之處或轉(zhuǎn)換關(guān)系。

3、建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)新定義，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或方程，利用解析幾何或代數(shù)方法進(jìn)行求解。

4、驗(yàn)證與推理：在求解過(guò)程中，注意驗(yàn)證每一步推理的正確性，確保最終答案符合題目要求。

5、靈活應(yīng)用：對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，可能需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，靈活應(yīng)對(duì)。

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024?浙江舟山?模擬預(yù)測(cè))阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用.如圖，在平面直角坐標(biāo)

系尤Oy中,螺線與坐標(biāo)軸依次交于點(diǎn)A(T，。)，4(。，-2),4(3,0),4(0,4),&(-5,0),4(0,-6),4(7,0),4(0,8),

并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去.

⑴求44,AA+4-

⑵求證：不存在正整數(shù)〃，使得三角形升%￡+2的面積為2022;

(3)求證：對(duì)于任意正整數(shù)〃，三角形為銳角三角形.

2.(2024?山東青島?三模)在平面內(nèi)，若直線/將多邊形分為兩部分，多邊形在/兩側(cè)的頂點(diǎn)到直線/的距離

22

之和相等，則稱/為多邊形的一條“等線”，已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左、右焦

點(diǎn)分別為的離心率為2,點(diǎn)尸為E右支上一動(dòng)點(diǎn)，直線〃與曲線￡相切于點(diǎn)尸，且與E的漸近線交

于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)尸入，x軸時(shí)，直線y=l為AP耳工的等線.

⑴求E的方程；

⑵若y=Jlx是四邊形鳥(niǎo)的等線，求四邊形4片8月的面積；

（3）設(shè)礪=；而，點(diǎn)G的軌跡為曲線「，證明:「在點(diǎn)G處的切線，為的等線

3.（2024?浙江?一模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如y=^+l（keR）表示過(guò)點(diǎn)（0,1）的直

線族（不包括直線y軸），直線族的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的切線，

且該曲線上的每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.

⑴圓M：*2+（y-3）2=4是直線族必+利=1（加,〃€2的包絡(luò)曲線，求加，〃滿足的關(guān)系式；

⑵若點(diǎn)N（%外）不在直線族Q：j=a-r2（reR）的任意一條直線上，求為的取值范圍及直線族。的包絡(luò)曲

線E的方程；

⑶在（1）（2）的條件下，過(guò)曲線E上動(dòng)點(diǎn)P向圓M做兩條切線R4,PB,交曲線E于點(diǎn)A,B,求

面積S的最小值.

4.（2024?四川?一模）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為人過(guò)點(diǎn)尸的直線與C相交于點(diǎn)A,B,NAOB

面積的最小值為g（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)￡（〃cN*）：6的坐標(biāo)為（“0）,直線A6,，

B工與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為4，B,,,直線4B“與x軸的交點(diǎn)為工設(shè)點(diǎn)心的橫坐標(biāo)為x”.

⑴求P的值；

（2）求數(shù)列｛%.｝的通項(xiàng)公式；

（3）數(shù)列｛七｝中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)（按原順序）構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，指出所有這樣的連續(xù)三項(xiàng)；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.（2024?江西新余?模擬預(yù)測(cè)）我們知道，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，可以用兩點(diǎn)之間距離公式刻畫(huà)43兩

點(diǎn)的距離"（A3）,事實(shí)上，這里的距離屬于這兩個(gè)點(diǎn)的一種“度量”.在拓?fù)鋵W(xué)中，我們規(guī)定某一實(shí)數(shù)。（A,3）

滿足:①0（48）20,當(dāng)且僅當(dāng)4=3時(shí)等號(hào)成立；②。（A3）=D（3,A）;③（昆C）+D（C,A）.

其中，AB、C為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，我們就稱。（A3）是關(guān)于A、8兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.設(shè)：平面

直角坐標(biāo)系宜萬(wàn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）內(nèi)兩點(diǎn)A&,%）、3優(yōu),%）的“夕距離”夕（42）=」：「引|+」：「％1.

[+\Xl~X2\1+舟一上|

⑴求證：48兩點(diǎn)的“夕距離”是關(guān)于48兩點(diǎn)的一個(gè)“度量”.

（2）設(shè)尸為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn).

（i）若夕（O,P）=g,請(qǐng)?jiān)谙聢D中定性做出尸點(diǎn)的集合組成的圖像（不必說(shuō)明理由，但要求做出特殊點(diǎn)與

其特征）.

1

爹

3手OI3

-a-

2--:-2

；-4-I

2In

-

-4

--

2

(ii)求證：p(O,P)<2.

(3)規(guī)定平面內(nèi)兩條平行直線的P距離夕”4)為在4、4上分別取的任意兩個(gè)點(diǎn)43夕距離的最小值.已知

不重合的直線4：y="4："(J㈤=；，求左的取值范圍.

O----------------題型通關(guān)?沖高考----------*>

題型08數(shù)列中的新定義

【解題規(guī)律?提分快招】

數(shù)列中的“新定義問(wèn)題”，“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后

根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但

是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變

應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.

【典例訓(xùn)練】

一、解答題

1.(2024.江西九江?二模)己知無(wú)窮數(shù)列｛4｝中，??>0,記

A=max｛4%,…必｝,紇=min｛gMe”,…｝&=4-3“.

(1)若｛%｝為2,0,2,4,2,0,2,4,…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即V"eN*,.*=%)，直接寫(xiě)出4，&，4，4的值;

(2)若｛4｝為周期數(shù)列，證明：m%eN*,使得當(dāng)“>小時(shí)，幺是常數(shù)；

(3)設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：4,=-d("=l,2,3…)的充分必要條件為｛叫為公差為d的等差數(shù)列.

2.(2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列.若存在常數(shù)上eN*,%i+%=如“對(duì)

任意的〃eN*成立，則稱數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)中化).

⑴若??=2",請(qǐng)判斷數(shù)列｛4｝是否具有性質(zhì)叫2)；

(2)若數(shù)列｛叫滿足a”.>??(?=1,2,3,...),求證：“數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)甲⑵”是“數(shù)列｛%｝為常數(shù)歹曠的充要條

件；

(3)已知數(shù)列｛%｝中弓=1,且an+l>an(n=1,2,3,...).若數(shù)列｛a,｝只有性質(zhì)T(4),求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

3.(2024.河南新鄉(xiāng).一模)在平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn).若點(diǎn)歹!］｛4｝中的3個(gè)相鄰的點(diǎn)4,4包，4+2

滿足國(guó)］=。西;-4可(〃eN*),則稱關(guān)于x的方程/=px-4是｛4｝的特征方程，將方程無(wú)2=px-q的

實(shí)數(shù)根稱為｛4｝的特征根.已知A0，o)，A(。/)，點(diǎn)歹￡4｝的特征根為1和

2,西=%—兩，化=卬—2兩?

⑴求點(diǎn)紇C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)Z,=(?4+4〃3-6/+4〃-1)西?強(qiáng)，求數(shù)歹U｛力｝的前〃項(xiàng)和S“；

⑶若｛4｝是公差為d(dwO)的等差數(shù)列，且各項(xiàng)都為正整數(shù)，q和d是已知的常數(shù)，求點(diǎn)歹吐4」的特征根.

4.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))已知無(wú)窮數(shù)列也｝(《產(chǎn)?！盢*),構(gòu)造新數(shù)列忖)｝滿足￡滿足

才)=霖-蹙)，…,｛。*卜黃足=4T)-(處2,丘N*),若｛??｝為常數(shù)數(shù)列，則稱｛%｝為左階等差數(shù)

11(1)I(^―1)

列；同理令壯)=才,歐)=蕭,…，邸)=靜(左22,左?N*),若極］為常數(shù)數(shù)列，則稱抄“｝為左階等比

數(shù)列.

(1)己知｛0｝為二階等差數(shù)列，且勾=2,%=6,af)=2,求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛《,｝為二階等差數(shù)列，也,｝為一階等比數(shù)列.證明：也；"｝為三階等比數(shù)列；

(3)己知4=型匚詈匕1,令｛4｝的前〃項(xiàng)和為第式小^庖二1，證明：

ym=\r

5.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))若有窮數(shù)列｛4｝(〃eN*且〃、3)滿足?一％|歸|q+1-4+2|(，=1,2,一〃一2),

則稱｛叫為加數(shù)列.

(D判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說(shuō)明理由：

①1,2,4,3.

②4,2,8,1.

⑵己知M數(shù)列也｝中各項(xiàng)互不相同.令切=鼠一%,」(祖=1,2,…,〃-1),求證：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列的充分

必要條件是數(shù)列也｝是常數(shù)列；

加一1

（3）己知〃數(shù)列｛%｝是加（〃zeN*且加23）個(gè)連續(xù)正整數(shù)12…,根的一個(gè)排列.若Z除一％+卜根+2,求加

k-1

的所有取值.

?>----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、解答題

1.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）正態(tài)分布與指數(shù)分布均是用于描述連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.對(duì)于一個(gè)給定的

連續(xù)型隨機(jī)變量X,定義其累積分布函數(shù)為*x）=P（XWx）.已知某系統(tǒng)由一個(gè)電源和并聯(lián)的A,B,C三

個(gè)元件組成（如圖），在電源電壓正常的情況下，至少一個(gè)元件正常工作才可保證系統(tǒng)正常運(yùn)行，電源及各

元件之間工作相互獨(dú)立.

----------1元件11---------

_--------1元件2|---------_

----------1元件3|---------

--------------II-------------

電源

⑴已知電源電壓X（單位：V）服從正態(tài)分布N（40,4）,且X的積累分布函數(shù)為尸（久），求*42）-“36）；

（2）在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，指數(shù)分布常用于描述事件發(fā)生的時(shí)間間隔或等待時(shí)間.已知隨機(jī)變量T（單位：天）表

0,z<0

示某高穩(wěn)定性元件的使用壽命，且服從指數(shù)分布，其累計(jì)分布函數(shù)為G（r）=、_1,>0.設(shè)證

明：尸（7>47?2）=尸（7>4_幻；

附：若隨機(jī)變量Y服從正態(tài)分布N3b2）,貝|］尸（,-4<b）=0.6827,尸（|y-4<2b）=0.9545,

P（|y-//|<3<T）=0.9973.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一,它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，

是由法國(guó)數(shù)學(xué)家米歇爾羅爾于1691年提出的.它的表達(dá)如下：如果函數(shù)/（x）滿足在閉區(qū)間切連續(xù)，在

開(kāi)區(qū)間（“㈤內(nèi)可導(dǎo)，且區(qū)0=/（力,那么在區(qū)間3力內(nèi)至少存在一點(diǎn)加,使得（（根）=0.

⑴運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)/（》）在區(qū)間可連續(xù)，在區(qū)間（。力）上可導(dǎo)，則存在x°w（a,b）,使得

b—a

⑵已知函數(shù)"X）=xlnx,g。）=；/-bx+\,若對(duì)于區(qū)間（1,2）內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)%,馬，都有

"（%）-7（3）1>區(qū)（網(wǎng)）-g（%）|成立，求實(shí)數(shù)》的取值范圍.

3.（2024?河北張家口?二模）如果項(xiàng)數(shù)均為"的數(shù)列｛q｝,但｝滿足｛?！?也｝=｛1，2,3「?,2*,且i為奇數(shù)時(shí),

i為偶數(shù)時(shí)，麗其中於｛1,2,3廣.,〃｝,那么就稱｛4｝,也｝為“互補(bǔ)交叉數(shù)列”，記D…:"為

也，…，，）

｛q｝，｛%｝的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對(duì)"，S“為｛%｝的前〃項(xiàng)和.

⑴若｛4｝“〃｝=｛1,2,3,4,5,6｝,且%=5,寫(xiě)出所有滿足條件的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對(duì)”；

⑵當(dāng)｛%｝,也｝為“互補(bǔ)交叉數(shù)列”時(shí)，

（i）證明：S“取最大值時(shí)，存在弓=2"；

（ii）當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，求S,的最大值.

4.（2024.福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）將足夠多的一批規(guī)格相同、質(zhì)地均勻的長(zhǎng)方體薄鐵塊疊放于水平桌面上，每

個(gè)鐵塊總比其下層鐵塊向外伸出一定的長(zhǎng)度，如下圖，那么最上層的鐵塊最多可向桌緣外伸出多遠(yuǎn)而不掉

下呢？這就是著名的“里拉斜塔”問(wèn)題.將鐵塊從上往下依次標(biāo)記為第1塊、第2塊、第3塊......第九

塊，將前迨=1,2,3,…塊鐵塊視為整體，若這部分的重心在第，+1塊的上方，且全部鐵塊整體的重心在桌

面的上方，整批鐵塊就保持不倒.設(shè)這批鐵塊的長(zhǎng)度均為1,若記第“塊比第”+1塊向桌緣外多伸出的部分

的最大長(zhǎng)度為瑪，則根據(jù)力學(xué)原理，可得為=；,且｛上｝為等差數(shù)列.

a

4n

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛外｝的前〃項(xiàng)和為S..

①比較s“與fn（〃+l）的大??；

②對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛七｝,如果存在常數(shù)A,對(duì)任意的正數(shù)%總存在正整數(shù)N。，使