第6章直角三角形的邊角關(guān)系

（易錯(cuò)必刷30題8種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

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A銳角三角函數(shù)的定義A解直角三角形的應(yīng)用

A銳角三角函數(shù)的增減性A解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題

A特殊角的三角函數(shù)值A(chǔ)解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題

A解直角三角形A解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題

?題型通關(guān)專訓(xùn)?

一.銳角三角函數(shù)的定義（共8小題）

1.正方形網(wǎng)格中，/AO8如圖放置，則cos/AOB的值為（)

D?亨

【解答】解：如圖，C為邊上的格點(diǎn)，連接AC,

根據(jù)勾股定理，40=五口”=2病,

AC=412+32=>/10，

0c=4J+32=,

所以，4。2=4。2+。。2=2。，

所以，△AOC是直角三角形，

cosNAOB=2ZL.

A02^52

故選：B.

/一R

2.在Rt^ABC中，AC=8,BC=6,則cosA的值等于（）

Bc.4或近

-454

【答案】c

【解答】解：當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，存在兩種情況:

①當(dāng)為斜邊，ZC=90°,

VAC=8,BC=6,

；?AB=VAC2+BC2=V82+62=18

cosA=-^k=_§_=A

AB105

②當(dāng)AC為斜邊，ZB=90°,

由勾股定理得：AB-《AC2-BC之=$2=2^7，

.-.COSA=AB=2VL=VL;

AC84

綜上所述，cosA的值等于2或近.

54

故選：C.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,tan/

ABO=M，則菱形ABC。的周長為（）

B.6MC.1273D.873

【答案】D

【解答】解：：點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,3）,

；.AO=3,

VtanZABO=V3>

.??世=如,

B0

:.工7,

B0

:.BO=M，

「△A02是直角三角形,

；?AB=VA02+B02=Vs2+(V3)2=^12S

.菱形的四條邊相等,

菱形ABCD的周長為2a義4=8次.

故選：D.

4.己知在RtZXABC中，ZC=90°,AC=V15>AB=4,則cosB的值是（）

A.B.Ac.AD.2/lL

43415

【答案】c

VZC=90°,AC=Vl5>AB=4,

BC=VAB2-AC2=V16-15=1，

/.cosB=-^-=—,

AB4

故選：C.

5.如圖，在△ABC中，/C=90°,AC=5,若cos/A=A,則BC的長為（

13

D.18

【答案】B

【解答】解：:△ABC中，ZC=90°,AC=5,COSZA=A,

13

??5?I_—5

AB13

：.AB=13f

BC=VAB2-AC2=12,

故選：B.

6.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A、B、。都在格點(diǎn)上，則/。48的正弦值是叵.

—5—

【答案】見試題解答內(nèi)容

在RtZ\AC°中，A°=YAC240c2=442+22=屈=2^，

2

sinZOAB=/=_=^§_.

OA2755

故答案為：逐.

5

7.如圖，在4X4的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則圖中/

ABC的正弦值是2匹.

—5—

B

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由圖可知，AC2=22+42=20,BC2=l2+22=5,AB2=32+42=25,

.?.△ABC是直角三角形，且NAC2=90°,

sinNABC=螞='后.

AB5

故答案為：

5

8.如圖，在△ABC中，ZC=90°，AC=6,若cos&=2,則8C的長為8.

5

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：：在△A8C中，ZC=90°,AC=6,cosA=旦，

5

/.8$4=曳-=巨=旦，

ABAB5

：.AB=10,

BC=7AB2-AC2=V102-62==8-

故答案為：8.

二.銳角三角函數(shù)的增減性（共1小題）

9.若NA是銳角，且sinA=2，則（）

3

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】A

【解答】解：,../A是銳角，且sinA=」<』=sin30°,

32

.".0°<ZA<30°,

故選：A.

三.特殊角的三角函數(shù)值（共2小題）

10.在△ABC中，如果NA、滿足|tanA-1|+（cosB-A）2=0,那么在C=75°

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：:△ABC中，|tanA-1|+(cosB-A)2=0

2

tanA=l,COSB=A

2

-45°,ZB=60°，

:"C=75

故答案為：75°.

11.計(jì)算:

(1)tan45°-sin30°cos60°-cos245°；

(2)3tan30°-tan245°+2sin60°.

【答案】(1)1:

4

(2)273-1.

【解答】解:(1)tan45°-sin30°cos60°-cos245°

=i-AxA-(亞)2

222

=1-1-1

42

=1.

4

(2)3tan30°-tan245°+2sin60°

=3義立,-12+2X2Z1.

32

=V3-1+V3

=2,5/3-1.

四.解直角三角形(共5小題)

12.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是角平分線A。、BE的交點(diǎn)，若AB=AC=10,BC=12,貝！Jtan/的值

【答案】A

【解答】解：如圖:

作。尸于F,

,：AB=AC,A。平分/8AC.

：.ZODB=90°.BD=CD=6.

，根據(jù)勾股定理得：AD=V100-36=8.

「BE平分NABC.

OF=OD,BF=BD=6,A尸=10-6=4.

設(shè)0。=。/=羽則40=8-x,在RtZSA。尸中，根據(jù)勾股定理得:

(8-x)2=X2+42.

??x~~3.

JOD=3.

在RtZXOBD中，tanNOBZ)=_2R=g=Ji.

BD62

法二：在求出AF=4后

'：tanZBAD=^-=^..

AFAD

A0F=_6

'T■?1

：.0F=3.

：.OD=OF=3.

tanZ.0BD=^-=—.

BD2

故選：A.

13.將一副三角板如圖擺放在一起，組成四邊形ABC。，ZABC=ZACD=90°,ZADC=60°,ZACB=

45°,連接8。，貝UtanNCH。的值等于（)

B

---、D

C

ABc+]D一]

-T-~4~-3,2

【答案】D

【解答】解：如圖所示，連接BD過點(diǎn)。作OE垂直于8C的延長線于點(diǎn)E

?.?在RtZXABC中，ZACB=45°,在RtZXACD中，ZACD=90°

：.ZDCE=45°,

■:DELCE

/.ZC￡D=90°,ZCDE=45°

：.設(shè)DE=CE=l,則CZ)=6

在RtAACD中,

'：ZCAD=3O°,

：.tanZCAD=^-,貝1」47=五，

AC

在RtZXABC中，ZBAC=ZBCA=45°

:.BC=M，

：.在RtABED中，tan/C8￡)=^=—4=立一1

BE1啦2

故選：D.

14.閱讀理解：為計(jì)算tanl5°三角函數(shù)值，我們可以構(gòu)建Rt^AC2（如圖），使得NC=90°,NA2C=30°,

延長CB使連接A。，可得到/。=15°,所以tanl5°=運(yùn)=—匚=-----2-^/3

CD2W3(2W3)(2^3)

=2-類比這種方法，請你計(jì)算tan22.5。的值為()

A.V2+1B.V2-1C.A/2D.A

2

【答案】B

【解答】解：如圖:

在RtzXACB中，ZC=90°，ZABC=45°，延長CB使連接AD,

：.ZBAD=ZD=22.5°,

設(shè)AC=BC=1,則A8=BD=&AC=&,

:.CD=BC+BD=\+近,

在RtZXAOC中，tan22.5°=至=—1^=6-1,

CD1W2

故選：B.

15.四邊形具有不穩(wěn)定性，對于四條邊長確定的四邊形，當(dāng)內(nèi)角度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，其形狀也會隨之改變.如

圖，改變邊長為2的正方形A8CD的內(nèi)角，變?yōu)榱庑蜛8CO,若/042=45°,則陰影部分的面積是

)

A.B.5-V2C.5+2我D.5-2A/2

22

【答案】D

【解答】解：設(shè)BC與C'D'交點(diǎn)為5

貝！|BE_LC'D',因此C'E=BC?COSC,,

;四邊形43C'D'為菱形，則NC'=/D'AB=45°,

：.CE=BC'?cosC,=2X亞=&，

2

同理?sinU=&,

：.D'E=2-&,BE=6,

.?.梯形。'E54面積為：

S'=(D'E+A8)XBEX工=2如-1,

2

陰影面積為：S=SSABCD-S'

=2X2-(2A/2-1)

=5-272.

故選：D.

16.我們給出定義：如果兩個(gè)銳角的和為45°,那么稱這兩個(gè)角互為半余角.如圖，在△ABC中，ZA,Z

5

【解答】解：過點(diǎn)2作2OLAC,交AC的延長線于點(diǎn)

..BC啦

?AC=3

:.設(shè)BC=2jia,AC=3a,

VZA,NB互為半余角，

AZA+ZB=45°,

：.ZDCB=ZA+ZB^45°,

BCsin45°=2企。?亞=2。,

在RtZXCDB中，BD

2

CZ)=BCcos45°=2&a?V^_=2tz,

2

*：AC=3af

AD—AC+CD=3a+2a=5a,

在RtZXABD中，tanA=坨=&_=2,

AD5a5

故答案為：2.

5

五.解直角三角形的應(yīng)用（共3小題）

17.如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形A3C,其中A3=AC,ZABC=27°,BC=44cm,則高

AO約為（）

(參考數(shù)據(jù):sin27°心0.45,cos27°^0.89,tan27°心0.51)

C.19.58cmD.22.44cm

【答案】B

【解答】解:'：AB^AC,BC=44cm,

?.BD='CD=22cm,AZ)_L3C,

VZABC=27°,

AtanZABC=-^.?0.51,

BD

A。心0.5IX22=11.22cs,

故選：B.

18.如圖2,有一塊四邊形的鐵板余料ABC。，經(jīng)測量AB=50ow,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC

=A,若要從這塊余料中裁出頂點(diǎn)〃、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN,則該矩形的面積為余44

3

cm2.

D

A

B

【答案】1944.

【解答】解：如圖，延長54、CD交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EHLBC于點(diǎn)H,

交尸。于點(diǎn)G,如圖，設(shè)矩形PQMN,

\ZB=ZC,

：.EB=EC,

VBC=108cm,且EH_L2C,

BH=CH=AfiC=54cm,

2

VtanB=^H=A,

BH3

EH=魚BH=AX54=12cm,

33

：.EG=EH-GH=12-QM,

'.,PQ//BC,

:.△EQPs^EBC,

?PQ=EG即PQ=72-QM

"BCEH'l0872

：.PQ=3-(72-QM),

2

設(shè)

貝US矩形尸(72-x)=-2Cx-36)2+1944,

22

???當(dāng)x=36時(shí)，S矩形PQMN最大值為1944,

所以當(dāng)QW=36時(shí)，矩形PQMN的最大面積為1944cm2,

答：該矩形的面積為1944CM?.

故答案為：1944.

19.勝利黃河大橋猶如一架巨大的豎琴，凌駕于滔滔黃河之上，使黃河南北“天塹變通途”.已知主塔A8垂

直于橋面BC于點(diǎn)8,其中兩條斜拉索4。、AC與橋面8C的夾角分別為60°和45°,兩固定點(diǎn)。、C

之間的距離約為33根，求主塔的高度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：&-1.41,VS^I.73）.

【答案】78m.

【解答】解：在RtZiADB中，ZADB=60°,tanZADB=^-,

BD

：.BD=—-=-^-,

tan60°v3

在RtZXABC中，/C=45°,tan/C=膽，

BC

：.BC=——=AB,

tan45°

?：BC-BD=CD=33m,

媽=33,

V3_

.?.42=99+33、/^^78（m）.

2

答：主塔AB的高約為78%

六.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共2小題）

20.如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為a的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡

面上的距離A8為（）

?5米鎏

a

A.5cosaB.——-——C.5sinaD.——-——

cosCLsinCL

【答案】B

【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BCL4尸于點(diǎn)C.

；BC=5米，ZCBA=Za.

：.AB=―—=―-----

cosacosa

21.為了防洪需要，某地決定新建一座攔水壩，如圖，攔水壩的橫斷面為梯形A8CD斜面坡度i=3：4是

指坡面的鉛直高度與水平寬度BF的比.已知斜坡8長度為20米，/C=18°,求斜坡A2的長.（結(jié)

果精確到。」米）（參考數(shù)據(jù)：sinl8°-0.31,cosl8°?0.95,tanl8°-0.32）

【答案】斜坡A8的長約為10.3米.

【解答】解：過點(diǎn)。作。EL8C,垂足為E,

?..斜面的坡度，=3：4,

?AF=2

"BF了

.?.設(shè)A歹=3x米，則BF=4x米,

22=5x

在Rt^AB尸中，AB=A/Ap2+BF2=>y（3x）+（4x）（米"

在RtZVJEC中，ZC=18°,CD=20米,

.\DE=CD-sinl8°^20X0.31=6.2（米）,

：.AF=DE=6.2^i,

3x=6.2,

解得：

15

.?.48=5x210.3（米），

斜坡AB的長約為10.3米.

七.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共6小題）

22.荊州市濱江公園旁的萬壽寶塔始建于明嘉靖年間，周邊風(fēng)景秀麗.現(xiàn)在塔底低于地面約7米，某校學(xué)生

測得古塔的整體高度約為40米.其測量塔頂相對地面高度的過程如下：先在地面4處測得塔頂?shù)难鼋菫?/p>

30°,再向古塔方向行進(jìn)。米后到達(dá)8處，在8處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°（如圖所示），那么a的值約

為24.1米（73^1-73,結(jié)果精確到0.1）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：如圖，設(shè)CD為塔身的高，延長交CD于E,則CD=40,DE=1,

；.CE=33,

:NCBE=45°=NBCE,ZCAE^30°,

：.BE=CE=33,

.?.AE=〃+33,

tanA=-^,

AE

.\tan30°=-33,即33百=a+33,

a+33

解得a=33（A/3-1）q24.1,

.，.a的值約為24.1米，

故答案為：24.1.

c

D

23.在一次綜合實(shí)踐活動中，某小組對一建筑物進(jìn)行測量.如圖，在山坡坡腳C處測得該建筑物頂端2的

仰角為60°,沿山坡向上走20根到達(dá)。處，測得建筑物頂端8的仰角為30°.已知山坡坡度i=3：4,

即tan0=旦，請你幫助該小組計(jì)算建筑物的高度A8.

4

（結(jié)果精確到0.1加，參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

【解答】解：過點(diǎn)。作垂足為E,過點(diǎn)。作垂足為R

在RtzXDEC中，tan0=1旦=3,

EC4

設(shè)DE=3x米，則CE=4x米，

?:D呼+CC=DC2,

(3x)2+(4x)2=400,

；?％=4或%=-4（舍去）,

：.DE=AF=12^i,CE=16米,

設(shè)BF=y米，

：.AB=BF+AF=（12+y）米，

在RtZVJB/中，/BDF=3Q°,

:.DF=—^_=*=?y（米），

tan300?

3

.,.AE—DF—y/^y米，

J.AC^AE-CE=（V3y-16）米，

在RtZXABC中，ZACB=6Q°,

.".tan60o=旭=±2+/.=?,

AC<3y-16

解得：y=6+8?,

經(jīng)檢驗(yàn)：y=6+8向是原方程的根，

AAB=BF+AF=18+873^31.9（米），

建筑物的高度AB約為31.9米.

24.在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，某小組要測量一幢大樓的高度，如圖，在山坡的坡腳A處測得大樓

頂部〃的仰角是58°,沿著山坡向上走75米到達(dá)8處，在B處測得大樓頂部M的仰角是22°,已知

斜坡A2的坡度i=3：4（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求大樓的高度.（圖中的點(diǎn)A,

B,M,N,C均在同一平面內(nèi)，N,A,C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°-0.4,tan58°?1.6）

M

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：過點(diǎn)2作BE,AC,垂足為E,過點(diǎn)B作BLaWN,垂足為D,

貝I」BE=DN,DB=NE,

,斜坡AB的坡度i=3：4,

?BE=2

',而T

.,.設(shè)8E=3a米,則AE=4a米，

在RtZXABE中，AB=VAE2+BE2=V（3a）2+（4a）2=5a（米），

VAB=75米，

.,.5a=15,

??ct~—15,

.*.rW=2E=45米，AE=60米，

設(shè)NA=x米，

/.BD=NE=AN+AE=（x+60）米，

在RtzXAW中，NM4M=58°,

：.MN=AN-tan58°F.6x（米），

：.DM=MN-DN=（1.6x-45）米，

在RtZkMDB中，ZMBD=22°,

?*.tan22°=述=1,旅一必生0.4,

DBx+60

解得：x=57.5,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=57.5是原方程的根，

；.MN=1.6x=92（米），

大樓MN的高度約為92米.

25.如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成.如圖2,是燈桿，C。是燈管支

架，燈管支架C￡＞與燈桿間的夾角/2。。=60°.綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CD的長度，他

們在地面的點(diǎn)E處測得燈管支架底部。的仰角為60°,在點(diǎn)/處測得燈管支架頂部C的仰角為30°,

測得AE=3〃z,EF=8m（A,E,尸在同一條直線上）.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：

（1）求燈管支架底部距地面高度的長（結(jié)果保留根號）；

（2）求燈管支架C。的長度（結(jié)果精確到0.1加，參考數(shù)據(jù)：V3^1.73）.

圖I圖2

【答案】（1）燈管支架底部距地面高度的長為3我米；

（2）燈管支架CD的長度約為1.2米.

【解答】解：（1）在RtZYDAE中，ZAED=60°,AE=3m,

.'.AD—AE,tan60°=3^/^（米），

燈管支架底部距地面高度A。的長為3如米；

（2）延長FC交48于點(diǎn)G,

"：ZDAE^90°,NA尸C=30°,

：.ZDGC=90°-ZAFC=60°,

?：ZGDC=60°,

.\ZZ）CG=180°-ZGDC-ZDGC=60°,

...△QGC是等邊三角形，

：.DC=DG,

；AE=3米，EF=8米，

：.AF=AE+EF=U（米），

在RtzXAPG中，AG=AF'tan30°=11X近=且在（米）,

33

：.DC=DG^AG-AZ）=11V3-3V3=—V3^1-2（米），

33

...燈管支架CD的長度約為1.2米.

26.小明為了測量樓房的高度，他從樓底的8處沿著斜坡向上行走20m到達(dá)坡頂。處.已知斜坡的

坡角為15°.（以下計(jì)算結(jié)果精確到0.1〃z）

（1）求小明此時(shí)與地面的垂直距離CD的值；

（2）小明的身高即是1.6加，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45°,求樓房A5的高度.（sinl5°心

0.2588cosl5°^0.9659tanl5°心0.2677)

口

口

口

口

□

□

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）在中，

VZCBZ）=15°,BD=20,

：.CD=BD^sinl5°,

CD^5.2m；

答：小明與地面的垂直距離CD的值是5.2m；

（2）在RtZ\APE中，VZAEF=45°,

：.AF=EF=BC,

由（1）知，BC=BD?cosl5°^19.3（加），

；.A2=AF+￡>E+C￡）=19.3+1.6+5.2=26.1（m）.

答：樓房AB的高度是26.1怔

27.《海島算經(jīng)》是中國古代測量術(shù)的代表作，原名《重差》.這本著作建立起了從直接測量向間接測量的橋

梁.直至近代，重差測量法仍有借鑒意義.

如圖2,為測量海島上一座山峰AH的高度，直立兩根高2米的標(biāo)桿8C和。E,兩桿間距8。相距6米，

D、B、7/三點(diǎn)共線.從點(diǎn)B處退行到點(diǎn)R觀察山頂A,發(fā)現(xiàn)A、C、尸三點(diǎn)共線，且仰角為45°；從點(diǎn)

。處退行到點(diǎn)G,觀察山頂4發(fā)現(xiàn)A、E、G三點(diǎn)共線，且仰角為30°.（點(diǎn)區(qū)G都在直線上）

（1）求FG的長（結(jié)果保留根號）；

（2）山峰高度A8的長（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：72^1.41,73^1,73）

A

【答案】(1)/G的長為(4+2^3)米;

(2)山峰高度AH的長約為10.2米.

【解答】解：（1）由題意得：CBLFH,ED±HG,

在Rt△尸2C中，ZBFC=45°,BC=2,

：.BF=―匹—=2（米），

tan450

在中，NG=30°,DE=2,

；.DG=―—=-^-=2A/3（米），

tan300叵

3

?.,BD=6米，

：.FG=BD+DG-BF=6+2y/3-2=（4+2百）米,

...尸G的長為（4+273）米；

（2）設(shè)A”=尤米，

在RtZXA叱中，ZAFH=45°,

:.FH=—期—=無（米），

tan450

,:FG=（4+2A/3）米，

：.HG=HF+FG=（x+4+2百）米，

在RtZ\A”G中，ZG=30°,

：.HG=―—=-^-=V^AH,

tan300叵

3

X+4+2A/"5=