角平分線模型知識精講

【知識梳理】

知識點一、角的平分線

如圖所示，射線OC把分成兩個相等的角，射線OC就叫做這個角的角平分線.

PS：角的平分線是一條射線，不是線段或直線.

如果一條射線是某一個角的平分線，那么這條射線必定在該角的內部；

知識點二、角平分線性質定理與判定定理

1.角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；

2.角平分線的判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

知識點三、角平分線的畫法(尺規(guī)作圖)

如圖所示：作的角平分線

(1)以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線。/、08于點。、E；

(2)分別以點。、E為圓心，大于石的長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點C；

(3)過。、C兩點作射線0C,射線0C就是的角平分線.

【角平分線有關模型】

1.過角平分線上一點向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質來解決問題:

例:

已知：P是N408平分線上的一點，過點p作于點M,過點P作PNL08于點N,則①

PM=PN；②OM=ON；③/MPO=NNPO；@ZOMP=ZONP.

2.若題目中已經(jīng)有了角平分線和角平分線上一點到一邊的垂線段（距離），則作另一邊的垂線段，例:

已知：是NC4B的平分線，NC=90°,過點。作。于點￡,則。E=

A

EB

3.在角的兩邊上取相等的線段，結合角平分線構造全等三角形（角邊等，造全等），例：

已知：點。是N/05平分線上的一點，在。4、上分別取點E、F,且OE=QF,連接?！?、DF,則

^OED^/XOFD.

4.過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，例:

已知：點。是N/03平分線上的一點，過點。作。E//OB,則△E。。是等腰三角形，即石。=成＞.

5.有角平分線時，過角一邊上的點作角平分線的平行線，交角的另一邊所在直線于一點，也可構造等腰三

角形,例：

已知:0C平分ZAOB，點。是04上一點，過點。作DEH0C交0B的反向延長線于點E,則。。=0E.

6.從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的另一邊相交，則可得到一個等腰三角形，例:

已知：0E平分/4O8,點。在3上，DEVOE,則可延長DE交0B于點F,則DE=EF,OD=OF,Z

ODF=ZOFD.

7.有角平分線時，可將等角放到直角三角形中，構造相似三角形，也可以另加一對相等的角構造相似三

角形,例：

(1)已知：0c平分點E、尸分別在04、02上，過點E作E加，0。于點過點尸作JWL0。

于點N,則△。石MS^ORN,如圖所示:

(2)已知：OC平分N408,點E、尸在OC上，作EW_LO力于點M,作PN_L08于點N,則

△OEMsAOFN,如圖所示:

A

C

彳

-

口

N

(3)己知：0c平分N403,點E、F在0Cy，作/EM0=/FNO,則AOEMs^OFN,如圖

所示:

8.利用“在同圓或等圓中，相等的圓周角（圓心角）所對的弦相等”可得相等線段，例:

己知：NA4c是圓。的圓周角，ND0E是圓。的圓心角，4F平分NB4C,OG平分/D0E,連接BRCF、

DG、EG,則2尸=。尸，DG=EG.

9.【內內模型】如圖，△48。兩個內角平分線交于點。，則/。=90°+1/4.

10.【內外模型】如圖，△ABC的一個內角平分線和一個外角平分線交于點D,則

2

M

CB

11.【外外模型】如圖，△46。兩個外角的角平分線交于點。，則/。=90°—

角平分線模型知識精講

【知識梳理】

知識點一、角的平分線

如圖所示，射線OC把分成兩個相等的角，射線OC就叫做這個角的角平分線.

PS：角的平分線是一條射線，不是線段或直線.

如果一條射線是某一個角的平分線，那么這條射線必定在該角的內部；

知識點二、角平分線性質定理與判定定理

1.角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；

2.角平分線的判定定理：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

知識點三、角平分線的畫法(尺規(guī)作圖)

如圖所示：作的角平分線

(1)以點。為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交射線。/、08于點。、E；

(2)分別以點。、E為圓心，大于石的長為半徑畫弧，兩弧在的內部交于點C；

(3)過。、C兩點作射線0C,射線0C就是的角平分線.

【角平分線有關模型】

1.過角平分線上一點向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質來解決問題:

已知：P是N408平分線上的一點，過點p作于點M,過點P作PNL08于點N,則①

PM=PN；②OM=ON；③/MPO=NNPO；@ZOMP=ZONP.

【證明】：OC是的角平分線，

ZMOP=ZNOP,

在AMOP與AN0P中,

ZM0P=ZN0P

N0MP=N0NP=90。'

{0P=0P

:.叢MOP9叢NOPCAAS）,

：.PM=PN,OM=ON,ZMPO=ZNPO,ZOMP=ZONP.

2.若題目中已經(jīng)有了角平分線和角平分線上一點到一邊的垂線段（距離），則作另一邊的垂線段，例:

己知：是NCAB的平分線，ZC=90°,過點。作。石，48于點E,則。E=

【證明】如圖，平分/CAB,

ZCAD=ZEAD,

：.DELAB于點E,

ZC=ZAED=90°,

在△AC。和△AEO中，

NCAD=/EAD

<ZC=ZAED=^

[AD=AD

△AC。名△AED(AAS),

DE=DC.

3.在角的兩邊上取相等的線段，結合角平分線構造全等三角形(角邊等，造全等)，例：

已知：點。是N/OB平分線上的一點，在。1、08上分別取點￡、F,且0E=0F,連接?！辍F,則

△0ED空40FD.

【證明】如圖，：。￡＞平分NA02,

ZAOC=ZBOC,

0D=0D

^AOC=^BOC,

{0E=0F

：.M)ED空/XOFD(SAS)

4.過角平分線上一點作角的一邊的平行線，構造等腰三角形，例:

已知：點。是平分線上的一點，過點、D作DEMOB,則△石0。是等腰三角形，即石。=ED.

【證明】:。。是N403的平分線,

?.Z1=Z2,

又?「DE/IAB,：.Z2=Z3,/.Z1=Z3,

」.△EO。是等腰三角形.

5.有角平分線時，過角一邊上的點作角平分線的平行線，交角的另一邊所在直線于一點，也可構造等腰三

角形,例：

已知:OC平分N406，點。是上一點，過點D作DEI/0C交OB的反向延長線于點E,則0。=0E.

【證明】???。。平分/4。8,

ZAOC=ZBOC,

\'DE//OC,

:./E=/BOC,ZODE=ZAOC,

：.ZE=ZODE,

：.OD=OE.

6.從角的一邊上的一點作角平分線的垂線，使之與角的另一邊相交，則可得到一個等腰三角形，例：

己知：?！昶椒諲/02,點。在。4上，DELOE,則可延長DE交。2于點尸，貝！|DE=E尸，0D=0F,Z

ODF^ZOFD.

【證明】如圖，：0E平分NA02,

ZDOE=ZFOE,

；.DE_LOE于點E,

：.ZDEO=ZFEO=90°,

/DOE=/FOE

NDEO=NFEO=90。,

{OE=OE

:.△DOE9/\FOE(ASA),

.?.則OE=EROD=OF,ZODF=ZOFD.

7.有角平分線時，可將等角放到直角三角形中，構造相似三角形，也可以另加一對相等的角構造相似三角

形，例：

(1)已知：OC平分NAOB，點、E、F分別在OA.OB1.,過點E作。于點M,過點F作PNLO。

于點N,則AOEMS^OFN,如圖所示：

【證明】：OC平分N/QB,

ZEOM=ZFON,

又,：/OME=NONF=90°,

:AOEMsM)FN.

(2)已知：OC平分N408,點￡、尸在OC上，作EW_L04于點M,作RN_L08于點N,則

△OEMs40FN,如圖所示：

E

B

ON

【證明】：0C平分N4OB,

/EOM=/FON,

又＜/OME=/ONF=90°,

：./\OEM^/\OFN.

(3)已知：OC平分N4CZB,點E、F在OC上，作/EMO=/FNO,則△。及0s△QFN,如圖

所示:

【證明】?；。。平分/4。8,

ZEOM=ZFON,

又,：NOME=/ONF,

：.40EMsAOFN.

8.利用“在同圓或等圓中，相等的圓周角(圓心角)所對的弦相等”可得相等線段，例:

已知：N3/C是圓。的圓周角，是圓。的圓心角，AF平分/BAC,OG平分/DOE,連接8GCF、

DG、EG,貝!]8P=C尸，DG=EG.

【證明】止平分N3/C,

ZBAF=ZCAF,

:.BF=CF（在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等）,

：OG平分/DOE,

ZDOG=ZEOG,

：.DG=EG（在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等）.

9.【內內模型】如圖，△40。兩個內角平分線交于點。，則/。=90°+白/4.

【證明】平分N4C8,8。平分NAMC,「./1=/2,/3=/4,

在△/8C中，ZA+Z1+Z2+Z3+Z4=8O°,

在△03。中，ZD+Z2+Z4=180°,

-.?Z1=Z2,Z3=Z4,

.JN/+2/2+2/4=180。①

1ZD+Z2+Z4=180°②

由①一②X2得N4+2N2+2N4—2/0—2/2—2/4=360°—180°,

/.N4-2ZD=180°,即/D=90°+

10.【內外模型】如圖，△48。的一個內角平分線和一個外角平分線交于點。，則

M

C'B

【證明】平分NHCB,AD平分」.N1=N2,N3=N4,

在△ABC中，^A+ZACB=ZABM,即N4+N1+N2=N3+N4①

在△ZZBC中，ZD+Z2=Z4②

?.?N1=N2,N3=N4

.(Z4+2Z2=2Z4①