難點(diǎn)02與三角形有關(guān)的常考題型

（6大熱考題型）

麴型盤點(diǎn)G

題型一：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

題型二：用三角形的高的應(yīng)用

題型三：三角形中線性質(zhì)的應(yīng)用

題型四：與平行線有關(guān)的三角形角度計(jì)算

題型五：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角計(jì)算

題型六：平行線間的距離折疊背景下的三角形內(nèi)角計(jì)算

信我￡耀淮堀分

題型一：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024.內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是方程f-10x+21=0的兩個(gè)根，則這個(gè)

三角形的周長(zhǎng)為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【變式1-1］（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在VABC中，AB=3y/2,AC=2,以BC為邊作RtZiBCD,

3c=%>,點(diǎn)。與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)，則1。的最大值為（）

A.2+3亞B.6+20C.5D.8

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024.廣東韶關(guān).模擬預(yù)測(cè)）如圖，人字梯的支架AB,AC的長(zhǎng)度都為2nl（連接處的長(zhǎng)度忽略不計(jì)），則

B,C兩點(diǎn)之間的距離可能是（）

A

B

A.3mB.4.2mC.5mD.6m

2.（2024?云南曲靖?一模）菱形ABCD的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8,邊A3的長(zhǎng)是方程d一7犬+10=0的一個(gè)根，則

菱形ABCZ）的周長(zhǎng)為（）

A.16B.20C.16或20D.32

3.（2024?河北.模擬預(yù)測(cè)）如圖，嘉嘉將一根筆直的鐵絲放置在數(shù)軸上，點(diǎn)48對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-5,5,

從點(diǎn)C,。兩處將鐵絲彎曲兩頭對(duì)接，圍成一個(gè)三角形，其中點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2,則點(diǎn)。在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的

4.（2024?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè)）己知兩個(gè)等腰三角形可按如圖所示方式拼接在一起，則邊AC的長(zhǎng)可能為（）

5.（2024?江蘇鎮(zhèn)江.中考真題）等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和2,則第三邊長(zhǎng)為.

6.（2024?貴州黔東南?二模）某校九年級(jí)學(xué)生計(jì)劃前往貴州省博物館開展一天的研學(xué)活動(dòng)，出發(fā)前每班需要

準(zhǔn)備一個(gè)三角形形狀的隊(duì)旗，下列給出的三邊長(zhǎng)規(guī)格中，可以實(shí)現(xiàn)三角形隊(duì)旗制作的是（）

A.6dm,6dm,12dmB.8dm,4dm,2dm

C.6dm,3dm,10dmD.6dm,8dm,7dm

7.（2024?河北邢臺(tái)?模擬預(yù)測(cè)）題目：“如圖，4=30。，BC=2,在射線上取一點(diǎn)A,設(shè)AC=d,若

對(duì)于d的一個(gè)數(shù)值，只能作出唯一一個(gè)VABC,求d的取值范圍.”對(duì)于其答案，甲答：d>2,乙答：d=l,

丙答：6，則正確的是（）

c

A.只有甲答的對(duì)B.乙、丙答案合在一起才完整

c.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

8.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))如圖,A2CD為平行四邊形，AC=BC,若VABC腰長(zhǎng)為5,則平行四邊形

周長(zhǎng)可能是()

C.32D.34

9.(2024?貴州貴陽(yáng)?一模)如圖，VABC中，AC=8,。為AC邊上一點(diǎn)，且NAO3=60。.點(diǎn)D在射線20

上，且3。=6,連接。C.則AB+DC的最小值是

10.(2024?貴州黔南?模擬預(yù)測(cè))如圖，在VABC中，AC=BC=/,過點(diǎn)A作直線AD工于點(diǎn)。，E,

產(chǎn)分別是直線AD,邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=CF,則M+CE的最小值為.

11.(2024.四川遂寧.模擬預(yù)測(cè))已知等腰三角形的周長(zhǎng)12cm,底邊長(zhǎng)y(cm)是腰長(zhǎng)x(cm)的函數(shù).

(1)寫出這個(gè)函數(shù)關(guān)系式.

(2)求自變量x的取值范圍.

(3)畫出這個(gè)函數(shù)的圖像.

題型二：三角形高的應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?河北?中考真題）觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得線段30一定是VABC的（)

C.中位線D.中線

【典例2】（2024?山東德州?中考真題）如圖，在VABC中,4￡）是高，AE是中線，AD=4,‘△ABC=12,則

BE的長(zhǎng)為（）

A.1.5B.3C.4D.6

【變式2-1］（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，。是VA3C的邊3c上一點(diǎn)，將VABC折疊，使點(diǎn)C落在上

的點(diǎn)C'處，展開后得到折痕2D,則4。是AABC的（）

A.中線B.高線C.角平分線D.中位線

【變式2-2］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)4

B,C都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，則VABC中邊BC上的高為（）

r710八4710

25

【變式2-3］（2024陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）如圖,若48=47=5,3。=6,點(diǎn)石為3（7的中點(diǎn),過點(diǎn)石作石戶，47

于點(diǎn)F,則跖的長(zhǎng)為（）

A

F

BEC

A.2B.-C.—D.-

552

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?重慶?三模）如圖，VABC中，于點(diǎn)。，AB^CE于點(diǎn)、E,CE與8。相交于點(diǎn)“，已知

AD=HD=2,CD=6,則VABC的面積為.

2.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的8x8網(wǎng)格中，VABC的頂點(diǎn)均

為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）.

（1）將VABC向右平移1個(gè)格，再向下平移3格，畫出對(duì)應(yīng)的△ABC1；

（2）僅用無刻度直尺作出的高AP.

3.（2024.黑龍江哈爾濱.三模）實(shí)踐操作：如圖，在5x5正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,線段A3

的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺按以下要求作圖.

（1）作出一個(gè)面積等于9個(gè)平方單位的VABC,使得點(diǎn)C落在格點(diǎn)上；

（2）在（1）的條件下，作出VABC最大邊上的高，垂足為并保留作圖痕跡.

4.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在7義7的正方形網(wǎng)格中，A,B,C均為小正方形的頂點(diǎn)，僅用無刻度

的直尺畫圖，保留畫圖痕跡.

（1）在圖1中，點(diǎn)。為BC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，先將點(diǎn)。繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,再在班

上找點(diǎn)尸，使E4=EE；

（2）在圖2中，先找點(diǎn)使MZC4M=ZBAC,再在AC上找點(diǎn)N,使&1M.

題型三：三角形中線的應(yīng)用

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?黑龍江綏化?中考真題）已知：VABC.

（1）尺規(guī)作圖：畫出VA3C的重心G.（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）

⑵在（1）的條件下，連接AG,BG.已知AASG的面積等于5cm2,則VA5c的面積是cm2.

【變式3-1］（2024?河北唐山?三模）對(duì)于題目：如圖1,在鈍角VABC中，AB=5,BC=3,AC邊上的中

線BD=2,求VABC的面積.李明想到了如圖2和圖3所示的兩種作輔助線的方法.

方法一方法二

則下列說法正確的是（）

A.只有方法一可行B.只有方法二可行

C.方法一、二都可行D.方法一、二都不可行

【變式3-2］（2024?云南昆明?二模）如圖，AD,CE是VA3C的兩條中線，連接ED.若夫.=16,則陰

影部分的面積是（）

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AABC的面積為10,點(diǎn)DE,尸分別在邊48,BC,C4上，AD=2,

DB=3,的面積與四邊形尸的面積相等，貝UAABE的面積為（）

2.（2024?安徽六安.模擬預(yù)測(cè)）如圖，AD是VABC的中線，點(diǎn)E是AO的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)，交于

點(diǎn)、F,若AB=6.則AF的長(zhǎng)為（）

A

Ft

/

BDC

A.1B.2C.3D.4

3.（2024上海浦東新?一模）如圖，在VA5c中，AB=4,AC=6,E為BC中點(diǎn)，AD為VABC的角平分線,

VABC的面積記為S1,V"史的面積記為$2，則邑母=

3

4.（2024?湖北隨州?二模）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)丁=-一的圖象上，ABIx軸于點(diǎn)B,己知點(diǎn)8,C關(guān)于

x

原點(diǎn)對(duì)稱，則VABC的面積為

5.（2024?河南新鄉(xiāng)?三模）如圖是正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺，分別根據(jù)下列要求畫出圖形，并用實(shí)

線保留作圖痕跡.

⑴請(qǐng)?jiān)趫D（1）中的線段上作點(diǎn)D使尸￡＞最短;

（2）請(qǐng)?jiān)趫D（2）中.在A3上找一點(diǎn)M、使得CM平分VABC面積;

（3）訪在圖（3）中，在8C上找一點(diǎn)N,使得AN將VABC分成面積比為2:3的兩部分（找到一個(gè)即可）.

6.（2024?陜西西安.模擬預(yù)測(cè)）如圖，在VA5c中，AD是BC邊上的中線，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在AC邊上作一

點(diǎn)P,使得SAABC=4s△皿,?（保留作圖痕跡，不寫作法）

A

7.(2023?山東青島.二模)【模型】

同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長(zhǎng)度之比.

圖1圖2圖3

已知，如圖1,VABC中，O為線段2C上任意一點(diǎn)，連接AD,則有：—=行.

【模型應(yīng)用】

(1)如圖2,任意四邊形ABC。中，E、廠分別是A3、C。邊的中點(diǎn)，連接CE、AF,若四邊形ABC。的

面積為S,貝!|S四邊形AECF=.

(2)如圖3,在任意四邊形ABCD中，點(diǎn)、E、尸分別是邊48、8上離點(diǎn)A和點(diǎn)C最近的三等分點(diǎn)，連接

AF、CE,若四邊形ABC。的面積為S,貝”四邊疇ECF=.

(3)如圖4,在任意四邊形A3。中，點(diǎn)E、/分別是邊AB、C。上離點(diǎn)B和點(diǎn)。最近的〃等分點(diǎn)，連接

AF.CE,若四邊形ABCD的面積為S,貝US四邊形心叱=.

【拓展與應(yīng)用】

(4)如圖5,若任意的十邊形的面積為100,點(diǎn)K、L、M、N、。、尸、Q、R分別是A3、CD、DE、

EF、FG、HI、IJ、JA邊上離點(diǎn)A、C、E、E、F、H、/、A最近的四等分點(diǎn)，連接應(yīng)、DK、DR、

MJ、NJ、F。、OI、GP,則圖中陰影部分的面積是.

題型四：與平行線有關(guān)的三角形角度計(jì)算

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，在一次綜合實(shí)踐課上，為檢驗(yàn)紙帶①、②的邊線是否平行,

小慶和小鐵采用了兩種不同的方法：小慶把紙帶①沿A8折疊，量得Nl=N2=59。；小鐵把紙帶②沿G”折

疊，發(fā)現(xiàn)G。與GC重合，HF與HE重合.且點(diǎn)C,G,。在同一直線上，點(diǎn)E,H,尸也在同一直線上.則

A.紙帶①、②的邊線都平行

B.紙帶①、②的邊線都不平行

C.紙帶①的邊線平行，紙帶②的邊線不平行

D.紙帶①的邊線不平行，紙帶②的邊線平行

【變式4-1］（2024?廣東中山?模擬預(yù)測(cè)）將一副三角板（ZE=30°）按如圖方式擺放，使砂〃,則ZFPC=

（）

A.105°B.115°C.75°D.90°

【變式4-2］（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB//CD,ZA=130°,ZCED=80°,則/。的度數(shù)為（）

A.70°B.65°C.60°D.50°

【變式4-3］（2024?浙江臺(tái)州?二模）將一個(gè)含30。角的直角三角板和一把等寬的直尺按如圖所示的位置擺放,

其中NC=30。，若/ADE=50。，則/FBC的度數(shù)是（）

A

D

BC

A.10°B.15°C.20°D.25°

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024.山東青島.三模）把直角三角板ABC和長(zhǎng)方形紙片按如圖方式擺放，使直角頂點(diǎn)C在紙片邊緣上,

若ZA=30。，4=55。，則N2的度數(shù)是（）

C

2.（2023?山東臨沂?一模）如圖，直線/〃3C,若NA=70。，XI=65°,則—3的度數(shù)為（）

A.45°B.65°C.70°D.110°

3.（2024?湖南長(zhǎng)沙.一模）如圖，已知直線?！?,AB1AC.若/1=50。，則N2的度數(shù)為（）

A.50°B.40°C.30°D.25°

4.（2024?陜西西安?三模）如圖，在VABC中，CD是-4CB的角平分線，點(diǎn)E在AC上，DE〃BC,若ZA=62。，

々=74°,則NEDC=（）

A

C.22°D.44°

5.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知4〃，2，/1=58。，22=42。，則/3=

考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用；根據(jù)兩直線平行同位角相等得出/A￡>E=N1=58。，進(jìn)而

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得/08,根據(jù)對(duì)頂角相等，即可求解.

解:,.”〃)，4=58°,

...ZAT)E=/1=58°,

:.ZODC=58°,

?.?N2=42°,

:.Z.OCD=180°—N2—Z.ODC=180°-42°-58°=80°,

二N3=/OCD=80°,

故答案為：80.

6.（2023?浙江?三模）在VABC中，C。平分/ACB交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是射線43上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)。重

合），過點(diǎn)E作斯〃BC交直線CD于點(diǎn)EZBEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點(diǎn)G.

（1）如圖1,點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng).

①若N3=60°,ZACB=40°,貝U/EGC=°；

②若ZA=90。，求NEGC的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)￡在射線￡）3上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究/EGC與—A之間的數(shù)量關(guān)系.

圖1

題型五：與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角計(jì)算

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2024.重慶?中考真題）如圖，在VA3C中，AB=AC,ZA=36°,BO平分NABC交AC于點(diǎn)。.若

BC=2,則AD的長(zhǎng)度為

【典例2］如圖，已知VA3C的內(nèi)角/A=a,分別作內(nèi)角—ABC與外角NACD的平分線，兩條平分線交于

點(diǎn)A，得NA;NABC和NACD的平分線交于點(diǎn)4,得/4；…，以此類推得到4%24,則N4?！钡亩葦?shù)

是（）

【變式5-1］（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在VA3C中，NBAC=82。,NACB=68。，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖

痕跡，下列說法中錯(cuò)誤的是（）

A.BE=ECB.DE=-BDC.NBA。=41°D,ZE0F=30°

2

【變式5-2］（2024?陜西西安?三模）如圖，在VABC中，力。平分4AC交BC于點(diǎn)，ZC=30°,ZADB=80°,

則的度數(shù)是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【變式5-3］（2024?甘肅武威.二模）如圖，在VABC中，ZBAC=50。,ZACB=70。,AD，于。，BE平分

—ABC交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)R則乙BED的度數(shù)是（）

A.30°B.50°C.60°D.70°

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?山東聊城.三模）如圖，在VABC中，NA=75。，3尸是—4SC的角平分線，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的

痕跡推斷，若NACP=12。，則NAB尸的度數(shù)為（）

A

B

A.12°B.31°C.53°D.75°

2.（2024?廣東惠州?二模）如圖，在VABC中，AD±BC,AE平分2R4C,若ZB=44。，ZC=70°,則2ZME

的度數(shù)是（）

12°C.13°D.15°

3.(2024?陜西?一模)如圖，在VABC中，AB=AC,ZC=72°,80平分/ABC交AC于點(diǎn)。，則圖中等

腰三角形的個(gè)數(shù)為（)

B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

4.（23-24八年級(jí)上?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?階段練習(xí)）如圖，是ZABC的角平分線，AD±BD,垂足為

ZDAC=20°,ZC=38°,則(

A.50°B.58°C.60°D.62°

5.（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）如圖，VA2C的角平分線。、BE相交于尸，NA=90。，EG//BC,且CGLEG

于G,下列結(jié)論：①NCEG=2ZDCB；@ZADC=ZGCD；③C4平分/BCG；@ZDFB=-ZCGE.其中正

2

確的結(jié)論是.

6.（2024?浙江寧波?一模）如圖，在VABC中，D、E分別是VABC邊AB、AC上的點(diǎn)，已知/組〃8（7且

DB=DE.

⑴求證：8E是VABC的角平分線；

⑵若NA=65。，ZC=45°,求ZAEB的度數(shù).

題型六：折疊背景下的三角形內(nèi)角計(jì)算

【中考母題學(xué)方法】

【典例1】（2023?遼寧?中考真題）如圖，在三角形紙片A3C中，A8=AC,ZB=20。，點(diǎn)。是邊上的動(dòng)

點(diǎn)，將三角形紙片沿4。對(duì)折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)處，當(dāng)B'DLBC時(shí)，—54。的度數(shù)為.

【典例2】（2023?江蘇泰州?中考真題）如圖，VABC中，AB=AC,ZA=30°,射線CP從射線C4開始繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角（0。<a<75°）,與射線AB相交于點(diǎn)D,將AACD沿射線CP翻折至處，射線CA:

與射線相交于點(diǎn)E.若△4￡>￡是等腰三角形，則的度數(shù)為.

c

【變式6-1］（2024?河南周口?一模）如圖，將VADE沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F如，DE〃BC,

若NC=70。，則NFEC=()

40°C.30°D.20°

【變式6-2］（2024?河北衡水?一模）如圖，在VABC中，ZB=ZC=65°,將△跖VC沿"N折疊得△MNC',

若MC與VABC的邊平行，則/C'MN的度數(shù)為（）

B.25°C.57.5°或25°D.115°或25°

【變式6-3］.（2024.安徽蚌埠.一模）如圖，把矩形紙片A2CD的一角沿AE折疊，使得點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M落

在內(nèi)部.若NC4E=/BAD=26。，則/C4D'的度數(shù)為（）

4°C.6°D.8°

【中考模擬即學(xué)即練】

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在VABC中，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿用N和砂折疊，使點(diǎn)A,8都與

點(diǎn)C重合，若ZNCF=20。,則/ACS的度數(shù)為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

2.（2023?黑龍江齊齊哈爾?模擬預(yù)測(cè)）