中考人枯殿-圓

解題方法

1、圓中常見相似三角形

不含切線含切線（4。是。。的切線）

B4cs"08

LABD^LAEC

2.在圓中解三角形或四邊形的常用思路

畫出特殊圖形:如圓中的特殊三角形、特殊四邊形等,在已知條件下，以結(jié)果為導(dǎo)向,在這些特殊圖

形中求出一些中間量。

題型歸納

題型1：圓與三角形綜合

題型2：圓與四邊形綜合

題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題???

題型4：圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

題型5:以實(shí)際問題為背景，求圓與三角形、四邊形綜合問題

題型6：最值問題

題型7：在解三角形、四邊形中作輔助圓

題型8：定值問題

題型9:在圓綜合中求解三角函數(shù)值

題型1：圓與三角形綜合

,題日①（2024.黑龍江哈爾濱.一模）已知，為③。兩條弦，40,8。于點(diǎn)后,連接?！?；,AE=CE.

（1）如圖1,連接OE,求AAEO的度數(shù)；

（2）如圖2,連接AC,延長EO交AC于點(diǎn)N,點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，連接EF,在EF上方作等腰直角三角形

EFG,且NEGF=90°,連接NG,求證:NG〃BC；

（3）在（2）的條件下，連接AB,CD,當(dāng)點(diǎn)G落在線段AB上時，過點(diǎn)。做交CD于點(diǎn)乙，交CE于

點(diǎn)T,若OE=6叵EG=2CL,求30半徑的長.

???

題目區(qū)（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知：AB為。。的直徑，點(diǎn)C為卷上一點(diǎn),連接AC,點(diǎn)。為后心上一

點(diǎn)，連接AO,過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)F,交OO于點(diǎn)E,連接CE,分別交AD和AB于點(diǎn)H和點(diǎn)K,

且/AHE=90°.

⑴如圖1,求證：ACADABAD

⑵如圖2,連接成，過點(diǎn)H作上田的垂線交AB于點(diǎn)T,求證：AB=2FT；

⑶如圖3,在⑵的條件下,連接B。交AO于點(diǎn)G,延長CD交AB的延長線于點(diǎn)M，若CM=AG,FT=5,

求CG的長.

題目區(qū)（2024.黑龍江哈爾濱.一模）如圖1,在。。中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)G,連接4D,過點(diǎn)。作CFL

40于F,交4B于點(diǎn)交。。于點(diǎn)E,連接。E.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,求證：/E=2/C；

⑵如圖2,求證：。E=S；

⑶如圖3,連接BE，分別交AD、CD于點(diǎn)、M、N,當(dāng)。H=2OG，HF=求線段EN的長.

—

遁目回（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖1,A4BC內(nèi)接于。O,作AD，BC于點(diǎn)D

圖1圖2圖3

（1）連結(jié)40,80.求證：/AOB+2/DAC=180°；

（2）如圖2,若點(diǎn)E為弧AC上一點(diǎn),連結(jié)BE交AD于點(diǎn)、F,若ZBAD=2ACAD,ADBF+4ZCAD=90°,

連結(jié)OF,求證：OF平分ZAFB；

（3）在（2）的條件下，如圖3,點(diǎn)G為BC上一點(diǎn),連結(jié)EG,4BGE=2ZC.若AD=前,BD+EG=3,求

DF的長.

題型2:圓與四邊形綜合

:題目回（2024.浙江杭州.模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，DELAC于點(diǎn)F

交BC于點(diǎn)、E.

（1）設(shè)4DBC=e試用含a的代數(shù)式表示NADE；

⑵如圖2,若跳;=3CE,求黑的值；

Uh/

（3）在（2）的條件下，若AC,BD交于點(diǎn)G,設(shè)柒=0,cos/BDE=y.

Ur

①求V關(guān)于。的函數(shù)表達(dá)式.

②若求"的值.

???

遁目回（2024?廣東珠海?一模）如圖1,F為正方形ABCD邊BC上一點(diǎn)，連接AF,在AF上取一點(diǎn)。，以

OA為半徑作圓，恰好使得0O經(jīng)過點(diǎn)B且與CD相切于點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）若正方形的邊長為4時，求。O的半徑；

（2）如圖2,將AF繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，其所在直線與。。交于點(diǎn)G,與邊CD交于點(diǎn)連接DG,

BG.

①求/4DG的度數(shù)；

：AB-BF+AG-FG=BG2.

題型3:圓有關(guān)的動態(tài)問題

〔題目⑺（2024.廣東.一模）綜合探究：

如圖，已知4B=10,以AB為直徑作半圓O,半徑繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)得到OC,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為C,當(dāng)

點(diǎn)。與點(diǎn)B重合時停止.連接BC并延長到點(diǎn)。，使得CD=,過點(diǎn)。作OE，AB于點(diǎn)E,連接AD,

AC.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時，判斷△ABD的形狀，并說明理由；

⑵如圖2,當(dāng)OE=1時，求BC的長；

⑶如圖3,若點(diǎn)P是線段4D上一點(diǎn)，連接PC,當(dāng)PC與半圓O相切時，判斷直線PC與AO的位置關(guān)系，并

說明理由.

—

遁目回（2024?浙江湖州?一模）如圖，在LJABCD中，是銳角，AB=，BC=10,在射線BA上取一點(diǎn)

P,過P作于點(diǎn)E,過P,E,。三點(diǎn)作。O.

（1）當(dāng)cosB=■時，

5

①如圖1,若4B與OO相切于點(diǎn)P,連結(jié)CP,求CF的長；

②如圖2,若⑷。經(jīng)過點(diǎn)。，求?O的半徑長.

（2）如圖3,已知。。與射線BA交于另一點(diǎn)F,將沿EF所在的直線翻折,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)記為笈，且

B恰好同時落在?。和邊40上,求此時PA的長.

蜃目回（2024.云南昭通.模擬預(yù)測）如圖，在。。中，AB是。。的直徑，點(diǎn)河是直徑AB上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)

M■的弦CD，AB,交。。于點(diǎn)。、。，連接B。,點(diǎn)F為的中點(diǎn),連接DF并延長，交AB于點(diǎn)E,交。。

于點(diǎn)G.

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,連接CG,過點(diǎn)G的直線交DC的延長線于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)M與圓心。重合時，若APGC=AMDE,

求證：PG是。。的切線；

（2）在點(diǎn)”運(yùn)動的過程中，DE=kDF（k為常數(shù)），求k的值；

（3）如圖2,連接BG、OF、皿F,當(dāng)△MOF是等腰三角形時，求/BGD的正切值.

???

題型4:圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

［題目［wj（2024?福建龍巖?一模）如圖,拋物線y=—d+3c+4與c軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左

側(cè)）與沙軸交于點(diǎn)C.

(1)(2)

⑴直接寫出4B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖⑴，P是拋物線上異于力，B的一點(diǎn)，將點(diǎn)B繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)45°得到點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q恰好在直線

AP上,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,是拋物線上異于的兩個動點(diǎn)，直線BN與直線CM交于點(diǎn)T,若直線MN經(jīng)過定點(diǎn)

（1,3）,求證:點(diǎn)T的運(yùn)動軌跡是一條定直線.

題目皿（2024?江蘇常州?模擬預(yù)測）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P、Q為平面內(nèi)不重合的兩個點(diǎn)，其中

PQ1，%）?（◎，紡）?若：為+91=C2+?/2,則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的"等和點(diǎn)”.

⑴如圖1,已知點(diǎn)P（2,l）,求點(diǎn)P在直線y=c+l上"等和點(diǎn)”的坐標(biāo)；

（2）如圖2,OA的半徑為1,圓心人坐標(biāo)為（2,0）.若點(diǎn)P（O,神）在OA上有且只有一個“等和點(diǎn)”，求m的

值；

（3）若函數(shù)y=—/+2（2《小）的圖像記為陰，將其沿直線；r=小翻折后的圖像記為叱.當(dāng)小，網(wǎng)兩部分

組成的圖像上恰有點(diǎn)P（0,m）的兩個“等和點(diǎn)”，請直接寫出小的取值范圍.

???

題目12j（2024?江蘇宿遷?一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線g=aa?+bc+3與2軸分別相交于

兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C,已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（―1,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0）.

（1）求出這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2,點(diǎn)。是第一象限內(nèi)該拋物線上一動點(diǎn),過點(diǎn)D作直線Z〃沙軸，直線，與&ABD的外接圓相交于

點(diǎn)E.

①僅用無刻度直尺找出圖2中△4BD外接圓的圓心P.

②連接BC、CE,BC與直線DE的交點(diǎn)記為Q,如圖3,設(shè)△CQE的面積為S,在點(diǎn)。運(yùn)動的過程中，S是否

存在最大值？如果存在，請求出S的最大值;如果不存在，請說明理由.

—

遁目叵（2024?江蘇宿遷?二模）中國象棋棋盤上雙方的分界處稱為“楚河漢界”，以“楚河漢界”比喻雙方對壘

的分界線.在平面直角坐標(biāo)系中，為了對兩個圖形進(jìn)行分界，對“楚河漢界線”給出如下定義:點(diǎn)P（g,陰）是

圖形Gi上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（22,紡）是圖形上的任意一點(diǎn)，若存在直線I：g=for+b（kW0）滿足kxx

+b且/2+d則直線J=k+b（kW0）就是圖形G1與G2的“楚河漢界線”.例如:如圖1,直線I:y=—x

—4是函數(shù)y=<0）的圖像與正方形的一條“楚河漢界線”.

X

（1）在直線①y——2x,@y—4rr—1,③夕=一2必+3,@y——3x-1中，是圖1函數(shù)3=心（±<0）的圖像與正

x

方形OABC的“楚河漢界線”的有；（填序號）

⑵如圖2,第一象限的等腰直角△EDF的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點(diǎn)。的坐標(biāo)是（2,1）,△EOF與O

。的“楚河漢界線”有且只有一條,求出此“楚河漢界線”的表達(dá)式；

（3）正方形A1B1GR的一邊在沙軸上，其他三邊都在沙軸的右側(cè)，點(diǎn)M（2,t）是此正方形的中心，若存在直線

y=-2x+b是函數(shù)v=-X2+2X+3（0WcW4）的圖像與正方形A.B.C.D.的“楚河漢界線”，求t的取值范

圍.

???

題型5:以實(shí)際問題為背景，求圓與三角形、四邊形綜合問題

If。（2024?陜西西安?一模）【問題提出】

（1）如圖1,已知在邊長為5的等邊中，點(diǎn)D在邊3。上，=3,連接AD,則△ACD的面積為」

【問題探究】

⑵如圖2,已知在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且/EAF=45°,若EF=

5,求△AEF的面積；

【問題解決】

（3）如圖3是某座城市廷康大道的一部分，因自來水搶修在AB=4米，AD=4四米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開

挖一個△AEF的工作面，其中分別在B。、CD邊上（不與B、重合），且/EAF=60°,為了減少對

該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF?若存在，請求出△入￡?

面積的最小值;若不存在,請說明理由.

???

量目E（2024?陜西西安?一模）【問題提出】

⑴如圖1,點(diǎn)。為△48。的邊BC上一點(diǎn)，連接ADZBDA=ABAC,第=言,若4ABD的面積為4,則

△ACD的面積為；

【問題探究】

（2）如圖2,在矩形ABCD中，AB=6,5。=5,在射線3。和射線CD上分別取點(diǎn)E、F,使得等=稱,連接

UrO

相交于點(diǎn)P,連接CF,求CF的最小值；

【問題解決】

（3）如圖3,菱形ABCD是某社區(qū)的一塊空地，經(jīng)測量，43=120米，乙45。=60°.社區(qū)管委會計(jì)劃對該空

地進(jìn)行重新規(guī)劃利用,在射線AD上取一點(diǎn)E,沿BE、CE修兩條小路，并在小路BE上取點(diǎn)H,將S段鋪

設(shè)成某種具有較高觀賞價值的休閑通道（通道寬度忽略不計(jì)），根據(jù)設(shè)計(jì)要求，ABHC=/BCE,為了節(jié)省鋪

設(shè)成本，要求休閑通道CH的長度盡可能小，問CH的長度是否存在最小值？若存在，求出CH長度的最小

值;若不存在,請說明理由.

圖1圖2圖3

—

題型6：最值問題

題目正(2024?湖南長沙?三模)如圖1,A,B,C為0O上不重合的三點(diǎn),GC為0O的切線，yZG+ZA=

90°.

(1)求證：為。。的切線；

⑵若△ABC為等腰三角形，/BAC<45°,tan/A4C=,，求笑■的值：

⑶如圖2,若AB為直徑，M為線段AC上一點(diǎn)且GMLGB,AM2+OB2-3GB2+8GB-8=0,0<GB<

2，求S四邊形jvfGBA的最大值?

—

題目叵（2024?重慶?模擬預(yù)測）如圖,在直角△ABC中，/A4C=90°.點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且=

60°,E為線段的中點(diǎn)，連接AE.

BBB

圖3

⑴如圖1,若=AD=2,求BE的長；

（2）如圖2,連接CD,若AB=AC,/B4E=乙48,過點(diǎn)后作EFLAD交于F,求證：AE=V6DF；

⑶如圖3,過點(diǎn)。作力。于點(diǎn)M,DNLBC于點(diǎn)N,連接7W,若AB=2《，AC=4,求皿N的最小

值.

???

題型7：在解三角形、四邊形中作輔助圓

:題目叵（2024?福建泉州?一模）如圖1,在OABCD中，BE平分/ABC交AO于點(diǎn)E,尸是CD上一點(diǎn)，且

DF=DE.

⑴求證：BELEF；

⑵如圖2,若乙4=120°,F3，反7于點(diǎn)3,8是_8尸的中點(diǎn),連接。3,9,成?,且反?與口?相交于點(diǎn)人.

①求證：。G=EH；

②若CF=2OF,求第的值.

???

題型8：定值問題

［題目叵（2024?浙江?模擬預(yù)測）如圖1,E點(diǎn)為2軸正半軸上一點(diǎn)，。右交必軸于4B兩點(diǎn)，P點(diǎn)為劣弧BC

上一個動點(diǎn)，且4—l,0）、E（l,0）.

（1）熬的度數(shù)為_°；

（2）如圖2,連結(jié)PC,取PC中點(diǎn)G,則0G的最大值為二

（3）如圖3,連接A。、AP、CF、CB.若CQ平分/PCD交PA于Q點(diǎn)，求AQ的長；

⑷如圖4,連接P4PD,當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時（不與B、。兩點(diǎn)重合），求證：P。蒙口為定值，并求出這個定值.

1Y1

—

題型9:在圓綜合中求解三角函數(shù)值

題目為（2024?湖南長沙?一模）如圖1,在電△ABC中，乙45。=90°,47=30°,反7=4如;。是的中

點(diǎn).經(jīng)過A,B,。三點(diǎn)的。。交AC于點(diǎn)E,連接BE.

⑴求AE和BE的長；

（2）如圖2,兩動點(diǎn)P、Q分別同時從點(diǎn)A和點(diǎn)。出發(fā)勻速運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E時，點(diǎn)Q恰好運(yùn)動到點(diǎn)

B,P、Q停止運(yùn)動，連接PQ.

①記AP=2,當(dāng)饃。。的面積最大時，求c的值；

②如圖3，連接BP并延長交OO于點(diǎn)F,連接AF、FE.當(dāng)BE平分AFBC時,求sinZABF的值.

—

量目（2024?上海楊浦?一模）已知以AB為直徑的半圓。上有一點(diǎn)C,CD，04,垂足為點(diǎn)。，點(diǎn)E是半

徑OC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），作EFLOC交弧于點(diǎn)F,連接。尸.

⑴如圖1,當(dāng)FE的延長線經(jīng)過點(diǎn)A時，求

（2）如圖2,作FG，AB,垂足為點(diǎn)G,連接EG.

①試判斷EG與CD的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②當(dāng)&EFG是等腰三角形,且sin/CQD=4,求染的值?

5OD

???

中考人枯殿-圓

解題方法

1、圓中常見相似三角形

不含切線含切線（4。是。。的切線）

B4cs"08

LABD^LAEC

2.在圓中解三角形或四邊形的常用思路

畫出特殊圖形:如圓中的特殊三角形、特殊四邊形等,在已知條件下，以結(jié)果為導(dǎo)向,在這些特殊圖

形中求出一些中間量。

題型歸納

題型1：圓與三角形綜合

題型2：圓與四邊形綜合

題型3：圓有關(guān)的動態(tài)問題???

題型4：圓與坐標(biāo)系或函數(shù)

題型5:以實(shí)際問題為背景，求圓與三角形、四邊形綜合問題

題型6：最值問題

題型7：在解三角形、四邊形中作輔助圓

題型8：定值問題

題型9:在圓綜合中求解三角函數(shù)值

題型1：圓與三角形綜合

,題日①（2024.黑龍江哈爾濱.一模）已知，為③。兩條弦，40,8。于點(diǎn)后,連接。￡；,AE=CE.

（1）如圖1,連接OE,求AAEO的度數(shù)；

（2）如圖2,連接AC,延長EO交AC于點(diǎn)N,點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，連接EF,在EF上方作等腰直角三角形

EFG,且NEGF=90°,連接NG,求證:NG〃BC；

（3）在（2）的條件下，連接AB,CD,當(dāng)點(diǎn)G落在線段AB上時，過點(diǎn)。做交CD于點(diǎn)乙，交CE于

點(diǎn)T,若OE=6叵EG=2CL,求30半徑的長.

【答案】（1）45。

（2）見詳解

（3）675

【分析】本題考查了圓與三角形的綜合，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線成比

例，勾股定理，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練靈活運(yùn)用知識點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

（1）連接OAOC,證明△AEO經(jīng)△CEO即可；

（2）過點(diǎn)G作GR_LGN交EN于點(diǎn)A,先證明△GER24GFN，得GR=GN,

所以/GNR=/GRN=45°,得到4GNR=4NEC,故GN//BC.

（3）過G作GA_LGN交NE的延長線于點(diǎn)R,連接。D,OC,作OK_LCD于點(diǎn)、K,OH_LCE于點(diǎn)先證

明^\ABE咨ACDE,：.EG=卷CD，設(shè)CL=a,EG=2a,AB=。。=4a,DL=3a,則。。=OG=2V2a,

OK=OK=2a,KL=a■，證出AKOL=AOCT,則tan/KOL=tanZOCT,

最后在中運(yùn)用勾股定理求OC=

【解析】（1）連接040。，

???OAOC為。O半徑，

：.OA^OC,

,:EA=ECQE=OE,

：.△AEOn△CEO,

NAEO=/CEO,

?：AD±BC,圖1

ZAEC=90°,???

??.AAEO=/CEO=g/AEC=45°;

(2)證明:過點(diǎn)G作GR_LGN交EN于點(diǎn)R,

???4RGN=90°,

：./RGN=Z.EGF,

???ARGN-4RGF=AEGF-/RGF,

：.AEGR=AFGN,AE=CE,4AEN=Z.CEN,

:?ENLAC,AN=CN,

??.NEW=90°,

???4ENC=9N=4EGF,

圖2

：.AGEN=AGFN9

又???GE=G尸，

???△GER空△GFN,

:.GR=GN,

：.AGNR=ZGRN=45°,

：.AGNR=ANEC,

：.GN//BC.

⑶過G作GALGN交NE的延長線于點(diǎn)心連接QD,O。,作OK,CD于點(diǎn)K,OH_LCE于點(diǎn)、H,

由(2)得△GFN絲△GEA,得GN〃石。，

.AN=AG

**CN7-BGJ

???AN=CN,

??.AG=BG,AAEB=9Q°,

：.EG=^-AB.ABAD=/BCD,AE=CE"AEB=乙CED,

???4ABE"CDE,

??.AB=CD,

:?EG弋CD,

設(shè)CL=a,EG=2a,AB=CD=4a,DL=3a,ZEAC=90°-/AEN=45°,

??.Z￡>OC=90°,

??.ADOK=ZCOK=45°,

???ZOZ?C=ZOCD=45°,

則OD=OC=2V^Q,OK=DK=2a,KL=af

在Rt/XOKL中，tan/LOK=y,

?：OL.LOE,

???ZBOL=90°,

???/OED=/OTE=45°,

???ZKOL+ZLOC=45°,ZOCT+ZLOC=45°,

??.AKOL=AOCT,

tanZATOL=tanZOCT,

OE=6V2,OH=6,HC=12,

在Rt^OCH中，O(f=OH2+HC2,

:.OC—6A/5.???

題目區(qū)（2024?黑龍江哈爾濱?一模）已知：AB為。。的直徑，點(diǎn)C為卷上一點(diǎn),連接AC,點(diǎn)。為后心上一

點(diǎn)，連接AO,過點(diǎn)D作AB的垂線，垂足為點(diǎn)F,交OO于點(diǎn)E,連接CE,分別交AD和AB于點(diǎn)H和點(diǎn)K,

且/AHE=90°.

⑴如圖1,求證：ACADABAD

⑵如圖2,連接成，過點(diǎn)H作上田的垂線交AB于點(diǎn)T,求證：AB=2FT；

⑶如圖3,在⑵的條件下,連接B。交AO于點(diǎn)G,延長CD交AB的延長線于點(diǎn)M，若CM=AG,FT=5,

求CG的長.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

⑶寺

O

【分析】（1）證明4AHC?△AFD,即可得出結(jié)論；

（2）連接證明AAH"^AHK（ASA）,得至［CH=KH,ZACH=乙4KH,證明ATKHs/\FDH,得到

Z.HTK=AHFD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出毋,得到NTHK=ZACH,推

出AC//TH,證明4AKC?ZYTKH,得到第=等==2,再證明4ABC?/\TFH,即可證明結(jié)

1HHKHK

論；

⑶連接GK,過點(diǎn)M作CB的垂線，垂足為點(diǎn)N,證明4AHC^^AHK（ASA）,得到CH=KH,AC=AK,

進(jìn)而推出/4。3=乙4的,證明434?＜篤^^0?/（＞145＜）,得到＞1。=＞17＜=。^,進(jìn)而推出GK=MN=

CG,1正明△GBKW4MBN（AAS）,得至UBK=BN,設(shè)BK=BN=a,則AK=AC=CN=10-a,CB=10

—2a,求出BK=2,47=8,BC=6,設(shè)CG=GK=M，則GB=6—利用勾股定理即可求解.

【解析】（1）解：??,AB_LDE,

ZAFL＞=90°

乙4HE=90°,4c=2D

：.AAHC-4AFD

:"CAD=2DAB;

⑵解:如圖2:連接BC,

由（1）知/。＞1D=/_DAB,

?/AAHK=ZAHC=90°,AH=AH,

：.AAHC^/XAHK^ASA）,

CH=KH,AACH=/LAKH,

?：ABAD+Z.AKH=ABAD+ZADF=90°,圖2

ZADF=Z.AKH,

?：TH±FH,

：.ZTHK+Z.FHK=AFHK+ZFHD=90°,

：.4THK=4FHD,

???

???NTKH?/\FDH,

：.4HTK=4HFD,

??,點(diǎn)F是。石的中點(diǎn)，NEHD=90°,

：.HF=DF,

???AFHD^AFDH,

??.NTHK=/TKH,

?:4TKH=4ACH,

???/THK=/ACH,

：.ACIITH,

???dAKC?dTKH

.AC=CK=2HK=2

9,~TH~HK~HK

???ACIITH

??.ACAB=ZHTB,

???4ACB=4THF=90°

???/\ABC?/\TFH

.=J4C=9

?,TFTH

??.AB=2FT;

⑶解:如圖3,連接GK,過點(diǎn)M作CB的垂線，垂足為點(diǎn)N,

??,ACAD=/BAD,/AHC=/AHK=90°,AH=AH

：.AAHCm/\AHK^ASA)

:?CH=KH,AC=AK

??.ZACK=AAKC

：.CG=GK

??.ZGCK=AGKC

：.AACK+AGCK=AAKC+AGKC

：.4ACG=4AKG

???AB是。O直徑

???AACB=AAKG=AGKB=90°

???4AKG=4CNM=90°,4GAK=/MCN,AG=CM

???AGAK藝/\MCN(AAS)

??.AC=AK=CN

:?GK=MN=CG

??,AGKB=AMNB=90°,/GBK=AMBN

：./\GBK^/XMBN^AAS)

:?BK=BN

VTF=5,AB=2FTf

：.AB=109OA=OB=5f

設(shè)BK=BN=Q,則AK=AC=C7V=10—a,CB=10—2。

在Rt/\ABC中,AC2+BC2=AB2

即(10—a)2+(10—2a)2=102

a=2或a=10(舍去)

：.BK=2,AC=8,BC=6

設(shè)CG=GK=M，則GB=6—m,—

在Rt/XGKB中，GK2+BK2=GB2

即m2+22=（6—m）2

...m——8

o

.?.CG=*

【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形的綜合問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，三角形全等的判定和性

質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，全等三角

形.

，題白Q（2024.黑龍江哈爾濱.一模）如圖1,在。。中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)G,連接AD,過點(diǎn)。作CF，

40于F,交AB于點(diǎn)H,交⑷。于點(diǎn)E,連接OE.

⑴如圖1,求證：/E=2/C；

⑵如圖2,求證：DE=CH；

⑶如圖3,連接BE,分別交AD、CD于點(diǎn)M、N,當(dāng)OH=2OG,HF=43求線段EN的長.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

⑶12

【分析】（1）連接,根據(jù)垂徑定理和等弧所對的圓周角相等，結(jié)合等角的余角相等即可證明結(jié)論；

⑵連接BC,運(yùn)用同?。ǖ然。┧鶎Φ膱A周角相等，結(jié)合同角的余角相等和等量代換即可證明；先證明BC=

CH,再證明BC=DE;

⑶根據(jù)已知設(shè)出OG和OH,結(jié)合⑵表示BG,進(jìn)而用z表示半徑、直徑，結(jié)合勾股定理表示,結(jié)合

△BGN?△跳的，即可求解.

【解析】⑴證明：連接AC,

?/AB是。。的直徑，AB±CD,

：.BC^BD,ABAD+AADG=90°

4cAB=ABAD=；/CAD=]zCED,

AF±CE,

：.AECD+AADG^9Q°,

：.NECD=/BAD,

：.4E=24DCE;

⑵連接B。，

-：AB±CD,CE±AD,

：.4ECD+ZCHG=4ECD+NCDF=90°,

???ACHG=ZADC,

又???AADC=ZB,

???ZCHG=ZB,

:?CH=CB,

由⑴知：4E=24ECD,

：.CD=2DEf

?：CD=2BC,

：.DE=BCf

:?DE=BC=CH?,

⑶連接OC,AE,則：ZABB=90°,

?：OH=2OG9

設(shè)OG=力，則OH=2x,

：.HG=OH+OG=3x,

由⑵知，BC=CH,

???ABVCD,

:.BG—GH—3力,

:.OB—BG+OG—4x,

OC—4x,AB—8x,AH—2x,

???ZCfffi=NAHE,ACBH=Z.CEA,且ACHB=ACBH,

???4AHE=/CEA,

:.AE—AH—2x,

/.Rt/\ABE中，BE=-JAB2—AE2=2V15x,

RtAOGC中，CG=VOC2-OG2=V15a;,

Rt^HGC中，CH=y/CG2+GH2=2娓x,

?：DE=BC=BD,

/BAD=NDCE,

sinZ.BAD—sin/DCE,即：?=?,

A.HOH

?VW=3z：

"2x~2V6X'

?/些

.?力3’

BE—2V152：=20,BG=3c=2VlK,AB—8x—,

o

???/ABE=4GBN,/BGN=ZAEB=9Q°,

：?/\BGN?/\BEA,

.BN=BG

,?布―南，

.BN=BGYB=2E中

BE20'

:.EN=BE—BN=\2.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的綜合問題，涉及到垂徑定理，圓周角定理，弧、弦、角之間的關(guān)系，解直角三角形，相

似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大，熟悉圓的相關(guān)性質(zhì)，會結(jié)合題意靈活運(yùn)用勾股定理和方程思

想，會借助相似三角形構(gòu)建等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

:題目回（2024.浙江.模擬預(yù)測）如圖1,△48。內(nèi)接于。。，作AD，于點(diǎn)D???

DG7C

（1）連結(jié)A。，BO.求證：ZAOB+2ZJDAC=180°；

（2）如圖2,若點(diǎn)E為弧AC上一點(diǎn),連結(jié)BE交AO于點(diǎn)F,若ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAO=90°,

連結(jié)OF,求證：O尸平分NAFB；

（3）在（2）的條件下，如圖3,點(diǎn)G為上一點(diǎn),連結(jié)EG,4BGE=2ZC.若AD=前,BD+EG=3,求

DF的長.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】

⑴根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半,且結(jié)合AD±BC,即可作答；

（2）先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得AABF=ABAD=2a,等角對等邊，得BF=AF,即可證明△4OF篤

^BOF（SSS）,結(jié)合全等三角形的對應(yīng)角相等，即可作答；

（3）根據(jù)同弧所對的圓周角是相等，得=90°-a,由三角形的內(nèi)角和，得=90°—a,等角對等

邊，得AB=BE,進(jìn)而證明△ABDZ4BEM（AAS）,得ME=BD,等角對等邊，得EG=EN,故MN=ME

+EN=3,因?yàn)锳MBE=NMNB,BMN=NBMN=90°,證明4BME?/XNMB，得手=嚶^，解得ME=

2,由勾股定理建立式子，即可作答.

【解析】（1）證明：：ADYBC,

：.ZADC=90°,

：./C+/ZMC=90°,

??.2/C+2/DAC=180°,

ZAOB=2/C,

AAOB+2/D4C=180°;

（2）證明：設(shè)/CAD=a,

?/ABAD=2ACAD,ADBF+4/CAD=90°,

ABAD=2a,AFBD=90°-4a,

/BFD=4a,

：.4ABF=/RAD=2w,

：.BF=AFf

,：OB—OA,OF—OF,

???/XAOF^ABOF（SSS）,

???/BFO=/AFO,

???O尸平分乙4尸

（3）解:連接4E,過點(diǎn)后作磯f_LAB于點(diǎn)“交BC的延長線于點(diǎn)N,???

由(2)得，乙4cB=90°—a,

??.AAEB=9Q°-af

???/ABF=/BAD=2a,

/./ABE=2a,

???ABGE=2NO,且/。=90°—a,

???/BAE=180°-/LABE-AAEB=90°-a,ABGE=180°—2a,

???/.BEA=/BAE,ZEGC=2a,

/.AB—BE,

???/.BAD=/ABE,ABME=AADB=90°,

???/\ABDn相EM(AAS),

??.ME=BD,AD=MB=?AMEB=/DBA=90°-2a,

???AEBN=90°—4a,

??.NN=2a,

???AEGC=/ENG,

??.EG=EN,

?；BD+EG=3,

：,MN=ME+EN=3,

???4MBE=4MNB,BMN=乙BMN=90°,

,MBME?ANMB,

.BM=ME

"NM~^B9

.正=ME

?〒一詞’

:.ME=2,

：.ME=BD=2,

?：BD2+DF2=BF2,

：.2\DF2=(V6-OF)2,

??.DF=乎.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了圓綜合，涉及圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理等綜合內(nèi)容，難度較大，綜合性較強(qiáng)，學(xué)會靈活運(yùn)用等角對等邊以及作出正確的輔助線是

解題的關(guān)鍵.

題型2：圓與四邊形綜合

:題目回(2024?浙江杭州?模擬預(yù)測)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,AC為。。的直徑，DELAC于點(diǎn)F

交BC于點(diǎn)E.

圖1圖2

(1)設(shè)/DBC=a,試用含a的代數(shù)式表示NADE：???

⑵如圖2,若BE=3CE,求器的值；

⑶在⑵的條件下，若交于點(diǎn)G,設(shè)=cos/BDE=y.

Ur

①求V關(guān)于c的函數(shù)表達(dá)式.

②若求？/的值.

【答案】⑴90。一&

（2）2

⑶①穴小②朵

x+116

【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，即可得解；

⑵圓周角定理得到/ADC=90°=乙4FD,進(jìn)而得到ZDAC=NCDF,推出ABCE?△BCD,得到黑=

L）E/

綜=察，設(shè)CE=a，求出CD的長，即可得出結(jié)果；

CDCE

⑶①過點(diǎn)G作GH//DE,得至1△CEF?△CHG,ABHG?ABED,進(jìn)而得到需=桀=需，萼=

CHCGGHDE

黑=善，根據(jù)弟=叫班=3CE,推出DG=^BD,DF=，產(chǎn).DE,利用"=cos/BDE=需

DbjbJJ5O3（T+1）DG

結(jié)合黑=2進(jìn)行求解即可；

DE

②作EW_LB_D于W,根據(jù)已知條件推出BD=4CE,DE=2CE,設(shè)CE=a,DW=M,勾股定理求出m=

日a,再根據(jù)y=cosZBDE=與等求解即可.

oUE/

【解析】（1）解：??,四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

???/DAC=/CBD=a,

?：DE±AC,

：.ZAFD=90°f

：.NADE=90°-ZDAC=90°-a;

（2）V4。為。。的直徑，

??.ZADC=90°=ZAFD,

??.ZDAC=ZCDF=90°-AADF,

???ZDBC=/DAC,

：.ADBC=乙CDF,

???4DCE=/BCD,

.-.△nCE-ABCD,

.BD=BC=CD

''^E~~CD~~CE"

?：BE=3CE,

：.設(shè)CE=a，則：BE=3a,

???BC=4a,

???CD?：石。?五=4Q.Q=402,

??.CD=2Q（負(fù)值舍去）；

,BD=BC=4a=2.

"DE-CD-2^-；

（3）①過點(diǎn)G作GH7/DE,

則：/\CEF?4cHG,/\BHG?4BED,

.CE=CF=EFGH=BH=BG

一~CH~~CG~~GH^^E~~BE~~BD

77=a:,BE=3CE,

Ur

：.EF=^--GHCH=(x+l)CE

x-rlff

：.BH=BC-CH=^CE-O+1)CE=(3—c)CE,

?：BE=3CE,

.BG__GH_BH_3—x

"BDDEBE3，

3-7Q9_3-CD7~)

???KJll——3un,,-oCr3BD，

??.DG=:BD—BG=弓RD斤—1「口―DE，

o/+1'3(^+1)

:?DF=DE—EF=產(chǎn)、?DE,

3(z+l)

n/?_3(3.DE

??,〃y，一5ccG/anz?—ui

DGfBD

由（2）知：萼=2,

UrL/

4x

3Q+1)2

3/

②如圖，作EW±BD于W,

???BC=BD,BD=2DE,BC=4CE,

:?BD=4CE,DE=2CE,

設(shè)CE=a,DW:BD=4a,DE=2a,BE=3a,BW=BD—DW—^a—m,

???EW2=DE2-DW2=BE2-BW2,

4a2—m2=9a2—(4a—m)2,

解得：m—耳a,

o

DW_晉。_11

y=cos/BDE=

DE2a16

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及到圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，求函數(shù)解析

式，勾股定理等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算量大，掌握圓周角定理，添加輔助線，構(gòu)造特殊圖形和相似三

角形，是解題的關(guān)鍵，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性.

題目回（2024.廣東珠海?一模）如圖1,F為正方形4BCD邊上一點(diǎn)，連接AF,在AF上取一點(diǎn)O,以

OA為半徑作圓，恰好使得。。經(jīng)過點(diǎn)B且與CD相切于點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）若正方形的邊長為4時，求。。的半徑；

（2）如圖2,將AF繞點(diǎn)、A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，其所在直線與。O交于點(diǎn)G,與邊CD交于點(diǎn)連接DG,

BG.

①求/ADG的度數(shù)；

②求證：AB-BF+AGFG=BG2.

【答案】⑴段

（2）①45°;②證