專題10平行四邊形的存在性問題

一、知識導航

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質：

(1)對應邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

這是圖形的性質，我們現(xiàn)在需要的是將其性質運用在在坐標系中:

X-X=*口-XC

(1)對邊平行且相等可轉化為:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解為點8移動到點A,點c移動到點。，移動路徑完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)對角線互相平分轉化為：\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解為AC的中點也是8D的中點.

【小結】雖然由兩個性質推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

當AC和為對角線時，結果可簡記為：A+C=B+D(各個點對應的橫縱坐標相力口)

以上是對于平行四邊形性質的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問:若坐標系

中的4個點A、B、C、。滿足“A+C=B+。''，則四邊形4BCD是否一定為平行四邊形？

反例如下:

D

之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點''并不是完全等價的轉化,

故存在反例.

雖有反例，但并不影響運用此結論解題，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形ABC。是平行四邊形：AC、8。一定是對角線.

(2)以A、B、C、。四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

二、典例精析

平行四邊形存在性問題通常可分為“三定一動’'和"兩定兩動''兩大類問題.

1.三定一動

已知A(1,2)B(5,3)C(3,5),在坐標系內(nèi)確定點。使得以A、B、C、。四個點為頂點的四邊形是

平行四邊形.

思路1:利用對角線互相平分，分類討論:

設。點坐標為(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴為對角線時,可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、，…、(1+3=5+加八/、

(2)AC為對角線時，。二0,解得2—1,4；

[2+5=3+〃—

,、，[1+5=3+機/、

⑶AB為對角線時，2+3=5+〃'解得。3(3，。).

2

當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此處特指點的橫縱坐標相加減)

2.兩定兩動

已知A(1,1)、B(3,2),點C在x軸上，點。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊

形，求C、D坐標.

【分析】

設C點坐標為(m,0),。點坐標為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)當A8為對角線時，，c°，解得o＞故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)當AC為對角線時，，八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃？\m=-2

(3)當AD為對角線時，，^,解得，，故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

3

“三定一動’'的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣，“三定一動’'中動點是在平面中，橫縱坐標都不確

定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，

用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點

從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐標.若把一個字母稱

為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量.究

其原因，在于平行四邊形兩大性質：

(1)對邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

[x.+x=x+x

但此兩個性質統(tǒng)一成一個等式：《*crBn"n,

〔以+%=%+%

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未

知量.

由圖形性質可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題.

三、中考真題演練

1.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線丫=0?+云經(jīng)過二。18的三個頂點，其中。為坐標原點,

點A(3,-3),點B在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線尤=',且一。的面積為18

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；

⑵求點8的坐標；

(3)設C為線段A3的中點，尸為直線上的一個動點，連接AP,CP,將△ACP沿CP翻折，點A的對應

點為A.問是否存在點P,使得以A，P,C,3為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

4

2.（2023?廣東廣州?中考真題）已知點在函數(shù)＞=-口》＜0）的圖象上.

（1）若機=-2,求〃的值；

⑵拋物線y=（x-〃z）（x-〃）與X軸交于兩點M,在N的左邊），與y軸交于點G,記拋物線的頂點為E.

①加為何值時，點E到達最高處;

②設GMV的外接圓圓心為C,.C與y軸的另一個交點為R當m+〃20時，是否存在四邊形尸GEC為平

行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由.

3

3.（2023?山東?中考真題）如圖，直線，=-》+4交x軸于點8,交＞軸于點C,對稱軸為尤=]的拋物線經(jīng)

過BC兩點，交無軸負半軸于點A.尸為拋物線上一動點，點尸的橫坐標為機，過點尸作無軸的平行線交

拋物線于另一點加，作無軸的垂線PN,垂足為N,直線MN交，軸于點O.

（1）求拋物線的解析式;

3

（2）若0＜根＜],當為何值時,四邊形CDNP是平行四邊形?

4.（2023?山東聊城?中考真題）如圖①，拋物線＞=加+版-9與x軸交于點A（-3,0）,B（6,0）,與y軸交于

點C,連接AC,2c點尸是無軸上任意一點.

5

⑴求拋物線的表達式；

(2)點。在拋物線上，若以點A,C,P,。為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點。的坐標；

5.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線》=-爐+法+，經(jīng)過4(-1,0)](0,3)兩點，并交x軸于另一點

直線AM與軸交于點Z).

(1)求該拋物線的表達式;

(3)若點尸是拋物線上一動點,問在對稱軸上是否存在點。，使得以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，請亶談寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

6.(2023?甘肅武威?中考真題)如圖1,拋物線＞=7+樂與無軸交于點A,與直線丁=-%交于點3(4,T),

點C(O,~4)在y軸上.點P從點8出發(fā)，沿線段8。方向勻速運動，運動到點。時停止.

6

（1）求拋物線y=-￡+區(qū)的表達式；

⑵當8尸=20時，請在圖1中過點尸作即，。4交拋物線于點。，連接PC,0D,判斷四邊形OCPD的

形狀，并說明理由.

7.（2023?四川巴中?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線6=蘇+弧+或"0）經(jīng)過點A（-l,0）和8（0,3）,

其頂點的橫坐標為1.

⑴求拋物線的表達式.

（3）若點尸為拋物線>=依2+法+°（。*（））的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移1個單位長度后，。為平移后

拋物線上一動點.在（2）的條件下求得的點“，是否能與A、P、Q構成平行四邊形？若能構成，求出。

點坐標；若不能構成，請說明理由.

8.（2023?四川南充?中考真題）如圖1,拋物線y=a/+bx+3（a^O）與尤軸交于A（T。），8（3,0）兩點,

與y軸交于點c.

7

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P在拋物線上，點。在x軸上，以2,C,P,。為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

4

9.(2023?四川自貢?中考真題)如圖，拋物線＞=-§1+法+4與；1軸交于4-3,0),8兩點，與V軸交于點C.

(1)求拋物線解析式及8,C兩點坐標；

⑵以A,B,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D坐標;

8

專題10平行四邊形的存在性問題

一、知識導航

考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質：

(1)對應邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

這是圖形的性質，我們現(xiàn)在需要的是將其性質運用在在坐標系中:

X-X=*口-XC

(1)對邊平行且相等可轉化為:AB

yA-yB=yD-yc

可以理解為點8移動到點A,點c移動到點。，移動路徑完全相同.

xA+xcxB+xD

(2)對角線互相平分轉化為：\”

yA+yc_yB+yD

.2一2

可以理解為AC的中點也是8D的中點.

【小結】雖然由兩個性質推得的式子并不一樣，但其實可以化為統(tǒng)一:

尤4-"彳0一%.4+%=彳。+%

-yB=yD-yc%+yc=yD+yB

22(xA+xc=xB+xD

1%+%=%+%

力+/..%+y。

2-2

當AC和為對角線時，結果可簡記為：A+C=B+D(各個點對應的橫縱坐標相力口)

以上是對于平行四邊形性質的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當有一問:若坐標系

中的4個點A、B、C、。滿足“A+C=B+。''，則四邊形4BCD是否一定為平行四邊形？

9

反例如下:

D

之所以存在反例是因為“四邊形ABCD是平行四邊形”與“AC、BD中點是同一個點''并不是完全等價的轉化,

故存在反例.

雖有反例，但并不影響運用此結論解題，另外，還需注意對對角線的討論：

(1)四邊形ABC。是平行四邊形：AC、8。一定是對角線.

(2)以A、B、C、。四個點為頂點是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論.

二、典例精析

平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍印?和“兩定兩動”兩大類問題.

3.三定一動

已知A(1,2)8(5,3)C(3,5),在坐標系內(nèi)確定點。使得以A、B、C、。四個點為頂點的四邊形是

平行四邊形.

思路1:利用對角線互相平分，分類討論:

設。點坐標為(m,力)，又A(1,2)B(5,3)C(3,5),可得:

5+3=1+m

⑴為對角線時,可得2(7,6);

3+5=2+〃

/、，…、(1+3=5+加八/、

(2)AC為對角線時，。二0,解得2—1,4；

[2+5=3+〃—

,、，[1+5=3+機/、

⑶AB為對角線時，2+3=5+〃'解得。3(3，。).

10

當然，如果對這個計算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可.

比如：D^B+C-A,D2=A+C-B,D3=A+B-C.(此處特指點的橫縱坐標相加減)

4.兩定兩動

已知A(1,1)、B(3,2),點C在x軸上，點。在y軸上，且以A、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊

形，求C、D坐標.

【分析】

設C點坐標為(m,0),。點坐標為(0,n),又A(1,1)、B(3,2).

、,,11+3=”2+0=4,

(1)當A8為對角線時，，c°，解得o＞故C(4,。)、D(0,3);

[1+2=0+〃[n=3

11+〃2=3+O[m=2、,

(2)當AC為對角線時，，八\,解得「故C(2,。)、D(0,-1);

[1+0=2+〃[n=-1

11+0=3+〃？\m=-2

(3)當AD為對角線時，，^,解得，，故C(-2,0)、D(0,1).

11+"=2+0n=l

11

“三定一動’'的動點和“兩定兩動”的動點性質并不完全一樣，“三定一動’'中動點是在平面中，橫縱坐標都不確

定，需要用兩個字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動點”，而有一些動點在坐標軸或者直線或者拋物線上，

用一個字母即可表示點坐標，稱為“半動點

從上面例子可以看出，雖然動點數(shù)量不同，但本質都是在用兩個字母表示出4個點坐標.若把一個字母稱

為一個“未知量”也可理解為：全動點未知量=半動點未知量x2.

找不同圖形的存在性最多可以有幾個未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個未知量.究

其原因，在于平行四邊形兩大性質：

(1)對邊平行且相等；

(2)對角線互相平分.

[x.+x=x+x

但此兩個性質統(tǒng)一成一個等式：《*crBn"n,

〔以+%=%+%

兩個等式，只能允許最多存在兩個未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個未

知量.

由圖形性質可知未知量，由未知量可知動點設計，由動點設計可化解問題.

三、中考真題演練

1.(2023?山東淄博?中考真題)如圖，一條拋物線丫=0?+云經(jīng)過二。18的三個頂點，其中。為坐標原點,

點A(3,-3),點B在第一象限內(nèi)，對稱軸是直線尤=',且一。的面積為18

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式；

⑵求點8的坐標；

(3)設C為線段A3的中點，尸為直線上的一個動點，連接AP,CP,將△ACP沿CP翻折，點A的對應

點為A.問是否存在點P,使得以A，P,C,3為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合

條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2

【答案】⑴y=§無2-3尤

12

（2）（6,6）

33或卜

(3)存在,尸點的坐標為

2；2

b9

【分析】(1)根據(jù)對稱軸為直線X=-將點A代入，進而待定系數(shù)法求解析式即可求解；

2a4

(2)過點A作斯，y軸交于E點，過8點作交于尸點，繼而表示出的

面積，根據(jù)OAB的面積為18,解方程，即可求解.

(3)先得出直線。3的解析式為，=無，設尸(//),當為平行四邊形的對角線時，可得AP=AC,當BC

為平行四邊形的對角線時，BP=AC,進而建立方程，得出點P的坐標，即可求解.

h9

【詳解】(1)解：,??對稱軸為直線％=-(?=：,

2a4

Q

b=——。①，

2

將點A(3,-3)代入y=ax-+bxn，

：.9a+3b=-3@,

'2

a=—

聯(lián)立①②得，［3,

b=-3

2

二解析式為y=無；

(2)設如圖所示，過點A作軸交于E點，過8點作B尸，防交于尸點，

尸（私-3）,E（0,-3）,

貝！JOE=3,AE=3,AF=m—3,BF=^m2—3m+3,

13

1f2\1

=—mx—m2-3m+3+3——x3x=18

,?°AOB2（3）2

解得：加=6或m=-3（舍去）,

（3）存在點P,使得以A，P,C,5為頂點的四邊形是平行四邊形，理由如下:

VA（3-3）,B（6,6）,

設直線08的解析式為y=履,

**?6k=6,解得：k=l9

???直線03的解析式為丁二%,

設尸（口）,

如圖所示，當BP為平行四邊形的對角線時，BC//A.P,

BC=A,Pf

AC=BC,

AC=AXP,

由對稱性可知AC=A。，AP=\P,

：.AP=AC,

J（，-3）2+t+3）2=Jn+卜一目

3

解得：

???尸點的坐標為［l，l］或1I，-|）

如圖3,當BC為平行四邊形的對角線時，BP//A.C,BP=AlC,

14

圖3

由對稱性可知，AC=AiC,

：.BP=AC,

解得：，=捶+6或/=-垣+6,

22

-至+6、

P點的坐標為

2

7

3屋1

綜上所述,P點的坐標為_----------1-0

2

7

7

2.(2023?廣東廣州?中考真題)已知點P(〃〃)在函數(shù)y=G(x<0)的圖象上.

(1)若機=-2,求〃的值；

(2)拋物線y=(x-〃z)(x-")與無軸交于兩點M,在N的左邊)，與y軸交于點G,記拋物線的頂點為E.

①加為何值時，點E到達最高處；

②設GMN的外接圓圓心為C,C與y軸的另一個交點為R當m+〃大0時，是否存在四邊形尸GEC為平

行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)〃的值為1;

(2)@m=-A/2;②假設存在，頂點E的坐標為，或"

22

【分析】(1)把m=—2代入y=——(%<0)得〃=一不二1,即可求解；

x-2

+T111

(2)@x=-------,^y=(x-m)(x-n)=——(m-n)2=-2——(m+n)2<-2,即可求解；

244

15

11(in+nli

②求出直線75的表達式為：y=得到點C的坐標為一^，-不；由垂徑定理知，點C在

FG的中垂線上，則FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3；由四邊形尸GEC為平行四邊形，則

17

CE=FG=3=yc-yE=---yE,求出左二一萬，進而求解.

22

【詳解】(1)解：把機=一2代入y=-一(％＜。)得〃=一一-=1；

x-2

故〃的值為1;

(2)解：①在y=(x-〃j)(x-")中，令y=0,則(x-〃z)(無一")=。，

解得X='"或％=”，

,N(n,O),

2

點P(利①在函數(shù)y=——(％<0)的圖象上，

x

:.mn=-2,

?YYl+Yl/=,、/、1..7-1/

令兀=----,y=(x—m)(x—n)=——(m-n)=—2—(m+n)<—2,

244

即當m+幾=0,且mn=-2,

則療=2,解得：機=-&(正值已舍去)，

即〃z=-時，點E到達最高處；

②假設存在，理由：

對于/=，當x=0時，y=mn=-2,即點G(0,-2),

由①得M(加,0),N(n,0),GO-2),E(^^,--(m-n)2),對稱軸為直線x=絲士,

242

由點M(m,0)、G(0,-2)的坐標知，tan/OMG="=2,

OM-m

作MG的中垂線交MG于點T,交，軸于點S,交x軸于點K,則點7(；加，-1

則tanNMKT=——m,

2

則直線方的表達式為：y=-1m(x-1m)-l.

16

“m+n…1I、1I

當％=—時，y=--m(x--m)-l=~-,

?,.s?一、t「m+nI)

則點c的坐標為[--一I.

由垂徑定理知，點C在尸G的中垂線上，則FG=2(yc-yG)=2x(-g+2)=3.

四邊形FGEC為平行四邊形,

貝I]CE=FG=3=外一為=一3一，

7

解得：%=一萬，

I,7

J!Lmn=-2,

貝！Jm+n=±y[6)

頂點E的坐標為一半,-g，或

3

3.(2023?山東?中考真題)如圖,直線y=-x+4交無軸于點8,交y軸于點C,對稱軸為龍=］的拋物線經(jīng)

過BC兩點，交》軸負半軸于點A.尸為拋物線上一動點，點尸的橫坐標為m,過點尸作x軸的平行線交

拋物線于另一點作無軸的垂線PN,垂足為N,直線MN交了軸于點O.

(1)求拋物線的解析式；

3

(2)若。<m<5，當機為何值時，四邊形CDVP是平行四邊形？

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)結合平行四邊形的性質，通過求直線MN的函數(shù)解析式，列方程求解;

【詳解】(1)解：在直線>=一》+4中，當x=0時，y=4,當y=0時，x=4,

點3(4,0),點。(0,4),

設拋物線的解析式為y=+k,

17

a+%=0

把點8（4,0），點。（0,4）代入可得，

a+2二4

Q=-1

解得

k三

4

二?拋物線的解析式為y=—1%—+等=一'+3%+4;

(2)解：由題意，尸(私-加之+3帆+4),

**?PN=—m2+3m+4，

當四邊形CDV尸是平行四邊形時，PN=CD,

OD=—m2+3m+4—4=—m2+3m，

Z>(0,m2-3m),N(m,0),

設直線腦V的解析式為丁=幻+病-3根,

把N（〃0）代入可得左即+蘇-3m=0,

解得勺=3—

/.直線腦V的解析式為y=（3-m）x+m2-3m,

3

又???過點尸作工軸的平行線交拋物線于另一點M,且拋物線對稱軸為%=1,

—m,—m2+3m+4）

（3—m）2+m2—3m——m2+3m+4,

解得（不合題意，舍去），"7,=%二包；

T323

4.（2023?山東聊城中考真題）如圖①，拋物線>=加+法-9與犬軸交于點4（-3,0）,5（6,0）,與y軸交于

點C,連接AC,點尸是無軸上任意一點.

18

⑴求拋物線的表達式；

（2）點。在拋物線上，若以點A,C,P,。為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點。的坐標；

【分析】（1）將A（—3,0）,3（6,0）代入〉=62+版-9,待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

131Q

（2）由二次函數(shù)y=；V-1x-9,求得點CQ-9）,設點P（肛0）,點。（“3"-襯9）,分類討論：當AC

為邊，AQ為對角線時，當AC為邊，釬為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性質，構建方程求

解；

【詳解】（1）將A（TO）,3（6,0）代入>=^2+"-9,得

（9a-3b-9=0”萬

*"7Qn'解得3

ib=——

I2

13

；?拋物線解析式為：y=1x2-j%-9

13

（2）二次函數(shù)>=］尤2一］彳一9,當x=0時，y=-9

.?.點C（0,-9）

13

設點p（機⑼，點。（",萬〃2--n-9）,

當AC為邊，A。為對角線時，

四邊形ACQ尸為平行四邊形，

AAQ,CP互相平分

13

-n2--n-9=-9解得，71=0（舍去）或”=3

點。坐標（3,-9）；

19

2222

3

：.-n2-n-9=9

22

二點0坐標(|+2乎,9)或47,9)

綜上，點0坐標(3,-9),或弓+上乎⑼或W，9)；

5.(2023?山東棗莊?中考真題)如圖，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A(-l,0),C(0,3)兩點，并交x軸于另一點B,

直線AM與軸交于點D

20

(1)求該拋物線的表達式；

(3)若點尸是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點。，使得以。，M,P,0為頂點的四邊形是平行四

邊形？若存在，請申談寫出所有滿足條件的點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(3)分DM,DP,MP分別為對角線，三種情況進行討論求解即可.

【詳解】(1)解：V拋物線y=-x2+次+c經(jīng)過A(-1,O),C(0,3)兩點,

J—1—Z?+c=O[b=2

解得：。

[c=3[c=3

??y=-%2+2x+3；

(3)解：存在；

y=-x2+2尤+3=-(x-l)2+4,

對稱軸為直線x=l,

設尸(pj),Q。,"),

當以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形時:

1+P=0+1

①DM為對角線時:

%+〃=4+2

當夕=。時，t=3,

〃=3,

2(1.3)；

0+p=l+l

②當DP為對角線時:

2+%=4+〃

21

P=2

2+f=4+〃

當p=2時，Z=-22+2X2+3=3,

??H=1,

Q(L1)；

…fl+7?=0+l

③當MP為對角線時：|4+r=2+w.

[n-t=2

當p=0時，t=3,

??〃=5,

???2(1,5)；

綜上：當以。，M,P,Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，Q。,3)或。(LI)或0(1,5).

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，是中考常見的壓軸題.正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函

數(shù)的性質，利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵.

6.(2023?甘肅武威?中考真題)如圖1,拋物線、=-X2+灰與x軸交于點A,與直線'%交于點以4,-4),

22

點c(o,-4)在y軸上.點尸從點8出發(fā)，沿線段8。方向勻速運動，運動到點。時停止.

⑴求拋物線yn-V+foc的表達式；

⑵當8尸=20時，請在圖1中過點尸作即，。4交拋物線于點。，連接PC,0D,判斷四邊形OCPO的

形狀，并說明理由.

【分析】(1)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

(2)作尸交拋物線于點。，垂足為"，連接尸C,0D,由點尸在丁=-%上，可知尸"，

ZPOH=45°,連接5C,得出05=4后，諷OH=PH=^OP=顯又26=2,當芍=2時，

22

DH=%=—4+3X2=2,進而得出PD=OC,然后證明PD〃OC,即可得出結論；

【詳解】(1)解：:拋物線y=3+桁過點B(4,T),

???-16+4Z?=-4,

：.b=3,

y——彳2+3x；

(2)四邊形OCPD是平行四邊形.

理由：如圖1,作尸交拋物線于點。，垂足為H,連接尸C,0D.

:點尸在丁=一》上，

OH=PH,NPOH=45。,

連接BC,

OC=BC=4,

?,OB=45/2>

23

,?*BP=2V2，

OP=OB-BP=26，

OH=PH=—OP=—X2A/2=2，

22

當4=2時，DH=JD=-4+3X2=2,

/.PD=DH+PH=2+2=4,

VC（0,-4）,

，OC=4,

PD=OC,

；OC_Lx軸，PD_Lx軸，

PD//OC,

...四邊形OCPO是平行四邊形；

7.（2023?四川巴中?中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線'=62+汝+，（。W0）經(jīng)過點4（-1,0）和8（0,3）,

其頂點的橫坐標為1.

（1）求拋物線的表達式.

（3）若點尸為拋物線y=ax2+6x+c（aw0）的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移1個單位長度后，。為平移后

拋物線上一動點.在（2）的條件下求得的點M,是否能與A、尸、。構成平行四邊形？若能構成，求出。

點坐標；若不能構成，請說明理由.

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（3）由⑴知，y=*+2x+3向左平移后的拋物線為y=-/+4,由⑵知加@,，）4㈠,。），設

尸（1,孫）,。（尤2，坨），假設存在以A、P、。、M為頂點的平行四邊形.根據(jù)中點坐標公式，分類討論即可

求解，①當以AM為對角線時，②當以AQ為對角線時，③當以AP為對角線時.

【詳解】（1）解：拋物線的頂點橫坐標為1

.?.對稱軸為x=l

24

A(-1,O)

，與x軸另一交點為(3,0)

設拋物線為y=a(x+D(尤-3)

QB(0,3)

a=-1

y=—(x+l)(x—3)

拋物線的表達式為y=-X2+2X+3

(3)由(1)知，＞=-尤2+2工+3向左平移后的拋物線為、=一_?+4

315

由(2)知M,A(T0)

2'T

設P(L力),。(&,%)，假設存在以A、P、Q、加為頂點的平行四邊形.

①當以AM為對角線時,

平行四邊形對角線互相平分

.產(chǎn)+%=%+/,即7+]]+%

。o--------=-------

Q在拋物線y=-x2+4上

15

??=J

.二。的坐標為

②當以A。為對角線時

11+—

同理可得之士%=/+?即]+%、2

222-2

733

???%=5則坨=：

Q的坐標為

25

③當以A尸為對角線時

3

%、+/=%+時,gn-i+iXQ+2

2―2，-------=--------

Zz22

37

.??%=一/則為二

Q的坐標為

綜上所述：存在以A、P、。、”為頂點的平行四邊形.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形

的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵.

8.(2023?四川南充?中考真題)如圖1,拋物線y=o?+bx+3(叱0)與x軸交于A(-l,0),以3,0)兩點,

與y軸交于點c.

B\xEB\x

⑴求拋物線的解析式；

⑵點尸在拋物線上，點。在％軸上，以aC,尸，。為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

【分析】(1)將A(T,0),3(3,0)兩點代入拋物線的解析式即可求解；

(2)根據(jù)尸，。的不確定性，進行分類討論：①過C作CP〃尤軸，交拋物線于《，過A作6Q1〃BC,交x

軸于可得為=3,由-f+2x+3=3,可求解；②在尤軸的負半軸上取點。2,過。2作。2鳥〃BC,交拋

物線于8,同時使2￡=8C,連接C2、BP2,過鳥作鳥軸，交x軸于。，