題型十二一線三等角模型

【要點(diǎn)提煉】

一、【認(rèn)識一線三等角模型】

一線三等角模型顧名思義，即在一條直線上有三個相等的角，就可稱為一線三等角模型，按角的大

小可分為：銳角型、直角型、鈍角型

二、【一線三等角模型的重要結(jié)論】如上圖1

①ABDE?ACEF

證明：:/I+/4=180°-ZD

Zl+Z2=180°-ZDEF

ZD=ZDEF

?-■Zl+Z4=Zl+Z2

.-?Z4=Z2

???ZB=ZC

ABDE-ACEF

…BDBEDE

②法—CF-FF

VABDE-ACEF

.BD_BE_DE

,,EC-CF-FE

三、【特殊情況下的一線三等角模型】

①全等型一線三等角

注意：一線三等角模型只有在對應(yīng)邊相等的情況下才能全等，不能隨意理解為只要兩個邊相等就能

全等

②中點(diǎn)型一線三等角模型

當(dāng)D為BC中點(diǎn)時，圖形除了原本的結(jié)論還有新的結(jié)論可以得到，而該情況較?？嫉剑虼丝梢宰鳛?/p>

模型記下來，證明過程如下

由ABDE?ACFD

,EDEB

得------

FDDC

為BC中點(diǎn)

BD=CD

.ED_EB

"FD~BD

又：/EBD=NEDF

.?.△BDE?ACFD?ADFE

；./4=Z5

即ED為N為F的平分線

③不在同一側(cè)的一線三等角模型

下圖中，直線AP上也有三個等角，但三個角不在直線AP的同一側(cè)，此時是比較特殊的一線三等角

模型，也可證明兩三角形相似

證明：：N1+N2=NDBA

Z2+Z3=ZDPC

ZDBA=ZDPC

.*.Z1+Z2=Z2+Z3

.-.Z1=Z3

???ZDBA=ZCAQ

JNDBP=NCAP

???△DBP?APAC

四、【構(gòu)造一線三等角模型】

①已知一線二等角-補(bǔ)一等角-構(gòu)成一線三等角

②已知一線特殊角-補(bǔ)二等角-構(gòu)成一線三等角

（如下圖）

135°

BC

【專題訓(xùn)練】

一.選擇題（共1小題）

1.已知△ABC,AC=BC,ZC=120°,邊長AC=10,點(diǎn)。在AC上，且A￡>=6,點(diǎn)E是AB上一

動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)。E,將線段。E繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到線段。R要使點(diǎn)尸恰好落在8c上，則

AE的長是（）

A.4+4遮B.6V3C.4V3D.4+2V3

【答案】A

【解析】解：如圖，延長OC到G,使。G=AE，連接FG,

G

'：AC=BC,NC=120°,

/.ZA=30°,ZFCG=60",

?：ZA+Z1=ZEDF+Z2,

又30°,

.\Z1=Z2,

在和△。/G中，

AE=GD

z.1=z.2,

ED=DF

：.AEDA^ADFG(SAS),

：.AD=GF=6,NA=NG=30°

VZG+ZFCG=90°,

：.ZCFG=90°,

設(shè)CF=x,則CG=2x,由CF2+FG2=CG2^：

X2+62=（2X）2,

解得了1=2必，X2=-2V3（不合題意舍去），

CG=4V3,

.,.AE=￡）G=4+4同

故選：A.

二.填空題（共3小題）

2.（2020?牡丹江）如圖，在Rt^ABC中，CA=CB,M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在上，AE±CD,

BFLCD,垂足分別為E,F,連接EM.則下列結(jié)論中：

①BF=CE；

②/AEM=/DEM；

（3）AE-CE=&ME；

@DE1+DF2=2DM2；

⑤若AE平分/8AC,貝UEF：BF=V2：1；

⑥CF-DM=BM?DE,

正確的有①②⑶⑷⑸⑹.（只填序號）

【答案】①②③④⑤⑥

【解析】解：；/ACB=90°,

：.ZBCF+ZACE^90°,

"：ZBCF+ZCBF=90°,

：.ZACE=ZCBF,

又：/8尸。=90°=NAEC,AC=BC,

：./\BCF^/\CAEG4AS),

：.BF=CE,故①正確;

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

：.AE-CE=CF-CE=EF,

連接F7W,CM,

丁點(diǎn)M是AB中點(diǎn)，

：.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△BDF和△COM中，ZBFD=ZCMD,/BDF=/CDM,

：.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

：.ABFM^ACEM(SAS),

/.FM—EM,ZBMF=ZCME,

VZBMC=90°,

：.ZEMF=90°,即△￡〃方為等腰直角三角形，

：.EF=V2EM=AE-CE,故③正確，ZMEF=ZMFE=45°,

VZAEC=90°,

：.ZMEF=ZAEM=45°,故②正確，

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)N,連接。N,

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45

:.叢DFM%ANEM(.ASA),

：.DF=EN,DM=MN,

...△OWN為等腰直角三角形，

：.DN=y/2DM,而/DEA=90°,

DE^+DF2=DN2=2DM2,故④正確；

?：AC=BC,ZACB=9Q°,

.,.ZCAB=45°,

平分/3AC,

：.ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

■：ZDEM=45°,

：.ZEMD=6T.5°,BPDE=EM,

'：AE=AE,ZAED=ZAEC,ZDAE=ZCAE,

△ADE^AACE(ASA),

DE=CE,

△MEF為等腰直角三角形,

EF=y[2EM,

EFEFEFy/2EM、一?“

而=H=耘=b=Wr'故⑤正確;

ZCDM=ZADE,ZCMD=ZAED=9Q°,

LCDMS^ADE,

CDCMDM

AD~AE~DE'

BM=CM,AE=CF,

BMDM

CF-DE'

CF,DM=BM,DE,故⑥正確;

故答案為：①②③④⑤⑥.

3.（2020?咸寧）如圖，四邊形ABC。是邊長為2的正方形，點(diǎn)E是邊BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C

重合），ZAEF=90°,且跖交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)R交C。于點(diǎn)G,連接AF,有下

列結(jié)論：

①△ABEs^ECG；

②AE=EF；

（3）ZDAF=ZCFE；

④的面積的最大值為1.

其中正確結(jié)論的序號是①②⑶.（把正確結(jié)論的序號都填上）

【答案】①②③

【解析】解：①???四邊形A5CD是正方形,

:?NB=NECG=90°,

VZAEF=90°，

：./AEB+NCEG=AAEB+ABAE,

:?/BAE=/CEG,

：.AABE^AECG,

故①正確；

②在BA上截取BM=BE,如圖1,

圖1

???四邊形A5CO為正方形，

：.ZB=90°,BA=BC,

???ABEM為等腰直角三角形,

：.ZBME=45°,

AZAME=135°,

■:BA-BM=BC-BE,

：.AM=CE,

???c/為正方形外角平分線，

.-.Z￡>CF=45°,

?'?NEC尸=135°,

VZAEF=90°,

AZAEB+ZFEC=90°,

而NAE8+N3AE=90°,

:?/BAE=/FEC,

在和尸中

Z.MAE=乙CEF

AM=EC，

^AME=乙ECF

：.△AM%AECF（ASA）,

：.AE=EF,

故②正確；

@U：AE=EF,ZAEF=90°,

：.ZEAF=45°,

：.ZBAE+ZDAF=45°,

ZBAE+ZCFE=ZCEF+ZCFE=45°,

:?NDAF=NCFE,

故③正確；

④設(shè)3￡*=羽則AM=AB-BM=2-x,

1i2i

S^ECF=S^AME=^=一）（X-1）+彳

1

當(dāng)X=1時，Sz^ECF有最大值5，

故④錯誤.

故答案為：①②③.

4.（2019?臺州）如圖，直線人〃/2〃/3,A,B,C分別為直線/1,/2,/3上的動點(diǎn)，連接AB,BC,

AC,線段AC交直線/2于點(diǎn)D設(shè)直線A,/2之間的距離為〃3直線/2,/3之間的距離為“，若/

【答案】y

【解析】解：延長AB交/3于月

m2

n3,

口心DBm

易知—=----，

CEm+n

VBD=4,

：.CE=10f

VZABC=90°,

：.ZCBE=90°,

設(shè)m~2jCiw=3x.

構(gòu)造以CE為直徑的半圓，則點(diǎn)8在其弧上運(yùn)動，易知BGW"G'=5,

即3xW5,

525

?'?x<m+n—5x<-5-,

25

m+n的最大值為三.

故答案為：V

三.解答題（共6小題）

5.（2020?宿遷）【感知】如圖①，在四邊形ABC。中，/C=NZ）=90°,點(diǎn)E在邊C。上，ZAEB

」、一AEDE

=90°,求證：—=--

EBCB

【探究】如圖②，在四邊形A8C。中，NC=/A￡>C=90°,點(diǎn)E在邊C。上，點(diǎn)尸在邊A。的

EFAE

延長線上，ZFEG=ZAEB=90°,且一=一，連接BG交CD于點(diǎn)

EGEB

求證：BH=GH.

4EDE

【拓展】如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABC。內(nèi)，ZAEB+ZDEC=1SO°,且一=—,過E作所交

EBEC

AO于點(diǎn)尸，若/EFA=NAEB,延長在交5C于點(diǎn)G,求證：BG=CG

圖①圖②圖③

【解析】【感知】證明：,??NC=NO=NAEB=90°,

???ZBEC+ZAED=ZAED+ZEAD=90°,

JZBEC=ZEAD,

：.RtAAED^RtAEBC,

.AEDE

??EB-CB'

EFDE

【探究】證明：如圖1,過點(diǎn)G作GMLCO于點(diǎn)由(1)可知一=—，

EGGM

?EG-EB'EB-CB'

.DE_DE

?'GM~CB'

：?BC=GM,

又?..NC=NGM〃=90°,ZCHB=ZMHG,

:?△BCHQAGMH(A4S),

:?BH=GH,

【拓展】證明：如圖2,在EG上取點(diǎn)M,使NBME=NAFE,

過點(diǎn)。作CN〃BM,交EG的延長線于點(diǎn)N,則NN=NBMG,

VZEAF+ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZAEB+ZBEM=180°,/EFA=NAEB,

：.ZEAF=/BEM,

：.MAEFsMEBM,

.AEEF

"BE-BM1

VZAEB+ZZ)EC=180°,/EFA+/DEE=180°,

而NEM=/AEB,

：?NCED=NEFD,

VZBMG+ZBME=1SO°,

:./N=/EFD,

'：/EFD+/EDF+/FED=NFED+/DEC+NCEN=180°,

???ZEDF=/CEN,

：.△DEFs/\ECN,

?DEEF

??—，

ECCN

「AEDE

又■:--=---，

EBEC

.EF_EF

?,BM-CN'

:?BM=CN,

又,：NN=/BMG,ZBGM=ZCGN,

:,ABGMm叢CGN(AAS),

：.BG=CG.

6.（2020?雅安）如圖，已知邊長為10的正方形A3CO,E是邊上一動點(diǎn)（與8、。不重合）,

連接AE,G是延長線上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作AE的垂線交NOCG的角平分線于點(diǎn)F,若FG1BG.

（1）求證：XABEsMEGF：

(2)若EC=2,求△CEF的面積；

(3)請直接寫出EC為何值時，ACE尸的面積最大.

【解析】解：（1）???四邊形A8CO是正方形，EF±AE,

：.ZB=ZG=ZAEF=90°,

AZBAE+ZAEB=90°,NAEB+/FEG=90°,

:?NBAE=/FEG,

???NB=NG=90°,

:.△BAES^GEF；

（2）VAB=BC=10,CE=2,

：.BE=8f

:?FG=CG,

:?EG=CE+CG=2+FG,

由（1）知，ABAEsAGEF,

?_ABBE

??—,

EGFG

■I。8

"2+FG-FG"

：.FG=S,

11

：.SAECF=2CE*FG=2x2X8=8；

（3）設(shè)CE=x,JOE=10-x,

:.EG=CE+CG=x+FG,

由（1）知，ABAEsAGEF,

ABBE

?t?—,

EGFG

1010-x

x+FGFG

：.FG=W-X9

IIi-102s

：.S^ECF=xCEXFG=1Xx<10-x)=-^(x2-10%)=(x-5)2+芋

26

當(dāng)X=5時，SAECF最大=-y.

7.(2020?長沙)在矩形ABC。中，E為OC邊上一點(diǎn)，把△AOE沿AE翻折，使點(diǎn)。恰好落在3C

邊上的點(diǎn)F.

(1)求證：AABFs4FCE；

(2)若45=2b，AO=4,求EC的長；

(3)若AE-DE=2EC,記N3AF=a,ZME=P，求tana+tan0的值.

________________、D

【解析】(1)證明：??,四邊形ABC。是矩形，

：.ZB=ZC=ZD=90°,

由翻折可知，ZD=ZAFE=90°,

ZAFB+ZEFC=90°,ZEFC+ZCEF=90°,

J/AFB=/FEC,

：.AABF^AFCE.

(2)設(shè)EC=x,

由翻折可知，AD=AF=4,

：.BF=yjAF2-AB2="6-12=2,

：.CF=BC-BF=2f

'：AABFsAFCE,

ABBF

2V32

2%

-_2V3

??Fr—3.

(3),:△ABFS/\FCE,

.AFAB

"EF~CF'

.°BF、EFBF.CFBF+CFBC

..tana+tanp=亞+而=而+通=AB=麗’

設(shè)A8=C￡)=〃，BC=AD=b,DE=x,

?\AE=DE+2CE=x+2Ca-x)—la-x,

'：AD=AF=b,DE=EF=x,NB=NC=ND=90°,

\BF=7b2—十,CF=-yjx2—(a—x)2=V2ax—a2,

：AD1+DE1=AE1,

??廿+/=(2d!-x)2,

*.a2-ax="if2,

??△ABFs^FCE,

?ABBF

*CF~EC

.ay/b2-a2

J%2_(q_%)2a-%，

a2-ax=y/b2—a2>V2ax—a2,

整理得，161-24/。2+9。4=o,

J(4a2-3b2)2=0,

b2V3

a3

8.（2020?懷化）如圖，在。。中，A8為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長A8到點(diǎn)。，使CO=CA,

且ND=30°.

(1)求證：C。是。。的切線.

(2)分別過A、8兩點(diǎn)作直線C。的垂線，垂足分別為E、P兩點(diǎn)，過C點(diǎn)作A3的垂線，垂足

為點(diǎn)G.求證：?

【解析】(1)證明：連接0C,如圖所示，

'：CA=CD,且/0=30°,

：.ZCAD=ZD=30°,

：OA=OC,

...NCAD=NACO=30°,

AZCOD=ZCAD+ZACO=300+30°=60°,

：.ZOCD=1SO°-ZD-ZC0D=180°-30°-60°=90°,

OC±CD,

.,.CD是。。的切線；

(2)'：ZCOB=60°,MOC=OB,

...△OCB為等邊三角形，

AZCBG=60°,

XVCG1AD,

AZCGB=90°,

：.ZGCB=ZCGB-ZCBG=30°,

又?.?/GCZ)=60°,

CB是/GCD的角平分線，

VBF1CD,BGYCG,

：.BF=BG,

又,：BC=BC,

ARtABCG^RtABCF(HL),

：.CF=CG.

VZD=30°,AE±ED,ZAEZ)=90°,

AZEAD=60°,

又：/CAD=30°,

；.AC是/及1G的角平分線，

VCELAE,CG±AB,

:.CE=CG,

VZAEC=ZBFC=90°,ZEAC=30°=/BCF,

：.LAECsACFB,

AECE

：.—=—,即AE-BF=CF'CE,

CFBF

又CE=CG,CF=CG,

：.AE'BF=CG1.

9.（2020?達(dá)州）如圖，在梯形ABCD中，AB//CD,ZB=90°,AB=6cm,CD=2cm.P為線段

BC上的一動點(diǎn)，且和2、C不重合，連接力,過點(diǎn)P作PELE4交射線CD于點(diǎn)E.聰聰根據(jù)學(xué)

習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對這個問題進(jìn)行了研究：

（1）通過推理，他發(fā)現(xiàn)請你幫他完成證明.

（2）利用幾何畫板，他改變BC的長度，運(yùn)動點(diǎn)P,得到不同位置時，CE、8尸的長度的對應(yīng)值:

當(dāng)BC—6cm時，得表1：

BP/cm???12345???

CE/cm???0.831.331.501.330.83???

當(dāng)BC=8c機(jī)時，得表2：

BP/cm???1234567???

CE/cm??.1.172.002.502.672.502.001.17…

這說明，點(diǎn)P在線段2C上運(yùn)動時，要保證點(diǎn)E總在線段CD上，BC的長度應(yīng)有一定的限制.

①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在8P和CE的長度這兩個變量中，BP的長度為

自變量，EC的長度為因變量:

②設(shè)mcm,當(dāng)點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動時，點(diǎn)E總在線段CD上，求機(jī)的取值范圍.

【解析】（1）證明：???A8〃CD,

.\ZB+ZC