專題08圓（考點清單）

⑤考點歸納

【考點D圓的相關(guān)概念【考點2】垂徑定理及應(yīng)用

【考點3】點與圓的位置關(guān)系【考點4】直線與圓的位置關(guān)系

【考點5】圓心角和圓周角的關(guān)系【考點6】圓內(nèi)接四邊形

【考點7】三角形的外接圓【考點8］切線的判定和性質(zhì)

【考點9】三角形內(nèi)切圓【考點10］切線長定理

【考點11］圓內(nèi)接正多邊形【考點12］弧長和扇形的面積

域真題精練

【考點1］圓的相關(guān)概念

1.下列說法正確的是（）

A.長度相等的弧是等弧

B.相等的圓心角所對的弧相等

C.劣弧一定比優(yōu)弧短

D.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸

【答案】D

【分析】本題考查了圓的相關(guān)性質(zhì)；根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì)，逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：A.在同圓或等圓中，長度相等的弧是等??；故本選項錯誤；

B.同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；

C.在同圓或等圓中，劣弧一定比優(yōu)弧短.故本選項錯誤；

D.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.

故選：D.

2.如圖，0半徑為5,那么圖中到圓心。距離為7的點可能是（）

A.P點B.Q點C.Af點D.N點

【答案】D

【分析】本題考查了點與圓心的位置關(guān)系，難度較小，根據(jù)圖中的點在圓的分布位置，即可

作答.

【詳解】解：A、因為點P在圓上，所以點尸到圓心。距離即為半徑，為5,故該選項是錯

誤的；

B、因為點。在圓內(nèi)，所以點。到圓心。距離小于半徑5,故該選項是錯誤的；

C、因為點M在圓內(nèi)，所以點〃到圓心。距離小于半徑5,故該選項是錯誤的；

D、因為點N在圓外，所以點N到圓心。距離大于半徑5,那么圖中到圓心。距離為7的點

可能是點N,故該選項是正確的；

故選：D

3.如圖，A3是。的直徑，C是54延長線上一點，點。在。上，且CD=Q4,CO的

延長線交（。于點E,若NC=20。，求/BOE的度數(shù).

【答案】60°

【分析】本題考查了圓的認識、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的定義和性質(zhì)等知識，熟練

掌握等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)是關(guān)鍵.連接。。，利用半徑相等和等腰三角形的

性質(zhì)求得NDOC=NC=20。，進而根據(jù)"三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和"

可得/ODE的度數(shù)，從而利用三角形的外角的性質(zhì)，由/=求解即可.

【詳解】解：連接。。，

^CD=OA=OD,ZC=20°,

0NDOC=NC=2O。,

團/ODE=ZDOC+NC=40。，

團OD=OE,

^ZE=ZODE=40°f

團ZEOB=NC+N后=40。+20。=60°.

【考點2】垂徑定理及應(yīng)用

4.如圖，A3是O的弦，半徑OCJLAB,垂足為。，設(shè)。的半徑為5,8=1,則的

A.4B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，連接。4,再求出OD=4,根據(jù)勾股定理得出

AD=VOA2-OD2=3，最后根據(jù)垂徑定理即可得出AB=2AZ>=6.

【詳解】解：連接Q4,

團。4=。。=5,CD=1,

0O￡>=4,

EOC1AB,

0AD=7OA2-O￡>2=3>

團AB=2AD=6,

5.一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦43長20厘米，弓形高CO為

2厘米，則鏡面半徑是（）

D

A.24厘米B.26厘米C.28厘米D.30厘米

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，令圓。的半徑為。8=廠，則=2,

根據(jù)勾股定理求出OC2+3C2=og2,進而求出半徑.

【詳解】解：如圖，由題意，得。。垂直平分AB,

3c=10厘米，

令圓。的半徑為。8=「，則OC=r—2,

在RtBOC中，OC2+BC2=OB2,

.-.(r-2)2+102=r2,

解得廠=26.

故選：B.

6.我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁"的問題："今有圓材埋在壁

中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，

埋在墻壁中，不知其大小.用鋸去鋸這木材，如圖，鋸口深CE=l寸，鋸道長4?=1尺(1

尺=10寸).問這根圓形木材直徑CD是寸.

【答案】26

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理；連接。4,可得。石=。4-1,AE=5,由

4序+0序=0/42即可求解；能構(gòu)建由半徑、弦的一半、弦心距組成的直角三角形是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，連接。4,

:.OA=OC,

:.OE=OC-CE

=04-1,

CD±AB,

:.ZAEO=9Q°,

AE=-AB=5,

2

在Rt0E4中：

AE2+OE2=OAr,

.?.52+(ft4-l)2=OA2,

解得：OA=13,

r.CD=204=26,

故答案：26.

7.將半徑為5的)。如圖折疊，折痕AB長為6,C為折疊后A2的中點，則0C長為

【答案】3

【分析】本題考查了垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系和勾股定理.延長0C交。于。點，

交AB于E點,連接。4、OB、AC.BC,如圖根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由AC=8C得到

CA=CB,則可判斷OC垂直平分A3,則AE=3E=3,再利用勾股定理計算出OE=4,所

以。E=l,然后利用C點和。點關(guān)于A3對稱得到CE=1,最后計算0E-CE即可.

【詳解】解:延長0C交。于。點，交A3于E點，連接OB、AC,BC,如圖，

回C為折疊后AB的中點,

0AC=BC>

?C4=CB,

S\OA=OB,

回。。垂直平分A3,

E1AE=BE」AB=3,

2

在RtZXAOE中，OE=doA—AE2=4于一乎=4,

EIDE=OD-C>E=5-4=1,

回A￡>B沿AB折疊得至UACB，8垂直A3，

配點和D點關(guān)于A3對稱，

^iCE=DE=l,

0(9C=OE-CE=4-1=3.

故答案為：3.

8.如圖這是一個殘缺的圓形部件，已知A民C是該部件圓弧上的三點.

⑴利用尺規(guī)作圖作出該部件的圓心；(保留作圖痕跡)

(2)若」1BC是等腰三角形，底邊3C=16cm,腰AB=10cm,求該部件的半徑R.

【答案】⑴見解析

25

⑵圓片的半徑R為了cm

【分析】本題考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖，垂徑定理及勾股定理，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)

鍵.

(1)弦AB和AC的垂直平分線交點。即為所求的圓心，據(jù)此即可完成作圖；

(2)連接AO,QB,BC,根據(jù)垂徑定理可得&)=8cm,再結(jié)合勾股定理可得AD；設(shè)圓片的

半徑為K,在Rt.B。。中利用勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示：分別作弦和AC的垂直平分線交點。即為所求的圓心；

(2)解：連接AO,QB,3C,3c交。4于￡).

QBC=16cm,

/.BD=8cm,

AB=10cm,

AD=^AB--BD-=6cm，

設(shè)圓片的半徑為R,

在Rt中，OD=(R-6)cm,

.-.7?2=82+(/?-6)2

25

解得：R=gcm,

25

圓片的半徑R為寧cm.

9.某村為了促進農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展，建設(shè)了蔬菜基地，新建了一批蔬菜大棚.如圖是蔬菜大棚

的截面，形狀為圓弧型，圓心為。，跨度A3(弧所對的弦)的長為8米，拱高CO(弧的

中點到弦的距離)為2米.

D

（1）求該圓弧所在圓的半徑；

（2）在修建過程中，在距蔬菜大棚的一端（點5）1米處將豎立支撐桿EF,求支撐桿環(huán)的

高度.

【答案】（1）該圓弧所在圓的半徑為5米

⑵支撐桿EF的高度為1米

【分析】此題考查了矩形判定和性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理的應(yīng)用：

（1）根據(jù)垂徑定理的推論得到圓心。在DC的延長線上，設(shè)」。的半徑為「米，則

0c=（r-2）米.由垂徑定理得到C4=4米.在Rt_Q4c中，由勾股定理得AC?+OC?=,

得到方程，解方程即可求出該圓弧所在圓的半徑；

（2）過產(chǎn)點作FHLCD于//點，連先求出CE=3,證明四邊形EFHC為矩形，則

FH=CE=3.在RtZkOM中，OHHOF-FH?=4,求出"C=L根據(jù)四邊形￡尸/北為

矩形即可得到答案.

【詳解】（1）4?垂直平分CO,

，圓心。在OC的延長線上.

設(shè)。。的半徑為「米，則。。=（廠-2）米.

ODLAB,

;.CA=BC=：AB=4（米）.

在RtQ4C中，

由勾股定理得：AC2+OC2=AO2,

即4?+（廠一2）2=,，

解得r=5.

即該圓弧所在圓的半徑為5米；

(2)過歹點作FHJLCD于H點，連接OF.

.-.CE=4-1=3.

0ZFHC=ZHCE=ZCEF=90°,

團四邊形E戶HC為矩形，

:.FH=CE=3,EF=HC

在中，OH=ylOF2-FH2=4.

OC=3,

:.HC=1.

；.EF=HC=1.

即支撐桿收的高度為1米.

【考點3】點與圓的位置關(guān)系

10.若1。的半徑為6cm,PO-8cm,則點P與。的位置關(guān)系是()

A.點尸在。外B.點尸在。上C.點在。內(nèi)D.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：當點到圓心距離小于半徑時，點在圓內(nèi)；當點到圓

心距離等于半徑時，點在圓上；當點到圓心距離大于半徑時，點在圓外，根據(jù)點到圓心的距

離即可得出答案.

【詳解】解：團點尸到圓心的距離PO=8cm大于圓的半徑6c,

團點尸在圓外，

故：A.

11.在平面直角坐標系中，以點(-3,4)為圓心，半徑為5作圓，則原點一定()

A.在圓外B.在圓內(nèi)C.在圓上D.與圓相交

【答案】C

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，求出原點到圓心的距離，再與半徑作比較，即

可解答.

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

原點到圓心的距離=J（-3『+42=5,

團半徑為5,

團原點在圓上，

故選：C.

【點睛】

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,若以頂點A為圓心、r為半徑作圓，若點3、

C、。三點中，存在一點在圓內(nèi)，一點在圓外，則r的取值范圍為（）

A.3<r<5B.r>3C.3<r<5D.3<r<4

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，使點C在圓外才滿足條件，根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】解：連接AC,

在RfABC中，AC=V32+42=5-

若以頂點A為圓心、r為半徑作圓，若點夙C、D三點、,有一點在圓內(nèi)，一點在圓外,

則使點C在圓外才滿足條件，

03<r<5,

故選：C.

【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

13.已知。的半徑為5,點A在O內(nèi)，則Q4長度可能是（）

A.2.5B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，熟知在圓內(nèi)的點到圓心的距離一定小于半徑是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回的半徑為5,點A在1。內(nèi)，

0OA<5,

回。4長度可能是2.5,

故選A.

14.如圖，A,B,C是某社區(qū)的三棟樓，若在AC中點。處建■個5G基站，其覆蓋半徑

為200m,則這三棟樓中在該5G基站覆蓋范圍內(nèi)的是（）

A.A,B,C都不在B.只有8C.只有A,CD.A,B,C

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理證得ABC是直角三角形，可以根據(jù)直角三角形斜邊中線的

性質(zhì)求得瓦）的長，然后與200m比較大小，即可解答本題.本題考查勾股定理的逆定理，

直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，點。與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出三角形三個頂

點到點的距離.

【詳解】解：AB=300m,3C=400m,AC=500m,

:.AB-+BC2=AC2,

.二ABC是直角三角形，且ZABC=90。，

；點D是斜邊AC的中點，

AD=CD=250m,BD=-AC=250m,

2

如圖，以。為圓心，200m為半徑畫圓,

c

.?.點A,B,C都不在覆蓋范圍內(nèi)，

故選:A.

【考點4】直線與圓的位置關(guān)系

15.在平面直角坐標系尤Oy中，以點(-2,4)為圓心，4為半徑的圓()

A.與x軸相切，與y軸相交B.與x軸相離，與y軸相交

C.與x軸相交，與y軸相切D.與x軸相切，與y軸相離

【答案】A

【分析】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系以及點到坐標軸的距離.由已知點(-2,4)可求該

點到x軸，y軸的距離，再與半徑比較，確定圓與坐標軸的位置關(guān)系.

【詳解】解：點(-2,4)到無軸為4,等于半徑4,

點(-2,4)到y(tǒng)軸的距離為2,小于半徑4,

故該圓與x軸相切，與y軸相交，

故選：A.

16.在平面直角坐標系xQy中，以點4(1,3)為圓心，2為半徑作：A,下列判斷正確的是()

A.A與無軸相交B.A與》軸相切

C.點。在A外D.點(1,1)在A內(nèi)

【答案】C

【分析】此題主要考查了直線與圓和點與圓的位置關(guān)系，坐標與圖形性質(zhì)等知識點，根據(jù)點

的坐標得到圓心到X軸的距離是3,到y(tǒng)軸的距離是I,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可求出

答案，熟練掌握運用直線與圓和點與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：12圓心4(1,3),

回到x軸的距離是3,到》軸的距離是1,

04的半徑為2,

04與x軸相離，A與》軸相交，故選項A、B錯誤;

由。4=5/產(chǎn)+3?=回＞2,

則點。在「A外，故選項C正確；

設(shè)

^AB=2,

則點(LI)在一A上，故選項D錯誤；

故選：C.

17.如圖，在.ABC中，AB=AC=5,3C=8,以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結(jié)

論中正確的是()

C.直線與A相切D.直線BC與A相離

【答案】C

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，勾股定理;過A點作AH_LBC

于H,如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得到B"=CH=g8C=4,則利用勾股定理可計算出

AH=3,然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法對A選項和8選項進行判斷；根據(jù)直線與

圓的位置關(guān)系對C選項和D選項進行判斷.

【詳解】解：過A點作AH,3c于H,如圖，

：.BH=CH=WBC=4,

在MAB"中，AH=JAB2_BH?=舊-舉=3,

AB^5>3,

點在A外，所以A選項不符合題意；

AC=5>3,

C點在CA外，所以8選項不符合題意；

AHrBC,AH=3=半徑，

.,?直線BC與「A相切，所以C選項符合題意，D選項符不合題意.

故選：C.

4

18.如圖，在RtABC中，/C=90。，sinB=g,AC=5cm,若以點C為圓心，3cm長為

半徑作圓，則C與A3的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.相切D.相切或相交

【答案】C

【分析】計算C點到A3上的高即可判斷；

【詳解】解：如圖，過C作。0，至于0,

-425

由題意得：AC=A&sin3=ABx—=5,AB=—cm,

54

由勾股定理得：BC=YIAB2-AC2=—cm,

4

Rt.3CD中，CD=BCsin^B=3cm,

團圓與AB相切，

故選：C.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形是解題關(guān)

鍵.

19.如圖已知P的半徑為3,圓心P在拋物線y=-1上運行，當P與，軸相切時，圓

心P的坐標為.

【答案】(3,2)或(-3,2)

【詳解】當P與＞軸相切時可求得尸點的橫坐標，代入拋物線解析式可求得尸點坐標.

【解答】解：回P與》軸相切，尸的半徑為3,

回P到y(tǒng)軸的距離等于半徑3,

回點尸的橫坐標為3或-3,

當x=3時，代入可得y=；x32-l=2,此時尸點坐標為(3,2)；

19

當x=—3時，代入可得y=§x(-3)--l=2,此時P點坐標為(-3,2)；

綜上可知尸點坐標為(3,2)或(-3,2),

故答案為:(3,2)或(-3,2).

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及二次函數(shù)的性質(zhì)，此題注意應(yīng)考慮兩種情況.熟

悉直線和圓的位置關(guān)系應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【考點5】圓心角和圓周角的關(guān)系

20.如圖，已知O中，A3是直徑，AC是弦，ABAC^32°,過點C作弦H為

垂足，則-30。的度數(shù)是()

A.32°B.64°C.58°D.26°

【答案】B

【分析】本題考查垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，由圓周角定理即可求解.由

垂徑定理得到BCuBD，由圓心角、弧、弦的關(guān)系推出=由圓周角定理求出

ZBOC=64°,即可作答.關(guān)鍵是由圓心角、弧、弦的關(guān)系得到NBOr>=NBOC,

【詳解】解：連接0C,

^BC=BD，

團NBOD=NBOC,

B1ZBAC=-ZBOC,ZBAC=32°,

2

0ZBOC=64°,

0300=64°.

故選：B.

21.如圖，A3是回。的直徑，C是，O上一點.若NBOC=66。，則NC的度數(shù)為（）

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角定理:

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

【詳解】解：ZA=：N3OC,ZBOC=66°,

.-.ZA=33°,

又?OA=OC,

.-.ZC=ZA=33°,

故選：B.

22.如圖，某博覽會上有一圓形展示區(qū)，在其圓形邊緣的點尸處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)

控角度是55。，為了監(jiān)控整個展區(qū)，最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器()臺.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】此題考查了要圓周角定理.解答時，注意把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，能夠把數(shù)學

和生活聯(lián)系起來.

根據(jù)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，得該圓周角所對的弧所對的圓心角是

3

110°,則共需安裝360。+110。=3五。4臺.

【詳解】解：0ZP=55°,

EIN73所對弧所對的圓心角度數(shù)是no。，

3

0360°<110°=3—

團最少需要在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器4臺.

故選C.

23.如圖，點A,B,C均在。上，若NA=68。，則NOCB=()

A.22°B.23°C.24°D.28°

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，由圓周角定理得到=

即可求出/BOC=136。，由等腰三角形的性質(zhì)得到？OCB:亶180-？BOC)22?熟練掌

握圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：ZA=-ZBOC,ZA=68°,

2

ZBOC=136°,

QOC=OB,

\?OCB1^180-?BOC)22?.

故選：A.

24.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于|O,連接對角線AC與BD交于點E,且BD為。的直徑，

已知/3￡>C=40°,1AEB110?,則/ABC=()

A.65°B.70°C.75°D.80°

【答案】D

【分析】本題考查的是圓周角定理.根據(jù)圓周角定理得到N3CD=90。，根據(jù)直角三角形的

性質(zhì)求出〃)3C,進一步計算即可求解.

【詳解】解：團3。為，。的直徑，

0ZBCD=9O°,

0NDBC=90°-40°=50°,

由圓周角定理得，ZBAC=ZBDC=40°,

EZABD=180°-ZAEB-ABAC=30°,

0ZABC=ZABD+ZDBC=80°,

故選：D.

【考點6】圓內(nèi)接四邊形

25.如圖，四邊形ABCQ內(nèi)接于O,它的一個外角NCBE=70。，則NADC的度數(shù)為()

c

A.110°B.70°C.140°D.160°

【答案】B

【分析】本題主要考查圓的內(nèi)接四邊形，熟練掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可.得到

/AOC=/CBE即可得到答案.

【詳解】解：四邊形A8CD內(nèi)接于IO,它的一個外角NCBE=70。，

ZADC=NCBE=70。

故選B.

26.如圖，AB為。的直徑，點C、。在。上，若NA8=30。，則/3CD的度數(shù)是（）

A.75°B.95°C.105°D.115°

【答案】C

【分析】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，由3=8,求出

ZA=ZADO=75°,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊

形的對角互補.

【詳解】?OA=O￡>,ZAOD=30°,

回NA=NAT>O=75。，

回四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

0ZC+ZBAD=18O°,

EZfiCD=180°-ZA=180°-75°=105°,

故選：C.

27.如圖，A3是O的直徑，點C,D,石在（。上，若NAED=15。,則/BCD的度數(shù)為（）

A

D

B

A.125°B.120°C.105°D.75°

【答案】C

【分析】本題考查同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角等于90度，圓的內(nèi)接四邊形,

連接AO,BD,得出NABD=NA￡D=15。，ZADB=90°,進而可得出答案.

【詳解】解：連接AD,BD,

回同弧所對的圓周角相等,

團43是＜。的直徑，

團NAD3=90°,

0Z&4D=9O0-15O=75°,

回Z.BCD=180°—75°=105°,

故選：C.

【考點7】三角形的外接圓|

28.已知?。是,ABC的外接圓，那么點。一定是ABC的（）

A.三個頂角的角平分線交點B.三邊高的交點

C.三邊中線交點D.三邊的垂直平分線的交點

【答案】D

【分析】本題考查三角形外接圓圓心的確定，掌握三角形外接圓圓心的確定方法，結(jié)合垂直

平分線的性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：已知。是ABC的外接圓，那么點。一定是，ABC的三邊的垂直平分線的交

點,

故選：D.

29.如圖，ABC中，NA=60。，BC=2cm.能夠?qū)BC完全覆蓋的最小圓形紙片的半

徑為（）

2A/3

-----cmC.2cmD.2如cm

3

【答案】B

【分析】連接。2、0C,作級＞，3c于點。，根據(jù)圓周角定理得到/3OC=120。，根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)得到々。0=60。，根據(jù)正弦的定義計算即可.

【詳解】解：設(shè)圓的圓心為點。，能夠?qū)?ABe完全覆蓋的最小圓是11ABe的外接圓,

連接。8、OC,作8,3c于點D,

貝|JN85=9O。，

ZA=60°,

.-.ZBOC=120°,

.\ZBOD=6Q°,

OB=OC,OD_LBC,

:.BD=-BC=1,

2

:.OB=BD=班,

sinZBOD3

即一ABC外接圓的半徑是2叵cm,

3

故選：B.

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外接圓的概念、圓周角定理、

垂徑定理、解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

30.如圖，在1ABe中，AC=BC,。是；ABC的外接圓，43是＜。的直徑，點。在。

上，連接交A3于點E,連接若468=120。，則NEED的度數(shù)為（）

【答案】D

【分析】連接3。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到班＞=/。汨=30。，根據(jù)平角的定義得

到400=180。-120。=60。，根據(jù)圓周角定理得到NACB=90。，求得NA=45。，根據(jù)圓周角

定理得到NCDB=ZA=45。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接3D,

OD=OB,ZBOD=120°,

：.ZOBD=ZODB=30°,ZAOD=180°-120°=60°,

AB是：。的直徑，

:.ZA=ZABC=45°,

AC=BC,

r.NA=45。，

ZCDB=ZA=45°,

ZCDO=ZCDB-ZODB=15°,

ABED=180°-60°-15°=105°,

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確地

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

31.如圖，在平面直角坐標系中,A（3,6）,C（1,O）,貝%ABC外接圓的圓

心_______________.

【答案】（5,2）

【分析】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，作A3和5c的垂直平分線，它們的交點

為；ABC的外接圓的圓心，然后根據(jù)坐標系直接寫出，相C的外接圓的圓心坐標.

【詳解】解：如圖所示：點P即為，ABC外接圓的圓心；

所以點尸的坐標為（5,2）.

故答案為：（5,2）.

32.已知平面直角坐標系中的三個點分別為4（1,-1）、氏-2,5）、C（4,-6）,則A、B、C這

三個點確定一個圓（填何以"或"不可以"）.

【答案】可以

【分析】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓.用待定系數(shù)法求一

次函數(shù)解析式.先利用待定系數(shù)法求出直線A3的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標

特征判斷點C是否在直線A3上，然后根據(jù)確定圓的條件進行判斷.

【詳解】解：設(shè)直線的解析式為>=區(qū)+》，

把3（-2,5）代入得,

k+b=-l

-2k+b=5

[k=-2

解得，…，

[o=l

所以直線鉆的解析式為y=-2x+l,

當％=4時，y=—2x+1=—8+l=—7w—6,

所以點C（4,-6）不在直線AB±.,

即點A、B、C不在同一條直線上，

所以過A、B、C這三個點能確定一個圓.

故答案為：可以

33.已知：ABC.

（1）求作：ABC的外接圓0（保留作圖痕跡，不寫做法）.

⑵若。的半徑為5,8c=8,求點。到BC的距離.

【答案】①見解析

⑵點。到BC的距離為3

【分析】本題主要考查外接圓及垂徑定理，熟練掌握垂徑定理及三角形外接圓的性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

（1）分別作A3、BC的垂直平分線，交于一點。，然后以。8為半徑畫圓，然后問題可求

解;

(2)過點。作8，于。，連接。8,由題意易得2￡>=CD=13C=4,然后根據(jù)勾股

2

定理可進行求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，。即為所求

(2)解：過點。作8，3c于D,連接。2,

EIBC=8,

QBD=CD=-BC=4,

2

回03=5,

^OD=yJOB2-BD1=752-42=3>

回點。到8C的距離為3.

【考點8］切線的判定和性質(zhì)

34.如圖，在.ABC中，AB^AC,以A3為直徑的圓交8C于點，交AC于點E,連接。。.

C

(1)求證：OD//AC；

(2)若AE=8,CE=2,求9的長.

【答案】①證明見解析

⑵而

【分析】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判

定，關(guān)鍵是由圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)推出NC4￡?=ZBAD,由一CED-一蟀，得到

CECD

BC-G4'

(1)由圓周角定理推出AD人3C,由等腰三角形的性質(zhì)得到NC4D=/BAO/54D=

ZADO,因此NG4D=NAT>O,即可證明O￡>〃AC；

(2)由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，鄰補角的性質(zhì)推出/CED=/B,即可證明aCEEbCBA,

得到*=挈，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出5。的長?

nCCA

【詳解】(1)回A5為直徑，

^ADIBC.

團AB=AC,

國NBAD=NCAD.

回。4=OD,

^\ZBAD=ZADO,

^\ZCAD=ZADO.

^OD//AC.

(2)解：連接。石,

QAD±BC,AB=AC,

@CD=BD,

國四邊形ABDE是圓內(nèi)接四邊形,

0ZB+ZA￡D=18O°,

0ZCED+ZAED=180°,

⑦NCED=NB,

國NECD=NACB,

回一CEX.CBA,

CECD

團---=---

BCCA

0AC=AE+CE,=8+2=lO,Cr)=BD,

2BD

團----=---

2BD10

^BD=y/10.

35.如圖，A3是；O的直徑，點C,。在圓上，BC=CD，過點C作CELAD交的延

長線于點E.

⑴求證：CE是O的切線;

(2)若4)=10,49=13,求CE的長.

【答案】（1）見詳解

(2)CE=12

【分析】本題考查了切線的判定定理和勾股定理，垂徑定理：

（1）連接OC,AC,OA^OC,則NOC4=NQ4C,再由已知條件，可得NOCE=90。；

（2）作OF_LAD,得到四邊形OCE歹是矩形和AF=5,根據(jù)矩形性質(zhì)可得CE長.

【詳解】（1）解：連接OC,AC,如圖所示：

回OA—OC,

0ZOC4=ZOAC,

^BC=CD

^\ZBAC=ZCADf

0ZOG4=ZG4D,

團OC〃AE,

⑦NE=90。,

0ZOCE=ZE=9O°,

團OC_LCE,

回0。是(。的半徑，

團C￡是：。的切線；

(2)解：如圖，作OW_LAD,

^\AF=-AD=5

2

團ZOFE=ZFEC=ZECO=90°,

團四邊形OCE尸是矩形，

田CE=OF,

在Rt_AO尸中，由勾股定理得：

OF=^132-52=12

0CE=12.

36.在RtZXABC中，ZACS=90°,BE平分/ABC交AC于點E,。是邊A3上一點，以30

為直徑的O經(jīng)過點E,且交8C于點尸.

'D

CEA

⑴求證：AC是：。的切線;

⑵若C7=3,CE=3拒,求圖中陰影部分的面積.

【答案】①證明詳見解析

(2)18若一6萬

【分析】(1)連接0E,證明NO￡X=90。即可；

(2)由勾股定理求出半徑，根據(jù)三角形的面積公式、扇形面積公式計算即可.

【詳解】(1)證明：連接0E,

回以為直徑的。經(jīng)過點E,ZACB=90°,

團OB-OE,

國NOBE=NOEB,

團郎平分/ABC,

⑦NOBE=NCBE,

⑦NOEB=NCBE,

國OE〃BC,

^ZOEA=ZACB=90°,

回。后是《。的半徑，

團4。是(。的切線；

(2)連接作OM_L5C于設(shè)；O的半徑為我,

回ZOMC=ZACB=AOEC=90°,BM=FM,

回四邊形QWCE是矩形，

0CF=3,CE=3?,

0CM^OE=R,OM=CE=3y/3,

團在RtaOMF中，OM-+FM~=OF2,

回卜⑸'+（R-3）2=R2,

解得：R=6,

^\BM=FM=CM-CF=3,

BOB=OF=BF=6,

回_OBF是等邊三角形，

團NOB尸=60。，

國OE〃BC,

^\ZAOE=ZOBF=60°,

團24=90。-24。石=90?！?0。=30。,

團Q4=2OE=12,

^AE=y/o^-OE2=A/122-62=673，

回S陰影=S44OE-S扇形ODE

60?萬《2

X6X6A/3-

2360

=18A/3-6^.

【點睛】本題考查切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，

矩形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形面積計算，掌握圓

的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

37.如圖，D為0上一點，點C在直徑54的延長線上，＞ZCZM=ZCBD.

⑴求證：CD2=CACB；

(2)求證：CD是。。的切線;

r)A7

⑶過點B作)。的切線交CO的延長線于點E,^BC=n,-==-,求BE的長.

DD3

【答案】(1)見解析

⑵見解析

(3)BE=5

【分析】(1)證明△ADCS^DBC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可；

(2)連接。。，根據(jù)等邊對等角證得NODB=/CBD=/aM,根據(jù)圓周角定理得到

ABDA-Z.ODB+ZODA=90°,進而可證得NODC=90。，根據(jù)切線的判定定理可得結(jié)論;

(3)先求得CD=8,CA=y,進而求得。O==證明△CBEs2\a>o,根據(jù)相

似三角形的對應(yīng)邊成比例求得跖=10即可.

【詳解】(1)證明：回NCDA=NCBD,NC=NC,

HAADC^ADBC,

CDCA

0—-=—,BPCD92-CACB;

CnCD

(2)證明：連接OD,

SOD=OB,

aZODB=Z.CBD=ZCDA,

回區(qū)4是1。的直徑，

0ABDA=ZODB+ZODA=90°,

fflZODC=ZCDA+ZODA=ZODB+ZODA=90°,又。。是。的半徑,

回。是〈O的切線；

(3)解：S\Z\ADC^Z\DBC,

CDAD寸“DA2

0—=—,又BC=l2,——=-

CBBDBD3

CD2e

0一=-,貝lJCD=8,

123

0CD2=CACB,

0AB=BC-CA=—,則==

323

回班是（O的切線，

EACBE=ZCDO=90°,又NC=NC,

SCBEsACDO,

BEBC^=—

回歷=布’則三8，

團BE=5.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰三

角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

38.在ABC中，以AC為直徑的。交AB于點D,邊BC與。相切于點C,點E是邊BC

的中點，連結(jié)DE.

⑴求證：/汨是（。的切線；

（2）若A￡>=3,BD=5,求。的半徑.

【答案】（1）見解析

（2）。的半徑為幾

【分析】（1）連接。。，8,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=CE,

可得/3=/4,根據(jù)半徑相等可得N1=N2,根據(jù)已知條件可得，1+/3=90。，然后可得

/2+/4=90。，即可得證；

（2）證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得8的長，勾股定理求得AC的長,

進而即可求解.

【詳解】（1）證明：連接CD,如圖，

A

團邊5C與。相切于點C,

0ZABC=9O°,即，ABC是直角三角形，

團AC是（。的直徑，

團NADC=NCD5=90。，

團在RtZ\CAD中，點E為5c上的中點，

^\DE=-BC=EC,

2

回/3=/4,

出OC=OD,

團N1=N2,

0ZACB=9O°,即Nl+/3=90。，

回/2+/4=90。，

即NODE=9伊,

團。。為（。的半徑，

團OE是卜。的切線；

（2）團AC是O的直徑，

國NADC=NCDB=90°,

ZCAD=90°-ZACD=ZDCB,ZADC=ZCDB=90°f

^Z\ADC^Z\CDB,

ADCD

一而一麗’

^\CD2=ADxDB,

團AD=3,BD=5,

回。=岳，

在RtAACZ）中，AC=SJAD2+CD2=.+（而j=2屈,

0,。的半徑為花.

【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，綜合運用以上知識

是解題的關(guān)鍵.

39.如圖，點。為(。上一點，BE為。的直徑，延長BE到點A,連接AD,并過

點8作交(。于點R交AD的延長線于點C,已知恰好為NCBA的平分線.

(1)求證：AC為。的切線；

(2)若BC=2,AB=6,求線段的長.

【答案】⑴證明見解析

(2)BF=1

【分析】(1)根據(jù)角平分線定義及等邊對等角易證=從而證得3C〃OD,

再由利用平行線的性質(zhì)及切線定義即可得出結(jié)論；

(2)連接收，根據(jù)三角函數(shù)$皿/013=些=:=變，可得03=00=2,BE=2OB=3,

AB30A2

再根據(jù)平行線的判定可得正〃C4,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/EEB=/C4B,再根據(jù)三角函

BF1

數(shù)sin/FEB=sinZCAB=—=—,即可得到BF=\.

BE3

【詳解】(1)證明：如圖1,連接OD,

mi

Q5D平分/ABC,

:.ZABD=ZCBD,

OD=OB,

:.ZABD=ZBDO,

:.ZBDO=ZCBD,

/.BC//OD,

BCLAD,

:.ZBCA=90°,

:.ZODA=ZBCA=90°,

:.OD±AC,

又?OD是(。的半徑，

.?.八。為《。的切線；

(2)解：如圖2,連接EF,

ZBCA=90°,BC=2,AB=6,

sinNCAB=—,

63

設(shè)OB=OD-r,則CM=6-r,

AC是。的切線，

:.ZADO=90°,

sinNCAB=sinZDAO=-=

OA3

...；=：，解得r=j,

6-r32

3

：.OB=OD=~,BE=3,

2

BE為1O直徑，

.\ZBFE=9Q°,

:.FE//CA,

:.NFEB=NCAB,

1DE11

/.smZFEB=-,gp—

3BE3

:.BF=1.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)與判定、銳角三角函數(shù)，平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的定

義和等腰三角形的性質(zhì)，熟練運用平行線的性質(zhì)和判定證明AC是:。的切線是解題的關(guān)鍵.

【考點9】三角形內(nèi)切圓

40.如圖，點。是.ABC的內(nèi)切圓的圓心，若/癡C=80。，則/30C度數(shù)等于（）

A

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】D

【分析】此題主要考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.利用內(nèi)心的性質(zhì)得出

XABO=NCBO=gzABC,ZACO=ZBCO=^ZACB,進而利用三角形內(nèi)角和定理得出

ZOBC+ZOCB,進而求出答案.

【詳解】解：0。是ABC的內(nèi)心，

^\ZABO=ZCBO=-ZABC,ZACO=ZBCO=-ZACB,

22

0ZSAC=8O°,

團ZASC+ZACB=180°—80°=100°,

0ZOBC+ZOCB=1(ZABC+ZACB)=50°,

0ZBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=130°.

故選：D.

41.如圖所示，。內(nèi)切于A8C,切點分別為點。，點E,點尸，已知AB=3C,4=40。,

連接DE,EF,則NDE5的度數(shù)為（）

A.40°B.55°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出NA=70。，連接OF,利用

切線的性質(zhì)得到NADO=NAFO=90。，則根據(jù)四邊形內(nèi)角和計算出NDOW=110。，然后利

用圓周角定理得到ADEF的度數(shù).

【詳解】解:^BA=BC,

0ZA=ZC,而/3=40°,

ElZA=1(180o-ZB)=70o,

連接OF,

回。內(nèi)切于ABC,切點分別為點。，點E,

QOD±AB,OFLAC,

@ZADO=ZAFO=90°,

0ZDOF=360°-2x90°-70°=110°,

^ZDEF=-ZDOF=55°.

2

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角

形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.也考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理.

42.如圖，點。為；ABC的內(nèi)心，ZA=60°,OB=2,0c=4,則△03C的面積是()

A.4A/3B.2垂＞C.2D.4

【答案】B

【分析】過點C作C〃_L80的延長線于點H,根據(jù)點。為ABC的內(nèi)心，NA=60。，可得

ZBOC=180°-ZOBC-ZOCB=90°+1ZA=120°,所以NCOH=60。，利用含30度角的直角三

角形可得CH的長，進而可得△03C的面