費馬點最值模型（旋轉(zhuǎn)）

費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位

不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學.費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻，除此之

外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等.費馬點：三角形內(nèi)的點到三個

頂點距離之和最小的點。

【模型解讀】

結(jié)論1：如圖，點加?為A/8C內(nèi)任意一點，連接MW、BM、CM,當M與三個頂點連線的夾角為120。時，

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結(jié)論成立的條件是△NBC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時費馬點就

是最大角的頂點（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。）

【模型證明】以48為一邊向外作等邊三角形△ABE,將繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接EN.

?；AABE為等邊三角形，；.AB=BE,乙￡8￡=60。.而小BN=6Q°,."BM—EBN.

AB=BE

在XAMB與AENB中,???JZ_ABM=AEBN'■■^AMB=LENB{SAS').

BM=BN

連接腦V.由44MB三AE2VB知，AM=EN.60°,BM=BN,；.4BMN為等邊三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..,.當E、N、M、C四點共線時，4W+BM+CW的值最小.

止匕時，ZBMC=18O°-ZJWB=12O°；UMB=A：NB=180。-^BNM=V20。；

ZJMC=360°-/.BMC-^AMB=nQ°.

費馬點的作法：如圖3,分別以A4BC的4B、/C為一邊向外作等邊AABE和等邊K7E連接CE、BF,設(shè)

交點為則點/即為A/8C的費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

例1.（2023.江蘇中考一模）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,將ANBC繞點/順時針旋轉(zhuǎn)50。，得到連接

則ZJ5D

（2）【解決問題】①如圖2,在邊長為近的等邊三角形/8C內(nèi)有一點尸，4PC=90。，ZSPC=1200,求

△NPC的面積.②如圖3,在A/BC中，乙4c3=90。，AC=BC,P是△/BC內(nèi)的一點，若PB=\,PA=3,

Z5PC=135°,則尸C=.

（3）【拓展應(yīng)用】如圖4是4,B,C三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量/2=4,BC=3也,UBC=75°,P

為A/8C內(nèi)的一個動點，連接出，PB,PC.求為+P8+PC的最小值.

例2.（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同

一條直線上的三個點4B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學

家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點"或"托里拆利點"，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊"中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個頂點）

當AABC的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到A/'PC,連接尸P,

由尸。=尸'逑NPCP'=60°,可知△尸CP為①三角形,故尸P=PC,又PA'=PA,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',/在同一條直線上時，P/+P5+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時

的P點為該三角形的"費馬點"，且有NAPC=ZBPC=乙4PB=@；

已知當03。有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NB/C2120。，

則該三角形的"費馬點”為④點.

⑵如圖4,在A/5C中，三個內(nèi)角均小于120。，且/C=3食3C=4食NXCB=30。，已知點尸為的"費

馬點”，求尸N+P8+PC的值；

（3）如圖5,設(shè)村莊4B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知/C=4km食3C=2>/§kin食44cs=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向4B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為“

元/km,。元/km,夜。元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為兀.（結(jié)果

用含。的式子表示）

例3.（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王

的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利的私

人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條

直線上的三個點4B,C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點尸的位置.托里拆利成功地解決了費

馬的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點4B,C距離之和最小的點稱為A/BC的費馬-

托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.問題解決：

（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖L我們可以將A8PC繞點8順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到△引加，連接PD,可得A8尸。為等邊三角形，微PD二PB,由旋轉(zhuǎn)可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由一可知，物+P8+PC的最小值與線段一的長度相等；

（2）如圖2,在直角三角形N8C內(nèi)部有一動點尸，48/。=90。，乙4c8=30。，連接物，PB,PC,若N8=2,

求PA+PB+PC的最小值；

例4.（2023下?四川成都?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在RtZ\/2C中，4c5=90。，ABAC=30°,/3=8石.如

果在三角形內(nèi)部有一條動線段過8C,且九W=7L則NN+BM+CN的最小值為

B

AC

例5.（2023下?陜西西安?九年級校考階段練習）問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種

基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧校嗷ブ?/p>

間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.

問題提出：如圖1,"BC是邊長為1的等邊三角形，尸為“BC內(nèi)部一點,連接PA.PB.PC,^PA+PB+PC

的最小值.

方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），

再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將尸4繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。至ASPH,連接PP、A'C,記HC與月8交于點。，易

知B4'=BA=BC=1,ZA'BC=ZA'BA+ZABC=120°.由BP=BP,ZP'BP=60°,可知APBP為正三角形,

有PB=P'P.

^.PA+PB+PC=P'A+P'P+PC>A'C=yf3.因止匕，當4、戶、P、。共線時，PN+尸8+PC有最小值是否.

學以致用：⑴如圖3,在“8C中，血。=30。,48=4,。=3,「為”8（?內(nèi)部一點，連接尸4PB、PC,

則P/+P8+PC的最小值是.（2）如圖4,在“8C中，NBAC=45O,AB=26,CA=3,P為A4BC^

部一點，連接尸4PB、PC,求回〃+P8+PC的最小值?

例6.（2023?陜西?二模）已知，如圖在AZBC中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在內(nèi)部有一點D

連接。4、DB、DC.則JM+OB+GOC的最小值是

課后專項訓練

1.（2023上?浙江杭州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，已知N歷1C=6O。，/2=4,/C=6,點尸在AA8C內(nèi)，將AAPC

繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到2UEF.則/E+P2+PC的最小值為（）

A.10B.2MC.573D.2而

2.（2023?成都實外九年級階段練習）如圖，在“5C中，ZCAB=90°,AB=AC=l,尸是。2c內(nèi)一點,

i^PA+PB+PC的最小值為.

3.（2023?廣東廣州?一模）如圖，在瓦448C中，NA4c=90。，AB=AC,點尸是48邊上一動點，作尸。LBC

于點。，線段/。上存在一點。，當QZ+Q3+QC的值取得最小值，且/。=2時，則尸D=.

A

4.（2019?湖北武漢?中考真題）問題背景：如圖，將AA8C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到A4DE,DE與BC交

于點P,可推出結(jié)論：PA+PC=PE

問題解決：如圖，在AMNG中，MN=6,ZM=75°,MG=40.點。是AMNG內(nèi)一點，則點。到AWG

三個頂點的距離和的最小值是.

5.（2023?重慶?九年級專題練習）如圖，AABC中，NBAC=30。且AB=AC,P是底邊上的高AH上一點.若

AP+BP+CP的最小值為2逝，則BC=

6.（2023?江蘇蘇州??？级＃┤鐖D，在RtZ\48C中，ZACB=90°,ABAC=30°,AB=2^.如果在三角形

內(nèi)部有一條動線段腦V過/C,且兒W=l,則/M+2N+CN的最小值為

7.（2023?山東?九年級專題練習）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果

是銳角（或直角）三角形，則其費馬點尸是三角形內(nèi)一點，且滿足乙4「8=/82。=/€7^=120。.（例

如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若AB=AC=幣,BC=26,P為“2C的費馬點，則

PA+PB+PC=；若4B=2瓜BC=2,AC=4，P為“BC的費馬點，則尸/+尸3+PC=

8.（2021?山東濱州?中考真題）如圖，在△48c中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AB=2.若點P是內(nèi)

一點，則PA+PB+PC的最小值為.

B

9.（2021,遼寧丹東?中考真題）已知:到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果A/BC

是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足44尸8=/87（=/（3尸/=120。.（例如：

等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若AB=AC=幣,BC=26P為A/8C的費馬點，則

PA+PB+PC=；若AB=28,BC=2,AC=4，P為3ABe的費馬點，則PA+PB+PC=.

10.（2023上?浙江臺州?九年級校考期中）如圖，在直角坐標系中，右,1）,5（2,-1）,尸為“08內(nèi)任意

11.（2023上?廣東珠海?八年級?？计谥校┚C合與實踐：

【問題情境】學完等邊三角形后，老師在課堂上提出了一個問題并證明了：如圖1，等邊△NBD與等邊跖V

共一個頂點時，無論怎么擺放可通過SAS恒有△/9以絲△Z>3N.于是提出了如下問題.

圖1圖2

【問題證明】（1）如圖2,M是等腰RtZ\4BC內(nèi)一點，N是等邊內(nèi)一點，且滿足■四ADSN.求

證：ABMN是等邊三角形.

【遷移應(yīng)用】（2）在（1）的基礎(chǔ)上，知點M是等腰RtZ\/5C內(nèi)一點，當點M到三角形3個頂點的距離之

和，即跖1+Affi+MC最小時，我們把M點稱為等腰的"紫荊點”.若M是等腰RtA42C的紫荊點，

求/MC.

完成以下推導過程：（①填理由；②填線段；③與④填關(guān)系式）

解：如圖3,令M',N'分別是等腰RtZ\4BC,等邊△48。內(nèi)一點，且滿足AABM'義ADBN'：.M'A=DN'

ABMN是等邊三角形=MN,ZM'N'B=ZN'BM'=4BMN=60°

由_①一可知：M'A+M'B+M'C的最小值=DN'+M'N'+M'C的最小值，②一

.??如圖4,當。、N、M、。在一條直線上時.〃是等腰Rt4/BC的紫荊點

:.AAMB=③=120°：NBMC=⑷=120。ZAMC=360°-ZAMB-ABMC=120°

圖3圖4用=

圖5

【拓展提升】（3）甲同學發(fā)現(xiàn)等腰“5C"紫荊點”的作法：如圖5,已知N8=8C,在42的左側(cè)作等邊

AABD.連接CD,與//3C的角平分線BE交于點點M就是"紫荊點"，甲同學發(fā)現(xiàn)是否正確？請說

明理由.

12.(2023上?福建廈門?九年級校考期中)1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在

同一條直線上的三個點4B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理

學家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為"費馬點"或"托里拆利點

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，分兩種情況討論，請補充以下推理過程：

①當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將△4PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到“'PC,連接PP',

△4PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AA'P'C.-.PC=P'C,4PCP'=60°

△尸CP為三角形，:.PP'=PC

△/PC空△/'PCP，A'=PA--PA+PB+PC^PP'+PB+A'P'

由幾何公理：可得：PP+PB+A'P'24'B

當2,P,P',A在同一條直線上時，P/+P5+PC取最小值，

如圖2,PA+PB+PCA'B,此時的P點為該三角形的“費馬點"，且有NAPC=NBPC=NAPB=

②當“8C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費馬點”為該三角形的某個頂點，證明略.

⑵如圖3,在A8C中，三個內(nèi)角均小于120。，且N/8C=60。，AB=5,BC=3,若尸為的“費馬點”,

求尸/+P2+PC的值；

⑶如圖4,設(shè)村莊4,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知NC=4km,3c=2瓜m，NACB=6Q°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為1

萬元/km,1萬元/km,逝萬元/km,則總的鋪設(shè)成本最少是萬元.

13.（2020?重慶中考真題）如圖，在中，ABAC=90°,48=NC,點。是BC邊上一動點，連

接AD,把A。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到AE,連接CE,DE.點F是DE的中點，連接CF.

（1）求證：CF力AD;（2）如圖2所示，在點。運動的過程中，當80=28時，分別延長CF,BA,

2

相交于點G,猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論;

（3）在點。運動的過程中，在線段A。上存在一點P,使PZ+PB+PC的值最小.當尸幺+尸8+尸。的

值取得最小值時，AP的長為m,請直接用含m的式子表示CE的長.

14.（2023?福建三明?八年級期中）【問題背景】17世紀有著"業(yè)余數(shù)學家之王”美譽的法國律師皮耶?德?費馬,

提出一個問題:求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點"

如圖，點尸是“8C內(nèi)的一點，將△/PC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。到A4P'C'，則可以構(gòu)造出等邊A/尸尸'，得

AP=PP',CP=CP',所以P/+P8+PC的值轉(zhuǎn)化為尸P'+P8+PC'的值，當B,P,P',C四點共線時，

線段BC的長為所求的最小值,即點尸為^ABC的"費馬點”.

（1）【拓展應(yīng)用】如圖1,點P是等邊“8C內(nèi)的一點，連接尸PB,PC,將△尸/C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。

得到A/P'C'.①若尸4=3,則點P與點P之間的距離是—；②當尸/=3,PB=5,PC=4時，求//PC的

大小；（2）如圖2,點尸是“2C內(nèi)的一點，且/B/C=90。，AB=6,AC=25求P/+P3+PC的最小值.

15.（2023?江蘇?蘇州八年級期中）背景資料：在已知。8C所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂點

的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人

們稱為“費馬點”.如圖1，當“8C三個內(nèi)角均小于120。時，費馬點尸在AZBC內(nèi)部，當

Z.APB=NAPC=ZCPB=120°時，則PA+PB+PC取得最小值.

（1）如圖2,等邊“8C內(nèi)有一點P,若點P到頂點/、B、C的距離分別為3,4,5,求/4P8的度數(shù)，為了

解決本題，我們可以將A/3尸繞頂點/旋轉(zhuǎn)到處，此時A/CP'W這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段P4、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出44尸8=；

知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與AJBC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點.請同學們探索以下問

題.⑵如圖3,△力8c三個內(nèi)角均小于120。，在“8C外側(cè)作等邊三角形"8夕，連接CB',求證：CB'過

“8C的費馬點.⑶如圖4,在RTAABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點尸為A48c的費馬點，

連接/P、BP、CP,求尸N+P8+PC的值.（4）如圖5,在正方形/BCD中，點￡為內(nèi)部任意一點，連接4E、

BE、CE,且邊長/3=2；求/E+8E+CE的最小值.

16.（2023?陜西西安?八年級?？茧A段練習）問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種

基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧校嗷ブ?/p>

間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.

問題提出：如圖1,A/3C是邊長為1的等邊三角形，尸為A/3C內(nèi)部一點，連接尸4PB、PC,求

PA+PB+PC的最小值.

圖1圖2

方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再

利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將繞點3逆時針旋轉(zhuǎn)60。至,連接尸P、AC,記4C與N8交于點D,易

知BH=B4=BC=1,ZA'BC=ZA'BA+ZABC=120°.由BP'=BP,NFBP=60。,可知△PBP為正三角形，有

PB=P'P.

故PA+PB+PC=P'A+P'P+PC2A'C=6因此，當H、P'、P、。共線時，P/+P2+PC有最小值是由.

學以致用：⑴如圖3,在中，NA4c=30。,AB=4,CA=3,尸為內(nèi)部一點，連接尸4PB、PC,

則PA+PB+PC的最小值是.

圖3圖4

(2)如圖4,在A/5C中，N民4c=45。,AB=2^2,CA=3,P為“3C內(nèi)部一點，連接尸4PB、PC,求

yflPA+PB+PC的最小值.

費馬點最值模型（旋轉(zhuǎn)）

費馬點問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想，在各類考

試中都以中高檔題為主。本專題就最值模型中的費馬點問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶?德?費馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位

不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學.費馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻，除此之

外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等.費馬點：三角形內(nèi)的點到三個

頂點距離之和最小的點。

【模型解讀】

結(jié)論1：如圖，點加?為A/8C內(nèi)任意一點，連接MW、BM、CM,當M與三個頂點連線的夾角為120。時，

MA+MB+MC的值最小。

注意：上述結(jié)論成立的條件是△NBC的最大的角要小于120。，若最大的角大于或等于120。，此時費馬點就

是最大角的頂點（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120。）

【模型證明】以48為一邊向外作等邊三角形△ABE,將繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到8N,連接EN.

?；AABE為等邊三角形，；.AB=BE,乙￡8￡=60。.而小BN=6Q°,."BM—EBN.

AB=BE

在XAMB與AENB中,???JZ_ABM=AEBN'■■^AMB=LENB{SAS').

BM=BN

連接腦V.由44MB三AE2VB知，AM=EN.60°,BM=BN,；.4BMN為等邊三角形.

：.BM=MN.：.AM+BM+CM=EN+MN+CM..,.當E、N、M、C四點共線時，4W+BM+CW的值最小.

止匕時，ZBMC=18O°-ZJWB=12O°；UMB=A：NB=180。-^BNM=V20。；

ZJMC=360°-/.BMC-^AMB=nQ°.

費馬點的作法：如圖3,分別以A4BC的4B、/C為一邊向外作等邊AABE和等邊K7E連接CE、BF,設(shè)

交點為則點/即為A/8C的費馬點。

【最值原理】兩點之間，線段最短。

例1.（2023.江蘇中考一模）（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1,將ANBC繞點/順時針旋轉(zhuǎn)50。，得到連接

（2）【解決問題】①如圖2,在邊長為近的等邊三角形N8C內(nèi)有一點尸，乙1PC=9O。，Z5PC=120°,求

△NPC的面積.②如圖3,在△4BC中，乙4c2=90。，AC=BC,P是△4BC內(nèi)的一點，若PB=1,PA=3,

Z5PC=135°,則PC=.

（3）【拓展應(yīng)用】如圖4是4,B,C三個村子位置的平面圖，經(jīng)測量N2=4,BC=3亞,乙48c=75。，P

為A/BC內(nèi)的一個動點，連接口，PB,PC.求以+尸2+尸。的最小值.

【答案】（1）65；（2）①石：②2；（3）PA+PB+PC的最小值為屈.

【分析】（1）【操作發(fā)現(xiàn)】：如圖1中，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AD=AB,由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理可

求出答案；（2）【解決問題】①如圖2中，將AAPB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到AAPC,只要證明ZPP，C

=900,利用勾股定理即可解決問題；②如圖3中，將ACBP繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到ACAP，,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到NP'CP=NACB=90。，進而得到等腰直角三角形，求出PP'即可得出答案；（3）【拓

展應(yīng)用】如圖4中，將AAPB繞BC順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到AEDB,連接PD、CE.得出NCBE=135。，過點E作

EDCB交CB的延長線于點F,求出CF和EF的長，可求出CE長，則答案可求出.

【詳解】（1）【操作發(fā)現(xiàn)】解：如圖1中，

180°-50°

ZABD=

2=65。，故答案為：65.

(2)【解決問題】①解：如圖2中，???將AAPB繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到△AP，C,,

??.△APP，是等邊三角形，ZAPzC=ZAPB=360°-90°-120o=150",

A/3B

.?.PP'=AP,Z_AP'P=NAPP'=60°,.?.ZPP,C=90°,NP'PC=30°,.?.PP'=2pc,即AP=2pc,

?.?ZAPC=90°,；.AP2+PC2=AC2,即(2pc)2+PC2=(近)2,

；.PC=2,；AP=6.-.SAAPC=2AP?PC=2XA/3X2=.

②如圖3,將ACBP繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。，得到ZkCAP-

?-?ZBPC=135°=ZAP'C,???NAP'P=90°,?.?PA=3,PB=1,.?.AP'=1,

______________A/2,6-5

...pp'=JAP?-AP"=V32-l2=272,.-.pc=2=2=2.故答案為：2.

(3)【拓展應(yīng)用】解：如圖4中，將AAPB繞B順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到AEDB,連接PD、CE.

???將AAPB繞B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到AEDB,

.-■ZABP=ZEBD,AB=EB=4,ZPBD=60°,ABPD為等邊三角形,AP=DE

.■?ZABP+ZPBC=Z.EBD+ZPBC,PB=PD

.?.NEBD+NPBC=NABC=75。，根據(jù)兩點之間線段最短可得PA+PB+PC=DE+PD+PC4CE,即PA+PB+PC的最小值

為CE的長.?ZCBE=135。，過點E作EF1CB交CB的延長線于點F,

BF=EF=￡'5x—=2>/2

.■?Z.EBF=45°,2,

在RtACFE中，???NCFE=90°,BC=3逐，EF=2&,

;.CE=>JCF2+EF-=A/58即PA+PB+PC的最小值為國.

【點睛】此題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理，

掌握作輔助線的方法、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)和利用勾股

定理解直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.

例2.（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同

一條直線上的三個點4,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學

家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為"費馬點"或"托里拆利點"，該問題也被稱為"將軍巡營”問題.

⑴下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從"直角"和"等邊"中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短"和"三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個頂點）

當AABC的三個內(nèi)角均小于120°時,

如圖1,將△4PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到A/'P'C,連接PP,

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當B,P,P',/在同一條直線上時，PN+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時

的尸點為該三角形的“費馬點"，且有NAPC=ZBPC=乙4PB=③；

已知當“3C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若NB/C2120。，

則該三角形的"費馬點”為⑷點.

（2）如圖4,在。2c中，三個內(nèi)角均小于120。，且/。=瑜3c=4食N4CB=30。，已知點尸為。5c的“費

馬點”，求P4+P8+尸C的值；

⑶如圖5,設(shè)村莊4,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知/C=4km食3C=2gkm食44cB=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向4B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為“

元/km,。元/km,血〃元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果

用含〃的式子表示）

【答案】⑴①等邊；②兩點之間線段最短；③120°；④A.（2）5（3）2J瓦

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)（1）的方法將△/PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到A/'PC,即可得出可知當B,P,P',A在同

一條直線上時，取+尸8+尸0取最小值，最小值為,在根據(jù)N/CB=30°可證明

ZACA'=ZA'CP'+ZBCP+ZPCP'=90°,由勾股定理求A,B即可，

（3）由總的鋪設(shè)成本=a（P/+P8+同C）,通過將△/PC繞，點c順時針旋轉(zhuǎn)90°得到得到等

腰直角APPC,得到J5PC=PP,即可得出當B,P,P',A在同一條直線上時，尸/+尸8+尸尸'取最小值，

即P/+PB+0PC取最小值為然后根據(jù)已知和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求出即可.

【詳解】⑴解：=食/PCP=60。，

...APCP為等邊三角形；；.PP=PC,ZP'PC=ZPP'C=60°,

又P'A'=PA,故PA+PB+PC=PA'+PB+PP'NA'B,

由兩點之間線段最短可知，當B,P,P,A在同一條直線上時，尸/+四+尸C取最小值，

最小值為H5,此時的P點為該三角形的〃費馬點〃，

,.,NBPC+NPPC=180。,NA'PC+NPPC=180。,??.ZBPC=120°,NHPC=120。,

又...AAPC=AA'P'C,...NAPC=ZAP'C=120°,

...NAPB=3600-NAPC-ZBPC=120°,...ZAPC=NBPC=NAPB=120。；

,.Z^C>120°....BOAC,BOAB,...BC+AB>AC+AB,BC+AOAB+AC,

???三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最小.

又???已知當城BC有一個內(nèi)角大于或等于120。時，"費馬點”為該三角形的某個頂點.

該三角形的"費馬點”為點A,故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③12。°；④A.

（2）將△/PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到A/'PC,連接尸尸'，

由（1）可知當B,P,P',A在同一條直線上時，尸/+尸8+尸0取最小值，最小值為

A

?.?//C尸=ZAfCPf,...ZACP+/BCP=/AB+ZBCP=ZACB=30°,

又?.?NPCP'=60°.../BCA'=AACP+ZBCP+NPCP'=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：/C=/'C=3,,,ArB=Vsc2+^C2=A/42+32=5,...4+尸8+PC最小值為5,

(3),:在的鋪設(shè)成本=P4，a+PB?a+PC?也a=a(PA+PB+A/ZPC)

：.^PA+PB+同。最小時，總的鋪設(shè)成本最低，

將A/PC繞，點c順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A/'PC,連接PP,A,B

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC,ZPCP'=ZACA'=90°,P'A'=PA,A'C=AC=4km,

,,PP'=V2PC,.-,PA+PB+&PC=P'A'+PB+PP',

當B,P,P',A在同一條直線上時，PH+P3+PP取最小值，即E4+P3+同C取最小值為HB,

過點/作4"18C,垂足為a,...44c8=60。，ZACA'=90°,..ZA'CH=30°,

A'H=-A'C=2km,HC=ylAC2-AH2="2-2?=273(km)

2

,BH=BC+CH=2y/3+2港=4肉km)一.A'B=y/AH2+BH2=7(4A/3)2+22=2而(km)

PA+PB+A/ZPC的最小值為2VJ與km

總的鋪設(shè)成本=040+0'也+尸0&0="（P"+0'+000尸2如。（元）故答案為：2屈a

【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵.

例3.（2023.河南四模）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王

的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利的私

人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條

直線上的三個點4B,C,求平面上到這三個點的距離之和最短的點尸的位置.托里拆利成功地解決了費

馬的問題.后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點/,B,C距離之和最小的點稱為A/3C的費馬-

托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點.問題解決：

（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將△5PC繞點8順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到A2DE,連接P。，可得AAPD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉(zhuǎn)可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由一可知，以+P5+PC的最小值與線段一的長度相等；

（2）如圖2,在直角三角形4BC內(nèi)部有一動點尸，乙B/C=90。，△4c8=30。，連接物，PB,PC,若/8=2,

求PA+PB+PC的最小值；

【答案】（1）兩點之間，線段最短；AE；（2）2療；

【分析】（1）連接AE,由兩點之間線段最短即可求解；（2）在RtAABC中先求出AC,將ABPC繞點C順時

針旋轉(zhuǎn)60。得到ACDE,連接PD、AE,由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等，

根據(jù)勾股定理即可求解；

【詳解】（1）連接AE,如圖，由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值為線段AE的長

故答案為：兩點之間線段最短；AE；

A

(2)???在RtAABC中，ZBAC=90°,NACB=30°,AB=2

；.BC=2AB=4由勾股定理可得AC=^BC--AB2=273

如圖2,將"PC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到ACDE,連接PD、AE,可得ACPD為等邊三角形，ZBCE=60"

.?.PD=PC由旋轉(zhuǎn)可得DE=PB,CE=BC=4；.PA+PB+PC=PA+DE+PD

由兩點之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長度相等

?.?ZACE=ZACB+ZBCE=300+60°=90°.,.在RtAACE中，AE=^AC2+CE2=277

即PA+PB+PC的最小值為2S'；

【點睛】此題主要考查四邊形綜合的最短距離，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓周角定理及兩點之間的

距離特點.

例4.（2023下?四川成都?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt/XABC中，4C2=90。，ABAC=30°,AB=8日如

果在三角形內(nèi)部有一條動線段MN過8C,史MN=上,則MV+3M+CN的最小值為.

【答案】3亞

［分析］在BC上取一點B'使BB，=MN=6,連接B，N.首先證明&N+BM+CN=TG+GN+B'N,將AANC

繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AGCT,連接NG,過點T作加,2c交8c的延長線于H.要使/N+2M+CN

的值最小，需點"、N、G、T四點共線.連接87,則其就是所求最小值，求出BT可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，在上取一點玄，使得BB'=MN=6,連接8W,將“NC繞點c逆時針旋轉(zhuǎn)60°得

到AGCT,連接NG,過點丁作7H,20交的延長線于H.

.：MN過BC,MN=BB',.?.四邊形肱\?"是平行四邊形，...8M=8W.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，^CNG和A/CT都是等邊三角形，

...CN=GN,AN=GT_...AN+BM+CN=TG+GN+B'N_

要使/N+BM+CN的值最小，需點9、N、G、T四點共線.連接"丁，則其就是所求最小值.

A

...&△NBC中，Z^CS=90°,AB=8A..BC=3B=3*C=46,Ac=&C=也義范=12

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CT=AC=12,ZACT=60°,...ZZC/Z=90°-60°=30°,

在RtKTH中，TH=%T=；X12=6,CH=同H=66,

..B'C=BC-BB'=4y5Y=36,,B'H=CH+CB'=6++=94,

...BT=耐+3月②=?+（陰=3而,.+則+CN的最小值是3庖.故答案為：3回

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，等邊三

角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)

造全等三角形解決問題.

例5.（2023下?陜西西安?九年級?？茧A段練習）問題探究

將幾何圖形按照某種法則或規(guī)則變換成另一種幾何圖形的過程叫做幾何變換.旋轉(zhuǎn)變換是幾何變換的一種

基本模型.經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，往往能使圖形的幾何性質(zhì)明白顯現(xiàn).題設(shè)和結(jié)論中的元素由分散變?yōu)榧校嗷ブ?/p>

間的關(guān)系清楚明了，從而將求解問題靈活轉(zhuǎn)化.

問題提出：如圖1,A/2C是邊長為1的等邊三角形，尸為A/8C內(nèi)部一點,連接PA、PB、PC,求PA+PB+PC

的最小值.

方法分析：通過轉(zhuǎn)化，把由三角形內(nèi)一點發(fā)出的三條線段（星型線）轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），

再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.

問題解決：如圖2,將43尸/繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60。至連接PP、A'C,記HC與N8交于點。，易

知BA'=BA=BC=1,ZA'BC=ZA'BA+AABC=120°.由BP'=BP,ZP'BP=60°,可知2'BP為正三角形,

有PB=P'P.

故PA+PB+PC=P'A+P'P+PCNA'C=B因此，當"'、P'、P、C共線時，P/+P3+PC有最小值是6.

學以致用：⑴如圖3,在。2C中，血。=30。,/3=4,0=3,尸為AA8C內(nèi)部一點，連接尸4PB、PC,

則P/+P8+PC的最小值是.（2）如圖4,在AJBC中，/B4C=45。,4B=2逝,C4=3,P為“BC內(nèi)

部一點，連接P4PB、PC,求同4+P8+PC的最小值.

【答案】⑴5⑵a

【分析】（1）將△/PC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到尸E,易知ANF尸是等邊三角形，ZEAB=90°,轉(zhuǎn)化

為兩定點之間的折線（化星為折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.（2）將A4P8繞點A

逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△4FE,易知A/F尸是等腰直角三角形，NEAB=135。，作助，氏4交胡的延長線于

H.轉(zhuǎn)化為兩定點之間的折線（化星為折），再利用"兩點之間線段最短"求最小值（化折為直）.

【詳解】⑴解：如圖3中，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到...a=/尸，ZBAF=ZCAE=60°,

...A/FP是等邊三角形，ZEAB=90°,在RtAE4B中，BE=』AE、AB。=5,

P4+PB+PC=EF+FP+PB2BE,PA+PB+PC>5f/.+尸8+PC的5.答案為5

(2)如圖4中，將△"3繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得至|]AAFE,...AF=AP,NFAP=ZBAE=90。，

...△/尸尸是等腰直角三角形，.../瓦48=135。，作而，A4交A4的延長線于

在中，-.-ZH=90°,ZEAH=45°,AE=AB=242EH=AH=2,

在Rt^E"C中，EC3+52=回；42PA+PB+PC=FP+EF+PC>CE,

6PA+PB+PC>y/29,6PA+PB+PC的最小值為V29.

【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，兩點之間線段最短時

的位置的確定，解本題的關(guān)鍵是確定取最小值時的位置.

例6.（2023,陜西?二模）已知，如圖在中，ZACB=30°,BC=5,AC=6,在內(nèi)部有一點。，

連接。4、DB、DC.則以+。3+0℃的最小值是.

【答案】回.

【分析】把ACDB順時針旋轉(zhuǎn)90°到ACD'B"過B作B'EIAC,交AC延長于E,則CD=CD',BD分析,

=51752/3

ZCDD=ZCD,D=45",可求DD，=^2CD,在RtACEB，中，可求CE2,AE=2,BE=2,當點A、D、D\

B，四點在一直線時，AB，最短，可求AB，=BD+0cD+AD=?i.

【詳解】解：把ACDB順時針旋轉(zhuǎn)90。到ACDB,過B作B'EIAC,交AC延長于E,

則CD=CD-BD=BD,ZCDD=ZCD,D=45°,.?.DD,=CD4-cos45°=V2CE),

-.ZACB=30°,AB'CB=90°,?.?AB'CE=180°-ZACB-ZBCB'=180°-30°-90°=60°,

15517

x—=———■—

在RtACEB'中，.?.CE=B'C-cos60°=522,，AE=AC+CE=6+22,