2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列第3章勾股定理章末測(cè)試卷

（拔尖卷）

【蘇科版】

考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分

姓名：班級(jí)：____________考號(hào)：

考卷信息：

本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋

面廠，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2021春?黔南州期末）已知△A8C的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,由下列條件不能判斷aABC是

直角三角形的是（）

A.NA=2N8=3NCB.ZA=ZC-ZB

C.azh：c=3：4：5D.（?=（b+c）（b-c）

2.（3分）（2021春?金寨縣期末）如圖，AABC中，ZC=90°,4。平分NMC,4H=5,AC=3,則

B。的長(zhǎng)是（）

A.2B.3.5C.3D.2.5

3.（3分）（2021春?平定縣期末）如圖，在△ABC中，NB=90°,AB=2,BC=4.四邊形AOEC是正

方形，則正方形AOEC的面積是（）

C

A.8B.12C.18D.20

4.（3分）（2021?遷西縣模擬）如圖，快艇從A地出發(fā)，要到距離A地10海里的C地去，先沿北偏東70°

方向走了8海里，到達(dá)3地，然后再?gòu)?地走了6海里到達(dá)C地，此時(shí)快艇位于8地的（)

A.北偏東20°方向上B.北偏西20°方向上

C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上

5.（3分）（2021?河南模擬）如圖所示是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案,

現(xiàn)在有五種正方形紙片，面積分別是2,3,4,5,6,選取其中三塊（可重復(fù)選?。?，按加圖所示方式

組成圖案，使所圍成的三角形是直角三角形，則選取的三塊紙片的面積不可以是（）

6.（3分）（2021春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每一格長(zhǎng)度為1,小正方形的頂

點(diǎn)稱為格點(diǎn)，4,B,C,D,E,尸都在格點(diǎn)上，以A8,CD,EF為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則點(diǎn)尸的

位置有（）

C.3處D.4處

7.（3分）（2021春?飲州期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3,4,5）,（5,12,13）,

（7,24,25）等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”.后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)

律：若機(jī)是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么〃，與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)；若機(jī)

是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1,加1得到兩個(gè)整數(shù)，那么機(jī)與這

兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù).由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由"?生成的勾股數(shù)”.根據(jù)以上規(guī)律，“由8

生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為（）

A.16B.17C.25D.64

8.（3分）（2020秋?偃師市期末）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑人4=票“〃，高4c=12?！ǎ琍為BC

的中點(diǎn)，一只螞蟻從八點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的表面爬到P點(diǎn)的最更距離為（）

A.9s“B.10?！–.11cmD.12cw

9.（3分）（2021?長(zhǎng)沙模擬）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位.在《算

法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾

記.仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉.良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜

止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為

5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”根據(jù)題意，可得秋千的繩索長(zhǎng)為（）

A.10尺B.14.5尺C.13尺D.17尺

10.（3分）（2021春?梁山縣期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接

而成，記圖中正方形A8CQ,正方形EFG”，正方形MNPQ的面積分別為Si,S2,S3,若S+S2+S3=45,

則S2的值是（）

15.（3分）（2021春?平定縣期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為I,點(diǎn)4,B,

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2021春?瀘州期末）如圖，己知△/1AC中，AB=AC,BC=5,。為AB上一點(diǎn)，CQ=4,BD

=3.

（1）求證：ZBDC=90°；

（2）求AC的長(zhǎng).

18.（6分）（2021春?南昌期末）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開(kāi)門去網(wǎng)（讀k

un,門檻的意思）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣兒何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的俯視示意圖），

今推開(kāi)雙門，門框上點(diǎn)C和點(diǎn)D到門檻AB的距離QE為1尺（1尺=10寸），雙門間的縫隙CD為2

寸，求門寬AB的長(zhǎng)是多少寸？

Si圖2

19.（8分）（2021春?陽(yáng)東區(qū)期末）已知：如圖，在中，NACB=90°,AB=5cm.AC=3cm,

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以\cmls的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.

（1）求邊的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)△A4P為直角三角形時(shí)，求，的值.

備用圖

20.（8分）（2020秋?南海區(qū)期末）在△48C中，

（1）如圖I,AC=15,AO=9,CD=\2,8c=20,求△ABC的面積;

21.（8分）（2021春?鞏義市期末）如圖，學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊四邊形空地48C。，其中A8_LAC,

BC=17〃?，CD=9〃i,AD=\2m.為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行

綠化整理.

（1）求需要綠化的空地A8CQ的面積:

（2）為方便師生出入，設(shè)計(jì)了過(guò)點(diǎn)A的小路AE,且AE_LBC于點(diǎn)E,試求小路AE的長(zhǎng).

22.（8分）（2020秋?項(xiàng)城市期末）勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼

圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：

兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板。E凡頂點(diǎn)尸在BC邊上，頂點(diǎn)C、。重合，連接入石、EB.設(shè)

48、DE交于點(diǎn)、G./ACB=/DFE=9（）°,BC=EF=a,AC=DF=b（a>b）,AB=DE=c.請(qǐng)你回

答以下問(wèn)題：

（1）填空：AGE—,S四邊形（2.

（2）請(qǐng)用兩種方法計(jì)算四邊形AC3E的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理.

E

a

C（D）FB

23.（8分）（2021春?安慶期末）如圖是5X6的網(wǎng)格.

-----1---1----1---1----1-r|----1----1-----1----V----1---1

J1J??????|J???

!\11111'111011

!?\???■|行；??????

-T-r-1■-??-T-K^i---P-|

??O1111*??????

圖⑴圖（2）

（1）如圖（1）,A,B,C是網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），判斷AC與BC的數(shù)量和位置

關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不需要說(shuō)明理由；

（2）如圖（2）,求N1+22的度數(shù)（要求：畫出示意圖并給出推導(dǎo)過(guò)程）.

第3章勾股定理章末測(cè)試卷（拔尖卷）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2021春?黔南州期末）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為db,c,由下列條件不能判斷△A8C是

直角三角形的是（）

A.NA=2N8=3/CB.NA=NC'-/8

C.atb：c=3：4：5D.cT=（b+c）（b-c）

【解題思路】根據(jù)三角形的內(nèi)用和定理求出/A的度數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

NC的度數(shù)，即可判斷選項(xiàng)及根據(jù)勾股定理的逆定理判定選項(xiàng)。和選項(xiàng)O即可.

【解答過(guò)程】解：設(shè)△A8C中，NA的對(duì)邊是a,N8的對(duì)選是4/C的對(duì)邊是c,

4.VZA=2ZB=3ZC,

11

VZA+Z5+ZC=180°,

???NA+/NA+2NA=18O°,

，…1080

解得：NA=（^y）°,

1?△A8c不是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

B.VZA=ZC-ZB,

；?ZA+ZB=ZC,

VZA+ZB+ZC=180°,

A2ZC=180°,

.*.ZC=90°,

??.△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.Va：b：c=3：4：5>

.\cr+b2=（r,

AZC=90°,

???△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；

》?,/=（力+c）（b-c）,

a2=/72c2?

22

即a+（r=bf

???NB=90°,

???△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意：

故選：A.

2.（3分）（2021春?金寨縣期末）如圖，△ABC中，ZC=90°,平分N84C,AB=5,AC=3,則

【解題思路】過(guò)。作。A"于2，根據(jù)勾股定理可得3C，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得。￡=QC,根據(jù)二角

形面積公式求出CD,即可求出8D.

【解答過(guò)程】解：如圖，過(guò)。作。E_L4B于E,

:.BC=y/AB2-AC2=>/52-32=4,

???A。平分/8AC,

:.DE=DC，

\'SMBC=%C?BC=%C?CO+%8?OE,即gx3X4=1x3CD+|x5CD,

解得C/）=I5

，4O=4-CD=4-1.5=2.5.

故選：D.

3.（3分）（2021春?平定縣期末）如圖，在4A3c中，ZB=90°,AB=2,BC=4.四邊形AQEC是正

方形，則正方形AOEC的面枳是（）

A.8B.12C.18D.20

【解題思路】在△ABC中，通過(guò)勾股定理得4:2=20,從而解決問(wèn)題.

【解答過(guò)程】解：在△A3C中，/8=90。，

由勾股定理得：AC2=AB2+BC1=22+42=20,

???四邊形AOEC是正方形，

***S正方形A=/SC=AC~=2°，

故選：。.

4.（3分）（2021?遷西縣模擬）如圖，快艇從A地出發(fā)，要到距離A地10海里的C地去，先沿北偏東70°

方向走了8海里，到達(dá)B地，然后再?gòu)腂地走了6海里到達(dá)C地，此時(shí)快艇位于8地的（）

A.北偏東20°方向上B.北偏西200方向上

C.北偏西30°方向上D.北偏西40°方向上

【解題思路】由4c=10海里，48=8海里，4c=6海里得4:2=人32+8呼，根據(jù)勾股定理的逆定理得到

/A3c=90°,再利用平行線的性質(zhì)和互余的性質(zhì)得到N1,求得/2.

【解答過(guò)程】解：如圖，過(guò)點(diǎn)8作

???AC=10海里,A6=8海里,BC=6海里,

：.AC2=AB2+BC2,

???△ABC為直角三角形，即NA8C=90°,

又???8點(diǎn)在A的北偏東70°方向，

AZ1=90°-70°=20°,

AZ2=Z1=2O°,

即C點(diǎn)在B的北偏西20°的方向上.

5.（3分）（2021?河南模擬）如圖所示是用三塊止方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案,

現(xiàn)在有五種正方形紙片，面積分別是2,3,4,5,6,選取其中三塊（可重復(fù)選?。?，按如圖所示方式

組成圖案，使所圍成的三角形是直角三角形，則選取的三塊紙片的面積不可以是（）

【解題思路】如果三角形的三邊長(zhǎng)b,c滿足。2+廬=62,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.依據(jù)三角

形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積進(jìn)行判斷即可.

【解答過(guò)程】解：由題意可得，三角形各邊的平方是對(duì)應(yīng)的各個(gè)正方形的面積，

???所圍成的三角形是直角三角形，

???斜邊對(duì)應(yīng)的正方形的面積=兩直角邊對(duì)應(yīng)的正方形的面積和，

又???3+4W5,2+2=4,3+3=6,2+4=6,

???選取的三塊紙片的面積不可以是3,4,5,

故選：A.

6.（3分）（2021春?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每一-格長(zhǎng)度為1,小正方形的頂

點(diǎn)稱為格點(diǎn)，4,B,C,D,E：尸都在格點(diǎn)上，以AB,CD,E尸為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則點(diǎn)尸的

位置有（）

D

A.1處B.2處C.3處D.4處

【解題思路】先利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理，如果滿足A32+CZ）2=E尸或

CD2+EF2=AB2,即為直角三角形，解出E尸的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)尸的位置.

【解答過(guò)程】解：由題意可得，CD=2,AB=V2^T3^=>/13.

???以A8,CD,Eb為邊能構(gòu)成一個(gè)直角三角形，

：.AB2+CD2=EF1VS.CD2+EF2=AB2,

即13+4=石尸或4+七產(chǎn)=13,

解得EF=07或3,

尸點(diǎn)的位置如圖所示.

7.（3分）（2021春?欽州期末）《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3,4,5）,（5,12,13）,

（7,24,25）等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”.后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)

律：若小是大于I的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么，〃與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)；若相

是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1,加II得到兩個(gè)整數(shù)，那么〃?與這

兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù).由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由川生成的勾股數(shù)”.根據(jù)以上規(guī)律，“由8

生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為（）

A.16B.17C.25D.64

【解題思路】直接根據(jù)題意分別得出由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”進(jìn)而得出答案.

【解答過(guò)程】解：???由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為A,

8

:.（一）29=16,16-1=15,16+1=17,

2

故A=17,

故選:B.

8.（3分）（2020秋?偃師市期末）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑44=票。〃，高8c=12cm,P為BC

的中點(diǎn)，一只螞蟻從4點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的表面爬到P點(diǎn)的最班距離為（）

A.9cmB.10c/?zC.11c/??D.\2cm

【解題思路】把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，連接AP,利用勾股定理即可得出AP的長(zhǎng)，即螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的

最短距離.

【解答過(guò)程】解：已知如圖：

???圓柱底面直徑月8=票。以母線3c=12o〃，0為4c的中點(diǎn)，

8

，圓柱底面圓的半徑是一cm,BP=6cm,

71

1o

.\AB=亍x2x-xIT=8（7??,

Z71

在中，AP=VAB2+PB2=V82+62=10（cw）,

???螞蟻從A點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為10cm,

9.（3分）（2021?長(zhǎng)沙模擬）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位.在《算

法統(tǒng)宗》中有一?道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地，送行二步與人齊，五尺人高曾

記.仕女佳人爭(zhēng)蹴，”朝笑語(yǔ)歡嬉.良工高士素好奇，算山索長(zhǎng)有幾？”譯文；“有一架秋千，當(dāng)它靜

止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送1（）尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為

5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索有多長(zhǎng)？”根據(jù)題意，可得秋千的繩索長(zhǎng)為（）

A.10尺B.14.5尺C.13尺D.17尺

【解題思路】設(shè)繩索有大尺長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)果.

【解答過(guò)程】解：設(shè)繩索有工尺長(zhǎng)，

則102+（x+1-5）2=7,

解得：x=14.5,

即繩索長(zhǎng)14.5尺，

故選：B.

10.（3分）（2021春?梁山縣期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接

而成，記圖中正方形/WC7）,正方形E/G”,正方形A/NPQ的面積分別為Si,S2,S3,若S+S2+S3=45,

則52的值是（）

A.12B.15C.20D.25

［解題思路】設(shè)每個(gè)小直角二帝形的面積為小，貝ISi=4，〃+&,S3=S24/H,依據(jù)SI+S2+S3=45,可得

4M+S2+S2+S2-4〃?=45,進(jìn)而得出S2的值.

【解答過(guò)程】解：設(shè)每個(gè)小直角三角形的面積為m,則Si=Sn+S2,53=52-4/n,

V5i+52+53=45,

：.4m+S2+S2+S2~4/n=45,

即3s2=45,

解得S2=15.

故選:B.

二.填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2020秋?武侯區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成

的正方形圖案，已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用x,），表示直角三角形的兩直角邊（X

〉），），則xv=22.5.

【解題思路】根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)而利用各圖形面積的關(guān)系列式解答即可.

【解答過(guò)程】解：根據(jù)勾股定理可得：，+）2=49,（x-y）2=*

可得：49-2xy=4,

解得：到=22.5,

故答案為：22.5.

12.（3分）（2021春?廣安期末）如圖，已知四邊形A,B,C,D,七都是正方形，圖中所有的三角形都

是直角三角形.若正方形4,B,力的面積依次為4,6,15,則正方形C的面積為5.

【解題思路】由題意可知：SA+SB=SE,SC^SE=S/）,代入計(jì)算即可.

【解答過(guò)程】解：由題意可知：SA+SB=SE,SC+SE=SD,

???正方形A,B,。的面積依次為4,6,15,

?\SC=SD-SA-SB=\5-6-4=5,

故答案為：5.

13.（3分）（2021春?保山期末）在直角三角形A8C中，若48=8,AC-BC=2,則三角形A8C的面積

為15或60.

【解題思路】①當(dāng)AB=8是斜邊時(shí)，根據(jù)勾股定理得到AC2+8C2=AB2=64,求得AC?4C=30,根據(jù)三

角形的面積公式即可得到結(jié)論；②當(dāng)4c為斜邊時(shí)，由已知條件得到AC=BC+2,根據(jù)勾股定理得到

=15,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：①當(dāng)人8=8是斜邊時(shí)，

^\AC2+BC2=AB2=64,

,：AC-BC=2,

；?（AC-BC）2=AC2+BC2-2AC*BC=4,

：.AC-BC=3O,

???三角形ABC的面積=%C?BC=15；

②當(dāng)AC為斜邊時(shí)，

'：AC-BC=2,

：,AC=BC+2,

\'AC1=AB2+BC2,

???（BC+2）2=82+BC2,

；?三角形ABC的面積=聶8?8C=1x8X15=60,

綜上所述，三角形A8C的面積為15或60,

故答案為：15或60.

14.（3分）（2021春?環(huán)江縣期末）如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度即=1〃?，將它往前推6〃?至

C處時(shí)，水平距離。。=6機(jī)，踏板離地的垂直高度CF=4/n,它的繩索始終拉直，則AC的長(zhǎng)是，〃7.5.

【解題思路】設(shè)秋千的繩索氏為m?，根據(jù)題意可得AC=（x-3）m,利用勾股定理可得f=6?+（x-3）

2

【解答過(guò)程】解：設(shè)秋千繩索AB的長(zhǎng)度為x〃?，

由題意可得4C=4B=x〃?，

四邊形OCFE為矩形，BE=1/w,DC=6m,CF=4m,DE=CF=4m,

：,DB=DE-BE=3m，AD=AB-BD=（x-3）m,

在RtZXA。。中，AD2+DC2=AC2,

即（x-3）2+62=X2,

解得x=7.5,

即AC的長(zhǎng)度為75m,

故答案為：7.5.

15.（3分）（2021春?平定縣期末）如圖所示的網(wǎng)格是正方形忖格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,D,

C,Z）都在格點(diǎn)上，則ND48+/C4B的度數(shù)是45度.

D

/

/—C

N-----

AB

【解題思路】作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)E,連接DE,利用勾股定理得出AD,DE,AE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用

勾股定理的逆定理解答即可.

由勾股定理得：AD=V22+32=A/13,DE=V22+32=713,AE=Vl2+52=V26,

：.AD1+DE2=AE1,

???是直角三角形,

,:AD=DE,

：.ZDAE=45°=/DAB+/BAE=/DAB+/CAB,

故答案為：45.

16.(3分)(2021春?睢陽(yáng)區(qū)期末)如圖，臺(tái)階階梯每一層高20cm,寬40cm,長(zhǎng)50c/n.一只螞蚊從A點(diǎn)

爬到8點(diǎn)，最短路程是130口〃.

【解題思路】先將圖形平面展開(kāi)，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答.

【解答過(guò)程】解：如圖所示，

,它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬高為20c〃i,寬40cm,長(zhǎng)50c〃?，

???A8=J502+[2x(20+40)F=130(cm).

答：螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)8的最短路程是130a兒

故答案為：130cm.

三.解答題(共7小題，滿分52分)

17.(6分)(2()21春?瀘州期末)如圖，己知△/1BC中，AB=AC,BC=5,D為AB上一點(diǎn)、,CO=4,BD

(1)求證：ZBDC=90°；

(2)求4。的長(zhǎng).

D

BC

【解題思路】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可；

（2）根據(jù)勾股定理求出4c即可.

【解答過(guò)程】（1）證明：???BC=5,CQ=4,BD=3,

/.42+32=52,

???N4QC=90"；

（2）解：在RtZ\AOC中，ZADC=180°-90°=90°,

依題意有（AB-3）2+CD2,即AC?=（AC-3）2+42,

解得AC=符.

故AC的長(zhǎng)為片.

6

18.（6分）（2021春?南昌期末）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開(kāi)門去鬧（讀k

un,門檻的意思）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣兒何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖I的俯視示意圖），

今推開(kāi)雙門，門框上點(diǎn)C和點(diǎn)。到門檻44的距離QE為1尺（1尺=10寸），雙門間的健隙CO為2

寸，求門寬人"的長(zhǎng)是多少寸？

【解題思路】取的中點(diǎn)O,過(guò)D作DE工ABTE,根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：取的中點(diǎn)O,過(guò)。作。于E,

由題意得：OA=OB=AD=BC,

設(shè)OA=OB=AD=13C=r>]■,

則A8=2r（寸），OE=10寸，?！?￡。。=1寸，

：.AE=(r-1)寸,

在RtZXAOE中，

AE2+D￡?=AD2,即（r-1）2+102=^,

解得：「=50.5,

/.2r=101（寸），

：.AB=\0\寸，

答：門寬AB的長(zhǎng)是101寸.

19.（8分）（2021春?陽(yáng)東區(qū)期末）已知：如圖，在RlZ^ABC中，NACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,

動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以lends的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/.v.

（1）求4C邊的長(zhǎng)；

備用圖

【解題思路】（1）由勾股定理求解即可；

（2）①由題意得：BP=tcm,分兩種情況：①當(dāng)NAPB=90°時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，則8P=AC=4cm

得r=4；

②當(dāng)NBA尸=90°時(shí)，CP=（；-4）cm,在RtZ\ACP和RlZSAB尸中，由勾股定理得：AP2=AC1+CP1=

BP2-AB2,Bp32+（/-4）2=?-52,求解即可.

【解答過(guò)程】解：（1）在RtAABC中，由勾股定理得：BC=y/AB2-AC2=V52-32=4（cm）；

（2）由題意得：BP=tcm,分兩種情況：

①當(dāng)NAPB=90°時(shí)，如圖1所示：

點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

；?BP=BC=4cm,

/./=4；

②當(dāng)N84P=90°時(shí)，如圖2所示：

MCP=（r-4）cm,NACP=90°,

在RlZXACP中，由勾股定理得：AP1=AC2+CP2,

在RlZ\AB尸中，由勾股定理得：AP1=BP2-AB2,

：.AC2+CP2=BP2-AB2,

即32+（r-4）2=?-52,

解得：仁竽；

25

綜上所述，當(dāng)3P為直角三侑形時(shí)，，的值為4s或;-s.

4

圖2

20.(8分)(2020秋?南海區(qū)期末)在△A8C中，

(1)如圖I,4c=15,AQ=9,CD=12,BC=20,求△ABC的面積;

(2)如圖2,AC=13,BC=20,AB=lh求△/WC的面積.

【解題思路】（1）已知△ADC三邊的長(zhǎng)度，運(yùn)用勾股定理E勺逆定理首先證出CD14B,然后在直角△

DC8中，應(yīng)用勾股定理求出4D,則人8=人。+町），最后根據(jù)三角形的面積公式得出△/WC的面積；

（2）過(guò)C作CQ_L/3A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，利用勾股定理得出從。的長(zhǎng)，進(jìn)而得出C。的長(zhǎng)解答即可.

【解答過(guò)程】解：（1）;。。2+4￡>2=144+81=225,AC2=225,

：，CD1+AD1=CA1,

???△△AOC是直角三角形,

AZADC=90°,

：.CDLAI3,

AZADC=90°,

：.BD=VBC2-CD2=16,

：.AB=AD+DB=\6+9=25,

???MBC的面積二1X25X12=150；

(2)過(guò)C作CDLBA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)/),

CDLAB,

???NCOB=90°,

設(shè)A。為x,DB=（x+11）,由勾股定理得：CQ2=A（?2-A》，CD2=BC2-DB2,

即AC2-AD1=BC2-DB2,

則13??『=2（）2?（x+11）2,

解得：x=5,

Z.CD=yjAC2-AD2=V132-52=12,

???AABC的面積=yAB*CD=1xllX12=66.

21.（8分）（2021春?鞏義市期末）如圖，學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊四邊形空地A8CD,其中AB_LAC,48=8加,

BC=l7m,CD=9m,AD=\2m.為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行

綠化整理.

（1）求需要綠化的空地ABCD的面積；

（2）為方便師生出入，設(shè)計(jì)了過(guò)點(diǎn)八的小路AE,且于點(diǎn)E,試求小路人E的長(zhǎng).

【解題思路】（1）由勾股定理求出AC=15〃?，再由勾股定理的逆定理證出△ACO是直角三角形，ND

=90°,然后由三角形面積公式求解即可；

（2）由三角形的面積公式求解即可.

【解答過(guò)程】解:（1）VAB1AC,

???NBAC=90°,

：.AC=y/BC2-AB2=V172-82=15Cm）,

VCD=9/n,AO=l2/〃,

：.AD2+CD2=\21+92=225=AC2,

???△ACO是直角三角形，ND=90°,

???需要綠化的空地ABCD的面積=S&ABC+S&ACD=AC+CD=ix8X154-1x12X9=114

乙乙乙乙

（m2）；

（2）VZBz4C=90°,AE1.BC,

11

:?SSBC=^BCXAE=

A17X4E=8X15,

解得：AE=（/〃），

120

即小路AE的長(zhǎng)為---m.

17

22.（8分）（2020秋?項(xiàng)城市期末）勾股定理神奇而美妙，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼

圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：

兩個(gè)全等的直角三角板A8C和直角三角板QE凡頂點(diǎn)尸在BC邊上，頂點(diǎn)C、。重合，連接AE、EB.設(shè)

AB、DE交于點(diǎn)、G.NACB=/DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b（a>b）,AB=DE=c.請(qǐng)你回

答以下問(wèn)題：

（1）填空：z^AGE=909S四立/ADBE=_c2.

乙

（2）請(qǐng)用兩種方法計(jì)算四邊形ACHE的面積，并以此為基礎(chǔ)證明勾股定理.

E

【解題思路】⑴根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NE。尸=/C48,求得NACE+NC48=90°,得到NAGC

=90°,根據(jù)垂直的定義得到根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積公式用兩種方法求得四邊形AC8石的面積，于是得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】解：（1）:△ABC絲△￡）￡/,

：.ZEDF=ZCAB,

ZEDF+ZCAE=90°,

???NACE+NC4B=90°,

AZAGC=90°,

???N4GE=1800-NAGC=9Q"；

：.DELAB,

S四邊形AO8E=SA4CB+5ZS48E=DG+EG=4AB.(DG+EG)=^AB*DE=1c2,

1

故答案為:90,-：

(2)二?四邊形ACBE的面積=S“C8+S/M8￡=y8?QG+y8?EG=14小(DG+EG)=^AB*DE=1c2,

四邊形ACBE的面積=5四邊形ACFE+S公EFB=g義(AC+EF)?CF+/F?EF=G(b+a)/?+1(a-b)?a=

乙乙乙乙

手1廣2+

.1)19.1,9

?寵=2礦+于，

即(r+b1=c2.

23.（8分）（2021春?安慶期末）如圖是5X6的網(wǎng)格.

圖⑴圖（2）

（1）如圖（1），A,B,C是網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)），判斷4c與BC的數(shù)量和位置

關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不需要說(shuō)明理由；

（2）如圖（2）,求N1+N2的度數(shù)（要求：畫出示意圖并給出推導(dǎo)過(guò)程）.

【解題思路】（I）構(gòu)造直角三角形，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可得到AC與8C

的數(shù)晟和位置關(guān)系；

（2）構(gòu)造全等三角形，將N2轉(zhuǎn)化為NAC8,再根據(jù)勾股定理及其逆定理，即可得到N1+/2的度數(shù).

【解答過(guò)程】解：（1）AC=2C且AC_LBC.理由：

如圖（1）,，：CD=BE,NADC=/CEB=90",AD=CE,

:,△ACD/XCBE（SAS）,

:?AC=CB,4ACD=4CBE,

又???/(78￡：+/3?！辏?90°,

/.ZACD+ZBCE=90°,

AZACB=180°-90°=90°,

圖⑴圖⑵

(2)如圖(2),作△AAC,ADEF,

?:BC=FE,NABC=NDFE,AB=DF,

:.△NOXDFE(SAS),

???ZACB=ZDEF=Z2.

由圖，結(jié)合勾股定理，得

AC=V2?+l2=\/5,DC=x/47+27=2修，AO=5,

r.Ae+DC2=5+20=25=加，

???△ACO是直角三角形，且NACQ=90°.

VZ2+ZACD+Z1=180°,

.?.Zl+Z2=180°-ZACD=180°-90°=90°.專題4.1平方根

■重難點(diǎn)題型

【蘇科版】

”與0否勿

。亦千一更三

【知識(shí)點(diǎn)1平方根的概念及表示】

①定義：如果好=。（。20）,那么工叫做a的,也稱為.

②表示方法：正數(shù)。的正的平方根記作標(biāo)，負(fù)的平方根記作-8，正數(shù)a的兩個(gè)平方根記作士而，讀作正、

負(fù)根號(hào)a，其中a叫做.

【題型1平方根的概念及表示】

【例1】（2021春?景縣月考）的平方根是±|"用數(shù)學(xué)式子可表示為（

42

A-/二±|B.4=|C.±/=±|D.---

93

【變式1-1]（2020秋?惠山區(qū)校級(jí)月考）下列語(yǔ)句正確的是（）

A.10的平方根是100B.100的平方根是10

C.-2是-4的平方根D.：的平方根是土;

93

【變式1-2]（2020春?潮南區(qū)期末）實(shí)數(shù)1-3a有平方根，則”可以取的值為（)

A.0B.1C.2D.3

【變式1-3］（2021?九龍坡區(qū)期口）若-2馮，與5凸，的和是單項(xiàng)式，則（a+b）2的平方根是（）

A.2B.±2C.4D.±4

【總結(jié)】

【知識(shí)點(diǎn)2平方根的性質(zhì)】

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根___________,零的平方根是______,___________沒(méi)有平方根.

【題型2平方根的性質(zhì)】

【例2】（2021春?陽(yáng)谷縣月考）已知3〃L1和?2〃?-2是某正數(shù)。的平方根，則。的值是（）

164

A.3B.64C.3或一！D.64或一

525

【變式2-1］（2020春?孟村縣期中）已知正實(shí)數(shù)X的兩個(gè)平方根是m和〃?+b.

（I）當(dāng)b=8時(shí)，〃?的值是；

（2）若〃尸（〃?+"）24=4,則x=.

【變式2-2］（2020春?高新區(qū)校級(jí)期中）已知2x-y的平方根為±3,-4是3x+y的一個(gè)平方根，求x-），

的平方根.

【變式2-3］（2021春?東城區(qū)校級(jí)期中）已知正實(shí)數(shù)x的平方根是〃和〃+。（心＞0）.

（I）當(dāng)a=6時(shí)，求〃的值：

（2）若〃?+（n+a）2=8,求a-〃的平方根.

【總結(jié)】

【知識(shí)點(diǎn)3開(kāi)平方】

求一個(gè)數(shù)的__________的運(yùn)算叫做開(kāi)平方.

【題型3利用開(kāi)平方解方程】

【例3】（2021春?巴楚縣月考）求下列各式中工的值:

4

5-

9

(3)2(x+1)2=128.

【變式3-1](2021春?岷縣月考)求下列各式中x的值.

(1)(2"1)2=25.

(2)X2—=0.

【變式3-2](2020秋?甘州區(qū)校級(jí)期中)求滿足下列各式的未知數(shù)工

(1)(x-1)2-49=0；

1

(2)-(x-2?)2-8=0.

【變式3-3](2020春?中山區(qū)期末)定義：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)

是2的方程，叫做一元二次方程.

如了=9,(x-2)2=4,3/+〃-1=()…都是一元二次方程.根據(jù)平方根的特征，可以將形如(a

20)的一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.

如：解方程，=9的思路是：由X=土眄，可得用=3,X2=-3.

解決問(wèn)題：

(1)解方程(x-2)2=4.

解：Vx-2=±V4,

Ax-2=2,或x?2=.

/?XI=4>X2=.

(2)解方程:(3A:-1)2-25=0.

【總結(jié)】

【知識(shí)點(diǎn)4算術(shù)平方根的概念】

正數(shù)。有兩個(gè)平方根±倔，我們把正數(shù)a的____平方根低，叫做。的算術(shù)平方根.

【題型4算術(shù)平方根的概念】

【例4】(2021春?紅橋區(qū)期中)J黑的算術(shù)平方根是.

【變式4-1]（2021春?那西縣月考）下列說(shuō)法正確的是（）

A.-4是（-4）2的算術(shù)平方根

B.±4是（-4）2的算術(shù)平方根

C.代的平方根是-2

D.-2是代的一個(gè)平方根

【變式4-2]（2021春?巴南區(qū)期中）已知75克芯=315,4=3.15,則x=（）

A.9.9225B.0.99225C.0.099225D.0.0099225

【變式4-3]（2020秋?玄武區(qū)期末）若方程（x?1戶=5的解分別為且?！窂南铝姓f(shuō)法正確的是（）

A.。是5的平方根B.6是5的平方根

C.a-1是5的算術(shù)平方根D.力?1是5的算術(shù)平方根

【總結(jié)】

【知識(shí)點(diǎn)5算術(shù)平方根的性質(zhì)】

①正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；。的算術(shù)平方根是0;

②負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根.當(dāng)。工0時(shí)，必=a；

③算術(shù)平方根具有雙重非負(fù)性：a>0；Va>0.

【題型5算術(shù)平方根的非負(fù)性】

【例5】（2021春?安寧市校級(jí)期