初三三模數(shù)學試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[X]分，共[X]分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的圖像是（）

A.$y=(x-2)^2$

B.$y=(x+2)^2$

C.$y=(x-2)^2-4$

D.$y=(x+2)^2-4$

2.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，公差$d=2$，則$a_{10}$等于（）

A.19

B.21

C.23

D.25

二、填空題（每題[X]分，共[X]分）

3.若$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$是銳角，則$\cos\alpha=\frac{4}{5}$的平方根是_______。

4.若方程$x^2-2(k-1)x+k=0$有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)$k$的取值范圍是_______。

三、解答題（每題[X]分，共[X]分）

5.（X分）已知$a$、$b$是方程$x^2-4x+3=0$的兩個根，求證：$a+b=4$。

證明：

設(shè)方程$x^2-4x+3=0$的兩個根為$a$和$b$，則根據(jù)韋達定理有：

$a+b=4$（1）

$ab=3$（2）

由（1）式得$b=4-a$，代入（2）式得：

$a(4-a)=3$

$4a-a^2=3$

$a^2-4a+3=0$

$(a-3)(a-1)=0$

所以$a=3$或$a=1$。

當$a=3$時，$b=4-a=1$；當$a=1$時，$b=4-a=3$。

因此，方程$x^2-4x+3=0$的兩個根為$a=3$和$b=1$，所以$a+b=4$。

證畢。

四、解答題（每題[X]分，共[X]分）

6.（X分）已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的單調(diào)區(qū)間。

解：

首先求出$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$：

$f'(x)=6x^2-6x+4$

令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。

當$x<\frac{2}{3}$時，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在區(qū)間$(-\infty,\frac{2}{3})$上單調(diào)遞增；

當$\frac{2}{3}<x<1$時，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在區(qū)間$(\frac{2}{3},1)$上單調(diào)遞減；

當$x>1$時，$f'(x)>0$，所以$f(x)$在區(qū)間$(1,+\infty)$上單調(diào)遞增。

7.（X分）在直角坐標系中，點$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點為$B$，求點$B$的坐標。

解：

設(shè)點$B$的坐標為$(m,n)$，由于點$A$和點$B$關(guān)于直線$y=x$對稱，所以它們的中點$M$在直線$y=x$上。

點$A$和點$B$的中點$M$的坐標為$\left(\frac{2+m}{2},\frac{3+n}{2}\right)$。

由于$M$在直線$y=x$上，所以$\frac{2+m}{2}=\frac{3+n}{2}$，即$m=n+1$。

又因為點$A$和點$B$關(guān)于直線$y=x$對稱，所以它們的斜率乘積為$-1$，即：

$\frac{n-3}{m-2}\cdot\frac{m-2}{n-3}=-1$

解得$m=3$，$n=2$。

因此，點$B$的坐標為$(3,2)$。

五、應用題（每題[X]分，共[X]分）

8.（X分）某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$20$元，售價為$30$元。為了促銷，工廠決定對每件產(chǎn)品進行打折，使得利潤率提高$10\%$。求打折后的售價。

解：

設(shè)打折后的售價為$x$元，則每件產(chǎn)品的利潤為$x-20$元。

利潤率提高$10\%$，即新的利潤率為$30\%$，所以有：

$\frac{x-20}{20}=30\%$

解得$x=27$。

因此，打折后的售價為$27$元。

六、綜合題（每題[X]分，共[X]分）

9.（X分）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_3=18$，$S_5=35$，求該數(shù)列的通項公式和前$n$項和公式。

解：

設(shè)等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，則通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。

由等差數(shù)列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得：

$S_3=\frac{3}{2}(a_1+a_3)=18$

$S_5=\frac{5}{2}(a_1+a_5)=35$

將通項公式代入上述等式，得：

$18=\frac{3}{2}(a_1+a_1+2d)=3a_1+3d$

$35=\frac{5}{2}(a_1+a_1+4d)=5a_1+10d$

解得$a_1=2$，$d=4$。

因此，該數(shù)列的通項公式為$a_n=2+(n-1)\cdot4=4n-2$。

前$n$項和公式為$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)=\frac{n}{2}(2+4n-2)=2n^2$。

試卷答案如下：

一、選擇題答案：

1.A

解析思路：根據(jù)二次函數(shù)的標準形式$y=ax^2+bx+c$，圖像的頂點坐標為$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。將$a=1,b=-4,c=4$代入，得頂點坐標為$(2,0)$，所以圖像是$y=(x-2)^2$。

2.B

解析思路：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。代入$a_1=3$和$d=2$，得$a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21$。

二、填空題答案：

3.$\pm\frac{4}{5}$

解析思路：由于$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，則$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$。因此，$\cos\alpha=\pm\frac{4}{5}$。

4.$k\leq1$或$k\geq3$

解析思路：根據(jù)韋達定理，方程$x^2-2(k-1)x+k=0$的兩個根之和為$2(k-1)$，兩個根的乘積為$k$。由于方程有兩個不同的實數(shù)根，判別式$\Delta=b^2-4ac>0$，即$4(k-1)^2-4k>0$?；喌?k^2-6k+1>0$，解得$k\leq1$或$k\geq3$。

三、解答題答案：

5.證明：

解析思路：根據(jù)韋達定理，方程$x^2-4x+3=0$的兩個根之和為$4$，兩個根的乘積為$3$。設(shè)這兩個根為$a$和$b$，則有$a+b=4$和$ab=3$。由于$a$和$b$是方程的根，所以$a^2-4a+3=0$和$b^2-4b+3=0$。將$a+b=4$代入$ab=3$，得$a^2-4a+3=(a+b)^2-4ab=4^2-4\cdot3=16-12=4$。因此，$a^2-4a+3=0$，同理$b^2-4b+3=0$。所以$a+b=4$。

四、解答題答案：

6.解：

解析思路：求函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的導數(shù)$f'(x)$，然后找到$f'(x)=0$的解，這些解是函數(shù)的臨界點。通過測試這些臨界點附近的函數(shù)值，可以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

7.解：

解析思路：利用對稱點的性質(zhì)，點$A$和點$B$關(guān)于直線$y=x$對稱，所以它們的坐標滿足$m=n+1$。同時，由于它們的中點在直線$y=x$上，可以建立坐標關(guān)系來求解$m$和$n$。

五、應用題答案：

8.解：

解析思路：設(shè)打折后的售價為$x$元，