第3章函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的概念一般地，設(shè)D是非空數(shù)集，對(duì)于集合D中的每一個(gè)元素x，按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，都有唯一確定的值y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱y為x的函數(shù)，記作y=f例題1若函數(shù)fx=5-4x，則fA.1B.9C.4D.-3【答案】B【解析】將x=-1代入解析式得f-1例題2函數(shù)y=fx的圖像與直線x=kA.有且只有一個(gè)B.至少有一個(gè)C.至多有一個(gè)D.有一個(gè)或兩個(gè)【答案】C【解析】當(dāng)x=k是函數(shù)定義域內(nèi)的一個(gè)數(shù)值時(shí)，應(yīng)滿足“一對(duì)一”即函數(shù)y=fx的圖像與直線x=k例題3已知函數(shù)fx=x-3A.x+1B.xC.x-1【答案】B【解析】fx+3=x例題4已知函數(shù)fx=x,xA.2B.-2C.-4D.4【答案】D【詳解】f-2=-2知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的要素函數(shù)的三要素：（1）定義域（2）對(duì)應(yīng)法則（3）值域求函數(shù)定義域的類型：（1）若函數(shù)fx是整式，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?）若函數(shù)fx（3）若函數(shù)fx是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)（4）若函數(shù)fx函數(shù)值的求法：換元法用任意實(shí)數(shù)a替換解析式中fx中的x，即可以得到f所有函數(shù)值組成的集合是函數(shù)的值域例題1函數(shù)fx=2A.xx<4B.xx≤4C.x【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)≥0，所以2x+8≥0，解得x例題2函數(shù)fx=-xA.yy≥0B.yy≤0C.【答案】B【解析】函數(shù)fx=-x2是二次函數(shù)，開(kāi)口向下，最大值為0，值域例題3函數(shù)y=x-A.（-2，4）B.（-∞，-2）∪（4，+∞）C.[-2,4]D.（-∞，-2]∪[4，+∞）【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)≥0，所以x-1-3≥0，即x-1例題4下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.y=x與y=x2B.C.y=x與y=x2x【答案】D【解析】選項(xiàng)A，y=x，選項(xiàng)B，y=x2-1x-1選項(xiàng)C，y=x定義域?yàn)镽，y=x選項(xiàng)D，y=x定義域?yàn)镽，y=3x知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)的表示方法解析法：利用解析式表示函數(shù)的方法稱為解析法。常見(jiàn)函數(shù)的解析式：（1）一次函數(shù)：y=kx+b（k≠0）；（2）正比例函數(shù)：y=kx（k≠0）；（3）反比例函數(shù)：y=kx（（4）一元二次函數(shù)：①一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;②y=ax-h2+k；③y=a列表法：通過(guò)列出自變量的值與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的相應(yīng)表格來(lái)表示函數(shù)的方法稱為列表法。圖像法：利用圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法。表示方法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法全面概括變量之間的關(guān)系，能夠通過(guò)解析式求出任意自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，也能夠歸納出函數(shù)的性質(zhì)。不夠直觀，部分函數(shù)沒(méi)有辦法用解析式表示。列表法直接看出某些自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。只能表示表中數(shù)據(jù)的關(guān)系圖像法能夠形象、直觀的表示函數(shù)變化情況函數(shù)值只能近似觀察到例題1函數(shù)y=2x-A.（-2，0）B.（-1，3）C.（0，-1）D.（1，2）【答案】C【解析】將選項(xiàng)帶入函數(shù)y=2x-1中，僅有（0，例題2函數(shù)y=2xA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】函數(shù)y=2x+4的斜率是2＞0，圖像經(jīng)過(guò)一、三象限，截距是4＞例題3函數(shù)fx=2x2+1，【答案】1【解析】定義域?yàn)?,1,2，則當(dāng)x=0時(shí)，fx=1；當(dāng)x=1時(shí)，fx=3；當(dāng)例題4設(shè)函數(shù)fx=x2+2，【答案】x0=-3【解析】當(dāng)x≤0時(shí)，fx0=x當(dāng)x>0時(shí)，fx0綜上所述，x0=-3或知識(shí)點(diǎn)四增、減函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f(x)如果對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1如果對(duì)于區(qū)間I上的任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1證明函數(shù)f(x)（1）取值：在給定區(qū)間上任取兩個(gè)不相等的自變量的值x1，x2（2）計(jì)算：?y（3）判斷：?y（4）定論：當(dāng)?y?x>0時(shí)，函數(shù)f(證明函數(shù)f(x)（1）取值：在給定區(qū)間上任取兩個(gè)不相等的自變量的值x1，x2，令（2）計(jì)算：fx（3）判斷：fx（4）定論：當(dāng)fx2-fx1

例題1若函數(shù)f(x)在RA.f(3)<f(5)C.f(3)>f(5)【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù)，3＜5，所以f例題2若f(x)是定義在（-1,2]上的減函數(shù)，fA.m>1B.1<m<2C.m【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)是定義在（-1,2]上的減函數(shù)，f(1)>f(m例題3若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，則f(-1)與A.f(-1)≥f(C.f(-1)≤f(【答案】B【解析】因?yàn)閒(x)在R上是減函數(shù)，且a2+1≥1，所以-1<例題4用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)fx=x+4【答案】見(jiàn)解析【解析】證明：在定義域（0，2）上任取x1，x2，且則?則?那么?y因?yàn)閤1，x2∈0，2，所以x2x1<4，所以4知識(shí)點(diǎn)五常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性正比例函數(shù)y=kx（k≠0）（1）k＞0，增區(qū)間：R，減區(qū)間：?（2）k＜0，增區(qū)間：?，減區(qū)間：R反比例函數(shù)y=kx（1）k＞0增區(qū)間：?，減區(qū)間：（-∞，0）和（0，+∞）（2）k＜0增區(qū)間：（-∞，0）和（0，+∞），減區(qū)間：?一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)（1）k＞0增區(qū)間：R，減區(qū)間：?（2）k＜0增區(qū)間：?，減區(qū)間：R二次函數(shù)：y（1）a增區(qū)間：[-b2a,+∞），減區(qū)間：（-∞，-（2）a增區(qū)間：（-∞，-b2a]，減區(qū)間[-b例題1函數(shù)y=-2xA.（-∞，+∞）B.（-∞，0），（0，+∞）C.（-∞，0]，[0，+∞）D.（-1，+∞）【答案】B【解析】反比例函數(shù)y=kx，當(dāng)k＜0時(shí)，增區(qū)間：（-∞，0）和（0，+∞），減區(qū)間：?，故選B例題2下列區(qū)間是函數(shù)y=x2A.（-∞，-1]B.（-∞，1）C.[-1，+∞）D.（1，+∞）【答案】A【解析】二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0，當(dāng)a>0時(shí)，增區(qū)間：[-b2a,+∞），減區(qū)間：（-∞，-b例題3下列函數(shù)是增函數(shù)的是（）A.y=-3x+5B.C.y=x+4【答案】C【解析】選項(xiàng)A中，k=選項(xiàng)B中，k=選項(xiàng)C中，k=選項(xiàng)D中，對(duì)稱軸為0，函數(shù)定義域內(nèi)先增后減。故選C。例題4函數(shù)fx在（0，+∞）上是減函數(shù)，則fx2+1與A.fx2+1>C.fx2+1≥【答案】D【解析】因?yàn)閤2+1≥1恒成立，且函數(shù)fx在（0所以fx2+1知識(shí)點(diǎn)六奇偶函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)閿?shù)集D，若對(duì)于任意的x∈D則稱y=設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)閿?shù)集D，若對(duì)于任意的x∈D則稱y=證明函數(shù)f(（1）一求：求fx的定義域（2）二看：定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（3）三判斷：若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則fx若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則判斷fx

與f-x

的關(guān)系；①f-x=fx

，則fx是偶函數(shù)；②f-x=-f例題1若函數(shù)fx是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f-1=3，f-2=4A.f1>f2B.f1【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，且f-1所以f1=-3，同理可得f2=-4，即例題2已知函數(shù)fx為偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，fx=xA.-2B.0C.1D.2【答案】B【解析】因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，fx=又因?yàn)楹瘮?shù)fx為偶函數(shù)，所以f-1例題3判斷函數(shù)fx【答案】奇函數(shù)【解析】函數(shù)定義域?yàn)?-x≥01+因?yàn)閒-x=例題4下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A.y=x2B.y=xC.【答案】A【解析】選項(xiàng)A，一次項(xiàng)系數(shù)為0的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為0，是偶函數(shù)；選項(xiàng)B，正比例函數(shù)，是奇函數(shù)；選項(xiàng)C，反比例函數(shù)，是奇函數(shù)；選項(xiàng)D，b≠0的一次函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故選A。知識(shí)點(diǎn)七奇偶函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)f-x=根據(jù)f-可以根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)的奇偶性。圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的，稱為偶函數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，稱為奇函數(shù)。（定義域必須對(duì)稱）例題1已知函數(shù)fx是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，fx=-x2+A.fx=x2C.fx=x【答案】C【解析】當(dāng)x<0時(shí)，-∴f-又∵函數(shù)fx是（-∞，+∞所以f-x=-fx，即例題2已知函數(shù)fx=ax5【答案】0【解析】因?yàn)閒-所以a-2所以f2例題3已知函數(shù)f（1）若fx是偶函數(shù)，求a（2）若fx是奇函數(shù)，求a【答案】（1）a=0（2）a=-1或a=3【解析】（1）∵fx是偶函數(shù)，∴a=0且a2-（2）∵fx是奇函數(shù)，∴a2-2a-3=0例題4已知fx是奇函數(shù)，當(dāng)x∈0，+∞時(shí)，f【答案】x【解析】當(dāng)x>0時(shí)，fx=因?yàn)閒x是奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)，fx<0的解集為x<-2綜上所述，fx>0的解集為知識(shí)點(diǎn)八常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性正比例函數(shù)y=kx（k≠0）奇函數(shù)反比例函數(shù)y=kx(k≠0)二次函數(shù)：y=ax2正弦函數(shù)y=余弦函數(shù)y=cos例題1下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A.fx=1-x3C.fx=-x【答案】C【解析】選項(xiàng)A，非奇非偶函數(shù)；選項(xiàng)B，奇函數(shù)；選項(xiàng)C，偶函數(shù)；選項(xiàng)D，非奇非偶函數(shù)。故選C。例題2若二次函數(shù)fx=a-2A.2B.-2C.±2D.無(wú)法確定【答案】B【解析】∵二次函數(shù)fx∴a2-4=0a-2≠0例題3若函數(shù)fx=2k-1xA.k>12，b=0B.kC.k<12，b=0D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx=2所以2k-1<0b=0例題4下列函數(shù)中，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的是（）A.y=x2C.y=x2【答案】D【解析】圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為奇函數(shù)，選項(xiàng)A為偶函數(shù)，選項(xiàng)B非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)C非奇非偶函數(shù)，選項(xiàng)D是奇函數(shù)。故選D。知識(shí)點(diǎn)九正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)正比例函數(shù)解析式：y=kx(k定義域、值域：定義域和值域都是R單調(diào)性：當(dāng)k>0時(shí)，在R當(dāng)k<0時(shí)，在R奇偶性：奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱反比例函數(shù)解析式：y=kx定義域、值域：定義域和值域都是（-∞，0）∪（0，+∞）單調(diào)性：當(dāng)k>0時(shí)，在（-∞，0）和（0，+∞當(dāng)k<0時(shí)，在（-∞，0）和（0，+∞奇偶性：奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱一次函數(shù)解析式：y=kx+b

(k≠0),定義域、值域：定義域和值域都是R單調(diào)性：當(dāng)k>0時(shí)，在R當(dāng)k<0時(shí)，在R截距：當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)圖像與y當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖像與y當(dāng)b=0奇偶性：當(dāng)b=0當(dāng)b≠0二次函數(shù)解析式：y=ax2+bx+c

(一般式：y=ax2+bx+c

(a頂點(diǎn)式：y=ax-h2+k

(a≠0)交點(diǎn)式：y=ax-x1x-x2

(a若f(??)=??(??)，可得對(duì)稱軸x=?(奇偶性：當(dāng)b=0時(shí)，二次函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)，二次函數(shù)非奇非偶例題1將二次函數(shù)y=x2+2x+1的圖像先向上平移A.（0，1）B.（1，0）C.（0，-1）D.（-1，-1）【答案】A【解析】二次函數(shù)y=x2+2x+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），圖像先向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)椋ɡ}2已知二次函數(shù)y=x2-2ax+1的區(qū)間（2A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-2【答案】A【解析】二次函數(shù)y=x2-2ax+1的對(duì)稱軸為x=a，若是函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則對(duì)稱軸a例題3已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖像與x軸相較于（-1【答案】x=1【解析】二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的圖像關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即經(jīng)過(guò)（例題4若函數(shù)fx=x2-3x+c【答案】c=-4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx=x2-3x兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)設(shè)為x1，x2，且x1<x2，則x知識(shí)點(diǎn)十一次函數(shù)模型、分段函數(shù)模型、二次函數(shù)模型一次函數(shù)模型：y分段函數(shù)模型：y二次函數(shù)模型：y例題1若用8cm長(zhǎng)的鐵絲圍城一個(gè)矩形，則此矩形的最大面積是（）A.4cm2B.8cm2C.16cm【答案】A【解析】設(shè)矩形的面積為y，一邊長(zhǎng)為x，則y=x8-2x2=-x2+4x（0＜例題2某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y(件)與每件的銷售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)y=162-3x，則商場(chǎng)每天的銷售利潤(rùn)W（元）與每件的銷售價(jià)格x（元）的函數(shù)關(guān)系是為（）A.WB.WC.WD.W【答案】D【解析】由題意得，每件商品的利潤(rùn)為x-30元，那么每天銷售利潤(rùn)W=yx-30=162-3xx-例題3正方形的邊長(zhǎng)為4，若在正方形的四個(gè)角上分別