第2頁，共2頁第1頁，共3頁公安三中2024級高一下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．已知，且為第二象限角，則（

）A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?”現(xiàn)有一類似問題：不確定大小的圓柱形木材，部分埋在墻壁中，其截面如圖所示.用鋸去鋸這木材，若，，則圖中弧與弦圍成的弓形的面積為（

）A． B． C． D．3．已知且，若，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)，則有（

）A． B．C． D．5．已知，且，則的值是（

）A． B． C． D．6．在直角坐標(biāo)系中，設(shè)角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為軸的非負(fù)半軸，將角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)，與單位圓交點的縱坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，若的圖象經(jīng)過點，且在上恰有2個零點，則實數(shù)ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)恰有兩個對稱中心在區(qū)間上，且，則的所有可能取值之和是（

）A．6 B． C． D．16二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分。）9．下列各式中，計算結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（

）A．的圖像關(guān)于點對稱B．的圖像關(guān)于直線對稱C．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像D．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是11．已知是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A．的周期為B．C．的所有零點之和為D．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分。）12．已知角為第二象限角，且滿足，則的值為.13．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為．14．設(shè)函數(shù)，若恒成立，求的最小值為.四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）15．（13分）已知.(1)化簡；(2)若，且滿足，求的值.16．（15分）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若為銳角且，滿足，求．17．（15分）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值，并求出取得最值時的值；(3)求不等式的解集．18．（17分）已知函數(shù)（，，）是定義在上的奇函數(shù).(1)求和實數(shù)b的值；(2)當(dāng)時，若滿足，求實數(shù)t的取值范圍；(3)若，問是否存在實數(shù)m，使得對定義域內(nèi)的一切t，都有恒成立？19．（17分）已知函數(shù)，其中t為常數(shù).(1)當(dāng)時，若，求x的值；(2)設(shè)函數(shù)在上有兩個零點m，n，①求t的取值范圍；②證明：.公安三中2024級高一下學(xué)期3月考試數(shù)學(xué)試卷參考答案題號12345678910答案ABCDABBDACABD題號11答案BCD1．A【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系結(jié)合象限角的三角函數(shù)值的符號分析求解.【詳解】因為，且為第二象限角，所以.故選：A.2．B【分析】由題意可知所求弓形的面積為扇形的面積減去等邊三角形的面積，所以根據(jù)已知條件求出扇形的面積和等邊三角形的面積即可.【詳解】因為，，所以為等邊三角形，因為，所以，所以弧與弦圍成的弓形的面積為.故選：B3．C【分析】先根據(jù)指數(shù)式對數(shù)式互化求出，再根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化，再根據(jù)求解即可.【詳解】由，得，即，所以，所以.故選:C.4．D【分析】由三角函數(shù)恒等變換化簡可得，，.根據(jù)角的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，，，，，即有：.故選：D5．A【分析】以為整體，可得，根據(jù)展開計算得到答案.【詳解】因為，則，且，可得，所以.故選：A.6．B【分析】有三角函數(shù)的定義得，然后利用二倍角的余弦公式求出，求解即可.【詳解】將角的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)，與單位圓交點的縱坐標(biāo)為，所以，所以，所以，故選：B.7．B【分析】根據(jù)的圖象經(jīng)過的點及范圍求出，再根據(jù)x的范圍得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，列出相應(yīng)不等式，即可求得范圍，即可得答案.【詳解】因為的圖象經(jīng)過點，所以，又，所以，則函數(shù)，當(dāng)時，，因為在上恰有2個零點，所以，所以，即實數(shù)ω的取值范圍是.故選：B.8．D【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合對稱中心個數(shù)分類求出的值.【詳解】函數(shù)，其最小正周期，由函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個對稱中心，得，即，解得，又，則當(dāng)是函數(shù)圖象對稱軸時，，解得，此時或，或；當(dāng)與為周期長的區(qū)間兩個端點時，，解得，符合題意，所以的所有可能取值之和是.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：由在區(qū)間上的對稱中心個數(shù)得求出范圍，再結(jié)合函數(shù)值相等分類求解是關(guān)鍵.9．AC【分析】利用兩角和的正弦公式可判斷A選項；利用二倍角的余弦公式可判斷B選項；利用兩角差的正切公式可判斷C選項；利用二倍角的正切公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，；對于B選項，；對于C選項，；對于D選項，.故選：AC.10．ABD【分析】根據(jù)圖像求得，對于A、B，代入驗證即可；對于C，利用平移左加右減的規(guī)律即可求得平移后的函數(shù)，化簡進行比較；對于D，先判斷出單調(diào)性，求出最值，進而求解.【詳解】由題圖可得，，故，所以，又，即，所以，，又，所以，所以．對于A：當(dāng)時，，故A正確；對于B：當(dāng)時，為最小值，故的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C：將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)：的圖像，故C錯誤；對于D：當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，因為，，，所以方程在上有兩個不相等的實數(shù)根時，的取值范圍是，故D正確．故選：ABD11．BCD【分析】根據(jù)題意由的奇偶性和對稱性分析的周期判斷A；結(jié)合已知結(jié)合對稱性得，，，，進而利用周期性求和判斷B；的零點可看作與的圖象交點的橫坐標(biāo)，作出與的圖象，根據(jù)中心對稱即可判斷C；結(jié)合與的函數(shù)值的符號，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)和周期性判斷D.【詳解】由為偶函數(shù)，得，即，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由為奇函數(shù)，得，即，則，的圖象關(guān)于點對稱，因此函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，A錯誤；由當(dāng)時，，得，而，，，因此，B正確；的零點可看作與的圖象交點的橫坐標(biāo)，作出與的圖象，觀察圖形知，直線與的圖象共有個交點，且它們關(guān)于點成中心對稱，所以所有零點之和為，C正確；當(dāng)時，，，與均為奇函數(shù)，則當(dāng)時，因此當(dāng)時，，又與的周期都為，所以，D正確．故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：（1）關(guān)于對稱：若函數(shù)關(guān)于直線軸對稱，則，若函數(shù)關(guān)于點中心對稱，則，反之也成立；（2）關(guān)于周期：若，或，或，可知函數(shù)的周期為.12．/【分析】利用和的關(guān)系，先求出的值，再利用和的關(guān)系，開方時結(jié)合角的范圍檢驗，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，因為，所以可得，所以，又因為是第二象限角，則，可得所以.故答案為：.13．【分析】利用平方關(guān)系降冪，再利用二倍角公式化簡后，結(jié)合正弦函數(shù)值域與二次函數(shù)性質(zhì)得值域．【詳解】，又，所以，故答案為：．14．【分析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為這兩個函數(shù)在定義域內(nèi)同正同負(fù)或同為0，結(jié)合函數(shù)圖象得出它們的圖象與軸交點重合，從而得出關(guān)系，代入，再由基本不等式得最小值．【詳解】由已知的定義域是，設(shè)，，顯然它們在定義域內(nèi)都是增函數(shù)，因此恒成立，則與在定義域內(nèi)同正同負(fù)或同為0，作出的圖象，要求，只要它們的圖象與軸的交點重合，如圖所示，由，由，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式直接化簡即可；（2）由（1）可得，解得，再利用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式化簡代入計算即可.【詳解】（1）由題意可知.（2）由（1）可知，則，即，可得，且，可得，所以.16．（1），，．（2）【分析】（1）把使用降冪公式、逆用二倍角公式以及兩角和的正弦公式化成只有正弦函數(shù)，然后代入正弦函數(shù)的周期公式和遞增區(qū)間即可求其周期和增區(qū)間.

（2）化簡，求出，進一步求出的正弦及余弦，令，利用兩角差的正弦公式代入計算即可.【詳解】解：（1）．所以的最小正周期，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．（2）由（1）得，因為為銳角，所以，，又因為，所以，所以．【點睛】本題考查正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及三角恒等變換公式，中檔題．17．(1)；單調(diào)遞減區(qū)間是，(2)，；，(3)【分析】（1）由的性質(zhì)求周期，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性得減區(qū)間；（2）求出的范圍，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得最值；（3）由余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式．【詳解】（1）的最小正周期，當(dāng)，即，時，單調(diào)遞減，∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，.（2）∵，則，故，∴，此時，即，，此時，即．（3），即，所以或，，即或，，所以不等式的解集為．18．(1)，(2)(3)存在【分析】（1）直接代入計算出，由奇函數(shù)的定義求出值；（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)變形不等式，再由單調(diào)性化簡后求解；（3）假定存在實數(shù)m，對定義域內(nèi)的一切，都有恒成立，利用奇偶性單調(diào)性變形化簡不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立（注意定義域），分別求解后求交集得出．【詳解】（1）依題意，，又是上的奇函數(shù)，則，即，亦即，整理得，于是，而，所以.（2）由（1）知，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)及，得，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，不等式化為，解得，（3）假定存在實數(shù)m，對定義域內(nèi)的一切，都有恒成立，即恒成立，當(dāng)時，由（2）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式化為，整理得，于是有對任意恒成立，則，當(dāng)時，，因此；有對任意恒成立，設(shè)，①當(dāng)時，函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸，（i）當(dāng)，即時，必有，則；（ii）當(dāng)，即時，在上恒成立，則；（iii）當(dāng)，即時，在上恒成立，則；②當(dāng)時，，不滿足在上恒成立，綜上得且，所以存在使得對定義域內(nèi)的一切，都有恒成立.19．(1)答案見解析(2)①；②證明見解析【分析】（1）將代入后可得，結(jié)合范圍計算即可得解；（2）①借助換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算即可得；②由韋達定理可得，，結(jié)合三角函數(shù)在上的單調(diào)性與①中所得計算有，即可得，即可得證.【詳解】（1）時，即