復(fù)習(xí)

k1.Z變換的定義Y(z)Z[y(t)]

y(kT)zk02.滯后定理：Z[y(kTnT)]znY(z)nnn1j3.超前定理Z[y(kTnT)]zY(z)z

j0y(jT)z第四章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述及Z傳遞函數(shù)●差分方程●Z傳遞函數(shù)●離散系統(tǒng)的框圖變換x(kT)y(kT)一.離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)1.含義y(kT)=T[x(kT)]T[.]:映射；傳遞函數(shù)；算法例如：y(kT)=-y(kT-T)+x(kT)-x(kT-T)2.種類(lèi)線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)y(k)T[x(k)]x(k)

ax

1(k)

bx

2(

k)aT[x1(k)]bT[x2(k)]

y(kn)T[x(kn)]n0,1,2,二.差分方程1.差分定義（1）向前差分一階向前差分：f(k)f(k1)f(k)二階向前差分：2f(k)f(k1)f(k)[f(k2)f(k1)][f(k1)f(k)]f(k2)2f(k1)f(k)（2）向后差分一階向后差分：f(k)f(k)f(k1)二階向后差分：

2f(k)f(k)f(k1)[f(k)f(k1)][f(k1)f(k2)]f(k)2f(k1)f(k2)2.離散系統(tǒng)差分方程形式y(tǒng)(k)a1y(k1)any(kn)b0x(k)b1x(k1)bmx(km)mny(k)

bix(ki)

aiy(ki)i0i1注意：n階；n-m=d,輸出相對(duì)于輸入有d拍延遲。后向差分與前向差分。物理意義：采樣系統(tǒng)某時(shí)刻的輸出值，由當(dāng)前與過(guò)去時(shí)刻的輸入值及過(guò)去時(shí)刻的輸出值共同決定。3.由微分導(dǎo)出差分dy(t)y(t)(1)一階差分：y(t)

y(kT)y(kTT)

dttT例：一階微分方程：Ty(t)y(t)ax(t)0對(duì)應(yīng)的一階差分方程：T0[y(kT)y(kTT)]y(kT)ax(kT)TaTTy(kT)x(kT)0y(kTT)T0TT0T注意:T為采樣周期。1離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)定義在離散時(shí)間系統(tǒng)理論中，所涉及的數(shù)字信號(hào)總是以序列的形式出現(xiàn)。因此，可以把離散系統(tǒng)抽象為如下數(shù)學(xué)定義：將輸入序列xkk()kk,0,1,2,,變換為輸出序列ck()的一種變換關(guān)系，稱(chēng)為離散系統(tǒng)。記作ykTxk()[()]其中，x()k和yk()可以理解為tkT時(shí)，系統(tǒng)的輸入序列x()kT和輸出序列ykT()，T為采樣周期。如果定義中的變換關(guān)系是線(xiàn)性的，則稱(chēng)為線(xiàn)性的離散系統(tǒng)；如果變換關(guān)系是非線(xiàn)性的，則稱(chēng)為非線(xiàn)性離散系統(tǒng)。（1）線(xiàn)性離散系統(tǒng)如果離散系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加原理，則稱(chēng)為線(xiàn)性的離散系統(tǒng)，即有如下關(guān)系式成立：若ykTxk11()[()]，ykTxk22()[()]，且有x()()()kaxkbxk12，其中a和b為任意常數(shù)，則ckFrkTaxkbxk()[()][()()]12aTxkbTxk[()][()]12aykbyk12()()（2）線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系不隨時(shí)間而改變的線(xiàn)性離散系統(tǒng)，稱(chēng)為線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)。例如，當(dāng)輸入序列為x()k時(shí)，輸出序列為yk()；如果輸入序列變?yōu)閤kn()，相應(yīng)的輸出序列為ykn()，其中n0,1,2,,則這樣的系統(tǒng)稱(chēng)為線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)。（差分方程的系數(shù)均為常數(shù)）本課程所研究的離散系統(tǒng)為線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)，可以用線(xiàn)性定常（常系數(shù)）差分方程描述。2線(xiàn)性常系數(shù)差分方程的一般形式連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，通常用微分方程來(lái)描述；離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，則用差分方程來(lái)描述。計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)經(jīng)過(guò)工程簡(jiǎn)化后，往往可以足夠近似地用線(xiàn)性常系數(shù)差分方程來(lái)描述。設(shè)連續(xù)函數(shù)yt()，采樣后為yt*()，采樣時(shí)刻的幅值為ykT()。在差分方程描述中，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，將任意數(shù)值的采樣周期T均看作為一個(gè)單位，則ykT()可省寫(xiě)為yk()。設(shè)x()(0,1,2,)kk是輸入數(shù)值序列；yk()是輸出數(shù)值序列。一般來(lái)說(shuō)，輸出yk()不僅取決于當(dāng)時(shí)的輸入yk()，還取決于過(guò)去的輸入x(),(),kxk12以及過(guò)去的輸出ykyk(),(),12。當(dāng)取后向差分時(shí)，常系數(shù)線(xiàn)性差分方程的一般形式是ykaykaykn()(1)()1

nbxkbxkbxkm01()(1)()m對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)有nm，n為差分方程的階次。

1.差分方程概念

含有未知序列y(n)及其位移序列y(n-1),y(n-2),……,y(n-N)的關(guān)系式稱(chēng)為差分方程。（向后差分）

含有未知序列y(n)及其位移序列y(n+1),y(n+2),……,y(n+N)的關(guān)系式稱(chēng)為差分方程。（向前差分）

2.差分方程的階

差分方程中未知序列變量的最高與最低值之差，稱(chēng)為差分方程的階。例如：y(n)-ay(n-1)+by(n-2)=x(n),因此此方程的階為二階。

如果差分方程中未知序列的各項(xiàng)系數(shù)為一次，則稱(chēng)為線(xiàn)性差分方程。

如果差分方程中未知序列的各項(xiàng)系數(shù)均為常數(shù)，則稱(chēng)為常系數(shù)線(xiàn)性差分方程。微分方程與差分方程

dy(t)/dt+Ay(t)=x(t)y(n+1)+ay(n)=x(n)

y(t)未知連續(xù)響應(yīng)dy(t)/dt未知響應(yīng)導(dǎo)數(shù)x()(t)已知連續(xù)激勵(lì)y(n)未知離散響應(yīng)y(n+1)未知離散響應(yīng)位移x(()n)已知離散激勵(lì)

微分方程可以近似為y(n+1)+(aT-1)y(n)=Tdy(t)/dt=(y(nT+T)-y(nT))/Tx(n)3差分方程的解法本節(jié)介紹兩種工程上常用的方法：一：迭代法二：Z變換法（一）迭代法迭代法解差分方程，即根據(jù)已知的差分方程、輸入信號(hào)及初始條件，利用遞推關(guān)系逐步求出后面的未知項(xiàng)。例4-7已知系統(tǒng)的差分方程為ykykxk()()()1kk000k輸入信號(hào)是xk()初始條件為y()02，試求輸出yk()。解：將差分方程寫(xiě)成遞推形式y(tǒng)kxkyk()()()1令k1，則yxy()()()110121令k2，則yxy()()()221213令k34,,就就求可求出出k為任何整數(shù)時(shí)的輸出y()k。從本例可以看出，采用迭代法求解差分方程的方法十分簡(jiǎn)單，便于用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。迭代法的缺點(diǎn)是難于寫(xiě)出輸出y()k的通式。（二）Z變換法與采用拉氏變換求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程類(lèi)似，利用Z變換可將線(xiàn)性常系數(shù)差分方程變換成以z為變量的代數(shù)方程（利用Z變換的定理），這就可以簡(jiǎn)化差分方程的求解。1）對(duì)差分方程求Z變換，得到輸出的Z變換；2）求輸出信號(hào)的Z反變換得到差分方程的解。4、用Z變換法解線(xiàn)性常系數(shù)差分方程第一步：對(duì)差分方程做Z變換n1nnjZ(())()()yknzYzzyj

jn01njz[()()]YjYzzy

jj0第二步：利用已知的初始條件或求出初始條件，代入第三步：求出Y（z）第四步：采用求逆Z變換的方法求出y(k)例用Z變換法解二階差分方程ykykyk()()()23120初始狀態(tài)為yy(),()0011。解：1）對(duì)上述差分方程兩端作Z變換，得z22YYYYY()()()()zzY013zYzYz3020zYYz()()整理后有()()()()()zzYzzzYzY2232301代入初始狀態(tài)yy(),()0011后，得2z()()()zzYzzYz32

2zz32令()zzz2320則上式是差分方程的特征方程，其根為特征根。2）將Yz()分解成部分分式之和zYzAA()1211

zzzzz1212zzYz()zz12查Z反變換表得ykk()(1)(2),0,1,2,kk

用Z變換法解差分方程的優(yōu)點(diǎn)是很明顯的，它可將差分方程簡(jiǎn)化為代數(shù)方程求解，既能考慮初始條件，又能寫(xiě)出y()k的通式。求解差分方程，可以提供線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出序列響應(yīng)特性，但不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)離散系統(tǒng)性能的影響。因此，需要研究線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型――脈沖傳遞函數(shù)。4Z(脈沖)傳遞函數(shù)在連續(xù)系統(tǒng)中，常用傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)的性能;對(duì)采樣系統(tǒng)或離散系統(tǒng)，同樣也可以通過(guò)脈沖傳遞函數(shù)來(lái)研究它們的性能。1脈沖傳遞函數(shù)的定義2差分方程與脈沖傳遞函數(shù)3開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)4閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)5有干擾作用時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的輸出1脈沖傳遞函數(shù)的定義定義：線(xiàn)性定常離散控制系統(tǒng)，在零初始條件下，輸出序列的Z變換與輸入序列的Z變換之比，稱(chēng)為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。即GzykTzxkTz()()()

：在零初始條件的采樣值xTxT(),(2),及輸出脈沖序列的采樣值yTyT(),(2),均為零。Yz()Xz()

kkkk00t0時(shí)，輸入脈沖序列與連續(xù)系統(tǒng)一樣，Gz()只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。若已知離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)Gz()，則在零初始條件下，線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的輸出信號(hào)為ytZYzZGzXz*11()[()][()()]

如果是采樣系統(tǒng)，xt()經(jīng)采樣后為xt*()，其Z變換為Xz()，但輸出為連續(xù)信號(hào)yt()。為了用脈沖傳遞函數(shù)表示，可在輸出端虛設(shè)一個(gè)與輸入開(kāi)關(guān)同步動(dòng)作的采樣開(kāi)關(guān)，這樣便得到了yt*()及Yz()，從而使采樣系統(tǒng)變成了離散系統(tǒng)，它的脈沖傳遞函數(shù)同前。2差分方程與脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)或離散系統(tǒng)既可用差分方程描述，又可用Z傳遞函數(shù)描述，因此兩者之間可互相轉(zhuǎn)換。已知差分方程為y()(1)(2)()kaykaykaykn12

nbxkbxkbxkm01()(1)()m設(shè)初始條件為零，上式可寫(xiě)成和式形式，y()()()kaykibxkj

ijnmij10兩端做Z變換，得nmijYzazYzbzXz()()()

ijij10由此可得系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為Yz()mnjiGzbzaz()1

ji

Xz()ji01反之，若已知系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，則可通過(guò)Z反變換求得相應(yīng)的差分方程。（只有零初始條件下，才可將差分方程轉(zhuǎn)換為脈沖傳遞函數(shù)）3開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中，既有被控對(duì)象那樣的連續(xù)環(huán)節(jié)，又有計(jì)算機(jī)那樣的離散環(huán)節(jié)，而且采樣開(kāi)關(guān)的位置又因系統(tǒng)而異，因此，開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法比連續(xù)系統(tǒng)要復(fù)雜。以下研究各種結(jié)構(gòu)形式的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法。（一）串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)常遇到的環(huán)節(jié)串聯(lián)結(jié)構(gòu)有下面兩種形式。a）連續(xù)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)Gz()Gz1()Gz2()*Tct()rt()（a）環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(按定義：CzGzRzCzGzCz1121()()(),()()()將Cz1()代入Cz()：CzGzGzRz()()()()21故有GzCzRzGzGz()()()()()12rt*()ct()ct*()Cz()Gs1()11Gs2()TRz()TCz1()ct()有采樣開(kāi)關(guān))結(jié)論:有理想采樣開(kāi)關(guān)的兩個(gè)線(xiàn)性連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的脈沖傳遞函數(shù)，等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)之積。類(lèi)似地，如果n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)，且它們之間均有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，則可得GzGzGzGzGz()()()()()12

ni

式中GzZGsii()[()]。ni1b）連續(xù)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)rt()GzGGz()()12Tct*()Cz()rt*()ct1()Gs1()Gs2()TRz()ct()（b）環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(無(wú)采樣開(kāi)關(guān))圖中兩個(gè)串聯(lián)連續(xù)環(huán)節(jié)間無(wú)理想采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)，輸入與輸出兩個(gè)采樣開(kāi)關(guān)之間的傳遞函數(shù)為GsGsGs()()()12。按定義，輸出采樣信號(hào)CzGzRz()()()，而GzZGsZGsGsGGz()[()][()()]()1212結(jié)論：若兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)之間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，它們的等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)乘積的Z變換。類(lèi)似地，也可擴(kuò)充到n個(gè)無(wú)采樣開(kāi)關(guān)串聯(lián)連接的情況，即GzZGsGsGsGGGz()[()()()]()1212

nn注意：兩個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之后的Z變換并不等于每個(gè)環(huán)節(jié)Z變換之積，即GzGzGGz1212()()()11例如，如果GsGs12(),()對(duì)第1種情況，有ss111z2GzGzGzZZ()()()[][]12Tsszze1(1)()對(duì)第2種情況，有1(1)ezTGzZGsGsZ()[()()][]12Ts(1)(1)()szze顯然，兩者結(jié)果不同。但它們的極點(diǎn)是相同的，僅零點(diǎn)不同。（二）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)圖中給出了并聯(lián)連接的結(jié)構(gòu)圖。依疊加原理，可以很容易求得脈沖傳遞函數(shù)均為GzGzGzZGsZGs()()()[()][()]1212Cz()Rz()GzGzGz()()()12

Gs1()Rs()Rz()Cz()TTGs2()環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)（三）有零階保持器時(shí)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)rt()Gz()sTCz()rt*()1eTGs0()sCs()1()()eGseGssTsT

00

GzZGsZZ()[()]0

sss根據(jù)實(shí)數(shù)位移（延遲）定理，上式又可簡(jiǎn)化為GsGsGs000()()()11sssGzZzZzZ()(1)4閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)求取閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：（一）獨(dú)立環(huán)節(jié)的概念在采樣系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)里，兩個(gè)相鄰采樣開(kāi)關(guān)之間的環(huán)節(jié)（不管其中有幾個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)串并聯(lián)）只稱(chēng)為一個(gè)獨(dú)立環(huán)節(jié)。（二）若閉環(huán)系統(tǒng)的輸入信號(hào)未被采樣（若誤差信號(hào)被采樣，則認(rèn)為輸入輸出信號(hào)都有采樣信號(hào)，即etxtyt***()()()），則整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)將寫(xiě)不出來(lái)，這與連續(xù)系統(tǒng)是不同的。由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置方案，因此閉環(huán)系統(tǒng)沒(méi)有唯一的結(jié)構(gòu)圖形式。下面給出一種誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。*ct()rt()et()et*()TCz()Gs()＋TE()zCs()－H()s閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（I）系統(tǒng)I可以等效為下圖。圖中，虛線(xiàn)所示的采樣開(kāi)關(guān)是為了方便而虛設(shè)的，輸入信號(hào)rt*()和反饋信號(hào)bt*()并不存在。*()z*rt()ct()rt()Rz()et*()TCz()Gs()T＋E()zCs()Bz()－bt*()TH()s閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（II）誤差信號(hào)E()()()zXzBz（1）而反饋信號(hào)B()[()()]()()()zZGsHsEzGHzEz將B()z代入式（1），得E()()()()zXzGHzEzXz()所以E()z1GHz()Gz()輸出YzGzEzXz()()()()1GHz()因此，閉環(huán)離散系統(tǒng)對(duì)輸入量的脈沖傳遞函數(shù)為YzGz()()XzGHz()()1()z

Gz()系統(tǒng)輸出：YzGzEzXz()()()()1GHz()從系統(tǒng)輸出的Z變換算式可看到：1.它的分子是前向通道XsYz()()所有獨(dú)立環(huán)節(jié)Z變換的乘積；2.分母是1與閉環(huán)回路所有獨(dú)立環(huán)節(jié)Z變換的乘積之和，這與連續(xù)系統(tǒng)的計(jì)算方法一致。3.采樣系統(tǒng)以獨(dú)立環(huán)節(jié)為計(jì)算傳遞函數(shù)的最小單位。閉環(huán)系統(tǒng)的輸出Z變換可按以下公式直接寫(xiě)出：Y(z)=（前向通道所有獨(dú)立環(huán)節(jié)Z變換的乘積）/(1+閉合回路中所有獨(dú)立環(huán)節(jié)Z變換的乘積)幾點(diǎn)注意：1．輸入Xs()也作為一個(gè)連續(xù)環(huán)節(jié)看待。2．若Xz()存在，則根據(jù)上式可寫(xiě)出閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)；否則，則寫(xiě)不出來(lái)。R()s＋Cs()GzRz()()Gs()Cz()TT1GzHz(())－H()sGz()()z1GzHz()()Rs()＋Cs()RGz()Gs()Cz()T1HGz()－TH()s(z)不存在常用采樣系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及輸出表達(dá)式設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換為Y(z)，輸入信號(hào)的Z變換為R(z)，誤差信號(hào)的Z變換為E(z)，則定義閉環(huán)Z傳遞函數(shù)Gc(z)Y(z)R(z)G(z)E(z)R(z)閉環(huán)偏差Z傳遞函數(shù)e（1）簡(jiǎn)單閉環(huán)Z傳遞函數(shù)y(kT)Y(z)+*r(t)e(t)e(t)G(s)y(t)R(s)-E(z)Y(s)H(s)E(z)R(z)GH(z)E(z)Y(z)G(z)E(z)G(z)R(z)1GH(z)R(z)1GH(z)E(z)1GH(z)E(z)1Ge(z)G(z)Y(z)G(z)R(z)1GH(z)cR(z)1GH(z)（2）復(fù)雜閉環(huán)Z傳遞函數(shù)（與采樣開(kāi)關(guān)的配置有關(guān)）a.G2(s)與H(s)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)y(kT)r(t)+e(t)e

(t)E(z)u

(t)Y(z)G1(s)U(z)G2(z)y(t)Y(s)R(s)-H(s)E(z)R(z)E(z)G1(z)G2H(z)E(z)R(z)G(z)G1(z)G2(z)Y(z)E(z)G1(z)G2(z)1G(z)GH(z)12E(z)1Ge(z)G(z)Y(z)G1(z)G2(z)R(z)1G1(z)G2H(z)cR(z)1G1(z)G2H(z)b.G2(s)與H(s)之間有采樣開(kāi)關(guān)R(s)+E(z)Y(z)Y(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(z)E(z)G1(z)G2(z)E(z)1Ge(z)R(z)1G1(z)G2(z)H(z)E(z)R(z)E(z)G1(z)G2(z)H(z)R(z)1G1(z)G2(z)H(z)G(z)Y(z)G1(z)G2(z)R(z)1G(z)G(z)H(z)E(z)1G1(z)G2(z)H(z)c12c.G1(s)與E1(s)、G2(s)與H(s)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)Rs()+E1(s)E2(s)E2(z)G1(s)G2(s)Y(z)-H(s)Y(z)E2(z)G2(z)E2(z)Z[R(s)G1(s)]E2(z)Z[G2(s)H(s)G1(s)]!閉環(huán)傳遞函數(shù)求不出來(lái),因RG1(z)中分離不出RG1(z)E2(z)G1G