廣東省肇慶市高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.2.2組合教學(xué)實(shí)錄新人教A版選修2-3授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為組合原理，具體包括組合的定義、性質(zhì)以及計(jì)算公式，涉及新人教A版選修2-3教材中第一章“計(jì)數(shù)原理”的內(nèi)容。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：學(xué)生在初中階段已學(xué)習(xí)了排列的概念，本節(jié)課將在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)組合的概念和計(jì)算方法，有助于學(xué)生理解排列與組合的關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)概率論打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，通過(guò)組合原理的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

2.增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，使學(xué)生能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用組合方法進(jìn)行求解。

3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，讓學(xué)生理解組合原理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了排列的基本概念和計(jì)算方法，具備一定的邏輯思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。此外，他們可能對(duì)概率論有初步的了解，這有助于他們對(duì)組合原理的理解。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)普遍持有一定的興趣，尤其是對(duì)邏輯性和挑戰(zhàn)性較強(qiáng)的內(nèi)容。他們通常具有較強(qiáng)的抽象思維能力，能夠適應(yīng)數(shù)學(xué)思維模式。學(xué)習(xí)風(fēng)格方面，部分學(xué)生可能偏好通過(guò)直觀圖形和實(shí)例來(lái)理解抽象概念，而另一些學(xué)生則更傾向于通過(guò)公式和定理來(lái)推導(dǎo)結(jié)論。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在學(xué)習(xí)組合原理時(shí)，學(xué)生可能面臨以下困難：一是理解組合與排列的區(qū)別和聯(lián)系；二是掌握組合的計(jì)算公式及其應(yīng)用；三是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合模型進(jìn)行求解。這些困難可能與學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)建模能力有關(guān)。教師需要通過(guò)恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略幫助學(xué)生克服這些挑戰(zhàn)。教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：通過(guò)清晰講解組合的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，幫助學(xué)生建立概念框架。

2.討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分析實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)用組合原理解決問(wèn)題，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)能力。

3.案例分析法：選取典型案例，引導(dǎo)學(xué)生分析組合在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

教學(xué)手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示組合的圖形和實(shí)例，直觀展示組合的概念和性質(zhì)。

2.互動(dòng)軟件：使用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行組合計(jì)算演示，讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，加深理解。

3.課堂練習(xí)：通過(guò)在線平臺(tái)提供即時(shí)反饋的練習(xí)題，鞏固學(xué)生的計(jì)算技能。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)組合的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過(guò)程：

開(kāi)場(chǎng)提問(wèn)：“你們?cè)谌粘Ｉ钪杏龅竭^(guò)需要選擇的問(wèn)題嗎？比如，從五件衣服中選三件搭配，有多少種不同的搭配方式？”

展示一些關(guān)于組合在生活中的應(yīng)用實(shí)例，如購(gòu)物時(shí)的搭配選擇、彩票開(kāi)獎(jiǎng)等，讓學(xué)生初步感受組合的魅力或特點(diǎn)。

簡(jiǎn)短介紹組合的基本概念和它在數(shù)學(xué)中的重要性，為接下來(lái)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.組合基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解組合的基本概念、組成部分和原理。

過(guò)程：

講解組合的定義，強(qiáng)調(diào)它與排列的區(qū)別，使用圖表展示組合的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

詳細(xì)介紹組合的組成部分，如組合數(shù)公式，并通過(guò)實(shí)例說(shuō)明如何應(yīng)用公式。

3.組合案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過(guò)具體案例，讓學(xué)生深入了解組合的特性和重要性。

過(guò)程：

選擇幾個(gè)典型的組合案例，如班級(jí)分組、球隊(duì)陣容安排等。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生看到組合在解決問(wèn)題中的作用。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用組合原理解決類(lèi)似問(wèn)題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問(wèn)題的能力。

過(guò)程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與組合相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行討論。

小組內(nèi)討論如何應(yīng)用組合原理來(lái)解決問(wèn)題，并嘗試設(shè)計(jì)解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)組合的認(rèn)識(shí)和理解。

過(guò)程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括問(wèn)題的分析、解決方案的提出和討論過(guò)程。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問(wèn)和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)組合的重要性和意義。

過(guò)程：

簡(jiǎn)要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括組合的定義、性質(zhì)、計(jì)算方法和實(shí)際應(yīng)用。

強(qiáng)調(diào)組合在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活中。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生選擇一個(gè)生活中的問(wèn)題，嘗試運(yùn)用組合原理進(jìn)行分析和解決，并撰寫(xiě)一份簡(jiǎn)短的報(bào)告。知識(shí)點(diǎn)梳理1.組合的定義

-組合是從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)。

-組合數(shù)表示為C(n,m)或^nC_m，讀作“從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的組合數(shù)”。

2.組合的性質(zhì)

-組合具有對(duì)稱(chēng)性：C(n,m)=C(n,n-m)。

-組合具有遞推關(guān)系：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)。

-組合數(shù)C(n,m)總是非負(fù)的，且當(dāng)m=0或m=n時(shí)，C(n,m)=1。

3.組合的計(jì)算公式

-組合數(shù)的計(jì)算公式：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]，其中n!表示n的階乘。

-階乘的定義：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1。

4.組合數(shù)的應(yīng)用

-在排列問(wèn)題中，當(dāng)元素順序不重要時(shí)，使用組合數(shù)來(lái)計(jì)算可能的不同情況。

-在概率論中，組合數(shù)用于計(jì)算事件發(fā)生的不同可能性。

-在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，組合數(shù)用于計(jì)算樣本空間的大小。

5.組合數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算

-當(dāng)m=n/2時(shí)，組合數(shù)C(n,m)達(dá)到最大值。

-當(dāng)m接近n時(shí)，組合數(shù)C(n,m)接近n!/m!。

6.組合與排列的關(guān)系

-排列數(shù)P(n,m)=n!/(n-m)!，是組合數(shù)C(n,m)的倍數(shù)。

-當(dāng)元素順序重要時(shí)，使用排列數(shù)來(lái)計(jì)算可能的不同情況。

7.組合的應(yīng)用實(shí)例

-在體育比賽中，計(jì)算不同的比賽組合方式。

-在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，計(jì)算不同樣本的選取方式。

-在日常生活中，計(jì)算不同的選擇組合，如購(gòu)物時(shí)的搭配選擇。

8.組合的擴(kuò)展

-組合的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可以推廣到多項(xiàng)式展開(kāi)、線性方程組的解法等領(lǐng)域。

-組合的遞推關(guān)系可以用于解決更復(fù)雜的問(wèn)題，如動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題。

9.組合的數(shù)學(xué)證明

-組合數(shù)的計(jì)算公式可以通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法或組合的排列性質(zhì)進(jìn)行證明。

-組合的遞推關(guān)系可以通過(guò)組合的構(gòu)造方法或數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

10.組合的實(shí)際應(yīng)用

-在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，組合用于算法設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

-在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，組合用于市場(chǎng)分析和決策制定。

-在工程學(xué)中，組合用于系統(tǒng)設(shè)計(jì)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)法：在講解組合原理時(shí)，我嘗試引入實(shí)際生活中的案例，如設(shè)計(jì)服裝搭配、安排班級(jí)活動(dòng)等，讓學(xué)生通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)理解組合的應(yīng)用，這樣不僅提高了學(xué)生的興趣，也增強(qiáng)了他們的實(shí)踐能力。

2.多媒體輔助教學(xué)：利用PPT和數(shù)學(xué)軟件展示組合的圖形和實(shí)例，讓學(xué)生直觀地看到組合的直觀效果，同時(shí)通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示組合的計(jì)算過(guò)程，幫助學(xué)生更好地理解抽象概念。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生對(duì)抽象概念的理解困難：組合原理涉及到的概念較為抽象，部分學(xué)生難以理解組合數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程，這需要我在教學(xué)中更加注重概念的解釋和實(shí)例的運(yùn)用。

2.學(xué)生計(jì)算能力不足：在計(jì)算組合數(shù)時(shí)，學(xué)生容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，這可能與他們對(duì)公式的不熟悉以及缺乏足夠的練習(xí)有關(guān)。

3.教學(xué)互動(dòng)性不足：雖然我在課堂上嘗試了小組討論和課堂展示，但學(xué)生的參與度并不高，這可能是因?yàn)槲覜](méi)有充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，或者討論的問(wèn)題不夠吸引人。

反思改進(jìn)措施（三）改進(jìn)措施

1.加強(qiáng)概念解釋和實(shí)例運(yùn)用：在講解組合原理時(shí)，我會(huì)更加注重概念的解釋?zhuān)ㄟ^(guò)生動(dòng)的實(shí)例幫助學(xué)生理解抽象的概念，同時(shí)提供更多的練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握計(jì)算方法。

2.提高學(xué)生的計(jì)算能力：我會(huì)設(shè)計(jì)一系列的練習(xí)題，包括基礎(chǔ)題、提高題和拓展題，讓學(xué)生通過(guò)反復(fù)練習(xí)來(lái)提高計(jì)算能力。同時(shí)，我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生互相檢查作業(yè)，共同進(jìn)步。

3.增強(qiáng)教學(xué)互動(dòng)性：為了提高學(xué)生的參與度，我會(huì)設(shè)計(jì)更具吸引力的討論問(wèn)題，如讓學(xué)生預(yù)測(cè)現(xiàn)實(shí)生活中的組合情況，或者設(shè)計(jì)一個(gè)游戲，讓學(xué)生在游戲中學(xué)習(xí)組合原理。此外，我會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題，并給予及時(shí)的反饋，以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。板書(shū)設(shè)計(jì)①組合的定義

-組合數(shù)：C(n,m)或^nC_m

-定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)。

②組合的性質(zhì)

-對(duì)稱(chēng)性：C(n,m)=C(n,n-m)

-遞推關(guān)系：C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

-非負(fù)性：C(n,m)≥0

-特殊情況：C(n,0)=C(n,n)=1

③組合的計(jì)算公式

-公式：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

-階乘符號(hào)：!

-階乘定義：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*1

④組合的應(yīng)用

-排列與組合的關(guān)系：P(n,m)=n!/(n-m)!=C(n,m)*m!

-實(shí)際應(yīng)用：服裝搭配、體育比賽、統(tǒng)計(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等

⑤組合的簡(jiǎn)化計(jì)算

-特殊情況：當(dāng)m=n/2時(shí)，C(n,m)達(dá)到最大值

-近似計(jì)算：當(dāng)m接近n時(shí)，C(n,m)接近n!/m!

⑥組合與排列的區(qū)別

-排列數(shù)：P(n,m)=n!/(n-m)!

-組合數(shù)：C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]

-順序重要性：排列考慮順序，組合不考慮順序課后作業(yè)1.作業(yè)內(nèi)容：

從5個(gè)不同的水果中選出3個(gè)，有多少種不同的選法？

答案：C(5,3)=5!/[3!*(5-3)!]=(5*4)/(2*1)=10種。

2.作業(yè)內(nèi)容：

一個(gè)班級(jí)有8名學(xué)生，需要從中選出4名學(xué)生參加比賽，有多少種不同的選法？

答案：C(8,4)=8!/[4!*(8-4)!]=(8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70種。

3.作業(yè)內(nèi)容：

一個(gè)密碼鎖由4位數(shù)字組成，每位數(shù)字可以是0到9中的任意一個(gè)，不考慮數(shù)字的順序，一共有多少種不同的密碼組合？

答案：C(10,4)=10!/[4!*(10-4)!]=(10*9*8*7)/(4*3*2*1)=210種。

4.作業(yè)內(nèi)容：

一個(gè)籃球隊(duì)有12名球員，教練需要從中選出5名球員首發(fā)，有多少種不同的首發(fā)陣容？

答案：C(12,5)=12!/[5!*(12-5)!]=(12*11*10*9*8)/(5*4*3*2*1)=792種。

5.作業(yè)內(nèi)容：

一個(gè)圖書(shū)館有20本書(shū)，讀者需要從中選出3本書(shū)閱讀，有多少種不同的選書(shū)方式？

答案：C(20,3)=20!/[3!*(20-3)!]=(20*19*18)/(3*2*1)=1140種。

補(bǔ)充說(shuō)明：

-以上作業(yè)題均涉及組合原理的應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生鞏固對(duì)組合數(shù)計(jì)算方法的理解。

-在解答這些題目時(shí)，學(xué)生需要熟練掌握組合數(shù)的計(jì)算公式，并能夠根據(jù)題目條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化計(jì)算。

-對(duì)于一些特殊情況，如m接近n/2時(shí)，學(xué)生可以運(yùn)用組合數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法來(lái)快速得出結(jié)果。

-在實(shí)際解題過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)注重邏輯推理和計(jì)算能力的培養(yǎng)，同時(shí)也要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

學(xué)生在課堂上的參與度較高，能夠積極回答問(wèn)題，對(duì)組合原理的概念和性質(zhì)有較好的理解。大部分學(xué)生能夠正確運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算，但在處理較為復(fù)雜的組合問(wèn)題時(shí)，部分學(xué)生表現(xiàn)出一定的困難。

2.小組討論成果展示：

小組討論環(huán)節(jié)中，學(xué)生們能夠積極參與，各抒己見(jiàn)。在展示討論成果時(shí)，各組能夠清晰地闡述自己的觀點(diǎn)，并對(duì)其他小組的討論成果提出建設(shè)性的意見(jiàn)。通過(guò)討論，學(xué)生們對(duì)組合原理的理解更加深入，并能將理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合。

3.隨堂測(cè)試：

隨堂測(cè)試結(jié)果顯示，學(xué)生對(duì)組合數(shù)的基本概念和計(jì)算方法掌握較好，但部分學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用能力還有待提高。測(cè)試中，一些學(xué)生能夠迅速計(jì)算出組合數(shù)，但在分析問(wèn)題、選擇合適的計(jì)算方法時(shí)出現(xiàn)失誤。

4.學(xué)生自評(píng)與互評(píng)：

學(xué)生在課后填寫(xiě)了自評(píng)表，對(duì)自己的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反思。大部分學(xué)生認(rèn)為自己在組合原理的學(xué)習(xí)上取得了進(jìn)步，但也意識(shí)到自己在某些方面的不足。在互評(píng)環(huán)節(jié)中，學(xué)生們能夠客觀地評(píng)價(jià)同伴的表現(xiàn)，并提出改進(jìn)建議。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

針對(duì)課堂表現(xiàn)，教師對(duì)學(xué)生的積極參與表示