6.2.3向量的數(shù)乘運算第六章

平面向量及其6.2平面向量的運算整體感知[學習目標]

1．了解向量數(shù)乘的概念．2．理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會運用向量數(shù)乘的運算律進行向量運算．3．理解并掌握向量共線定理及其判定方法．[討論交流]

預習教材P13－P16的內(nèi)容，思考以下問題：問題1．向量數(shù)乘的定義及其幾何意義是什么？問題2．向量數(shù)乘運算滿足哪三條運算律？問題3．向量共線定理是怎樣表述的？[自我感知]經(jīng)過認真預習，結合你對本節(jié)課的理解和認識，請畫出本節(jié)課的知識邏輯體系．探究建構探究1向量的數(shù)乘運算探究問題1如圖，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a，(－a)＋(－a)＋(－a)嗎？它們的長度和方向分別是怎樣的？

向量數(shù)乘

0【教用·微提醒】

(1)數(shù)乘向量仍是向量．(2)實數(shù)λ與向量不能相加．探究2向量的線性運算探究問題2類比實數(shù)的乘法的運算律，那么數(shù)乘向量有什么運算律呢？[提示]

數(shù)乘向量滿足乘法對加法的分配律．[新知生成]1．數(shù)乘運算的運算律設λ，μ為實數(shù)，那么(1)λ(μa)＝______．(2)(λ＋μ)a＝__________．(3)λ(a＋b)＝__________．特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝

λa－

λb．(λμ)aλa＋μaλa＋

λb2．向量的線性運算向量的__、__、____運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________．加

減

數(shù)乘λμ1a±

λμ2b【鏈接·教材例題】例5計算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．[解]

(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c．

[解]

(1)原式＝2a＋2b－2a＋2b＝2a－2a＋2b＋2b＝4b．(2)原式＝－a－b＋c＋2a－2b＋2c＝a－3b＋3c．(3)原式＝2a－b＋2a＝4a－b．(4)原式＝(λ＋μ)a－(λ＋μ)b＋(λ－μ)a＋(λ－μ)b＝[(λ＋μ)＋(λ－μ)]a＋[(λ－μ)－(λ＋μ)]b＝2λa＋(－2μ)b＝2λa－2μb．反思領悟

向量線性運算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運算類似于代數(shù)多項式的運算，例如，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當?shù)剡\用運算律，簡化運算．[學以致用]

1．已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿足關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．

探究3向量共線定理探究問題3結合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共線？反過來，若向量b與非零向量a共線，那么是否存在一個實數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)?[提示]

共線，存在．[新知生成]

向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．【教用·微提醒】

定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，則實數(shù)λ可以是任意實數(shù)，若a＝0，b≠0，則不存在實數(shù)λ，使得b＝λa．

√

反思領悟

用已知向量表示其他向量的方法(1)直接法：結合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中，然后利用向量的三角形法則或平行四邊形法則，用已知向量表示未知向量．

√

243題號1應用遷移

√

23題號14

√23題號14

23題號41

√√√23題號41ABC

[對于A，b＝－a，有a∥b；對于B，b＝－2a，有a∥b；對于C，a＝4b，有a∥b；對于D，a與b不一定共線．故選ABC．]243題號1

－41．知識鏈：(1)向量的數(shù)乘及運算律．(2)向量共線定理．(3)三點共線的常用結論．2．方法鏈：數(shù)形結合法、分類討論法．3．警示牌：運用向量共線定理時注意不要忽視零向量這一個特殊向量．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．向量λa的幾何意義是什么？[提示]

λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方