高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)精選空間角與空間距離

窗隹）卷③③

高考預(yù)測

空間角與空間距離問題一直是高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)，在2023年的高考中依舊

是命題的熱點(diǎn)方向。通常在多選題及解答題的第2小問考查，難度中等。

在高考復(fù)習(xí)過程中除了掌握空間向量法，還需多鍛煉幾何法的應(yīng)用。

預(yù)測分值：15分

超必考指數(shù)：★★★★

滿分技巧

一、幾何法求異面直線夾角

1、求異面直線所成角一般步驟：

（1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩

條成為相交直線.

（2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角.

（3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之.

（4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角。的取值范圍是（0,1],

I2」

所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角.

2、可通過多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法：

（1）直接平移法（可利用圖中已有的平行線）；

（2）中位線平移法；

（3）補(bǔ)形平移法（在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線）.

二、幾何法求直線與平面夾角

1、垂線法求線面角（也稱直接法）：

（1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A,

過點(diǎn)A向平面a做垂線，確定垂足0；

（2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面。上的投影；投影B0與斜線AB之間的

夾角為線面角；

（3）把投影B0與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或

者直角三角形）。

3、公式法求線面角（也稱等體積法）：

用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正

弦公式進(jìn)行求解。

公式為：sE8=%其中6是斜線與平面所成的角，也是垂線段的長，I是

斜線段的長。

三、確定二面角的平面角的方法

1、定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律

（1）方法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作

垂直于棱的射線.

（2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點(diǎn)。為端點(diǎn)，

在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線如，OB,則N/1必為此二面角的平

面角

2、三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）一一最常用

（1）方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作

垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上?點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所

夾的角，即為二面角的平面角

（2）具體演示：在平面Q內(nèi)選一點(diǎn)力向另一個(gè)平面/?作垂線力8,垂足為8,再

過點(diǎn)'向棱a作垂線4a垂足為0,連接40,則N/1如就是二面角的平面角。

3、垂面法（空間一點(diǎn)垂面法）

（1）方法：過空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射

線所成的角就是二面角的平面角。

（2）具體演示：過二面角內(nèi)一點(diǎn)力作4Bla于氏作AC_L/?于C,

面力比'交棱a于點(diǎn)0,則N60C就是二面角的平面角。

4、射影面積法求二面角COS（7=今匕

方法：已知平面夕內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S,它在平面a內(nèi)的射影圖形的面積

為S射影，

平面。和平面夕所成的二面角的大小為。，則cose=華.這個(gè)方法對于無棱

二面角的求解很簡便。

四、點(diǎn)面距的求解方法

1、定義法（直接法）：找到或者作出過這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線

段的長度；

2、等體積法：通過點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對應(yīng)的點(diǎn)線距離；

3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見轉(zhuǎn)化為求與面平行的直

線上的點(diǎn)到面的距離.

五、向量法求空間角與空間距離

1、異面直線所成箱：若勺%分別為直線44的方向向量，。為直線4,4的夾

角，

則cos9=cos<nvn2>

2、直線與平面所成角：設(shè)勺是直線/的方向向量，內(nèi)是平面。的法向量，直

線與平面的夾角為。則sin。=cos＜勺,〃2〉

3、平面與平面的夾角：若勺,公分別為平面名夕的法向量，。為平面a,￡的夾

角,

則cos0=cos<%.n2>

4、點(diǎn)到平面的距離：已知平面。的法向量為〃，A是平面a內(nèi)的任一點(diǎn)，P

是平面a外一點(diǎn),過點(diǎn)P作則平面a的垂線/,交平面a于點(diǎn)。，貝lj點(diǎn)P到平面

。的距離為PQ=半*（如圖）.

\n

注意：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解。

直線。與平面。之間的距離：d=竺",其中〃是平面。的

1?|

法向量。

兩平行平面〃之間的距離：4=上上，其中AGa,8e/7,〃是平面。的

1九1

法向量。

一.選擇題

1.（2022?甲卷）在長方體ABCO-AgCQ中，已知耳。與平面A4C￡＞和平面A4,與8

所成的角均為30。，則1）

A.AB=2AD

B.A8與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CB.

D.片。與平面B同GC所成的角為45。

2.（2022?浙江）如圖,己知正三棱柱ABC-AqG,AC=9,E,2分別是棱BC,

AG上的點(diǎn).記所與伍所成的角為a，斯與平面ABC所成的角為夕，二面角

/-AC-4的平面角為？，則（）

A.a^/3yB.放h/C.頌aD.p

二,解答題

3.（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊AABC,O為AC邊中點(diǎn)，且PO_L

底面ABC,AP=AC=2.

（1）求三棱錐體積匕一處;

（2）若M為3c中點(diǎn)，求尸M與面1C所成角大小.

B

4.（2022?浙江）如圖，已知486和CD所都是直角梯形，AB//DC,DC//EF.

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=NCD石=60。，二面第產(chǎn)一DC—8的平面角為60。.設(shè)

M,N分別為AE,8。的中點(diǎn).

（I）證明：FN上AD;

（II）求直線8M與平面ADE所成角的正弦值.

5.(2022?甲卷)在四棱錐P-ABCD中，PD工底面A3CD,CD//AB,

AD=DC=CB=T,AB=2,DP=y/3.

(1)證明：BDVPA\

(2)求PD與平面左〃所成的角的正弦值.

6.（2022?新高考H）如圖，PO是三棱錐的高，PA=PB,A4_LAC,E

為相的中點(diǎn).

（1）證明：OE//平面E4C;

（2）若ZABO=NCBO=30°,R7=3,PA=5,求二面角AE-8的正弦值.

7.（2022?新高考I）如圖，直三棱柱ABC-AMG的體積為%△A8C的面積為

2上.

（1）求A到平面A8C的距離；

（2）設(shè)。為4。的中點(diǎn)，4>4,=AB,平面A8C1平面ABBJA，求二面角A—8O—C

的正弦值.

AiCi

丁

B

8.（2022?乙卷）如圖，四面體A8s中，ADLCD.AD=CD,ZADR=/BDC,

石為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面%D_L平面AC。；

（2）設(shè)A8=8Z）=2,ZAC3=60。，點(diǎn)/在友＞上，當(dāng)AAAC的面積最小時(shí)，求b

與平面4^所成的角的正弦值.

9.（2023?上海）已知三棱錐尸-ABC中，而_1平面ABC,ABLAC,PA=AB=3,

AC=4,M為8C中點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作平行于平面小B的直線交AC、PC于點(diǎn)E,

F.

（1）求直線PM與平面A4C所成角的大小；

（2）求直線ME到平面力仍的距離.

10.（2022?天津）直三棱柱ABC-ABg中，AA,=AB=AC=2，蝴_LAB,ACLAB,

。為A片中點(diǎn)，石為心中點(diǎn)，尸為CD中點(diǎn).

（1）求證：所//平面ABC:

（2）求直線8E與平面CCQ的正弦值；

（3）求平面ACO與平面CCQ夾角的余弦值?

11.（2022?北京）如圖，在三棱柱A8C-A4G中，側(cè)面8CG4為正方形，平面

8CC4_L平面A84A，AB=BC=2,M,N分別為A￡,AC的中點(diǎn).

（I）求證：M/V//平面BCCM；

（II）再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求直線與平面

曲所成角的正弦值.

條件①：AB上MN;

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

三.多選題

12.（2022?新高考I）已知正方體ABCD-AgCQ,則（）

A.直線3G與D4,所成的角為90。

B.直線8G與6所成的角為90°

C.直線BG與平面BBQ。所成的角為45。

D.直線g與平面A3CD所成的角為45。

四.填空題

13.（2022?全國）在正三棱柱ABC-ABC中，他=1，偌=孝，則異面直線的

與RG所成角的大小為.

區(qū)域模擬

1.（2023?青羊區(qū)模擬）如圖，矩形A8CD中，AB=2AD=2y/2fE為邊AB的中點(diǎn),

將AADE沿直線0E翻折成△AOE.在翻折過程中，直線4C與平面A3C。所成角

的正弦值最大為（）

6445

2.（2023?商洛二模）在四棱錐P-A3CQ中，玄_1_底面A4CO,底面A4CD是邊長

為1的正方形，AQ=2,則直線P5與平面改力所成角的正弦值為（）

A.巫B.2cTD.正

5533

3.（2023?保定一模）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A3CZ）為矩形，AB=2,

MAD是正三角形，平面平面A3CD,且％…與色，則PC與平面孫。所

成角的正切值為（

R

-----------YC

A.2B.-C.73D.近

22

4.（2023?五華區(qū)模擬）已知三棱錐Q-ABC中，底面ABC是邊長為26的正三角

形，點(diǎn)尸在底面上的射影為底面的中心，且三棱錐外接球的表面積為184,

球心在三棱錐P-ABC內(nèi)，則二面角尸-A3-C的平面角的余弦值為（）

A.-B.-C.—D.正

2323

5.（2023?安陽二模）如圖所示圓錐的正視圖是邊長為2的正二角形，為底面

直徑，C為AB的中點(diǎn)，則平面SAC與底面A8C所成的銳二面角的正切值為（）

B.V2C.8D.V6

2

6.（2023?樂山模擬）已知四棱柱ABC。-的底面是正方形，AB=2,

A4,=2上，點(diǎn)用在底面A8C。的射影為8C中點(diǎn)〃，則直線AR與平面A8CD所成

角的正弦值為（）

A?半B-5c-TD-T

7.（2023?浙江模擬）在正方體A4c￡>-A3CQ中，平面a經(jīng)過點(diǎn)4、/）,平面6

經(jīng)過點(diǎn)A、0,當(dāng)平面。、力分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面。、夕所

成的銳二面角大小為（)

A.30°B.45°C.60°D.75°

8.（2023?河南模擬）壬方體，棱長為。，M為耳片中點(diǎn)，P為平

面A3CD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),若平面MPC1與平面ABB.\和平面44cp所成銳二面角相等，

則點(diǎn)P到C的最短距離是（）

A.aB.—aC.aD.a

325

二.填空題

9.（2023?河南模擬）如圖，已知圓柱OO1,A在圓O上，40=1,OQ=a,P,

。在圓口上，且滿足。。=孚，則直線與平面OPQ所成角余弦的最小值

是

10.（2023?靜安區(qū)二模）如圖，正方體八中，石為4?的中點(diǎn)，尸為

正方形的中心，則直線所與側(cè)面網(wǎng)GC所成角的正切值是.

II.（2022?三元區(qū)模擬）已知正方體中，AB=26,點(diǎn)石為平面

人3。內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AE與平面所成的角為a,若sina=5^,則點(diǎn)石的

軌跡所圍成的面積為一.

12.（2022?浙江模擬）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，E,尸分別是AD,包）的中

點(diǎn)，PO_L底面ABC。，AD//BC,PD=AD=2BC,ZZMB=90°,若平面PECC平

面A3P=/,則二面角/-/-￡的正弦值是

三.解答題

13.（2023?河北模擬）如圖，在三棱錐尸-ABC中，平面以CJ_平面ABC,若

為等邊三角形，A48C為等腰直角三角形，且AC=8C,點(diǎn)石為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。

在線段上，且45=44）.

（1）證明：AB上平面PDE;

（2）求平面H用與平面心。所成銳二面角的余弦值.

14.（2023?湛江二模）如圖1,在五邊形八笈。龍中，四邊形人BCE為正方形,

CDIDE,CD=DE,如圖2,將AABE沿BE折起，使得A至凡處，且

（1）證明：。七,平面吊座.

（2）求二面角的余弦值.

15.（2023?遷西縣二模）如圖，在三棱柱ABC-A山iG中，△ABC是等邊三角

形，側(cè)面ACGA」底面ABC,且A4i=AC,/A4iG=120°,M是CG的中

點(diǎn).

（1）證明：AC_L6M；

（2）求二面角4-3C-M的正弦值.

16.（2023?張家口一模）如圖，在四棱錐P-ABCZ）中，底面A政H）為直角梯形,

其中AO//8C,BC=2AD,ABLBC,〃為棱AP的中點(diǎn)，N是棱?3上一點(diǎn)，且

3PN=NB.

（1）證明：MN//平面尸DC;

⑵若BC=CP=PD=DC,直線QB與平面ABC。所成的角為45。，求平面8WD與

平面MCD夾角的余弦值.

17.（2023?紹興二模）如圖，在多面體A8C-A8c中，皿IBBJICC、,A4,，平

面AAC，△44G為等邊三角形，AS=8始=2,A4,=3,CC,=1,點(diǎn)M是4c的

中I占八、、?

（1）若點(diǎn)G是△A4G的重心，證明；點(diǎn)G在平面8gM內(nèi);

求二面角BX-BM-C,的正弦值

18.（2023?貴州模擬）如圖，已知正方體/WCD-A畫GQ的棱長為2,E,〃分別

為4）,CG的中點(diǎn).

（1）已知點(diǎn)G滿足。2=4OG,求證4,E,G,產(chǎn)四點(diǎn)共面；

（2）求平面BAG與平面2所所成的銳二面角的余弦值.

考前押題

一.選擇題

1.將邊長為。的正三角形ABC沿8c邊上的高線AD折成120°的二面角，則點(diǎn)A到8c

邊的距離是（）

2.在二棱錐中，ABC,"=A8=3,AC=4,且N8AC=60',若G為公

陶B的重心，則CG與平面ABC所成角的正弦值為（)

y/34B.立C*V14

A.——D.一

6614

3.在直三棱柱ABC-4/1。中，NABC=90°,BC=2,AB=CC\=\,則直線4C與平面

AB\C\所成角的余弦值為)

V3V15Vio

A.一B.C.—D.匹

310103

二.填空題

4.已知△A8C為正三角形,其邊長是2,空間中動(dòng)點(diǎn)P滿足：直線AP與平面ABC所成角

為60°,則△P3C面積的最小值為

三.解答題

5.如圖，平面八BC。，CF//AE,AD//BC,ADLAB,AB=AD=hAE=BC=2.

（1）求證：B尸〃平面AOE；

（2）若二面角E-BD-E的余弦值為右求線段C/7的長.

一.選擇題

1.【答案】D

【解答】解：如圖所示，連接/叫，BD,不妨令M-l，

在長方體A4cO-AgGR中，34_L面ABC。,

所以N8Q3和NO線A分別為B、D與平面AAS和平面的與臺(tái)所成的角,

即/4。8=/。用4=30。，

所以在RtABDB1中，=A4,=1,BD=?B、D=2,

在RtAADB］中，。4=2,AO=1,AB1=G，

所以A3=@C4=0,AC=&

故選項(xiàng)A,C錯(cuò)誤，

由圖易知，在平面ABC。上的射影在Ng上，

所以N8/B為AE?與平面人"￡。所成的角，

在RtAABB]中，sinNB]AB=型~=3，

AB}G3

故選項(xiàng)3錯(cuò)誤，

如圖，連接MC,

則與。在平面BBCC上的射影為B.C,

所以ND4c為BQ與平面BB?C所成的角，

在心△。片C中，B、C=sli=DC,所以/。用。=45。，

所以選項(xiàng)。正確，

故選：D.

2.【答案】4

【解答】解：?.?正三棱柱ABC-A4G中，AC=AV

.??正三棱柱的所有棱長相等，設(shè)棱長為1，

如圖，過戶作FG_LAC,垂足點(diǎn)為G,連接GE,則4A/"G,

.?.EF與A4,所成的角為Z￡FG=a,且tana=9^=G￡,

FG

又GE€[O,11,tana=[0,1],

「JT*]

.?.￡F與平面ABC所成的角為NFEG=￡,且tan/=——=一e[l,+8),

GEGE

tanft..Ianiz,…①，

再過G點(diǎn)作G"_L8C,垂足點(diǎn)為“，連接〃尸，

乂易知FG_L底面ABC,BCu底面ABC,

:.BC上FG,XFG(\GH=G,/.4C_L平面G”尸,

，二面角I一的立面角為NG”-,且*埸=看'又84。，

/.tan/Gf+0°)'ta”..iana,…②,

又GE..GH,/.tan伙、tan/,…③,

由①②③得tan謖lan/?tany,又a,￡,??[(),—),)'=1印1m在[0,工)單調(diào)遞增,

22

.?.碗？7,

故選：A.

B

二.解答題

3.【答案】（1）1；

（2）arcsin—.

4

【解答】解：（1）在三棱錐2-/WC中，因?yàn)镼O_L底面入AC,所以PO_LAC,

又O為AC邊中點(diǎn)，所以△尸AC為等腰三角形，

又A尸=AC=2.所以△/%<?是邊長為2的為等邊三角形，

:.PO=6三棱錐體積也sc=；SMBc，O=gx^4X6=1,

（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ob為丫軸，OC為），軸，OP為7軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則0（0,0,6），B（6，0,0）,C（0,1,0）,w（半，1,0）,

PM=吟,；,-x/3）,

平面HC的法向量05=（百,0,0）,

設(shè)直線PM與平面PAC所成角為0,

3

則直線PW與平面小c所成角的正弦值為sine=iPM°B|=Y-=走,

\PM\\OB\V3X24

所以PM與面PAC所成角大小為arcsin—.

4

4.【答案】（I）證明見解析；（II）包.

14

【解答】證明：（/）由于CO_LC3,CDA.CF,

平面ABCDC平面CD￡F=8,C/u平面CD￡尸，C3u平面A8CD,

所以為二面角八DC-4的平面角，

則NACfi=60°,CDJ_平面C4/L則S_L「W.

又CF=+1CD-EF）=2瓜CB=C（AB-CD）=2+,

則MC"是等邊三角形，則C3_L/?7V,

因?yàn)镈C_LEC,DCIBC,FCf|fiC=C,尸Cu平面FC8,8Cu平面尸C8,

所以DC_L平面/a,因?yàn)镸Vu平面”B,所以DC_L可V,

又因?yàn)镼CnC5=C,DCu平面ABC。，C8u平面ABC。，

所以刊7_1平面月成7力，因?yàn)锳Ou平面A4S,故/W_LA。；

解：（H）由于FNJ■平面A皮7）,如圖建系：

于是B(0,6,0),A(5,石,0)1(0,0,3),旦1,0,3),。(3,一百,0),則M(3,—,-),

22

BM=(3.--DA=(2.2x/3,0),DE=(-2,G,3),

22

設(shè)平面ADE的法向量”=（x,y,z）,

[/?-DA=0[2x+2>/3y=0人.j.,.

則，/，令x=Vr5，則>=-1，z=Vr5,

n-DE=()[-2x+x/3y+3z=0

.??平面4龍的法向量〃=(x/51,G),

設(shè)BM與平面ADE所成角為0,

則加〃=儂辿=偵.

|BM||n|14

5.【答案】（1）證明過程見解答；（2）正.

5

【解答】解：（1）證明：?.底面人ACO,BDu而八BCD,

:.PDIBD,

取中點(diǎn)E,連接。E,

AD=DC=CB=\,AB=2,

「1

/.ZmB=60°,XvAE=-AB=AD=\,

2

：.DE=\,.\DE=-AB,

2

「.MBD為直角三角形,且AB為斜邊，

...BDJLAD,

又尸。[]AO=。，H)u面必。，ADu面E4￡),

..BDl^PAD,

又以u(píng)面以O(shè),

：.BDLPA\

(2)由(1)知，PD,AD,⑺兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

BD=SIAB2-AD2=yf3,

則D(0,0,0),A(l,0,0),B(0,V3,0),P(0,0.73),

PD=(0,0,-V3),PA=(1,0,-G),/IB=(-1,G,0),

設(shè)平面的的一個(gè)法向量為〃=(“z),則r*'-石丁，則可取〃=("口),

n-A8=-x+=0

設(shè)叨與平面皿所成的角為，，則sin0=|cos<PD,n>|=|"〃|=—，

\PD\\n\5

13

【解答】解：（1）證明：連接OA,04,依題意，OP,平面A4C,

又。Au平面A8C,OBu平面A4C,則QPJ_CM,OPU）B,

ZPOA=ZPOB=90°,

又PA=PB,OP=OP,則APOAMAPOB,

/.OA=OB，

延長80交AC于點(diǎn)尸，又A8_LAC,則在RtAABF中，O為BF中點(diǎn),連接尸尸,

在AP8E中，O,E分別為8尸，8。的中點(diǎn)，貝UOE//PP,

?.,OEU平面以C,P/u平面以C,

.?.OE//平面%C;

（2）過點(diǎn)A作AM//OP,以A4,AC,AM分別為x軸，），軸，z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

由于20=3,%=5,由（1）知04=03=4,

又ZA6O=NCBO=30°,則48=46,

...0(262,3),/，(4"0,0),人(0,(),0),E(3"1,2)，

2

又AC=/Wtan600=12,即C(0,12,0),

設(shè)平面AEB的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),又AB=(4x/3,0,0),AE=(36,1卷),

n-AB=4>/3x=0

則、廠3，則可取〃=(。3,-2),

/??AE=3J3x+>'+—z=0

、2

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為加=（。力,。），又AC=（0.12,0）,AE=（36,1$,

m-AC=\2b=0

則a，貝lj可取〃?=(一6,。,6),

m-A.E=30a+b+—c=()

2

設(shè)銳二面角C-AE-/3的平面角為。，則cose=|cos<〃?,〃>|=|mn|=,

|m||n|13

二sin6=Jl-cos%，,即二面角C-AE-A正弦值為□.

1313

7.【答案】（1）夜.

⑵立.

2

【解答】解：（I）由直三棱柱ABC-A罔G的體積為4,可得匕1T依=；匕禺G.AHC=g，

設(shè)A到平面A8C的距離為d,由匕we，

-S.??</=-,/.-X2>/2-6/=-,解得4=應(yīng).

33c333

（2）連接將交A超十點(diǎn)石，A4J=A4,.?.四邊形A網(wǎng)A為正方形，

AB.又?.?平面4式」平面A網(wǎng)人，平面44CC平面4網(wǎng)4=9，

做!平面\BC,/.AB[±BC,

由直三棱柱A4C—4旦。知_L平面ARC,/.BB.1BC,又44。6片="，

/.8C_L平面ABB.A,/.BCrABt

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,B片所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直向坐

M=A8,/.BCx42ABx-=2>f2,5L-ABxBC^^=4,解得A8=8C=A4,=2，

22

則8(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A(0,2,2),。(1,1,1),

則ZM=(0,2,0),80=(1,1,1),4c=(2,0,0),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

則卜的=2y=0,令x=],則尸。，z=T,

[n-BD=x+y+z=0

.??平面A3。的一個(gè)法向量為〃=(1,0,-1),

設(shè)平面88的一個(gè)法向量為加=（〃，b,c）,

m-I3C=2a=()入，,

,令。=],則lhla=0,c=—1

m-BD=a+b+c=()

平面BC/）的一個(gè)法向量為〃?=（0,1,-1）,

11

cos<n,m>=—；=；==-

>/2.x/22

二面角A-8D-。的正弦值為

8.【答案】（1）證明見解答；

⑵包.

7

【解答】（1）證明：?.AO=CD,E為AC的中點(diǎn)..?.O￡_LAC,

又?AO=C。，ZADB=4DC,BD=BD,：2BD=ACBD,

.?.48=8C,又為AC的中點(diǎn)..?.E8J_4。，又4七「。七=七，BEu平面BED,DEu

平面龐：￡）,

「.AC_L平面又4Cu平面A8,二平面龐DJ_平面A8;

（2）解：連接￡F,由（1）知4C_L所，.\S^FC=-ACxEFf

故叮最小時(shí)，AA”■的面積最小，.?.EF_L8D時(shí)，AAFC的面積最小，

又4CJ?平面BED,AOu平面8￡D,.?.AC_L4O,5LAC[}EF=E,ACu平面AAC,

Mu平面ART,

AFC,又BOu平面ABD,..平面平面AFC,

過。作CWJ_A/：于點(diǎn)M,則CW_L平面AAO,

故NCFM,即NCFX為直線C/與平面/WO所成的角，

由/W=%>=2,ZACT=60°,知AE4c是2為邊長的等邊三角形，

故AC=2,由已知可得￡>E=1,BE=6又3/)=2,/.BDr=ED2+EB2,

.\ZB￡D=90°,所以￡)=正,

BD2

Z+Z-4,

在AAC尸中，由余弦定理得COSN4FC=-^4―產(chǎn)=一

2xq37

22

sinZAFC=—

7

故b與平面回。所成的角的正弦值為手.

9.

【解答】解：（1）連接AM,PM,

?.必_L平面ABC,

.?.ZPH4為直線PM與平面A3c所成的角,

在中，-ABLAC./.BC=V32+42=5,

M為BC中點(diǎn),:.AM=-I3C=-,

22

/.tanNPMA=-,即直線PM與平面ABC所成角為arctan-;

55

(2)由A/E〃平面PM,叱//平面Q4B,,

平面M￡F//平面的，?.MEu平面"斯，「.ME〃平面以5,

，以_L平面ABC,ACu平面ABC,

..PALAC,?.AB1AC.PAQAB=A,PA,A8u平面

AC_L平面PAB,AE為直線ME到平面PAB的距離，

例￡//平面213,M￡u平面A3C,平面^^^^平面^^:回,

:.MEI/AB,M為4c中點(diǎn)，.?.￡：為AC中點(diǎn)，/.AE=2,

二直線ME到平面RS的距離為2.

p

10.【答案】(1)證明見解析,

⑵9

(3)叵

-fo"

【解答】解：(1)證明：取的中點(diǎn)G,連接尸G,EG,連接A。交EG于K,

再連接FK,

EK/M.4，且E是例的中點(diǎn)，則K是"＞的中點(diǎn),

:.FK//ACtEG//AB,

又尸KU平面A3C,4Cu平面A3C,

.?.雁//平面ABC,

同理可得，EG//平面A/3C,

又FKCEG=K,

/.平面EFG//平面ABC,

.?.所//平面A8C,

(2)在直三棱柱ABC-A8c中，ACA.AB,則可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

又M=A3=AC=2,。為人蜴中點(diǎn)，E為A4,中點(diǎn)，產(chǎn)為。力中點(diǎn).

故8(2,2,0),￡(1,0,0),C(2,0,2),C,(0,0,2),0(0,1,0),

則跖=(-1,-2,0),Cq=(-2,0,0),CD=(-2,1,-2),

設(shè)〃=(x,y,z)是平面CCQ的法向量，貝I」有：nCC.=0,n-CD=0,即

-2x=0

令z=1,則x=0,y=2,

-2x+y-2z=0

所以“=(0,2,1),

設(shè)直線BE與平面CC.D的夾角為0，則sin0=|cos<BEji>|=|宗%\=1,

(3)v4(0,0,0),則AC=(2,0,2),4。=(0,L0),

設(shè)平面AC。的法向量為=,y,z),W*JWm\C=0,/n-D=0,

即12%+2z=0,令x=],貝lj),=0,z=-l,故〃?=(【,0L1),

y=0

設(shè)平面\CD與平面CCXD的夾角為/7,

11.【答案】（1）證明見解答;

⑵

3

【解答】解：（/）證明：取中點(diǎn)K,連接NK,MK,

M為A崗的中點(diǎn).:.B}M//BK,且以M=8K,

四邊形3KV出是平行四邊形，故

MK仁平面BCCM；u平面BCCM,

.?.A7K〃平面8CC4，

?「K是中點(diǎn)，N是AC的點(diǎn)，

..NK//4C,,.NKU平面8CG4；BCu平面8CCE，

；.NK//平面BCC出,又可長「|"長=",

二.平面NMK//平面BCC因，

又MNu平面NMK,「.M/V//平面；

(〃)??側(cè)面BCC因?yàn)檎叫?，平面J.平面人網(wǎng)A，平面ACC圈C平面

ABB6=%，

.?.CB_L平面A34A，..CB工AB,又NKHBC,:.AB1NK,

若選①：AB工MN;又MNCNK=N,平面MNK,

又MKu平面MNK,..AB工MK,又MKI網(wǎng),

：.AB1BB.,:.BC,BA,兩兩垂直，

若選②：?.C8_L平面A網(wǎng)A，NK/1BC,二NK_L平面八陰入，KMu平面ABB^A,，

;.MK工NK,又BM=MN,NK=-BC,BK=-AB,

22

MiKM三ANKM,/.ZBKM=ZNKM=90°,

,\AB±MKf又AB±,

BC,BA,6片兩兩垂直，

以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8(0,0,0),N(1,1,0),M(0,1,2),A(0,2,0),

BM=(0,1,2),BN=(\t1,0),

設(shè)平面8M/V的一個(gè)法向量為〃=(x,)，，z),

,

.in-BM=y+2z=0八,i-_

貝m叫，令z=1,貝miy=—2,x=2,

n-BN=x+y=0

平面3MV的一個(gè)法向量為〃=(2,-2,I),

又癡=(0,2,0),

設(shè)直線AB與平面8WV所成角為e,

二.sin0=cos<n,BA>|=------------=/:——=—

|〃|48A|74+4+1x23

二.直線AB與平面8W7V所成角的正弦值為2.

3

三.多選題

12.【答案】ABD

【解答】解：如圖，

連接BC，由ABJ/OC,ABI=DC,得四邊形。為平行四邊形,

可得以〃用。，"G_4。，???直線2缶與。4所成的角為90。，故A正確;

A4_L3G,3G±B,C,6c=q,..AG_L平面而CAu平面0AAc,

/.BC,1CA,,即直線BG與04,所成的角為90。，故3正確；

設(shè)AGr|BQ=O,連接30,可得C0_L平面8BQQ,即NC；8O為直線8G與平面

8四口。所成的角，

sinNG80=^=g,.?.直線8G與平面8BQ。所成的升為30。，故。錯(cuò)誤；

CG_L底面人取刀，.??/。其為直線g與平面A灰力所成的角為45。，故Q正確.

故選：ABD.

四.填空題

13.【答案】90°.

【解答】解：如圖所示，分別取oc、4G的中點(diǎn)。、由正三棱柱的性質(zhì)可得

AO.BO、(乂小兩兩垂直，

建立空間直角坐標(biāo)系.

則A(—,0>0),8(0?g,0),By(0?g,—^―),

G(o,與).

：.AB.=(--,-,—),BC=(0,-1,—),

'2221X2

cos<AB],BC、>=0,

.??異面直線AB.與BCX所成角的大小為90。.

故答案為：90°.

」區(qū)域模擬

一.選擇題

1.【答案】B

【解答】解：分別取小，DC的中點(diǎn)O,尸，點(diǎn)A的軌跡是以AF為直徑的圓，

以。4,OE為x,y軸，過O與平面垂直的直線為z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，

則C(-2,1,0),平面A庾力的其中一個(gè)法向量為〃=(0,0,1)，由,設(shè)A(cosa,

0,sina),ae[0?2乃)，

則C4,=(cosa+2,-1,sincr),記直線與平面ABCZ)所成角為夕,

Isina|_I1-cos2a

"扁=,4cosa+6Y4cosa+6

3x/5VlO-x/2

令r=cosa+'e[g,手，sin0—

444

所以直線AC與平面A3CO所成角的正弦值最大為注立

故選：13.

2.【答案】B

【解答】解：以AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角

I,0),0(0,1,0),P(0,0,2),

二尸。=(0,1,-2),DC=(1,0,0),PB=(\,0,-2),

設(shè)平面尸8的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

ifPD-n=y-2z=0人4.

則mi，，令z=1,得a〃=(0,2,1),

[DC-//=x=0

設(shè)直線網(wǎng)與平面PCD折成角為e,

則直線依與平面PCD所成角的正弦值為：

.\PBn\|-2|2

sin。斗cos<PDBD,n>\=-----------=—=-==~.

\PB\\n|V5->/55

故選：B.

3.【答案】B

【解答】解：取4）的中點(diǎn)。，連接P。,

由已知A7%。為等邊三角形，所以。O_LA。，

又平面以O(shè)_L平面ABCD,平面RV)C平面ABCD=AD,POu平面PAD,

所以POJ_平面八40

設(shè)叨=x,則P。=立大，AD=xt又AB=2,

2

所以矩形ABCD的面積SAHCI)=2x,

2

所以四棱錐P-ABCDMVP_Al}CD=xSABCDxPO=^-x2xx^-x=^-x,

所以立］2=兇，所以.4,

33

所以產(chǎn)。=4,

因?yàn)槠矫婷螅綺L平面ABC。，CD±ADf

平面小。C平面ABCD=AD,COu平面ABCD,

所以COJ_平面ai￡),又。Qu平面RU),

所以cr＞_L尸D,

所以ACDP為直角三角形，斜邊為PC,

因?yàn)?_L平面/W),

所以尸C與平面PAD所成角的平面角為Z.CPD,

在RtACDP中，CD=AB=2,PD=4,

所以tanNC77：＞=W=LPC與平面PAO所成角的正切值為』.

PD22

故選：13.

4.【答案】B

【解答】解：設(shè)正AABC的中心為O,則。4=OB=OC,

又PO_L平面ABC,貝1」出=尸8=尸。，

延長CO交AB于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為的中點(diǎn)，

:.PDLAB,CD±ABt

.?.NPDC為二面角P—A8—C的平面角,

由AB=26，得OC=2O￡>=2,

顯然三棱錐P-ABC為正三棱錐，其外接球的球心M在線段PO上,

?.?三棱錐P-ABC的外接球的表面積為18汗，.?.該球半徑MC=述，

2

由勾股定理得MC?=MO2+OC2,

2

-=W+4,/.MO=—fPO=2y/2,PD=3,

22

:.cosZ.PDC-...=—，

PD3

二面角P-A8-C的平面角的余弦值為;.

5.【答案】D

【解答】解：取鉆的中點(diǎn)O,連接OC,易知。4_LOC,過。作?！按怪盇C于〃,

連接S”，OS,

SO_L底面ABC，.=/SHO為平面SAC與底面ABC所成的銳二面角的平面角,

可求得0〃=更，so=6

2

tanZ.SHO=‘°=2^=屈.

OH亞

T

故選：D.

6.【答案】C

【解答】解：?.?點(diǎn)4在底面/WC/)的射影為4c中點(diǎn)“，則4〃_L平面/WO

又四邊形A38為正方形，

.??以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、HC、，用的方向分別為、)，、z軸正方向，建系如圖,

,.旦平面448,fiCu平面A3CD,:.BXHLBC,

?AB=2,A4,=272,:.與”7瞬-822=瓜三=幣,

.?.A(2,-1,0)>D(2,1,0)、B(0,-1,0)、B1(0,0訴，

二=AO+%=AO+叫=(0,2,0)+(0,1,后)=(0,3訴，

易知平面ABCD的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1),

/A八.\ARFV7不

??cos〈AO],〃)=------------=-----=——,

\AD.\-\n\4x14

二直線叫與平面ABCD所成角的正弦值為電.

4

【解答】解：平面a經(jīng)過點(diǎn)3、。且截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面a與面

8Q8Q重合，

證明：設(shè)平面a與面68所成的二面角為。，二面角C為y,

當(dāng)06八當(dāng)時(shí)，記平面a截正方體所得截面為面BDEF,

——=——=2,2w(0,\\AB=1,

C\D\C4

則品稗。=g(1+㈤〃2-2/+3=；yja2-i)2+2(1+A)2,

4^AU)=(A2-I)2+2(1+/I)2,

0^/fM)=422a+l)>0,所以〃(團(tuán)四二川1)=2,(5印9),皿=58/叫料=0,

當(dāng)。w(0,川時(shí)，顯然平面a截正方體所得截面面積最大時(shí)，

截面為面C.BD.SG初=