7.4.1二項(xiàng)分布學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解n重伯努利試驗(yàn)的概念.2.掌握二項(xiàng)分布及其期望與方差.3.能利用n重伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)分布解決一些簡單的實(shí)際問題．

一、伯努利試驗(yàn)、n重伯努利試驗(yàn)

我們將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)。

顯然，n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征：(1）同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；（概率相同）(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.

在實(shí)際問題中，有許多隨機(jī)試驗(yàn)與擲硬幣試驗(yàn)具有相同的特征，它們只包含兩個(gè)可能結(jié)果.

例如，檢驗(yàn)一件產(chǎn)品結(jié)果為合格或不合格，飛碟射擊時(shí)中靶或脫靶，醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)結(jié)果為陽性或陰性等.

我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)（Bernoullitrials).注意：重復(fù)是指每次試驗(yàn)的條件完全相同，且定義“成功”的事件A的概率保持不變。

（意味著各次實(shí)驗(yàn)成功的概率相同）

獨(dú)立指各次試驗(yàn)的結(jié)果互相不受影響。思考

下面4個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)?如果是，那么其中的伯努利試驗(yàn)是什么?對(duì)于每個(gè)試驗(yàn)，定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大?重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少?拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次.(2)某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次.(3)一批產(chǎn)品的次品率為5%，有放回地隨機(jī)抽取20件.(4)口袋裝有質(zhì)地、大小相同的6個(gè)紅球，4個(gè)白球，每次從中任取一球，不放回，連續(xù)取10次隨機(jī)試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)P(A)重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)（1）

（2）（3）(4)是是是0.50.80.0510320拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣該運(yùn)動(dòng)員射擊一次從一批產(chǎn)品中抽取1件樣品不是伯努利試驗(yàn)是一個(gè)“有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)”，關(guān)注某個(gè)事件A發(fā)生或不發(fā)生；n重伯努利試驗(yàn)是對(duì)一個(gè)“有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)”重復(fù)進(jìn)行了n次，關(guān)注這n次重復(fù)試驗(yàn)中某個(gè)事件A“發(fā)生”的次數(shù)X.進(jìn)一步地，因?yàn)閄是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，所以我們實(shí)際關(guān)心的是它的概率分布列.追問

：伯努利試驗(yàn)和n重伯努利試驗(yàn)有什么不同?用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，用下圖的樹狀圖表示試驗(yàn)的可能結(jié)果：試驗(yàn)結(jié)果X的值3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的結(jié)果兩兩互斥，每個(gè)結(jié)果都是由3個(gè)相互獨(dú)立事件的積.X的所有可能取值為0,1,2,3二、二項(xiàng)分布（n重伯努利試驗(yàn)中某事件A“發(fā)生”的次數(shù)X概率分布列）.

探究：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次，中靶次數(shù)X

的概率分布列是怎樣的？探究

某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊3次，中靶次數(shù)X

的概率分布列是怎樣的？用Ai表示“第i次射擊中靶”(i＝1,2,3)，P(X=0)P(X=1)P(X=2)P(X=3)=P(A1A2A3)=3×0.8×0.22=3×0.82×0.2=0.83于是,中靶次數(shù)X的分布列可寫為:

X的所有可能取值為0,1,2,3（1）連續(xù)射擊4次，中靶次數(shù)X＝2的結(jié)果有

(2)中靶次數(shù)X的所有可能取值為0,1,2,3,4

中靶次數(shù)

X的分布列可寫為：思考：如果連續(xù)射擊4次，類比上面的分析，表示中靶次數(shù)X等于2的結(jié)果有哪些?寫出中靶次數(shù)X

的分布列.思考：某飛碟運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶的概率為0.8，連續(xù)射擊n次，中靶次數(shù)X

的概率分布列是怎樣的？

1.二項(xiàng)分布中，各個(gè)參數(shù)的意義？n：重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)；k：事件A發(fā)生的次數(shù)；p：在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率.2.判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對(duì)立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次.X01…k…np……二、二項(xiàng)分布（n重伯努利試驗(yàn)中某事件A“發(fā)生”的次數(shù)X概率分布列）.（在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A恰有k次發(fā)生的概率分布列）

X01…k…np……思考1：二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布有何關(guān)系?兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即是n=1的二項(xiàng)分布；二項(xiàng)分布可以看做兩點(diǎn)分布的一般形式.思考2：對(duì)比二項(xiàng)分布和二項(xiàng)式定理，你能看出他們之間的聯(lián)系嗎？

二、二項(xiàng)分布（n重伯努利試驗(yàn)中某事件A“發(fā)生”的次數(shù)X概率分布列）.例1：將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)的概率.

分析:拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,出現(xiàn)“正面朝上”和“反面朝上”兩種結(jié)果且可能性相等,這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn),因此,正面朝上的次數(shù)服從二項(xiàng)分布。分析：小球落入哪個(gè)格子取決于在下落過程中與各小木釘碰撞的結(jié)果,設(shè)試驗(yàn)為觀察小球碰到小木釘后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”兩種可能結(jié)果,且概率都是0.5.在下落的過程中,小球共碰撞小木釘10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影響,因此這是一個(gè)10重伯努利試驗(yàn),小球最后落入格子的號(hào)碼等于向右落下的次數(shù),因此X服從二項(xiàng)分布。例2：如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列。0

1

2

345

678910例2：如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃，將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列。0

1

2

345

678910

X的概率分布圖如下圖所示：總結(jié)：確定二項(xiàng)分布模型的步驟一般地，確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下：(1)明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率P(A)；(2)明確重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性；(3)設(shè)X為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(n,p).1.雞接種一種疫苗后，有80%不會(huì)感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗，求：(1)沒有雞感染病毒的概率；(2)恰好有1只雞感染病毒的概率.

2.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次，分別求質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)位于4的概率.

練習(xí)思路點(diǎn)撥

判斷哪個(gè)賽制對(duì)甲有利，就是看在哪個(gè)賽制中甲最終獲勝的概率大.

可以把“甲最終獲勝”這個(gè)事件，按可能的比分情況表示為若干事件的和，再利用各局比賽結(jié)果的獨(dú)立性逐個(gè)求概率；

也可以假定賽完所有n局，把n局比賽看成n重伯努利試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求“甲最終獲勝”的概率.例3.甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是5局3勝制對(duì)甲更有利？

例3.甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是5局3勝制對(duì)甲更有利？

例3.甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是5局3勝制對(duì)甲更有利？思考：為什么假定賽滿3局或5局不影響甲最終獲勝的概率？第1局第2局第3局最終獲勝者解法1中P(甲勝)解法2中P(甲勝)甲勝甲勝甲勝甲勝0.620.63乙勝0.62×0.4甲勝甲勝0.62×0.4甲勝乙勝甲勝甲勝甲勝0.62×0.4乙勝以3局2勝制為例當(dāng)甲先勝2局時(shí),第3局甲是勝是輸并不影響甲最終獲勝的概率.探究：假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？

一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).三、二項(xiàng)分布的期望與方差一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).∴E(X)=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2

+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(X=k)=Cnkpkqn-k證明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+

Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)=np(p+q)n-1=np(∵kCnk=n

Cn-1k-1)∴k≥1時(shí)，kP(X=k)=kCnkpkqn-k=npCn-1k-1pk-1qn-k

1.拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，求在30次試驗(yàn)中成功次數(shù)

X

的均值和方差．練習(xí)D2.一袋中有5個(gè)白球、3個(gè)紅球,現(xiàn)從袋中往外取球,每次任取一個(gè)記下顏色后放回,直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止,設(shè)停止時(shí)共取了X次球,則P(X=12)等于(