2025屆高三綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)滿分：150分時(shí)間：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。a=0.1，b=0.13，c=log30.1，則12．已知（（））A．a(chǎn)cbB．a(chǎn)bcC．bacD．cba．設(shè)xR，向量ax,1，b=(x，則x2是a//b的=())=A．充分不必要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件+(a?)x+0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是C．充要條件134．已知命題“xR，使2x2（（））2A．1a3B．1a3C．a(chǎn)1或a3D．a(chǎn)1或a33cosx+1．函數(shù)f(x)=的部分圖象大致是xA．B．C．D．．若fx()=(+2xa?log22x+)是偶函數(shù)，則的值為1a（）56112A．B．C．0D．14．已知某簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)方程是f(x)=Ax+)+B(A0,，該方程的部分圖象如圖．經(jīng)測(cè)量，振幅為．圖中的最高點(diǎn)D與最低點(diǎn)E，F(xiàn)為等腰三角形的頂點(diǎn)，則振動(dòng)的頻率是（）3試卷第15頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}A．0.125HzB．0.25HzC．0.4HzD．0.5Hz1=+=+相切，則2a+b的最大值為78．已知直線yb與曲線yx（（））x15A．B．2C．D．52213f(x)=x+a}的前n項(xiàng)和為Sa=,n1=f(a)a}的nn1nnx2敘述正確的是A．76B．91C．1012D．1316二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.．設(shè)z，z為復(fù)數(shù)，且zz0，則下列結(jié)論正確的是（）91212A．1z2=1z2B．z+z=z+z2121C．若1=z2，則12=z22D．zz=zz121210．已知函數(shù)f(x)=tanx+tanx，則下列結(jié)論中正確的有（）A．f(x)的最小正周期為2B．點(diǎn)(?,0)是f(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心2C．f(x)的值域?yàn)?D．不等式f(x)2的解集為(+k,+k)(kZ)421．已知函數(shù)f(x)esinxecosx，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，下列說(shuō)法中正確的是=?1（）πA．fx在上是增函數(shù)2π4()()B．fx的圖象關(guān)于點(diǎn),0中心對(duì)稱()(0,)C．fx在上有兩個(gè)極值點(diǎn)()e?cos0()+fxa1D．若x為fx的一個(gè)極小值點(diǎn)，且atan0恒成立，則0試卷第25頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。112．若集合A={x|x2+ax+b=，B={x|x2++6=，AB=，A3．如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角=45C點(diǎn)的仰角CAB=30以及MAC=75C點(diǎn)測(cè)得MCA=60，已知山高=50m，B=B，則a++=bc.則山高=m.14．?dāng)?shù)學(xué)能為自然界的和諧、生命現(xiàn)象的和諧等找到最佳論證．在大自然中一些植物的葉子有著明確的數(shù)2(a?2x=2x3，該曲線即為蔓)學(xué)方程式，如圖①蔓葉中從一點(diǎn)出發(fā)散開的葉脈所形成的曲線，可近似為y=葉線，其圖象如圖②，若圓x24x?+3+y2=0與該蔓葉線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則a．四、解答題：本大題共5小題，共分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.34()a.1（已知向量a=(cosx,),b=sinx,，設(shè)函數(shù)f(x)=2a+bππ44()（1）當(dāng)x?,時(shí)，求函數(shù)fx的值域；A522）已知在△中，內(nèi)角C的對(duì)邊分別為c，若a2，且f()==，求面積的（2最大值.試卷第35頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}1（在四棱錐P?ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，⊥A?CD?P為直二面角．（（1）求證：⊥；2）當(dāng)PC=PD時(shí)，求直線PC與平面所成角的正弦值．22115設(shè)A，B分別是直線y=x和y=?x|=2OP22滿足=+，記P的軌跡為曲線C.（（1）求C的方程；2）已知點(diǎn)Q為曲線CF,F分別為左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q的直線交曲線于另一點(diǎn)M，若lC的上頂點(diǎn)，點(diǎn)12△QMF=S，求的方程.l2△1F2（已知函數(shù)f(x)=sinx+x)ax,aR.+?1f(x)在區(qū)間(?π)內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；恒成立，求a的值；1）當(dāng)a=0時(shí)，求（（（()fx2）若02n1i?12n?1n?1n，nN，求證：sin2ln?2.3）i=n1試卷第45頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}19.分）k是一個(gè)大于1k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫在一起的形式nn110(k)n,n1,...,1,02,...,k?,an0，進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的冪的乘積之和的形式，如nn110(k)=nk+ak+...+ak+a.例如十進(jìn)制數(shù)=22+23+1，所以25在三進(jìn)制下可寫為()knn1n110221.(3)1）設(shè)正整數(shù)m在三進(jìn)制下的各位數(shù)字之和為S(m)（i）將滿足S(m)=3的數(shù)從小到大排成一列，直接寫出該列數(shù)的前四個(gè)數(shù)；（ii）在1至2025中任選一個(gè)正整數(shù)m，求S(m)為的倍數(shù)的概率.3（a2）已知正項(xiàng)數(shù)列a的前n項(xiàng)和為S，a=(N,a)，且SS+S+2aa=a2，記n1n1()（ann1nn2111M=a++a++...+a++...（其中x表示不大于xM的值.（用a表示）12n222試卷第55頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}2025屆高三綜合測(cè)試（二）數(shù)學(xué)參考答案17．B2．A3．D4．A5．A6．B7．C8．C11.【詳解】設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m(m0)，求導(dǎo)：y=x+得y'=1?，xx211a=1?a=1?2m2m由題意可得解得：，12am+b=m+b=mm2221152所以2a+b=?++2=?2?+，m2mm25所以m=2時(shí)，2a+b的最大值為.2故選:C1x?18.【詳解】由f(x)=x+，求導(dǎo)得f'(x)=0,(x，xx23fx)f)=1。1=1，()fx+)單調(diào)遞增，故在22fa=()()=f11，迭代下去，可得1。故anB錯(cuò)誤；132322312237由1=，a=f(a)=21++=，故aa2163迭代下去，可得1nn11=，數(shù)列a}單調(diào)遞減。n23276故A錯(cuò)誤；Sa92++9=12，故C正確1013276Sa+12a+12=15.5，故D錯(cuò)誤．1312故選：C．9．ABD【詳解】設(shè)z=a+bi，z=c+di(a,b,c,dR)，12對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閦z=(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc，12所以=(ac?bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，zz12且=a2+b2c2+2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，所以zz=zz，故A正確；1z2d1212對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)閦+z=(a+c)+b+d，=?，=c?，1abiz2di12答案第1頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}則+=+?+，+=+?+，1z2(ac)bd1z2(ac)bd所以，故B正確；+=+1z21z2對(duì)于選項(xiàng)，若z=z，例如z=1+i，z=1?i，滿足z=z=2，121212但12=+i)2=，z22=?i)2=，即12z22，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)閦z=(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc，12所以所以=??+，=??=??+，zz(acbd)(adbczz(abi)(cdi)(acbd)(adbc1212zzzz=，故D正確.1212故選：ABD.10．CD2tanx,x[k,+kkZ2()=+=()【詳解】fxtanxtanx，作出fx的圖象，如圖，觀0,x(?+k,kkZ2察圖象，f(x)的最小正周期為，A錯(cuò)誤；()Bfx的圖象沒有對(duì)稱中心，錯(cuò)誤；())，C正確；fx的值域?yàn)?)+k)(kZ)時(shí)2tanx2，得tanx1，解得不等式fx2，即x[k,2+kx+k,kZ，42()+k,+Z)，D正確.所以fx2的解集為(k)(k42答案第2頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}故選：CD1．ABD詳解】由題設(shè)，f(x)=esinxx+ecosxsinx，ππ1【A：在上f(x)0，故f(x)在是增函數(shù)，A正確；22πππsin(x+)cos(x+)B：g(x)=f(x+=?，)e4e44πππ)π則g(?x)=esin(?x+)?ecos(?x+)=e?sin(x??ecos(x?)4444πππππππcos(+x?)?esin(+x?)=ecos(x+)?esin(x+)，即f(x+)是奇函數(shù)，=e=?g(x)2424444π圖象關(guān)于點(diǎn),0中心對(duì)稱，故B正確；4xC：若在(π)上有極值點(diǎn)，令f(x)=0則有=?ecosx?sinx0，sinx而x0，此時(shí)x0，所以極值點(diǎn)在,π上，π2()=()令hxfx，有h(x)=esinx(cos2x?sinx)+ecosxx?sin2x)，π3π240，即h(x)0，f(x)單調(diào)遞減；∴在,上，2?，?2xx0xsinxπ223π2又f()=1，?，顯然存在f(x)=0，f()=(e2?e2)0242π在,π上，sinxx且x0，x0，故sinx?x，4∴ecosx1sinx，則cosxesinxsinxecosx，0即f(x)=esinxx+ecosxsinx0，∴f(x)不存在零點(diǎn)；()C綜上，f(x)在π上只有一個(gè)極值點(diǎn)，故錯(cuò)誤；D：易知f(x)為周期函數(shù)，T=2π是其一個(gè)周期，ππ，使得f(1)=0，由C知：x,124πf(x)=esinx?ecosx在,x上f(x)0，即f(x)遞增，∵123π在x,上f(x)0即f(x)遞減，即fx為f(x)在π上的極大值，也是最大值，()()114又由B項(xiàng)的結(jié)論：2(?π,0)使得f(2)為f(x)在(?π,0)上的極小值，也是最小值，答案第3頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}π則0=2+2kπk()，且1+2Z=，f(x)+f(x)=0，122π不妨令k=0，則x=x=?1，022()fxesinx?ecosx令g(x)=+x，則()=+gxmin0ecos00minecos0πecos1?esin11即ag(x)min=g(2)=g?1=+，2esinxtan111而結(jié)合C?ecos1?sin1=，∴g(x)=?，故1，正確.1atan1故選：ABD1-5150314.【答案】6+33【詳解】方法一：根據(jù)蔓葉線和圓的對(duì)稱性，圓(x2)2?+y2=1與該蔓葉線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，y0即當(dāng)時(shí)，圓和蔓葉線的上半部分只有一個(gè)交點(diǎn)，a即方程4)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，3x2?24x+9x?x2?3?x=x3x2a4x2?3x=4x?x2?3x即方程214x2?3x(x)=，則f()=令fxx?x2?3x，44?32x?x212+3312?33(x)=，則xf0=令或131312+33+1233()fx,3所以所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，131312+336+33=f(x)min=fx→+,f(x)→+,x→3?,f(x)→+,，132故當(dāng)a=6+33時(shí)，圓x2?4x+3+y2=0與該蔓葉線恰有兩個(gè)交點(diǎn)．(x?2)2+y2=1與該蔓葉線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，方法二：根據(jù)蔓葉線和圓的對(duì)稱性，圓y0即當(dāng)時(shí)，圓和蔓葉線的上半部分只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)曲線相切,故答案第4頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}a4x2?3x=4x?x2?3x此時(shí)+a)x2?(6+4a)x+a=0，=0，，2故(6+4a)2?12a(a+=0，解得=a633，當(dāng)=?a633時(shí)，x1不符合題意，12+33當(dāng)a=6?33時(shí)，x=故答案為：6+33.符合題意.131411）a+b=x+sinx,?，1?(1f(x)2(ab)a=2cosxsinx,=++cosx,1?)=2cos2x+2sinxcosx+………1分………3分………4分423π432=sin2x+cos2x+=2sin2x++，2ππ44ππ3π44當(dāng)x?,時(shí)，2x+?,，4π42sin2x+?………5分2π31322sin2x++,2+，422132()+………6分所以函數(shù)fx的值域?yàn)?22π432f(x)=2sin2x++（2）由（）可知，A52π42又f()=，所以sinA+=，22ππ5π44πAπ)A+,A=，故因?yàn)椋?，……?分………9分42因?yàn)閍2，由a2b2c可知，4bc2，==+2=2+由基本不等式得4=b2+c2，解得bc2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)，等號(hào)成立，………分11故三角形面積bcsinA21=1，22即ABC面積最大值為1.………13分1（1）證明：由于底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則⊥CD，由于二面角A?CD?P為直二面角，=,則BC⊥平面，2分答案第5頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}由于平面⊥⊥，=C，PC、BC平面，則PD⊥平面，5分由于平面，則⊥．6分（2）幾何法：取CD中點(diǎn)FPF、BFPC=PD知⊥CDA?CD?P為直二面角，則⊥平面，于是⊥，8分1由于底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則=CD=1，2BF=CF2+BC2=5，于是=2+2=6，同理=6，于是121SPAB=PA2?()2=5SABC=ABBC=2C到平面距離為d22112由P?ABC=C?PAB得：S=SPABd，于是解得：d=，分ABC3352d211055故直線PC與平面所成角的正弦值為：===．15分252CD2）取CD中點(diǎn)為O，連結(jié)PO.取中點(diǎn)為E，連結(jié)OE.因?yàn)镻C又因?yàn)槠矫鍼CD⊥平面ABCD.=PD，點(diǎn)O是CD中點(diǎn)，所以⊥CD.ABCD，平面平面ABCD=CD，PO平面，所以PO⊥平面因?yàn)辄c(diǎn)O、E分別是CD、的中點(diǎn)，所以//，則⊥CD.1則=CD=1，2.==8分2答案第6頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}x,y,z以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD,OE,所在直線分別為D?，軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系()D1,0,0)，C(1,0,0)B(2,0)(()E(2,0)A2,0)O0,0,0P0,0,1則，，，，，，(??)=(0)，=(1,0,).=，分()設(shè)nx,y,z是平面的一個(gè)法向量，=則，取y=1，則z=2，nAB=?2x=0()所以n2是平面的一個(gè)法向量=.分n2105直線PC與面所成角為，sin=,===分1452n150所以直線PC與平面所成的角的正弦值為.分2217.1）設(shè)(1,xB(x,?2P(x,y)，1分12222=+，x=x+x,y=(x?x)．3分1212222|=2，2=(x?x)2+(1+2)2，5分，1222122=2y2+x2，x2動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程+y2=1．6分4（2）因?yàn)椤鱍MF=△12，所以//，8分1223又=?，k23答案第7頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}1()y=?3x+333()直線1:y=?x+3，聯(lián)立，x2y23+=14183消去得，7x2+83x=0，解得x=0或x=?y，12分71()當(dāng)x=0時(shí)，y=?30+3=?1，38311783y=?3?+3=當(dāng)x=?時(shí)，，737831,M1或M?(?)所以，14分77()又因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)Q0,1，3所以kQM=或斜率不存在，43可求得直線l的方程為y=x+1或x=0.分48.1）當(dāng)a=0時(shí)，fxsinx+x),()=+11x+1(x)=+,x(?)fxπ,1分x?)，fx)0fx)單調(diào)遞增；'2分()=?+當(dāng)當(dāng)，1π+1x0,)時(shí)，f'x)單調(diào)遞減，而(0)=fπ10f20，，故f'x)在(π內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，滿足fx)()=0分x0'30x(0)()fx()x(0,π)時(shí)，fx0，fx單調(diào)遞減。()()''當(dāng)時(shí)，fx0，單調(diào)遞增；當(dāng)()(0)()0,πfx4所以在內(nèi)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減。分答案第8頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}()(?π)存在fx在故1個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)。5分（2fx)0在x?+)恒成立，且f0)=0。1x+1fx)的極大值點(diǎn)，故f0)=0f(x)=x+?a,0'，a=26是；又分1x+1當(dāng)a=2，此時(shí)f(x)=x+?顯然當(dāng)?∈(0,+∞)時(shí)，f112()+?=，x0fx)0。()7分故fx在(0,+∞)上為減函數(shù)；此時(shí)x(1,0)()時(shí)，令gx()=fx，'當(dāng)1gx()=??'x?x?10，x+2()(?0)gx在gxg0()()=故上單調(diào)遞減，0。8分()在(?0)上單調(diào)遞增。故x(?1,0)，f(x)f(0)=0fx，()fx?+)a=2恒成立，故0x9從而在。分?(+)，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào)，（3）由（）可知，sinx2xx1x02n1i?12n12n1，所以sin2?1+分i?1i?1i=n1i=n1i=n12n12nin+1n+2n+12n2n?11+=i?1=i?1+++=2，ni=n1i=n1因?yàn)?n?1n?12n?12n?2=n=2n?12n?22n?22n?3nn?12nn?1+++=，n?22n?22n?3n?1i=n11i?1i?1i?2所以即證13分i?1i?21i?21i?11令x==1+)，則=1?，14分x1所以即證：1?x，?∈(1,+∞)，15分x1111?x令m(x)=1??x，則m(x)=?=，xx2xx2所以?∈(1,+∞)時(shí)，mx()，()單調(diào)遞減，0mx1所以m(x)m)=0，即1?16分x，?∈(1,+∞)，x答案第9頁(yè){#{QQABJswgggC4LJcIAjSiBIA}#}#}}2n1i?12n?1n?1綜上，sin?ln2，n2，nN分i=n119【詳解】（1i………2分（ii）設(shè)m=nn+n1n1+...+1+0若m為3的倍數(shù)，則a為3的倍數(shù)，即a=0，00所以m=nn1a0，m+1=nn13)，m+2=nan112(3)3)1()=+++Smnn1...a1Sm1nn1...a+1(+)=+++1(+)=++++Sm2nn1...a21所以當(dāng)m為3的倍數(shù)時(shí)，Sm,Sm1,Sm2中恰有一個(gè)是的倍數(shù)()(+)(+))=3………5分………7分………8分………9分………10分()=()=2025=2210000(S11，S22，，S202553)()()()3所以S1,S2,S2025都不是的倍數(shù)2022()()()2022=674個(gè)是3的倍數(shù)而S3,S4,...,S2024