空間中的垂直關(guān)系教案?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)理解空間中直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的定義。掌握直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能運(yùn)用這些定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的論證和計(jì)算。通過(guò)對(duì)垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。2.過(guò)程與方法目標(biāo)通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力。通過(guò)對(duì)定理的證明和應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高學(xué)生的演繹推理能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，將空間垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)通過(guò)對(duì)空間垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在探究活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流精神和勇于探索的精神，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理證明直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的問(wèn)題。2.教學(xué)難點(diǎn)對(duì)直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直判定定理中條件的理解。如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出判定定理和性質(zhì)定理。靈活運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行空間垂直關(guān)系的證明和計(jì)算。

三、教學(xué)方法1.直觀演示法：通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)、實(shí)物模型等直觀手段，展示空間中的垂直關(guān)系，幫助學(xué)生建立空間觀念。2.問(wèn)題引導(dǎo)法：提出一系列問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，逐步歸納出直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理。3.小組合作法：組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，共同探討問(wèn)題，交流想法，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和自主探究能力。4.講練結(jié)合法：通過(guò)講解典型例題和讓學(xué)生進(jìn)行課堂練習(xí)，及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.展示圖片：展示一些生活中常見(jiàn)的含有垂直關(guān)系的圖片，如高樓大廈、電線(xiàn)桿、橋梁等，讓學(xué)生觀察并感受空間中的垂直現(xiàn)象。2.提出問(wèn)題：在這些圖片中，你能發(fā)現(xiàn)哪些直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的例子？如何定義直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直？怎樣判斷一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直、一個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直？通過(guò)這些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考空間垂直關(guān)系，從而引入新課。

（二）探索新知1.直線(xiàn)與平面垂直的定義引導(dǎo)學(xué)生觀察教室中的墻角，讓學(xué)生直觀感受直線(xiàn)與平面垂直的形象。給出直線(xiàn)與平面垂直的定義：如果一條直線(xiàn)l與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)l與平面α互相垂直，記作l⊥α，直線(xiàn)l叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn)l的垂面。強(qiáng)調(diào)定義中的"任意一條直線(xiàn)"，并通過(guò)反例讓學(xué)生理解為什么不能用"無(wú)數(shù)條直線(xiàn)"來(lái)代替"任意一條直線(xiàn)"。2.直線(xiàn)與平面垂直的判定定理實(shí)驗(yàn)探究：準(zhǔn)備一個(gè)三角形紙片，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD、DC與桌面接觸）。觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系，并思考如何保證折痕AD與桌面垂直。引導(dǎo)學(xué)生分析：當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，AD所在直線(xiàn)與桌面所在平面α垂直。歸納總結(jié)：提出問(wèn)題：通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)，你認(rèn)為保證一條直線(xiàn)與一個(gè)平面垂直需要滿(mǎn)足哪些條件？組織學(xué)生小組討論，然后各小組代表發(fā)言，共同歸納出直線(xiàn)與平面垂直的判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。用符號(hào)語(yǔ)言表示判定定理：若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m∩n=A，則l⊥α。定理理解：強(qiáng)調(diào)定理中的"兩條相交直線(xiàn)"這一條件的重要性，通過(guò)舉例說(shuō)明如果兩條直線(xiàn)不相交，即使與另一條直線(xiàn)都垂直，也不能保證該直線(xiàn)與平面垂直。讓學(xué)生思考如何將判定定理中的"兩條相交直線(xiàn)"轉(zhuǎn)化為"一條直線(xiàn)與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)垂直"，進(jìn)一步加深對(duì)定理的理解。3.直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理思考問(wèn)題：如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么這條直線(xiàn)與平面內(nèi)的直線(xiàn)有怎樣的位置關(guān)系？已知直線(xiàn)a⊥α，b?α，那么直線(xiàn)a與直線(xiàn)b垂直嗎？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀感知和邏輯推理得出直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。用符號(hào)語(yǔ)言表示性質(zhì)定理：若a⊥α，b⊥α，則a∥b。定理證明：已知：a⊥α，b⊥α。求證：a∥b。證明：假設(shè)a與b不平行，設(shè)它們的交點(diǎn)為P。過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)c⊥α，因?yàn)閍⊥α，b⊥α，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的定義，可知a⊥c，b⊥c。在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直，這與過(guò)點(diǎn)P有兩條直線(xiàn)a，b都與c垂直矛盾，所以假設(shè)不成立，即a∥b。定理應(yīng)用：例1：已知直線(xiàn)a⊥平面α，直線(xiàn)b⊥平面α，求證：a∥b。證明：因?yàn)閍⊥α，b⊥α，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)定理，所以a∥b。例2：如圖，在正方體ABCDA?B?C?D?中，E、F分別是AA?、CC?的中點(diǎn)，求證：BF∥ED?。證明：因?yàn)檎襟wABCDA?B?C?D?中，AA?⊥平面ABCD，CC?⊥平面ABCD，所以AA?⊥平面ABCD，CC?⊥平面ABCD。又因?yàn)锽F?平面ABCD，ED?在平面A?ADD?內(nèi)的射影為AD?，且AD?⊥AA?，根據(jù)三垂線(xiàn)定理可得ED?⊥AA?。同理，BF⊥CC?，而AA?∥CC?，所以BF∥ED?。4.平面與平面垂直的定義引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的墻面與地面、相鄰兩個(gè)墻面的位置關(guān)系，讓學(xué)生直觀感受平面與平面垂直的形象。給出平面與平面垂直的定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。強(qiáng)調(diào)二面角的概念：二面角：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角叫做二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表示平面與平面垂直的定義：圖形語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：若α∩β=l，OA?α，OB?β，OA⊥l，OB⊥l，∠AOB=90°，則α⊥β。5.平面與平面垂直的判定定理實(shí)驗(yàn)探究：準(zhǔn)備一個(gè)三角板，讓三角板的一條直角邊BC與桌面α接觸，另一條直角邊AC與桌面α內(nèi)的一條直線(xiàn)BD垂直。觀察三角板所在平面與桌面α的位置關(guān)系，并思考如何保證三角板所在平面與桌面α垂直。引導(dǎo)學(xué)生分析：當(dāng)且僅當(dāng)三角板的另一條直角邊AC垂直于桌面α?xí)r，三角板所在平面與桌面α垂直。歸納總結(jié)：提出問(wèn)題：通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)，你認(rèn)為保證一個(gè)平面與另一個(gè)平面垂直需要滿(mǎn)足哪些條件？組織學(xué)生小組討論，然后各小組代表發(fā)言，共同歸納出平面與平面垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直。用符號(hào)語(yǔ)言表示判定定理：若l⊥α，l?β，則α⊥β。定理理解：強(qiáng)調(diào)定理中的"一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)"這一條件的重要性，通過(guò)舉例說(shuō)明如果不滿(mǎn)足這一條件，兩個(gè)平面就不一定垂直。讓學(xué)生思考如何將判定定理中的"垂線(xiàn)"轉(zhuǎn)化為"垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)"，進(jìn)一步加深對(duì)定理的理解。6.平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考問(wèn)題：如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面有怎樣的位置關(guān)系？已知α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l，那么直線(xiàn)a與平面β垂直嗎？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀感知和邏輯推理得出平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于這兩個(gè)平面的交線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。用符號(hào)語(yǔ)言表示性質(zhì)定理：若α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l，則a⊥β。定理證明：已知：α⊥β，α∩β=l，a?α，a⊥l。求證：a⊥β。證明：設(shè)α∩β=l，在平面β內(nèi)作直線(xiàn)b⊥l，因?yàn)棣痢挺?，所以a⊥b。又因?yàn)閍⊥l，b∩l=l，b?β，l?β，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，所以a⊥β。定理應(yīng)用：例1：已知平面α⊥平面β，α∩β=l，a?α，a⊥l，求證：a⊥β。證明：因?yàn)棣痢挺?，α∩?l，a?α，a⊥l，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，所以a⊥β。例2：如圖，在三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥AB。證明：因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC。因?yàn)槠矫鍼AB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，PA⊥PB，PA?平面PAB，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理，可得PA⊥平面PBC。又因?yàn)锽C?平面PBC，所以PA⊥BC。因?yàn)镻A∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，所以BC⊥平面PAB。又因?yàn)锳B?平面PAB，所以BC⊥AB。

（三）課堂練習(xí)1.已知直線(xiàn)a、b和平面α，下列說(shuō)法正確的是（）A.若a∥α，b?α，則a∥bB.若a⊥α，b?α，則a⊥bC.若a、b與α所成的角相等，則a∥bD.若a∥α，b∥α，則a∥b2.已知α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是兩條不同的直線(xiàn)，下列命題中正確的是（）A.若m∥n，n?α，則m∥αB.若m∥α，α∩β=n，則m∥nC.若m⊥α，m⊥β，則α∥βD.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n3.如圖，在正方體ABCDA?B?C?D?中，求證：（1）AC⊥平面BDD?B?；（2）平面A?C?CA⊥平面BDD?B?。4.如圖，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB。

（四）課堂小結(jié)1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容：直線(xiàn)與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理。平面與平面垂直的定義、判定定理和性質(zhì)定理。如何運(yùn)用這些定理進(jìn)行空間垂直關(guān)系的證明和計(jì)算。2.強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，以及運(yùn)用這些定理進(jìn)行證明和計(jì)算。難點(diǎn)：對(duì)判定定理中條件的理解，以及如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)歸納出定理。3.總結(jié)本節(jié)課所涉及的數(shù)學(xué)思想方法：化歸與轉(zhuǎn)化的思想：將空間垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決。邏輯推理的思想：通過(guò)對(duì)定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

（五）布置作業(yè)1.書(shū)面作業(yè)：教材課后習(xí)題第[X]題、第[X]題、第[X]題。2.拓展作業(yè)：如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。求證：無(wú)論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PE⊥AF。查閱資料，了解空間垂直關(guān)系在建筑、機(jī)械制造等領(lǐng)域的應(yīng)用，并撰寫(xiě)一篇短文介紹。

五、教學(xué)反思通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生對(duì)空間中的垂直關(guān)系有了較為系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，掌握了直線(xiàn)與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，并能運(yùn)用這些定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的論證和計(jì)算。在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)創(chuàng)