第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)勾股定理講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入目錄新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程，了解關(guān)于勾股定理的一些文化歷史背景，會(huì)用面積法來(lái)證明勾股定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.（重點(diǎn)）2.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入其他星球上是否存在著“人”呢？為了探尋這一點(diǎn)，世界上許多科學(xué)家向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類(lèi)的語(yǔ)言、音樂(lè)、各種圖形等.據(jù)說(shuō)我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議“發(fā)射”一種勾股定理的圖形(如圖).很多學(xué)者認(rèn)為如果宇宙“人”也擁有文明的話(huà)，那么他們一定會(huì)認(rèn)識(shí)這種語(yǔ)言，因?yàn)閹缀跛芯哂泄糯幕拿褡搴蛧?guó)家都對(duì)勾股定理有所了解.講授新課典例精講歸納總結(jié)

相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察右面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？講授新課一、勾股定理的認(rèn)識(shí)及驗(yàn)證ABC

問(wèn)題1

圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關(guān)系？

以等腰三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的大正方形的面積.即等腰直角三角形的三邊之間有一種特殊的關(guān)系：斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)栴}2

在網(wǎng)格中一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A、B、C

是否也有類(lèi)似的面積關(guān)系？觀察下邊兩幅圖(每個(gè)小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？方法1：補(bǔ)形法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形補(bǔ)成各邊都在網(wǎng)格線(xiàn)上的正方形）：左圖：右圖：方法2：分割法(把以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形分割成易求出面積的三角形和四邊形）：左圖：右圖：你還有其他辦法求C的面積嗎？根據(jù)前面求出的C的面積直接填出下表：

思考正方形A、B、C所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的特殊關(guān)系？SA+SB=SCA的面積B的面積C的面積左圖右圖413259169命題1如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a,b，斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.

由上面的幾個(gè)例子，我們猜想：abc下面的動(dòng)圖形象的說(shuō)明了命題1的正確性，讓我們跟著以前的數(shù)學(xué)家們用拼圖法來(lái)證明這一猜想.

我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱(chēng)為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為股，斜邊稱(chēng)為弦.圖1稱(chēng)為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.

弦股勾圖1勾股定理的證法1：abbcabca

讓我們跟著我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.abc∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形，趙爽弦圖b-a證明：

“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.因此，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.

畢達(dá)哥拉斯證法，請(qǐng)先用手中的四個(gè)全等的直角三角形按圖示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.勾股定理的證法2：aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.證明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+2ab+b2,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，aabbcc∴a2+b2=c2.如圖，圖中的三個(gè)三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.（提示：3個(gè)三角形的面積之和=梯形的面積）勾股定理的證法3：

如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2.勾股定理：abc歸納總結(jié)分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問(wèn)題．例1

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.導(dǎo)引：二、利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算CAB(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝解：【變式題】

在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng).解：本題斜邊不確定，需分類(lèi)討論：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，如圖，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，如圖，43ACB43CAB圖圖歸納：當(dāng)直角三角形中所給的兩條邊沒(méi)有指明是斜邊或直角邊時(shí)，其中一較長(zhǎng)邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進(jìn)行分類(lèi)討論，否則容易漏解.例2

已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=6,BC=8.求CD的長(zhǎng).解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=100，即AB=10.根據(jù)三角形面積公式，∴

AC×BC=AB×CD.∴CD=.ADBC68

歸納：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用1.下列說(shuō)法中,正確的是（）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C當(dāng)堂練習(xí)2.

若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C3.

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，則b=

.

(2)已知a=5，b=12，則c=

.

(3)已知c=17，b=15，則a=

.

81384.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

.8cm10cm36cm25.求下列圖中未知數(shù)x、y的值：解：由勾股定理，得81+144=x2，

解得x=15.解：由勾股定理，得

y2+144=169，

解得

y=56.如圖，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=1，求△ABC的周長(zhǎng)．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ADB中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=1，∴AB=

．在Rt△ADC中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=2，∴CD=

，

∴BC=BD+CD=1+，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=．7.

觀察如圖所示的圖形，回答問(wèn)題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形P的面積為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積為_(kāi)_______；

(2)如圖②，分別以直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是______；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長(zhǎng)為直徑作半圓，請(qǐng)你利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．24S1＋S2＝S3(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓形

的面積為S3，三角形的面積為S△，則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3＝S△＝×3×4＝6.解：本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長(zhǎng)、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定