2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高一下學(xué)期3月月考質(zhì)量檢測試題一、填空題（本大題共12題，每題3分，滿分36分）1.函數(shù)的最小正周期是___________．【正確答案】【詳解】的最小正周期是，故2.已知扇形的圓心角是2，半徑為2，則扇形的面積為__________.【正確答案】4【分析】利用扇形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知，扇形的圓心角是，半徑，則弧長，所以.故43.已知銳角滿足，則__________.【正確答案】【分析】應(yīng)用和角正切公式求值即可.【詳解】由.故4.化簡：__________.【正確答案】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡即可.【詳解】.故5.在△ABC中，若，，，則__________.（用角度表示，精確到小數(shù)點后1位）【正確答案】【分析】應(yīng)用正弦定理解三角形即可得.【詳解】由正弦定理有，則.故6.已知，且，則______.【正確答案】【分析】由題意，求出，進(jìn)而根據(jù)角的范圍判斷出的符號，最后得到答案.【詳解】由題意，，因為，所以，則，所以.故答案為.7.不等式的解集是__________.【正確答案】【分析】由已知有，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)解不等式求解集.【詳解】由，即，可得，所以解集為.故8.已知，則__________.【正確答案】##0.4【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計算得解.詳解】由，得.故9.將點繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)45°得到，則的坐標(biāo)是__________.【正確答案】【分析】令，則，結(jié)合已知及和角正余弦公式求的坐標(biāo).詳解】令，則，所以，由，，所以.故答案為.10.函數(shù)的最大值為__________.【正確答案】2【分析】根據(jù)二次函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值.【詳解】令，則，顯然，，而時，，所以時，函數(shù)最大值為2.故211.已知，則__________.【正確答案】1【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)有，結(jié)合已知有且，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求目標(biāo)函數(shù)值.【詳解】由，而，所以，故且，所以，所以.故112.計算：__________.（填近似值不得分）【正確答案】【分析】令，則，應(yīng)用三角恒等變換可得，即可求函數(shù)值.【詳解】令，則，故，由，而，所以，可得，故（負(fù)值舍），所以.故二、選擇題（本大題共4題，每題3分，共12分）13.是第四象限角，,，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得到，求解，再根據(jù)題意，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可，屬于?？碱}型.14.在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.無法判斷【正確答案】A【分析】應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及差角正弦公式可得，即可得.【詳解】由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系有，即，由，故，即三角形為等腰三角形.故選：A15.某參考書中有這樣一道題：“△ABC中，與是方程的兩積，對”.對于這道題目，評價最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ〢.這道題將三角與一元二次方程相結(jié)合，考察了韋達(dá)定理的應(yīng)用，是一道好題B.這道題先求出的值，再利用誘導(dǎo)公式求得的值，是一道好題C.通過計算，可得D.這道題數(shù)據(jù)有誤，是一道錯題【正確答案】D【分析】由題設(shè)有，，則一個鈍角一個為銳角，結(jié)合和角正切公式求，即可得.【詳解】由題設(shè)，則，，則一個為鈍角一個為銳角，又，則，所以是一個鈍角，而在三角形中不可能存在兩個鈍角，所以該題數(shù)據(jù)有誤，為錯題.故選：D16.已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.與的定義域都是B.為奇函數(shù)，為偶函數(shù)C.的值域為，的值域為D.與都不是周期函數(shù)【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】．與的定義域都是，故錯誤，．，則是偶函數(shù)，故錯誤，．，，的值域為，，的值域，，故正確，．則是周期函數(shù)，故錯誤，故選．本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合復(fù)合函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，利用三角函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性和周期性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共有6題，滿分62分）17.（1）已知，，求的值；（2）證明.【正確答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知及平方關(guān)系有且，結(jié)合二倍角余弦公式列方程求；（2）應(yīng)用二倍角正余弦公式化簡，即可證.【詳解】（1）由，，則且，由（負(fù)值舍）.（2），得證.18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值及x的取值；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【正確答案】（1）時，；（2）單調(diào)增區(qū)間為.【分析】（1）應(yīng)用二倍角正余弦公式化簡函數(shù)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值，并確定對應(yīng)自變量取值；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)及整體法求單調(diào)增區(qū)間.【小問1詳解】由，當(dāng)，即時，.【小問2詳解】令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.19.已知均為銳角，且.（1）求的值：（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1），然后根據(jù)兩角差的余弦公式展開，結(jié)合題目條件，分別算出每個量即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，求出，然后利用正切的兩角差，二倍角公式計算.【小問1詳解】因為為銳角.且，所以，因為，且，所以所以【小問2詳解】，是銳角，則，于是，所以所以.20.某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上兩點之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點米的點處建一涼亭，距離點米的點處再建一涼亭，測得，．（1）求的值；（2）測得，觀光通道每米的造價為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？【正確答案】（1）（2）預(yù)算資金夠用【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.【小問1詳解】解：由，得，則，在中，由正弦定理得，即，所以．【小問2詳解】在中，由余弦定理得，整理得，解得（舍去）．在中，，所以，又，解得．在中，，所以．由于觀光通道每米的造價為2000元，所以總造價低于元，故預(yù)算資金夠用．21.已知.（1）用a表示的值；（2）用a表示的值；（3）用反證法證明：是無理數(shù).【正確答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）應(yīng)用二倍角正弦公式及平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系有，即可得；（2）由二倍角正切公式得，再由和角正切公式求