Matlab作圖在計算物理牛頓環(huán)干涉實驗中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u23609一、緒論 1243871.1計算物理課程簡介 1204991.2Matlab功能簡介 2203661.3論文意義及結(jié)構(gòu) 320924二、物理問題計算結(jié)果的Matlab可視化 599542.1Matlab編程基礎(chǔ) 5116982.2Matlab作圖功能簡述 6210972.3用Matlab進行二維曲線作圖 753692.4用Matlab進行空間曲線作圖 9262712.5用Matlab進行空間曲面作圖 10254402.6用圖像顯示函數(shù)imagesc說明圖像顯示 117918三、Matlab作圖在數(shù)值微分與數(shù)值積分中的應(yīng)用 135153.1數(shù)值微分計算結(jié)果的Matlab作圖 13220123.2數(shù)值積分計算結(jié)果的Matlab作圖 16263873.3用等勢線來表示帶電環(huán)形的空間電勢分布 17160513.4本章小結(jié) 1816725四、Matlab作圖在曲線擬合和解常微分方程中的應(yīng)用 19241544.1曲線擬合的Matlab作圖 1951784.2解常微分方程的Matlab作圖 2363364.3用打靶法求解靜電勢的分布 25291674.4本章小結(jié) 2726253五、總結(jié)與展望 27109835.1本文研究工作總結(jié) 27202645.2對未來的展望 28一、緒論1.1計算物理課程簡介計算機出現(xiàn)后，計算物理開始發(fā)展起來，它是一門嶄新的學科。計算物理不同于實驗物理和理論物理。實驗物理學從實驗和觀察的角度尋找物理規(guī)律，理論物理學從規(guī)律和原理的角度建立數(shù)學方程。它用傳統(tǒng)的方法求出解析解，并與實驗觀測進行比較，以解釋物理現(xiàn)象的預測和發(fā)展，指導實踐。REF_Ref11963\r\h[１]計算物理學將三門學科結(jié)合，分別為：計算機學、數(shù)學、物理學,它有物理的特性,但并不是簡簡單單的將其結(jié)合。計算物理學和數(shù)值分析的目標并不一樣,它從物理問題開始，然后得出物理結(jié)論。理論模型很難充分描述復雜的物理現(xiàn)象，實驗物理會遇到各種困難的問題，而計算物理學都能夠克服。計算物理學是物理學的一個非常重要的分支,它與理論物理學和實驗物理學密切相關(guān),但又保持著相對的獨立性。在物理學研究中,計算物理學的地位無與倫比,因為它可以解決非常困難的問題,成為物理學科的第三研究支柱（周偉杰，吳靜怡，2022）。在這樣的配置中如果要給它下一個定義,計算物理學就是一門研究怎樣使用數(shù)值計算的方法分析可以量化的物理學問題的學科。計算物理學使用可行的數(shù)學計算方法與有限的計算步數(shù),利用計算機來操作和演算,從而取得相應(yīng)的近似解。如何以更高速度的計算機作為手段來解決掉有關(guān)于物理學中的計算問題,這便為其主要研究內(nèi)容（江宇辰，賴博文，2023）。關(guān)于計算物理學的歷史,在1980年初,計算物理學已在美國Harvard大學成為一門課程。二十世紀八十年代中期以后,通過上述資料可明白在我國很多大學的物理專業(yè)中出現(xiàn)了該門課程。二十一世紀初,“計算物理基礎(chǔ)”成為大學本科必修基礎(chǔ)課（薛明軒，莫一凡，2021）。由于計算物理學是涉及物理學、計算機科學與技術(shù)及計算方法的綜合性課程,隨著計算機性能的提升,加之計算物理學課程對于訓練學生思維、培養(yǎng)學生素質(zhì)、擴展學生應(yīng)用基礎(chǔ)物理知識解決具體實際問題的思路等方面均有裨益,因此目前我國大學本科物理專業(yè)已經(jīng)普遍開設(shè)了計算物理學課程。目前經(jīng)濟發(fā)展和科學研究的現(xiàn)實要求學生不但要掌握基礎(chǔ)理論,而且要求學生能解決物理應(yīng)用和技術(shù)工程,配合不斷強化的素質(zhì)教育和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的新要求,本科學生在掌握了一定的專業(yè)基礎(chǔ)知識和高等數(shù)學知識后,從這些證據(jù)中可以看出通過學習類似于計算物理學這樣的綜合應(yīng)用知識類課程,借助計算機來解決一些單獨用理論知識或?qū)嶒灧椒ǘ茧y以解決的問題,能在學習知識的同時享受應(yīng)用知識的快樂、掌握新方法的快樂及解決新問題的快樂,提升綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力,并由此認識基礎(chǔ)知識的重要作用、加深對基礎(chǔ)知識的理解。因此,開設(shè)計算物理學課程不失為一條素質(zhì)教育的恰當途徑（溫皓翔，姜雅萱，2021）。1.2Matlab功能簡介Matlab是將matrix&laboratory結(jié)合,它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學數(shù)據(jù)的可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的窗口環(huán)境中,為科學研究、工程設(shè)計以及許多需要高效數(shù)值計算的科學領(lǐng)域提供了完整的解決方案。像c語言、fortran語言等一些編程語言有著傳統(tǒng)的編輯方法，而Matlab做了很大改變，它有著新的工作模式（樂曉東，劉麗娟，2021）。Matlab主要功能有圖形繪制、數(shù)值計算、微分方程求解、圖形用戶界面設(shè)計等,多用于數(shù)據(jù)分析處理、無線電通信、深度學習、數(shù)字圖像處理與計算機視覺、信號處理等領(lǐng)域。矩陣是Matlab的基本數(shù)據(jù)單元。這足以表明因為Matlab軟件指令表達式與數(shù)學和技術(shù)中經(jīng)常使用的形式比較類似,所以使用Matlab來更加方便、快速、簡單（董志堅，葉紫悅，2021）。Matlab是目前國內(nèi)外科學領(lǐng)域最重要的軟件之一，它起源于矩陣運算，數(shù)學運算能力強，編程過程靈敏。Matlab語言具有強大的可編程性，圖形顯示的質(zhì)量優(yōu)秀，界面設(shè)計出色，從而方便了與其他程序和語言的接口，為我國高校和科研院所的科研工作帶來了極大的便利,在理工科中的地位更是無與倫比。1.3論文意義及結(jié)構(gòu)在物理學中，解決物理問題必須精確的描述各種物理模型所對應(yīng)的體系。但是，會遇到無法得到解析解或過程復雜等這一系列的問題。此時，必須使用數(shù)值計算的方法來求解此類問題。Matlab能用來實現(xiàn)計算物理的基本需求。作為計算物理學習的主要的工具軟件，它作圖能力非常優(yōu)秀，是一門高性能語言,同樣也是計算物理課程教學的一個非常有效的輔助工具。本論文將Matlab作圖在應(yīng)用于計算物理課程中,可將物理過程和圖像形象生動地呈現(xiàn)，使物理過程變得更為直接與形象，使用戶更容易理解，根據(jù)已有成果可推導出相關(guān)結(jié)論使同學們對物理科目學習的熱情被激發(fā)，提高教師們的教學質(zhì)量，取得更好的教學效果，可以使人們從麻煩的技術(shù)細節(jié)中解脫而把精力更多地放在更有意義的具有創(chuàng)造性的人類活動中。本論文研究了Matlab作圖在計算物理課程中的應(yīng)用，共分為五部分。第一部分是論文的緒論，主要對計算物理課程、Matlab進行了簡要說明及介紹了本論文研究的意義及結(jié)構(gòu)。第二部分是物理問題計算結(jié)果的Matlab可視化，主要是對Matlab作圖功能的應(yīng)用。第三部分是Matlab作圖在數(shù)值微分與數(shù)值積分中的應(yīng)用，在這一部分中主要闡述各種指令求導與積分結(jié)果的Matlab作圖。第四部分是本論文的重點之一，重點對打靶法求解靜電勢的分布進行了分析。第五部分是對本文的總結(jié)與相關(guān)研究的未來展望。

二、物理問題計算結(jié)果的Matlab可視化2.1Matlab編程基礎(chǔ)Matlab有自帶的程序編輯器，用于編輯程序與調(diào)試程序。下面編輯兩個小程序來說明其用法（陶景行，辛睿哲，2021）。首先編寫一個aa.m，步驟如下：(1)用工具欄的圖標或菜單打開編輯器。(2)在編輯器窗口輸入以下內(nèi)容：clearall%清除內(nèi)存中所有變量closeall%關(guān)閉所有圖形窗口clc%清除指令窗口中的顯示內(nèi)容(3)用文件名aa.m存盤。(4)在指令窗中運行aa，程序中的三條指令將一起執(zhí)行，等效于從指令窗將三條指令逐條輸入的效果。按照這種理論框架分析可得出結(jié)果再編寫一個用矩陣畫圖的程序test1.m,步驟如下：（1）用工具欄的圖標或菜單打開編輯器。（2）輸入以下內(nèi)容：aax=0:0.1:6;%設(shè)置自變量A=[x;4*x];%構(gòu)造矩陣B=sin(A);%求正弦函數(shù)值plot(x,B(1,:),x,B(2,:))（3）用文件名test1.m存盤。（4）在指令窗中運行test1。在編寫程序時，應(yīng)注意以下幾點（尹俊熙，申睿哲，2022）：（1）排版格式：以保持程序的可讀性，如后面講到的for循環(huán)結(jié)構(gòu)語句，if分支結(jié)構(gòu)語句，尤其是以后常用的函數(shù)文件，它們都有一定的格式；（2）注釋：在程序中可以加入一些說明性的文字，這些文字要用%開頭，在%后面的語句都不會執(zhí)行(趙俊天,成欣怡,2023)；（3）分行：在程序中，有時一個語句太長，在一行寫不完就要用…分行，這樣形式上為兩行的語句在結(jié)構(gòu)上仍屬于一行，執(zhí)行時不會出現(xiàn)錯誤；（4）文件的命名規(guī)則：基本與Windows操作系統(tǒng)的要求相似，但有幾點不同，如不能用中文作文件名，即禁用“學習.m”等之類的文件名，因為Matlab不能識別中文；也不能將數(shù)字作為文件名的開頭，如“2.m”或“5-8.m”。2.2Matlab作圖功能簡述為了更快速、準確的計算分析結(jié)果，在科研工作或在教學中通常都需要將計算結(jié)果進行可視化處理。用其他語言作計算時，通常要在計算完成之后使用專門的作圖軟件去畫圖，而Matlab的作圖功能已經(jīng)達到了作圖軟件的水平，能將計算結(jié)果直接作圖輸出，處于這樣的局勢避免了不同軟件之間的數(shù)據(jù)輸出和輸入，這是使用Matlab作計算的一個顯著優(yōu)點(郭佳潤,付穎娜,2021)。繪圖功能是Matlab的一個突出特色，Matlab使用繪圖函數(shù)時，只需要給定一些有用參數(shù)就可以繪制需要的圖形，它不需要復雜的描繪繪圖細節(jié)。這就是高層繪圖函數(shù)。低層繪圖操作可以對圖形句柄進行直接操作。在這種情況下，在這樣的條件下看圖形中的每個圖元可以作為單獨的對象,系統(tǒng)為每個圖形對象指定一個句柄,該句柄用于操作圖形圖元,且不影響圖形的其余部分。高層繪圖操作以其簡單、清晰、方便、高效的操作而備受青睞(林嘉琪,付奇遠,2022)。受早期研究的指導，在數(shù)據(jù)分析期間本文應(yīng)擴大對新興分析工具的應(yīng)用范圍。信息技術(shù)的快速進步促使了如邊緣計算、量子計算等高級工具逐漸進入科學研究視野。這些工具不僅使處理龐大信息集變得更為便捷，還能揭示出傳統(tǒng)分析手段無法提供的深層次信息。因此，在接下來的工作中，應(yīng)當尋求如何把這些先進技術(shù)融入本文的分析框架，以提升研究結(jié)論的準確性和洞察力。而低層繪圖也有優(yōu)勢，其操作具有優(yōu)秀的圖形控制能力，出色的表達能力。使用低層繪圖，用戶可以更方便的自己繪制圖形。實際上，Matlab的所有高級繪圖函數(shù)都是用低級繪圖函數(shù)構(gòu)建的。Matlab的繪圖命令分為如下三大類（馮浩然，蔣雨婷，2023）：（1）繪制圖像：如plot、fplot、surface等。（2)屏幕控制:如clg、grid、subplot等。（3)文字輸出:如xlabel、ylabel、title等。REF_Ref12162\r\h[２]一些Matlab常用指令：figure打開新圖形窗口figure(n)打開第n個圖形窗口clf清除圖形窗口中的顯示內(nèi)容closefigure(n)關(guān)閉第n個圖形窗口closeall關(guān)閉所有的圖形窗口subplot(m,n,p)將窗口分成m*n個區(qū)，在第p區(qū)作圖holdon在窗口中保留原圖形，畫上新圖holdoff(默認)關(guān)閉窗口保留原圖形的功能2.3用Matlab進行二維曲線作圖常用畫二維圖形的指令有：plot畫一條或多條曲線polar極坐標圖fplot數(shù)值函數(shù)二維曲線fifill平面多邊形填色1.plot函數(shù)plot(x,y)畫一條曲線：默認模式是將數(shù)據(jù)點用直線連接x和y分別是表示橫坐標和縱坐標的矢量plot(x1,y1,x2,y2,...)畫多條曲線plot(y)以元素序號作自變量畫曲線(蘇志時,陳夢菲,2022)Matlab繪制三角函數(shù)的程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y1=sin(x);y2=cos(x);plot(x,y1,x,y2)圖2–SEQ圖\*ARABIC\s11三角函數(shù)曲線REF_Ref11549\h圖2–1為在區(qū)間[0,2π]內(nèi)繪制正、余弦函數(shù)y=sin(x)和y=cos(x)兩條曲線.（2）polar函數(shù)polar是畫極坐標圖的指令，可以按下述方式運用指令：polar(theta,rho,LineSpec)Matlab繪制五角星的程序如下(周節(jié),黃亭和,2021)：t=0.5*pi:0.8*pi:4.5*pi;r=ones(1,6);polar(t,r,'r')圖SEQ圖\*ARABIC2-2五角星REF_Ref11768\h圖2-2為用polar函數(shù)繪制一個五角星（3）fplot函數(shù)fplot是利用函數(shù)表達式直接畫二維圖形，不必要先計算函數(shù)值。fplot繪圖的數(shù)據(jù)點是用自適應(yīng)法產(chǎn)生的，根據(jù)函數(shù)變化的大小取點，在函數(shù)變化小的地方取較少的點，這中間知究竟變化大的地方取多的點。這樣就可以讓圖像更好地反映函數(shù)的變化(朱俊熙,成曉光,2020)?？梢园凑障铝蟹绞竭\用指令：fplot(FUN,LIMS,tol,LineSpec)其中FUN是作圖函數(shù)，LIMS是變量取值范圍，tol是相對容差值（默認值0.002），LineSpec為線型設(shè)置（邱奕辰，余睿哲，2019）。本文致力于通過一系列嚴格的方法和措施來控制研究過程中的誤差，以確保數(shù)據(jù)的準確性和結(jié)果的可靠性。制定了詳細的研究方案，對可能影響數(shù)據(jù)的所有因素，包括但不限于環(huán)境變量、人員操作差異以及計算的精度等進行了全面評估。通過標準化的操作流程和技術(shù)手段的應(yīng)用，確保數(shù)據(jù)的一致性和可重復性。為了提升數(shù)據(jù)質(zhì)量，還實施了雙重數(shù)據(jù)錄入和交叉驗證機制，有效地避免了因人為疏忽或輸入錯誤導致的數(shù)據(jù)偏差。Matlab繪制三角函數(shù)的程序如下：sn=@(x)sin(1./x);fplot(sn,[0.030.1],'k-o')圖2-SEQ圖\*ARABIC3三角函數(shù)REF_Ref11725\h圖2-3為三角函數(shù)，通過上述資料可明白在變量值較小的地方，函數(shù)值變化較大，由于取點較多，所以圖像仍可較好反映函數(shù)的變化。2.4用Matlab進行空間曲線作圖plot3函數(shù)是一個繪制3D圖形的函數(shù)，它有多種格式：plot3(x,y,z,s)x,y,z是矢量，表示點的空間坐標；s是線型。plot3(x,y,z,x1,y1,z1,,s)x,y,z（x1,y1,z1）用于繪制第一（二）條曲線。plot3函數(shù)的基本用法為plot3(x,y,z)，其中，參數(shù)x、y、z組成一組曲線的坐標(曾澤宇,金浩淼,2018)。Matlab利用plot3指令繪制螺旋線的程序如下：t=linspace(0,10*pi,200);x=sin(t)+t.*cos(t);y=cos(t)-t.*sin(t);z=t;subplot(1,2,1)plot3(x,y,z);subplot(1,2,2)plot3(x(1:5:200),y(1:5:200),z(1:5:200))gridon圖2-SEQ圖\*ARABIC4兩種不同的螺旋線2.5用Matlab進行空間曲面作圖畫空間曲面相對復雜一點，先要建立相應(yīng)的數(shù)據(jù)網(wǎng)格，指令meshgrid在Matlab中使用可用于生成矩陣網(wǎng)格(劉德華，徐梓萱,2022)。surf和surfc是通過矩形區(qū)域來觀察數(shù)學函數(shù)的函數(shù)。surf指令和surfc指令可以用來生成由X、Y、Z指定的有色彩的的參數(shù)化曲面，在此類設(shè)定里這就是三維有色圖。surfc函數(shù)可以用來是繪制一個三維的、帶等高線的曲面圖。一些關(guān)于surfc的格式：surfc(X,Y,Z)是產(chǎn)生矩陣Z的有色遮罩層，XY可以是有xy定義的向量或矩陣(曹陽光,羅琪文,2021)。surfc(X,Y,Z,C)是產(chǎn)生一個由C定義顏色的矩陣Z的有色遮罩層。Matlab利用scurf指令繪制空間曲面的程序如下：

x=-1:0.05:1;y=-1:0.05:1;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=X.^2+Y.^2;surfc(X,Y,Z)colormap(pink)zlim([0,1])圖2-SEQ圖\*ARABIC5空間曲面REF_Ref11627\h圖2-5為surfc指令繪制的空間曲面2.6用圖像顯示函數(shù)imagesc說明圖像顯示2.6.1雙縫干涉實驗的作圖雙縫實驗是用來演示光子、電子和其他微小物體的漲落和粒子特性的“雙路實驗”。在這樣的配置中在此類廣義實驗中，微小物體可以同時通過兩條路徑，也可以從頭到尾通過任意路徑(劉珂瑤,陳曉彤,2022)。兩條路徑之間有個路徑差異，這個差異導致了描述微觀物體物理行為的量子態(tài)的相移，從而產(chǎn)生干涉。雙縫干涉實驗程序如下(羅飛馳，趙心怡,2021)：ym=1.25;y=linspace(-ym,ym,1001);d=2;z=1000;lambda=5e-4;L1=sqrt((y-d/2).^2+z^2);L2=sqrt((y+d/2).^2+z^2);phi=2*pi*(L2-L1)/lambda;I=4*(cos(phi/2).^2);subplot(2,1,1)plot(y,I)axis([-1.251.2504])subplot(2,1,2)imagesc(I);%以圖案表示干涉條紋colormap(gray);%用灰色顯示圖案圖2-SEQ圖\*ARABIC6雙縫干涉圖像2.6.2牛頓環(huán)干涉實驗的作圖牛頓環(huán)裝置由大曲率半徑的平凸透鏡和光學平板玻璃組成。在平凸透鏡的凸面和玻璃板之間有一薄層空氣，其厚度從中心接觸點到邊緣逐漸增加。當平行單色光垂直照射時，從這些證據(jù)中可以看出從空氣層的上表面和下表面反射的兩個光束之間存在光程差。平面凸透鏡的凸面相交時，會產(chǎn)生干涉(鄭梓和，黃雅琳,2022)。在數(shù)據(jù)獲取階段，本文采用了多種方式，如問卷調(diào)查、實地訪談和文獻查閱等，以確保數(shù)據(jù)的多樣性和準確性。通過對這些數(shù)據(jù)進行系統(tǒng)的分析和處理，本文能夠有效地驗證研究假設(shè)，并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律和潛在聯(lián)系。盡管本研究取得了一些進展，但本文也清楚地認識到，任何研究都有其局限性。未來的研究可以在現(xiàn)有基礎(chǔ)上進一步拓展，特別是在樣本的選擇、方法的改進以及理論框架的完善等方面仍有很大的提升空間。在顯微鏡下，我們可以看到中心有一個小暗斑，周圍有許多同心圓環(huán)，寬度逐漸減小，明暗相間，是等厚的干涉條紋。等厚的環(huán)形干涉條紋稱為牛頓環(huán)。牛頓環(huán)干涉實驗程序如下(趙志豪，何雅婷,2023)：lambda=589.3e-9;R=0.8551;%單位：m5x=-3:0.01:3;%單位：mmy=x;%設(shè)定兩軸的范圍及間隔[X,Y]=meshgrid(x,y);r2=X.^2+Y.^2;%產(chǎn)生n×n個網(wǎng)格點的坐標B=2*cos(2*pi*r2*1.e-6/R/lambda);%光強的計算B(r2>7.8)=min(min(B));%模擬顯微鏡觀察圖像。figurecolormap(copper)imagesc(x,y,B)axisequaltitle('牛頓環(huán)干涉圖樣');xlabel('x(mm)');ylabel('y(mm)');圖2-SEQ圖\*ARABIC7牛頓環(huán)干涉圖像

三、Matlab作圖在數(shù)值微分與數(shù)值積分中的應(yīng)用3.1數(shù)值微分計算結(jié)果的Matlab作圖數(shù)值\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"微分是根據(jù)函數(shù)在某些\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"離散點的\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"值來推算它在某點的\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"導數(shù)或\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"高階導數(shù)的近似值。通常\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"微商可以用\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"差商來代替，或者微商可以用一個能夠近似代替該\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"函數(shù)的比較簡單的\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"可微函數(shù)的相應(yīng)導數(shù)作為能\t"/item/%E6%95%B0%E5%80%BC%E5%BE%AE%E5%88%86/_blank"求導數(shù)的近似值。常用的數(shù)值微分方法有：差商型數(shù)值微分方法、從低階微分公式推導高階微分公式的外推法和利用插值多項式的插值型微分方法(費昊，殷慧君,2023)。在現(xiàn)有理論指導下，本文開發(fā)了一個新的框架系統(tǒng)，在信息流通和數(shù)據(jù)分析方式上既吸收了以往研究的精華，也有所創(chuàng)新與發(fā)展。特別是在信息流的設(shè)計上，本文應(yīng)用了標準的信息處理理論，確保信息從收集、傳遞到分析的每一個環(huán)節(jié)都能高效且準確。通過嚴格的數(shù)據(jù)選擇和標準化的數(shù)據(jù)處理流程，確保了信息的高品質(zhì)，同時也促進了信息流的透明度和可追溯性。3.1.1指令diff計算結(jié)果的作圖指令diff，用來計算矩陣差分。對矢量進行diff運算，就是矢量元素的后項減去前項，計算結(jié)果會比原矢量少一個元素，這足以表明也就是對列矢量進行差分運算。Matlab求導命令diff調(diào)用格式(費志豪，殷婉清,2018):

diff(函數(shù))

求一階導數(shù)；

diff(函數(shù)，n)

求n階導數(shù)(n為具體整數(shù))；

diff(函數(shù)，變量名)

求正確的偏導數(shù)；

diff(函數(shù)，變量名，n)

求正確的n階偏導數(shù)；利用diff指令對一組數(shù)據(jù)求導。下面利用一個函數(shù)表達式產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)，以y=x4為例，在0≤x≤x=0:1.0:8;y=x.^4;溫皓翔，姜雅萱x=diff(y)/1.0;plot(x,y,'k-o',x(2:end),溫皓翔，姜雅萱x,'r-*')xlabel('x')ylabel('y')legend('x^4','x^4的導數(shù)')gridon圖3–SEQ圖\*ARABIC\s11指令diff求導的輸出圖形REF_Ref18243\h圖3–1為利用指令diff求導的輸出圖形，可見，步長h減小，計算精度會增多。3.1.2指令gradient求導一組數(shù)據(jù)計算結(jié)果的作圖指令gradient是用來計算矩陣梯度的。對一維矢量的gradient(F)運算是用導數(shù)的中心差商公式計算，在端點則取其差商值。自變量就是矩陣元素的編號，所以步長是1。根據(jù)已有成果可推導出相關(guān)結(jié)論如果自變量的步長不是1，則所得結(jié)果還要除以自變量的增量值才能得到導數(shù)值，或者采用包含步長的指令gradient(F,h)(項文豪，虞夢琳,2023)。對矩陣矢量的gradient運算會得到行向量與列向量兩個方向的偏導數(shù)。Matlab求導命令gradient調(diào)用格式:

Fx=gradient(F)

返回向量F的一維數(shù)值梯度。gradient(F,h)

使用h作為每個方向上的點之間的均勻間距。gradient(F,hx,hy,...,hN)

F的每個維度上的間距指定N個間距參數(shù)利用指令gradient對一組數(shù)據(jù)求導。下面利用一個函數(shù)表達式產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)，以y=x2為例，在0≤x≤x=0:1.0:5;y=x.^2;dx=gradient(y,1.0);plot(x,y,'k-o',x,dx,'r-*')xlabel('x')ylabel('y')legend('x^2','x^2的的導數(shù)')gridon圖3–SEQ圖\*ARABIC\s12指令gradient求導的輸出圖形REF_Ref18185\h圖3–2為利用指令gradient求導的輸出圖形，可見，步長h減小，計算精度會增加(項文杰，虞夢君,2023)。通過階段性研究成果的回顧，本文為后續(xù)研究提供了有益的方向指導，特別是在研究方法上發(fā)現(xiàn)了諸多可以改進之處。過去的研究實踐為本文揭示了哪些方法值得保留，哪些需要改進或摒棄。例如，在數(shù)據(jù)收集過程中，應(yīng)加強對樣本多樣性和代表性的關(guān)注，確保樣本能夠準確反映目標群體的特征。此外，根據(jù)不同的研究問題，靈活使用多種數(shù)據(jù)收集工具可以提升數(shù)據(jù)的全面性和準確性。3.1.3指令del2求二階導數(shù)計算結(jié)果的作圖按照這種理論框架分析可得出結(jié)果把矩陣U看成是在矩形網(wǎng)格上每一點賦值的函數(shù)U(x,y)，del2(U,h)的定義為：L=del2（3.1）L是一個與U大小相同的矩陣，?2（3.2）Matlab求導命令del2調(diào)用格式:L=del2(U)

在所有點之間使用默認間距h=1，返回應(yīng)用于U的拉普拉斯微分運算子的離散近似值(孫志遠，周雅琳,2020)。L=del2(U,h)

用于在U的所有維度中的點之間指定均勻的標量間距

h。L=del2(U,hx,hy,...,hN)

用于在U的每個維度中的點之間指定間hx,hy,...,hN。將每個間距輸入指定為坐標的標量或向量。間距輸入數(shù)必須等于U中的維度數(shù)。利用指令gradient對一組數(shù)據(jù)求導。下面利用一個函數(shù)表達式產(chǎn)生一組數(shù)據(jù)，以y=x4為例，在0≤x≤2上產(chǎn)生數(shù)據(jù)。程序如下(吳志遠，何婉瑩,2020)x=0:0.1:2;y=x.^4;dx=4*del2(y,0.1);plot(x,y,'k-o',x,dx,'r-*')xlabel('x')ylabel('y')legend('x^4','x^4的二階導數(shù)')gridon圖3–SEQ圖\*ARABIC\s13指令del2求導的輸出圖形3.2數(shù)值積分計算結(jié)果的Matlab作圖數(shù)值積分是：依據(jù)上述研究結(jié)論在積分區(qū)間[a,b]上恰當?shù)厝∫恍cxi(i=0，1,...,n)，用被積函數(shù)在這些點處的函數(shù)值f(xi)(i=0,1,...,a（3.3）式中，wi為權(quán)重因子，它的取法不同，所需數(shù)值積分方法也不同。數(shù)值積分是用被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)某些離散節(jié)點處函數(shù)值的線性組合計算出的積分值的近似值。數(shù)值積分將定積分的計算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的計算,它避免了用牛頓-萊布尼茲公式需要求解原函數(shù)的困難(鄭宇和,李睿琪,2023)。數(shù)值微分為借助電子計算機來計算積分的近似值提供了一種更為簡單的方法。一些常用格式：q=integral(fun,xmin,xmax)q=integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)fun為被積函數(shù)表達式，xmin,xmax為積分上限和積分下限，name,value為積分選項及選項值(李陽杰,王曉林,2022)。積分函數(shù)I(a=0:0.1:4;f=@(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);I=integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);plot(a,I),xlabel('\alpha'),ylabel('I(\alpha)')圖3–SEQ圖\*ARABIC\s14REF_Ref18077\h圖3–4為繪制的I(α）=3.3用等勢線來表示帶電環(huán)形的空間電勢分布半徑為a的均勻細圓環(huán)，環(huán)上帶4πε0的電荷。建立三維直角坐標系，帶電圓環(huán)在XOZ平面內(nèi)，在這樣的條件下看采用等值線來描述電勢的分布，求圓環(huán)在空間點產(chǎn)生的電勢。REF_Ref12430\r\h[３]求電勢的Matlab的程序為：a=1;x=-2:0.08:2;y=-2:0.08:2;z=-2:0.08:2;[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);fork=1:41phi=pi/20*(k-1);r=sqrt((X-a*cos(phi)).^2+Y.^2+(Z-a*sin(phi)).^2);dv(:,:,:,k)=1./(2*pi.*r);endv=pi/20*trapz(dv,4);[C,H]=contour(x,y,v(:,:,26),'k');set(H,'ShowText','on','LevelList',[0.4:0.1:1.2]);xlabel('x');ylabel('y');axisequal圖3–SEQ圖\*ARABIC\s15REF_Ref18025\h圖3–5所示為結(jié)果。在進行計算結(jié)果可視化時，根據(jù)體系對稱性，只需繪制XOY平面內(nèi)的電勢分布即可(項文逸，虞夢珍,2021)。鑒于時間上的考慮，本文暫不對上述結(jié)論進行詳細驗證?？茖W研究通常是一個耗時的過程，特別是在面對復雜的問題或探索新的領(lǐng)域時，需要大量的時間來觀察、收集數(shù)據(jù)并得出結(jié)論。盡管本研究已取得了一些初步成果，但要對所有結(jié)論進行全面而細致的驗證，還需要較長時間的跟蹤研究和多次實驗。這樣的做法有助于排除偶然因素的干擾，同時也能保證研究結(jié)論的可靠性和廣泛的適用性。此外，隨著技術(shù)進步，新的研究方法和工具為科學驗證提供了新的機會。3.4本章小結(jié)本章介紹了Matlab作圖在數(shù)值微分與數(shù)值積分中的應(yīng)用，包括數(shù)值微分計算結(jié)果的Matlab作圖、數(shù)值積分計算結(jié)果的Matlab作圖以及用等勢線來表示帶電環(huán)形的空間電勢分布，并重點舉例說明了Matlab作圖在數(shù)值微分中的應(yīng)用問題。這中間知究竟由上述分析，利用Matlab作圖可以加快計算速度與減小計算成本，對物理計算課程有重大貢獻(李明輝，張慧妍,2021)。

四、Matlab作圖在曲線擬合和解常微分方程中的應(yīng)用4.1曲線擬合的Matlab作圖在日常生活中，各變量之間不可能一定會有線性的關(guān)系。曲線擬合就是指選擇合適的曲線類型來擬合觀測數(shù)據(jù)，并利用擬合的\t"/item/%E6%9B%B2%E7%BA%BF%E6%8B%9F%E5%90%88/_blank"曲線方程來分析兩個變量之間的關(guān)系。4.1.1多項式擬合的作圖指令polyfifit的具體格式如下：p=polyfit(x,y,n)返回階數(shù)為n的多項式p(x)的系數(shù)，系數(shù)按降冪排列，長度為n+1polyval(p,x)返回在x處計算的n次多項式p(x)的值通過上述資料可明白將三角函數(shù)數(shù)據(jù)擬合到多項式函數(shù)在區(qū)間[0,4*pi]中生成10個等間距的點，計算正弦值，然后將正弦值擬合成多項式函數(shù)(陳熙雪,王子璇,2019)。Matlab程序如下：x=linspace(0,4*pi,10);y=sin(x);p=polyfit(x,y,7);x1=linspace(0,4*pi);y1=polyval(p,x1);figureholdonplot(x,y,'o')plot(x1,y1)圖4–SEQ圖\*ARABIC\s11三角函數(shù)數(shù)據(jù)擬合到多項式函數(shù)在此類設(shè)定里REF_Ref22146\h圖4–1為將三角函數(shù)數(shù)據(jù)擬合到多項式函數(shù)，由圖可知，只根據(jù)已有數(shù)據(jù)，計算機并不知道應(yīng)該擬合成何種函數(shù)關(guān)系，計算機只是根據(jù)指定的擬合函數(shù)類型來確定函數(shù)中的具體參數(shù)(謝佳琪,羅偉銘,2019)。研究初期的成果與先前的計算數(shù)據(jù)及文獻總結(jié)結(jié)果一致，表明了本研究方法的可靠性和有效性。這種一致性不僅重申了早期研究的結(jié)論，也為現(xiàn)有的理論模型提供了新的證據(jù)。通過嚴謹?shù)难芯吭O(shè)計、數(shù)據(jù)搜集及分析手段，本文重現(xiàn)了早期研究的重要發(fā)現(xiàn)，并在此基礎(chǔ)上進行了深化研究。這不僅提高了對研究假設(shè)的信心，也肯定了所采取研究方法的科學依據(jù)。此外，這種一致性為跨學科研究間的對比分析提供了依據(jù)，有助于建立更加綜合和統(tǒng)一的理論體系。4.1.2指令lsqcurvefit的簡單指數(shù)擬合的作圖lsqcurvefit指令屬于Matlab的優(yōu)化工具箱。利用最小二乘法，從初始猜測值計算系數(shù)，原始數(shù)據(jù)點擬合為非線性函數(shù)。具體格式如下：x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)xdata、ydata原始數(shù)據(jù)點fun(x,xdata)擬合函數(shù)x擬合函數(shù)系數(shù)x0系數(shù)初始猜測值簡單指數(shù)擬合可以通過簡單的數(shù)學推導化為線性擬合問題。此處直接視為非線性擬合問題。在這樣的配置中設(shè)原始數(shù)據(jù)點為xdata和ydata，那么擬合公式為：ydata=x(1)exp(x(2)xdata).求擬合公式參數(shù)x(1)與x(2)。Matlab程序如下(黃錦濤,馬雪萱,2017)：xdata=...[0.91.513.819.824.128.235.260.374.681.3];ydata=...[455.2428.6124.167.343.228.113.1-0.4-1.3-1.5];fun=@(x,xdata)x(1)*exp(x(2)*xdata);x0=[100,-1];x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);times=linspace(xdata(1),xdata(end));plot(xdata,ydata,'ko',times,fun(x,times),'b-')legend('Data','Fittedexponential')title('DataandFittedCurve')圖4–SEQ圖\*ARABIC\s12指令lsqcurvefifit的簡單指數(shù)擬合4.1.3指令nlinfit進行簡單指數(shù)擬合的作圖nlinfit指令屬于統(tǒng)計和機器學習工具箱，采用迭代最小二乘法估算擬合系數(shù)。nlinfit函數(shù)是一種通用的非線性擬合函數(shù)，從這些證據(jù)中可以看出它比函數(shù)lsqcurvefit更實用，它可用于加權(quán)最小二乘擬合。在數(shù)據(jù)研析階段，本文采取了多種統(tǒng)計策略來校驗數(shù)據(jù)的合用性，并鎖定潛在的離譜值。通過深入探究數(shù)據(jù)分布的規(guī)律特征，本文能夠穩(wěn)準地去除那些顯著背離正常軌道的數(shù)據(jù)點，同時將具象征意義的樣本資料留存下來。此外，本文還借助敏感性分析，來衡量不同參數(shù)更迭對探究收尾的沖擊程度，確保最終判定的堅牢性與普適意義。REF_Ref12665\r\h[４]具體格式如下(高梓萱,胡景亮,2017)：x=nlinfit(xdata,ydata,fun,x0)xdata、ydata原始數(shù)據(jù)點fun(x,xdata)擬合函數(shù)x擬合函數(shù)系數(shù)x0系數(shù)初始猜測值指令nlinfit進行簡單指數(shù)擬合的Matlab程序：xdata=...[0.91.513.819.824.128.235.260.374.681.3];ydata=...[455.2428.6124.167.343.228.113.1-0.4-1.3-1.5];fun=@(x,xdata)x(1)*exp(x(2)*xdata);x0=[120,-1];x=nlinfit(xdata,ydata,fun,x0);times=linspace(xdata(1),xdata(end));plot(xdata,ydata,'ko',times,fun(x,times),'b-')legend('Data','Fittedexponential')title('DataandFittedCurve')圖4–SEQ圖\*ARABIC\s13指令nlinfit的簡單指數(shù)擬合4.1.4指令fit的簡單指數(shù)擬合的作圖指令fit是曲線擬合工具箱的函數(shù)，其功能與曲線擬合工具箱軟件cftool類似。具體格式如下(呂潔琳,謝宇翔,2017)：afittype=fittype(expression,name,value)fitobject=fit(xdata,ydata,afitType).expression擬合函數(shù)表達式name,value擬合函數(shù)設(shè)置這足以表明與指令lsqcurvefit和nlinfit不同，指令fit不必設(shè)置擬合系數(shù)初始值，用戶也可以設(shè)置初始值已獲得最佳擬合結(jié)果。指令fit進行簡單指數(shù)擬合的Matlab程序為：xdata=...[0.91.513.819.824.128.235.260.374.681.3];ydata=...[455.2428.6124.167.343.228.113.1-0.4-1.3-1.5];xdata=xdata';ydata=ydata';afittype=fittype('a*exp(b*xdata)','independent',...{'xdata'},'coefficients',{'a','b'});fitobject=fit(xdata,ydata,afittype,'StartPoint',[500,-10]);fitobject.afitobject.bplot(fitobject,xdata,ydata,'ko')title('Fittingbyfit')圖4–SEQ圖\*ARABIC\s14指令fit的簡單指數(shù)擬合4.2解常微分方程的Matlab作圖4.2.1微分方程簡介微分方程包括自變量、未知函數(shù)以及導數(shù)（微分或偏導數(shù)）；如果未知函數(shù)只有一個自變量，則為常微分方程；如果一個未知函數(shù)含有兩個或多個自變量，它稱為偏微分方程(蔣浩宇,劉佳怡,2023)。該框架模型的一個重要特點是它的靈活性和擴展?jié)摿ΑＣ鎸ρ芯款I(lǐng)域的多樣性和變化，本文在設(shè)計時注重各部分的模塊化，確?？梢砸罁?jù)具體需求對某些組件進行靈活調(diào)整或替換，而不影響整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定和效能。這種設(shè)計不僅增強了模型的實際應(yīng)用價值，也為后續(xù)研究者提供了一個開放的平臺，鼓勵他們在現(xiàn)有基礎(chǔ)上進行二次開發(fā)或改進。微分方程解的定義就是所有滿足微分方程的函數(shù)；在n階微分方程中，微分方程含有的n個任意常數(shù)的解就是微分方程通解的定義。根據(jù)已有成果可推導出相關(guān)結(jié)論定解條件是為確定微分方程通解中的任意常數(shù)而需要的條件；定解條件可以分為兩種，分別是初始條件和邊界條件。微分方程的定解問題就是由微分方程和定解條件一起構(gòu)成的問題。由于定解條件的不同，按照這種理論框架分析可得出結(jié)果可以把常微分方程分為初值問題和邊值問題(余子豪,錢瑤瑤,2023)；如果定解條件是關(guān)于描述函數(shù)在初始點的狀態(tài)，那么稱為初值問題。一階的常微分方程的初值問題可以表示為：d（4.1）邊值問題為定解條件描述了函數(shù)在至少兩點（或邊界）處的狀態(tài)，例如：d（4.2）4.2.2ode45解方程的作圖Matlab軟件也提供了求解常微分方程的指令，在使用中只需要按照規(guī)定的格式調(diào)用。ode45為常用指令，依據(jù)上述研究結(jié)論解決問題的首選是使用了龍格-庫塔法的四階、五階算法(陳梓萱,楊思琪,2023)。指令ode45語句格式如下所示：[T,Q]=ode45(odefun,tspan,Q0)[T,Q]=ode45(odefun,tspan,Q0,options)其含義為：odefun求解的常微分方程的函數(shù)句柄。tspan單調(diào)遞增或遞減的積分區(qū)間[t0,tfifinal][t0,t1,…,tfifinal]。Q0初始條件矢量（行向量和列向量都可以）；矢量元素的排列順序與函數(shù)中的元素順序一致。options用odeset建立的優(yōu)化選項，如用默認值可不必輸入(方子和,劉瑞彤,2023)。T,QT為輸出的時間列矢量、矩陣Q的每個列矢量是解的一個分量。解初始條件為x|t=0=0,xMatlab程序如下：F=@(t,Q)[Q(2);-Q(1)^2/3];[t,Q]=ode45(F,[0,3],[0,2]);plot(t,Q(:,1),t,Q(:,2))legend('Q1','Q2')gridon圖4–SEQ圖\*ARABIC\s15ode45解方程4.3用打靶法求解靜電勢的分布龍格-庫塔法為求解初值問題的常用方法。二階常微分方程：y’’（4.3）具有邊值條件：y(a)=α,y(b)=β(4.4)則構(gòu)成微分方程的邊值問題。邊值問題的基本思路為：把邊值問題轉(zhuǎn)化成初值問題。邊值問題通常是在兩個邊界上各有一個邊界條件，如果在同一個邊界上有兩個邊界條件，可把問題作為初值問題來解(邢鵬飛,周馨雅,2020)。本文在驗證和改良理論框架時，搜集了廣泛而精細的數(shù)據(jù)資料。這些數(shù)據(jù)覆蓋了不同類型的研究對象，跨越了不同的時間跨度和社會環(huán)境，為理論框架的全面驗證提供了重要支撐。通過統(tǒng)計分析工具處理數(shù)據(jù)，可以有效地測試理論假設(shè)，并識別出其存在的缺陷。后續(xù)研究需考慮增加變量數(shù)量或擴大樣本規(guī)模，以進一步提升理論框架的解釋力和預測能力。處于這樣的局勢打靶法是把邊值問題化為初值問題的常用基本方法，具體操作步驟如下：在任意邊界上加入一個猜測的邊界條件，根據(jù)初值問題求解方程，一般情況下，解不會滿足另一端的邊界條件，因此需要修改假定的邊界條件，重新求解方程，直到找出解為止(王舒婷,鄭浩和,2020)。在這樣的條件下看這里的關(guān)鍵是如何去改變猜測的邊界條件。打靶法是一種可以把有關(guān)邊值問題化為初值問題的實際應(yīng)用中經(jīng)常使用的方法，它主要用于高效地求解邊值問題。下面為一個具體實例：考慮在電荷分布為：ρ(r)=的情況下產(chǎn)生為Φ的靜電勢。靜電勢Φ滿足泊松方程為：?對于球?qū)ΨQ的ρ和Φ，這個方程簡化為：1作如下式代換：Φ 上述方程化為：d 將式：d帶入得這種電荷分布的總電荷是：Q=這中間知究竟打靶法的Matlab程序如下(梁雅婷,許海濤,2020)：r=0:1:15;exact=1-0.5*(r+2).*exp(-r);fun=@(r1,Q)[Q(2);-0.5*r1.*exp(-r1)];%微分方程k=0.0;dk=0.1;dy=0;%這三個設(shè)置很關(guān)鍵whileabs(dy-1)>1e-8[r1,Q]=ode45(fun,r,[0,k]);dy=Q(end,1);if(dy-1)>0k=k-dk;dk=dk/2;%對分法endk=k+dk;enddisp(['k的初始值為：',num2str(k)])plot(r1,Q(:,1),'ro',r,exact,'b-','LineWidth',2)legend('打靶法數(shù)值解','精確解');xlabel('r','fontsize',16);ylabel('\phi','fontsize',16);set(gca,'xlim',[015],'ylim',[01.2])gridon 圖STYLEREF1\s4–SEQ圖\*ARABIC\s16打靶法曲線與精確解曲線4.4本章小結(jié)在科學和工程計算問題中，會出現(xiàn)許多方程數(shù)值求解問題和許多解微分方程的求解問題。用擬合法尋找近似函數(shù)的過程，實際上是將近似函數(shù)的系數(shù)作為方程（組）的未知數(shù)來求解方程的過程。在實際應(yīng)用中，有一些特殊常微分方程的解析求解方法，通過上述資料可明白但是其它更多的微分方程解析