TI圖形計算器在三角函數(shù)教學(xué)中的實際應(yīng)用?摘要：本文探討了TI圖形計算器在三角函數(shù)教學(xué)中的實際應(yīng)用。通過介紹TI圖形計算器的功能特點，闡述了其如何在三角函數(shù)概念講解、圖像繪制、性質(zhì)探究、公式推導(dǎo)與驗證以及實際問題解決等方面發(fā)揮作用，有效幫助學(xué)生理解和掌握三角函數(shù)知識，提高教學(xué)效果和學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。一、引言三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它具有概念抽象、公式繁多、圖像復(fù)雜等特點，給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了一定的困難。傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往側(cè)重于理論講解和公式推導(dǎo)，學(xué)生在理解和應(yīng)用方面存在諸多障礙。TI圖形計算器作為一種先進(jìn)的數(shù)學(xué)教學(xué)工具，具有強大的圖形繪制、數(shù)據(jù)處理和動態(tài)演示功能，能夠為三角函數(shù)教學(xué)提供直觀、形象的教學(xué)手段，幫助學(xué)生更好地理解三角函數(shù)的本質(zhì)，提高學(xué)習(xí)效率。二、TI圖形計算器簡介TI圖形計算器是德州儀器公司生產(chǎn)的一系列具有圖形顯示功能的計算器，如TI84Plus等型號。它集計算、繪圖、編程等多種功能于一體。其主要特點包括：1.強大的計算功能：能夠快速準(zhǔn)確地進(jìn)行各種數(shù)值計算，包括三角函數(shù)的求值計算，如計算sin30°、cos45°等。2.直觀的圖形繪制功能：可以方便地繪制三角函數(shù)的圖像，如y=sinx、y=cosx、y=tanx等，通過圖像直觀展示函數(shù)的形態(tài)。3.動態(tài)演示功能：可以對函數(shù)進(jìn)行動態(tài)變化演示，觀察函數(shù)在不同參數(shù)變化下的圖像變化情況，幫助學(xué)生理解函數(shù)的性質(zhì)。4.數(shù)據(jù)處理功能：能對實驗數(shù)據(jù)等進(jìn)行處理和分析，輔助三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用教學(xué)。三、TI圖形計算器在三角函數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用（一）直觀引入三角函數(shù)概念在講解三角函數(shù)概念時，傳統(tǒng)教學(xué)往往從直角三角形中的邊角關(guān)系引入，對于學(xué)生來說較為抽象。利用TI圖形計算器，可以通過動態(tài)演示摩天輪的運動來引入。在TI圖形計算器上編寫一個簡單的程序，模擬摩天輪的轉(zhuǎn)動過程。設(shè)摩天輪的半徑為R，座艙離地面的初始高度為h，摩天輪以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過時間t后，座艙離地面的高度y與時間t的關(guān)系可以表示為y=Rsin(ωt)+h。通過在計算器屏幕上實時顯示座艙高度隨時間的變化曲線（即函數(shù)y=Rsin(ωt)+h的圖像），讓學(xué)生直觀地看到隨著時間的推移，座艙高度呈現(xiàn)周期性的變化，從而引出三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型這一概念，使學(xué)生更容易理解三角函數(shù)的本質(zhì)。（二）理解三角函數(shù)的定義域和值域利用TI圖形計算器繪制不同三角函數(shù)的圖像，讓學(xué)生觀察圖像的范圍來確定定義域和值域。例如，繪制y=sinx的圖像，學(xué)生可以清晰地看到x可以取任意實數(shù)，而y的值在[1,1]之間，從而直觀地得出正弦函數(shù)的定義域為R，值域為[1,1]。對于余弦函數(shù)y=cosx也可以通過類似的方法讓學(xué)生自主觀察得出其定義域為R，值域為[1,1]。對于正切函數(shù)y=tanx，繪制圖像時會發(fā)現(xiàn)x不能取某些值（如x=kπ+π/2,k∈Z），從而確定其定義域，同時觀察到函數(shù)值可以取到任意實數(shù)，得出值域為R。四、TI圖形計算器在三角函數(shù)圖像繪制中的應(yīng)用（一）繪制標(biāo)準(zhǔn)三角函數(shù)圖像1.繪制y=sinx的圖像在TI圖形計算器的"Y="菜單中輸入"Y1=sin(X)"，然后按下"GRAPH"鍵，即可快速繪制出正弦函數(shù)的圖像。學(xué)生可以觀察到正弦函數(shù)的圖像是一條波浪線，具有周期性，周期為2π，并且關(guān)于原點對稱等特點。2.繪制y=cosx的圖像同樣在"Y="菜單中輸入"Y2=cos(X)"，繪制出余弦函數(shù)的圖像。與正弦函數(shù)圖像對比，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)余弦函數(shù)圖像與正弦函數(shù)圖像形狀相同，只是位置有所不同，余弦函數(shù)圖像是正弦函數(shù)圖像向左平移π/2個單位得到的，并且余弦函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。3.繪制y=tanx的圖像在"Y="菜單中輸入"Y3=tan(X)"，繪制正切函數(shù)圖像。學(xué)生可以看到正切函數(shù)圖像是由無數(shù)條曲線組成，具有漸近線x=kπ+π/2,k∈Z，通過觀察圖像能更好地理解正切函數(shù)的定義域和函數(shù)的變化趨勢。（二）觀察函數(shù)圖像的變換1.振幅變換在繪制y=sinx的基礎(chǔ)上，輸入"Y4=2sin(X)"，繪制出y=2sinx的圖像。學(xué)生可以對比y=sinx和y=2sinx的圖像，發(fā)現(xiàn)y=2sinx的圖像是將y=sinx的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，從而理解振幅A對函數(shù)圖像的影響，即y=Asinx（A>0）的振幅為A，它決定了函數(shù)圖像在y軸方向上的伸縮程度。2.周期變換輸入"Y5=sin(2X)"，繪制y=sin(2x)的圖像。對比y=sinx和y=sin(2x)的圖像，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)y=sin(2x)的周期變?yōu)棣?，是y=sinx周期的一半。從而理解ω對函數(shù)周期的影響，對于y=sin(ωx)（ω>0），其周期T=2π/ω。3.相位變換輸入"Y6=sin(X+π/3)"，繪制y=sin(x+π/3)的圖像。觀察到y(tǒng)=sin(x+π/3)的圖像是將y=sinx的圖像向左平移了π/3個單位，理解φ對函數(shù)圖像相位的影響，即y=sin(x+φ)（φ>0）的圖像是將y=sinx的圖像向左平移φ個單位。通過TI圖形計算器進(jìn)行函數(shù)圖像變換的演示，學(xué)生可以更加直觀地理解三角函數(shù)圖像變換的規(guī)律，比傳統(tǒng)的理論講解更容易掌握。五、TI圖形計算器在三角函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用（一）周期性探究利用TI圖形計算器的表格功能，觀察三角函數(shù)值的變化規(guī)律來探究周期性。對于y=sinx，在計算器的"TBLSET"菜單中設(shè)置合適的起始值和步長，如起始值X=0，步長ΔX=π/6，然后按下"TABLE"鍵，得到一系列x和sinx的值。學(xué)生可以觀察到隨著x的增大，sinx的值呈現(xiàn)出周期性重復(fù)出現(xiàn)的規(guī)律，每隔2π重復(fù)一次，從而驗證正弦函數(shù)的周期為2π。對于余弦函數(shù)和正切函數(shù)也可以用類似的方法進(jìn)行探究。（二）單調(diào)性探究繪制三角函數(shù)圖像，結(jié)合圖像觀察函數(shù)的單調(diào)性。例如，繪制y=sinx的圖像后，觀察圖像在一個周期內(nèi)的上升和下降部分。在區(qū)間[π/2,π/2]上，圖像是上升的，說明y=sinx在[π/2,π/2]上單調(diào)遞增；在區(qū)間[π/2,3π/2]上，圖像是下降的，說明y=sinx在[π/2,3π/2]上單調(diào)遞減。通過這種直觀的方式，學(xué)生可以更好地理解三角函數(shù)的單調(diào)性，并且可以進(jìn)一步探究在整個定義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間情況。（三）奇偶性探究觀察三角函數(shù)圖像的對稱性來判斷奇偶性。繪制y=sinx的圖像，發(fā)現(xiàn)圖像關(guān)于原點對稱，所以正弦函數(shù)是奇函數(shù)，即sin(x)=sinx。繪制y=cosx的圖像，發(fā)現(xiàn)圖像關(guān)于y軸對稱，所以余弦函數(shù)是偶函數(shù)，即cos(x)=cosx。學(xué)生通過觀察圖像的對稱性質(zhì)，能夠更深刻地理解三角函數(shù)的奇偶性概念。六、TI圖形計算器在三角函數(shù)公式推導(dǎo)與驗證中的應(yīng)用（一）兩角和與差的正弦公式推導(dǎo)1.利用單位圓模型在TI圖形計算器上繪制單位圓，設(shè)角α和β的終邊與單位圓分別交于A、B兩點。通過計算向量OA和OB的坐標(biāo)，利用向量的加法和三角函數(shù)的定義來推導(dǎo)兩角和的正弦公式。設(shè)A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，則向量OA+OB=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)。設(shè)向量OA+OB與x軸正方向的夾角為γ，則sinγ=(sinα+sinβ)/|OA+OB|。通過計算器計算|OA+OB|，并利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等進(jìn)行化簡，最終可以推導(dǎo)出sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。2.驗證公式在"Y="菜單中輸入"Y1=sin(X+π/6)"和"Y2=sin(X)*cos(π/6)+cos(X)*sin(π/6)"，然后繪制這兩個函數(shù)的圖像。觀察到兩條曲線完全重合，說明sin(x+π/6)=sinxcos(π/6)+cosxsin(π/6)成立，從而驗證了兩角和的正弦公式。對于兩角差的正弦公式sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ也可以用類似的方法進(jìn)行推導(dǎo)和驗證。（二）二倍角公式推導(dǎo)與驗證1.推導(dǎo)在兩角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ中，令β=α，得到sin2α=2sinαcosα。同樣，在兩角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ中令β=α，可得cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α。2.驗證在"Y="菜單中分別輸入"Y3=sin(2X)"，"Y4=2*sin(X)*cos(X)"，"Y5=cos(2X)"，"Y6=2*cos(X)^21"，"Y7=12*sin(X)^2"，然后繪制這些函數(shù)的圖像?？梢园l(fā)現(xiàn)Y3與Y4的圖像重合，Y5與Y6、Y7的圖像也分別重合，從而驗證了二倍角公式的正確性。通過TI圖形計算器進(jìn)行公式的推導(dǎo)和驗證，學(xué)生可以更加深入地理解公式的來源和本質(zhì)，而不僅僅是死記硬背公式。七、TI圖形計算器在三角函數(shù)實際問題解決中的應(yīng)用（一）測量高度問題例如，要測量一個建筑物的高度。在距離建筑物底部一定距離（如d米）的地方，用TI圖形計算器測量仰角α。根據(jù)三角函數(shù)正切的定義，tanα=h/d（h為建筑物高度），則h=dtanα。通過在計算器上輸入已知的距離d和測量得到的仰角α的值，即可快速計算出建筑物的高度h。（二）簡諧振動問題一個質(zhì)點做簡諧振動，其位移x與時間t的關(guān)系為x=Asin(ωt+φ)。已知A=2，ω=π/2，φ=π/6。利用TI圖形計算器的繪圖功能，輸入"Y=2*sin((π/2)*X+π/6)"，繪制出位移隨時間變化的圖像。通過觀察圖像，學(xué)生可以直觀地了解質(zhì)點的振動情況，如振動的周期、振幅、初始相位等，還可以根據(jù)圖像分析在不同時刻質(zhì)點的位移、速度等物理量的變化情況。（三）交流電問題對于交流電的電壓u=Umaxsin(ωt)，已知Umax=220√2，ω=100π。在TI圖形計算器上繪制"Y=220*sqrt(2)*sin(100*π*X)"的圖像，學(xué)生可以觀察到電壓隨時間的周期性變化規(guī)律，理解交流電的概念。還可以通過計算不同時刻的電壓值，分析電壓的變化范圍等，解決與交流電相關(guān)的實際問題，如計算電器在不同時刻的功率等。八、結(jié)論TI圖形計算器在三角函數(shù)教學(xué)中具有重要的應(yīng)用價值。它能夠?qū)⒊橄蟮娜呛瘮?shù)知識直觀化、形象化，幫