第07講兩條直線的交點【題型歸納目錄】題型一：求直線的交點題型二：由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系題型三：由直線交點的個數(shù)求參數(shù)題型四：由直線交點坐標求參數(shù)題型五：三線能否圍成三角形問題題型六：直線交點系方程【知識點梳理】知識點一：直線的交點求兩直線與的交點坐標，只需求兩直線方程聯(lián)立所得方程組的解即可.若有，則方程組有無窮多個解，此時兩直線重合；若有，則方程組無解，此時兩直線平行；若有，則方程組有唯一解，此時兩直線相交，此解即兩直線交點的坐標.知識點詮釋：求兩直線的交點坐標實際上就是解方程組，看方程組解的個數(shù).知識點二：過兩條直線交點的直線系方程一般地，具有某種共同屬性的一類直線的集合稱為直線系，它的方程叫做直線系方程，直線系方程中除含有以外，還有根據(jù)具體條件取不同值的變量，稱為參變量，簡稱參數(shù)．由于參數(shù)取法不同，從而得到不同的直線系．過兩直線的交點的直線系方程：經(jīng)過兩直線，交點的直線方程為，其中是待定系數(shù)．在這個方程中，無論取什么實數(shù)，都得不到，因此它不能表示直線．【典例例題】題型一：求直線的交點【例1】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）直線與直線的交點坐標是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【對點訓練1】（2023·高二課時練習）若點是直線和的公共點，則相異兩點和所確定的直線方程是（）A． B．C． D．【對點訓練2】（2023·天津·高二校聯(lián)考期末）過直線和的交點，且與直線垂直的直線方程是（

）．A． B．C． D．題型二：由方程組解的個數(shù)判斷直線的位置關(guān)系【例2】（2023·高二單元測試）已知直線，是直線l外一點，那么直線（

）A．過點P且與直線l斜交B．過點P且與直線l重合C．過點P且與直線l平行D．過點P且與直線l垂直【對點訓練3】（2023·高二課時練習）曲線與的交點的情況是（

）A．最多有兩個交點 B．兩個交點C．一個交點 D．無交點題型三：由直線交點的個數(shù)求參數(shù)【例3】（2023·廣東廣州·高二廣州市第一一三中學校考階段練習）直線與直線相交，則實數(shù)k的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【對點訓練4】（2023·江蘇·高二專題練習）若三條直線，與共有兩個交點，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【對點訓練5】（2023·江蘇·高二專題練習）已知直線與射線恒有公共點，則m的取值范圍是（）A． B．C． D．題型四：由直線交點坐標求參數(shù)【例4】（2023·高二課時練習）兩條直線和的交點在第二象限，則m的取值范圍是（）A．(,) B．(,0)C．(0,) D．()【對點訓練6】（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【對點訓練7】（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．題型五：三線能否圍成三角形問題【例5】（2023·高二課時練習）已知直線ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能構(gòu)成三角形，則a的取值范圍是（

）A．a(chǎn)≠ B．a(chǎn)≠C．a(chǎn)≠且a≠ D．a(chǎn)≠且a≠1【對點訓練8】（2023·江蘇徐州·高二?？计谥校┤羧龡l直線不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（

）A．個 B．個C．個 D．個【對點訓練9】（2023·新疆喀什·高二新疆維吾爾自治區(qū)喀什第二中學?？茧A段練習）已知直線l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：x＋2y﹣5＝0，l3：x﹣ay﹣3＝0不能圍成三角形，則實數(shù)a的取值不可能為（

）A．1 B． C．﹣2 D．﹣1題型六：直線交點系方程【例6】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)直線經(jīng)過和的交點，且與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，則直線的方程為___________.【對點訓練10】（2023·安徽六安·高二?？计谥校┮阎獌芍本€和的交點為，則過兩點的直線方程為_________.【對點訓練11】（2023·全國·高二專題練習）求過兩條直線與的交點，且分別滿足下列條件的直線方程：(1)斜率為；(2)過點；(3)平行于直線．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點在第四象限，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·高二課時練習）若直線與互相垂直，垂足為，則的值為（

）A．20 B．-4 C．12 D．43．（2023·高二課時練習）若直線與直線的交點位于第一象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．4．（2023·上海徐匯·高二上海中學校考期中）過點作一條直線，它夾在兩條直線：和：之間的線段恰被點平分，則直線的方程為（

）A． B．C． D．5．（2023·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谀┻^兩直線的交點，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B． C． D．6．（2023·高二課時練習）若直線與直線相交且交點在第二象限內(nèi)，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．（2023·廣西貴港·高二?？茧A段練習）直線恒過定點（

）A． B． C． D．8．（2023·高二課時練習）使三條直線不能圍成三角形的實數(shù)m的值最多有幾個（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個二、多選題9．（2023·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）若直線，，不能構(gòu)成三角形，則m的取值可能為（

）．A． B． C． D．10．（2023·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┤羧龡l不同的直線：，：，：不能圍成一個三角形，則的取值可能為（

）A．－2 B．2 C．4 D．611．（2023·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）已知直線l：，其中，下列說法正確的是（

）A．當時，直線l與直線垂直B．若直線l與直線平行，則C．直線l過定點D．當時，直線l在兩坐標軸上的截距相等12．（2023·廣東廣州·高二校考期中）若兩條直線和的交點在第四象限，則k的取值可以是（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2023·高二課時練習）直線與直線相交，則m的取值范圍為__________．14．（2023·湖南·高二臨澧縣第一中學校聯(lián)考期中）已知O為坐標原點，直線：與：交于點P，則的值為________．15．（2023·浙江寧波·高二期末）若三條直線與能圍成一個直角三角形，則__________．16．（2023·高二課時練習）若三條直線，，不能圍成三角形，則m的值等于______．四、解答題17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求證：不論為何實數(shù)，直線都恒過一定點．18．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求經(jīng)過直線l1：和l2：的交點，且平行于直線l3：的直線l的方程．19．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．(1)求直線的方程；(2)求頂點C的坐標.20．（2023·高二課時練習）在中，邊上的高所在的直線的方程為，角的平分線所在直線的方程為，若點的坐標為.(1)求點的坐標;(2)求直線的