第29頁（共29頁）2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?玉溪期末）在三棱錐P﹣ABC中，M在PA上，N在BC上，且PM＝3MA，BN＝2NC，則（）A．MN→=-14PAC．MN→=-142．（2024秋?廊坊期末）若向量a→=(2，-3，1)A．4 B．5 C．6 D．73．（2024秋?吉安期末）如圖，正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為BD，CD中點(diǎn)，G為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AG→=xA．1 B．12 C．13 D4．（2024秋?海南州期末）已知{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，則可以與向量m→=a→A．a(chǎn)→ B．b→ C．c→ 5．（2024秋?湖北期末）已知向量a→A．a(chǎn)→∥b→ C．a(chǎn)→-b→6．（2024秋?深圳校級(jí)期末）已知{aA．a(chǎn)→-b→+c→，b→+c→C．2a→-b→，2c→+b→7．（2024秋?景洪市校級(jí)期末）已知向量a→=(1，-4A．（1，﹣6，﹣1） B．（﹣1，﹣6，9） C．（1，﹣6，1） D．（﹣1，﹣6，1）8．（2024秋?信宜市期末）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，點(diǎn)A．12a→+12b→+c→ 二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?上城區(qū)校級(jí)期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，下列選項(xiàng)中，能成為空間中的一組基底的為（）A．{DA→，DC→C．{A1B→（多選）10．（2024秋?大連校級(jí)期末）下列命題正確的是（）A．若a→∥b→，則存在唯一實(shí)數(shù)B．“|a→|=|bC．已知a→，b→為平面內(nèi)兩個(gè)不D．若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA（多選）11．（2024秋?深圳期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列結(jié)論正確的有（）A．|ABB．OA→C．若n→=(4，2，t)D．若m→=(1，1，k（多選）12．（2024秋?肇慶期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列說法正確的是（）A．存在實(shí)數(shù)x，使BC→B．存在實(shí)數(shù)x，使|ACC．若?AB→，D．若{OA→，OB三．填空題（共4小題）13．（2024秋?雁江區(qū)校級(jí)期末）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，y，z)，c→14．（2024秋?濟(jì)南期末）已知空間向量m→=（a，3，﹣1），n→=（4，1，﹣3），若m→⊥（m→-n15．（2024秋?曲阜市校級(jí)期末）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(1，2，16．（2024秋?樂山期末）已知a→=（﹣1，2，0），b→=（3，1，2），則a→-2四．解答題（共4小題）17．（2024秋?永州期末）已知空間中三點(diǎn)A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．（1）若向量AB→-kAC→（2）求△ABC的面積．18．（2024秋?開封期末）如圖，已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，M是棱BC的中點(diǎn)，N是線段OM的中點(diǎn)，記OA→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求|AN→|19．（2024春?江寧區(qū)校級(jí)期中）已知空間中三點(diǎn)A（3，1，﹣1），B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3），設(shè)a→（1）若|c→|=3，且c（2）求以a→，b20．（2024秋?無錫校級(jí)期中）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且MN=12ON，

2025年高考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)之空間向量基本定理及坐標(biāo)表示參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BBBBDACC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案ACBCDBCBD一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?玉溪期末）在三棱錐P﹣ABC中，M在PA上，N在BC上，且PM＝3MA，BN＝2NC，則（）A．MN→=-14PAC．MN→=-14【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算求解即可．【解答】解：因?yàn)镸在PA上，N在BC上，且PM＝3MA，BN＝2NC，所以MA→=1所以MN→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024秋?廊坊期末）若向量a→=(2，-3，1)A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算律計(jì)算即得．【解答】解：根據(jù)題意可知，b→=(2，0，而a→=(2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?吉安期末）如圖，正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為BD，CD中點(diǎn)，G為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AG→=xA．1 B．12 C．13 D【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)EG→【解答】解：設(shè)EG→則AG→又因?yàn)锳G→所以x=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?海南州期末）已知{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，則可以與向量m→=a→A．a(chǎn)→ B．b→ C．c→ 【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】直接利用向量基底的定義和共面向量基本定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由于{a→，b→，c對(duì)于A：由于a→=1對(duì)于B：不存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得b→=λ對(duì)于C：由于c→=1對(duì)于D：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ和μ，使得a→-c→=λ(故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量基底的定義，共面向量基本定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?湖北期末）已知向量a→A．a(chǎn)→∥b→ C．a(chǎn)→-b→【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法，模長(zhǎng)定義即得．【解答】解：因?yàn)閍→對(duì)于A選項(xiàng)，由a→=λb→可得：（1，﹣3，﹣2）＝λ（3，2，﹣5對(duì)于B選項(xiàng)，由a→?b→=3+(-6)+10=7≠0對(duì)于C選項(xiàng)，a→-b對(duì)于D選項(xiàng)，|a→|=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的共線，垂直的充要條件以及空間向量坐標(biāo)的減法、模長(zhǎng)定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．6．（2024秋?深圳校級(jí)期末）已知{aA．a(chǎn)→-b→+c→，b→+c→C．2a→-b→，2c→+b→【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】由空間向量的基底的定義建立方程，可得答案．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)a→則a→-b→+c→=y所以y=1所以a→-b→+c→，對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)a→則a→+b→=2ya→+2所以2y=12所以a→+b→，c→對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)2a則2a→-b所以y=2x=-1所以2a→-b→，2對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)a→則a→+b→所以2x=1x所以a→+b→，2a故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量基底的定義，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024秋?景洪市校級(jí)期末）已知向量a→=(1，-4A．（1，﹣6，﹣1） B．（﹣1，﹣6，9） C．（1，﹣6，1） D．（﹣1，﹣6，1）【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【解答】解：由a→=(1，可得a→故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．8．（2024秋?信宜市期末）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，點(diǎn)A．12a→+12b→+c→ 【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間向量及應(yīng)用；能力層次．【答案】C【分析】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，各面均為平行四邊形，由此找出共線的向量，再線性計(jì)算即可．【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1→=D∵P是A1C1與B1D1的交點(diǎn)，在平行四邊形A1B1C1D1中，P為A1C1與B1D1的中點(diǎn)，∴DP→=DD1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】該題考查空間向量的基本定理及線性計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024秋?上城區(qū)校級(jí)期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，下列選項(xiàng)中，能成為空間中的一組基底的為（）A．{DA→，DC→C．{A1B→【考點(diǎn)】空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】根據(jù)正方體圖形直觀的判斷選項(xiàng)A正確；根據(jù)三個(gè)向量的共面的判斷方法即可判斷選項(xiàng)B、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確．【解答】解：空間中的一組基底由3個(gè)不共面的向量構(gòu)成，對(duì)于A，{DA→，對(duì)于B，∴BB1→∴AC→，A1C→，對(duì)于C，∵A1B→，BD1→在平面A1BCD1上，而DC∴DC→，A1B→，B對(duì)于D，∵B1D1→=BD→故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024秋?大連校級(jí)期末）下列命題正確的是（）A．若a→∥b→，則存在唯一實(shí)數(shù)B．“|a→|=|bC．已知a→，b→為平面內(nèi)兩個(gè)不D．若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；充要條件的判斷；平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】A，若a→、b→為零向量，則λ不唯一，即可判斷；B，根據(jù)充分、必要性的定義，結(jié)合條件間的推出關(guān)系判斷；C，根據(jù)基底的性質(zhì)判斷；【解答】解：選項(xiàng)A：若a→、b→為零向量，滿足但λ不唯一，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：若|a→|=|b→顯然a→若a→=b故“|a→|=|b→選項(xiàng)C：設(shè)a→又a→，b則有1=-λ1=3所以a→+故{a→+選項(xiàng)D：由重心是中線的交點(diǎn)，如圖所示，BGCD為平行四邊形，AD過BC的中點(diǎn)，則GC→+GB故GA→+GB故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理及空間向量的線性運(yùn)算，考查充要條件的判定，屬中檔題．（多選）11．（2024秋?深圳期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），下列結(jié)論正確的有（）A．|ABB．OA→C．若n→=(4，2，t)D．若m→=(1，1，k【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，得到向量OA→=(1，2，【解答】解：在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，已知A（1，2，﹣1），B（0，1，1），所以AB→=(-1，-1對(duì)于A，故|AB→|=對(duì)于B，可得OA→?OB對(duì)于C，若n→=(4，2，t)，且n→⊥對(duì)于D，若m→=(1，1，k)且m→∥AB→故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的相關(guān)知識(shí)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024秋?肇慶期末）在空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），下列說法正確的是（）A．存在實(shí)數(shù)x，使BC→B．存在實(shí)數(shù)x，使|ACC．若?AB→，D．若{OA→，OB【考點(diǎn)】空間向量基本定理及空間向量的基底；空間向量的夾角與距離求解公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量的模長(zhǎng)公式求出x的值，可判斷B選項(xiàng)；分析可知，AB→?AC→＞0且AB→、【解答】解：A（1，1，1）、B（2，3，4）、C（3，5，x），則BC→=(1，所以，BC→因此，不存在實(shí)數(shù)x，使得BC→⊥AC對(duì)于B選項(xiàng)，若存在實(shí)數(shù)x，使|ACAC→=(2，即20+（x﹣1）2＝5+（x﹣4）2，解得x＝0，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可得AB→若?AB→，AC→且AB→、AC→不共線，若AB→、AC→共線，則21所以，當(dāng)AB→、AC→不共線時(shí)，x≠因此，若?AB→，AC→?為銳角，則x＞-對(duì)于D選項(xiàng)，若OA→、OB→、OC→共面，則存在m、n∈R則m+2n=3因此，若{OA→，OB→，OC故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的基本定理，屬于中檔題．三．填空題（共4小題）13．（2024秋?雁江區(qū)校級(jí)期末）設(shè)x，y∈R，a→=(1，1，1)，b→=(1，y，z)，c→【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】由已知可得出a→?c→=0，可求出x的值，可得出向量c→的坐標(biāo)，再利用空間向量共線的坐標(biāo)表示求出y、z的值，可得出向量【解答】解：a→=(1，1，則a→?c→=x-b→=(1，則12=y-4=z2，解得故b→所以a→故|a故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量共線、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024秋?濟(jì)南期末）已知空間向量m→=（a，3，﹣1），n→=（4，1，﹣3），若m→⊥（m→-n【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；空間向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】2．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：若m→⊥（m則m→空間向量m→=（a，3，﹣1），n→=（4，則a2+9+1﹣（4a+3+3）＝0，解得a＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024秋?曲阜市校級(jí)期末）已知向量a→=(1，1，x)，b→=(1，2，【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】﹣8．【分析】先根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出c→【解答】解：因?yàn)閍→=(1，1，x)所以(c→+a→故答案為：﹣8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024秋?樂山期末）已知a→=（﹣1，2，0），b→=（3，1，2），則a→-2b→=【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（﹣7，0，﹣4）．【分析】結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則，即可求解．【解答】解：a→=（﹣1，2，0），b→=（3，則a→-2b→=（﹣1，2，0）﹣（6，2，4）＝（﹣7，故答案為：（﹣7，0，﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2024秋?永州期末）已知空間中三點(diǎn)A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0）．（1）若向量AB→-kAC→（2）求△ABC的面積．【考點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）1；（2）1652【分析】（1）求出AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，4，﹣3），AB→-kAC→=（1﹣5k，﹣4k（2）由AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，4，﹣3），求出cos＜AB→，AC→＞，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出【解答】解：（1）空間中三點(diǎn)A（0，2，3），B（1，2，﹣1），C（5，6，0），AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，4，﹣3），AB→-kAC→=（1∵向量AB→-k∴（AB→-kAC→）?AB→=1﹣5k﹣解得實(shí)數(shù)k＝1；（2）∵AB→=（1，0，﹣4），AC→=（5，∴cos＜AB→，∴sin＜AB∴△ABC的面積為：S==1=165【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量運(yùn)算法則、向量夾角余弦公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．18．（2024秋?開封期末）如圖，已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，M是棱BC的中點(diǎn)，N是線段OM的中點(diǎn)，記OA→=a→，（1）用a→，b→，c→（2）求|AN→|【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）AN→（2）114【分析】（1）由空間向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）由向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積運(yùn)算即可求解．【解答】解：（1）由題意，OA→=a→，且M是棱BC的中點(diǎn)，N是線段OM的中點(diǎn)，則AN=-（2）因?yàn)檎拿骟wOABC的棱長(zhǎng)為1，則|a→|=|所以|=a=9【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．19．（2024春?江寧區(qū)校級(jí)期中）已知空間中三點(diǎn)A（3，1，﹣1），B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3），設(shè)a→（1）若|c→|=3，且c（2）求以a→，b【考點(diǎn)】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示．【專題】整體思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）c→=(2，（2）3．【分析】（1）利用向量平行和向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示列式求解即可；（2）利用向量數(shù)量積和向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示求出夾角進(jìn)而求面積即可．【解答】解：（1）由B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3）可得BC→若c→∥BC又|c所以(2t解得t＝±1，所以c→=(2，（2）由A（3，1，﹣1），B（2，0，﹣1），C（4，1，﹣3）可得a→=AB所以|a→|=(-1)2所以cosA=所以sinA=所以S=|【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．20．（2024秋?無錫校級(jí)期中）如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且MN=12ON，【考點(diǎn)】空間向量基底表示空間向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】OM→=1【分析】根據(jù)M是BC的中點(diǎn)結(jié)合平行四邊形法則可表示出OM→；根據(jù)條件先表示出ON→，根據(jù)AN→=ON→-【解答】解：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M→所以O(shè)M→因?yàn)镸N=12所以AN→因?yàn)锳P=34所以O(shè)P→【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的加減，數(shù)乘運(yùn)算的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．充要條件的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】充要條件是指條件P和條件Q之間互為充分必要條件．即若P成立，則Q成立，若Q成立，則P也成立．用符號(hào)表示為P?Q．充要條件在數(shù)學(xué)中非常重要，因?yàn)樗鼈儽硎緝蓚€(gè)條件是等價(jià)的．【解題方法點(diǎn)撥】要判斷一個(gè)條件是否為充要條件，需要分別驗(yàn)證P?Q和Q?P．如果兩者都成立，則P和Q互為充要條件．通常可以通過邏輯推理和實(shí)例驗(yàn)證來進(jìn)行判斷．對(duì)于復(fù)雜問題，可以分步驟進(jìn)行驗(yàn)證，確保每一步推理的正確性．【命題方向】充要條件的命題方向包括幾何圖形的判定條件、函數(shù)的性質(zhì)等．例如，矩形的對(duì)角線相等且互相平分是矩形的充要條件．“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解”的一個(gè)充要條件是（）A．m≥1B．m≤1C．m≥2D．m≥0解：“方程x2﹣2x+m＝0至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解”的充要條件為“（﹣2）2﹣4m≤0”即“m≥1”．故選：A．2．平面向量的平行向量（共線向量）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】相等向量的定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識(shí)結(jié)合考察．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，圖中與AE→解：平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以圖中與AE→平行的向量有EB→，DF→，F(xiàn)C3．空間向量的夾角與距離求解公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量的夾角公式設(shè)空間向量a→=（a1，a2，a3），b→=（b1，b2cos＜注意：（1）當(dāng)cos＜a→，b→＞（2）當(dāng)cos＜a→，b→＞（3）當(dāng)cos＜a→，b→＞2．空間兩點(diǎn)的距離公式設(shè)A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），則AB→dA，B＝|AB→|=【解題思路點(diǎn)撥】1．求空間兩條直線的夾角建系→寫出向量坐標(biāo)→利用公式求夾角2．求空間兩點(diǎn)的距離建系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→利用公式求距離．【命題方向】（1）利用公式求空間向量的夾角例：已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），則向量AB→與ACA.30°B.45°C.60°D.90°分析：由題意可得：AB→=(0，3，3)，AC→=(-1，1，0)，進(jìn)而得到AB解答：因?yàn)锳（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以AB→所以AB→?AC→═0×（﹣1）+3×1+3×0＝3，并且|AB→|＝32，所以cos＜AB→，∴AB→與AC故選C．點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間中點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模，以及由向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)試題．（2）利用公式求空間兩點(diǎn)的距離例：已知空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），則A，B兩點(diǎn)間的距離是（）A.3B.29C.25D分析：求出AB對(duì)應(yīng)的向量，然后求出AB的距離即可．解答：因?yàn)榭臻g直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)A（3，﹣1，2），B（0，﹣1，﹣2），所以AB→=（﹣3，0，﹣4），所以|故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查空間兩點(diǎn)的距離求法，考查計(jì)算能力．4．空間向量基本定理、正交分解及坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→3．空間直角坐標(biāo)系在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以e1→，e2→，e3其中，點(diǎn)O叫做原點(diǎn)，向量e1→，e24．空間向量的坐標(biāo)表示對(duì)于空間任意一個(gè)向量p→，一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，得到向量OP→=p→，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x【解題方法點(diǎn)撥】1．基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a→2．空間向量的坐標(biāo)表示用坐標(biāo)表示空間向量的解題方法與步驟為：（1）觀察圖形：充分觀察圖形特征；（2）建坐標(biāo)系：根據(jù)圖形特征建立空間直角坐標(biāo)系；（3）進(jìn)行計(jì)算：綜合利用向量的加、減及數(shù)乘計(jì)算；（4）確定結(jié)果：將所求向量用已知的基向量表示出來．3．用基底表示向量用基底表示向量時(shí)，（1）若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平行四邊形法則，以及數(shù)乘向量的運(yùn)算律進(jìn)行．（2）若沒給定基底時(shí)，首先選擇基底．選擇時(shí)，要盡量使所選的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夾角是否已知或易求．5．空間向量基本定理及空間向量的基底【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，【解題方法點(diǎn)撥】基底的判斷判斷三個(gè)向量能否作為基底，關(guān)鍵是判斷它們是否共面，若從正面判斷難以入手，可以用反證法結(jié)合共面向量定理或者利用常見的幾何圖形幫助進(jìn)行判斷．假設(shè)不能作為一個(gè)基底，看是否存在一對(duì)實(shí)數(shù)λ、μ使得a→【命題方向】﹣向量定理和基底：考查如何應(yīng)用向量的基本定理以及如何選擇和使用空間的基底．6．空間向量基底表示空間向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．空間向量基本定理如果三個(gè)向量a→，b→，c→不共面，那么對(duì)空間任一向量p→，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p→=x任意不共面的三個(gè)向量都可作為空間的一個(gè)基底，a→，b→，2．單位正交基底如果空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，常用{e1→，e2→【解題方法