河北省石家莊市一中、唐山一中等“五個(gè)一”名校2025屆高三下學(xué)期第三次月考試題數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，若球的表面積為，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復(fù)數(shù)為 D．為純虛數(shù)3．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．4．若直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為，則（）A．1 B．2 C． D．35．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（）A． B． C． D．26．在展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為A．1 B．2 C．3 D．77．若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，則（）A．1 B．0 C． D．8．已知，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．9．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，設(shè)直線與軸正半軸所成的最小正角為，則等于()A． B． C． D．10．函數(shù)與在上最多有n個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)分別為（，……，n），則（）A．7 B．8 C．9 D．1011．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)在線段上，且，平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．12．設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．春天即將來(lái)臨，某學(xué)校開(kāi)展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng)．已知某種盆栽植物每株成活的概率為，各株是否成活相互獨(dú)立．該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株，設(shè)為其中成活的株數(shù)，若的方差，，則________．14．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____；系數(shù)最大的項(xiàng)是______.15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______．16．一個(gè)村子里一共有個(gè)人，其中一個(gè)人是謠言制造者，他編造了一條謠言并告訴了另一個(gè)人，這個(gè)人又把謠言告訴了第三個(gè)人，如此等等．在每一次謠言傳播時(shí)，謠言的接受者都是在其余個(gè)村民中隨機(jī)挑選的，當(dāng)謠言傳播次之后，還沒(méi)有回到最初的造謠者的概率是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，為等腰直角三角形，，D為AC上一點(diǎn)，將沿BD折起，得到三棱錐，且使得在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長(zhǎng)度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求線段的長(zhǎng).20．（12分）有最大值，且最大值大于.（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.(參考數(shù)據(jù)：)21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范圍.22．（10分）已知，，，，證明：（1）；（2）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由題意畫出圖形，設(shè)球0得半徑為R，AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π，可得R2=5，再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值，代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為，，，由，得．如圖：設(shè)三角形的外心為，連接，，，可得，則．在中，由正弦定理可得：，即，由余弦定理可得，，．則三棱錐的體積的最大值為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積，基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．2．D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式，分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，錯(cuò)誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.3．C【解析】

利用先求出，然后計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，,,故當(dāng)時(shí)，,數(shù)列是等比數(shù)列,則，故,解得,故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列前項(xiàng)和的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).4．A【解析】

將圓的方程化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€與圓相交所得弦長(zhǎng)為,所以直線過(guò)圓心,得,即.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點(diǎn)，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時(shí)，有最大值為，即，故..當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.6．D【解析】

求出展開(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)，問(wèn)題得解?！驹斀狻空归_(kāi)項(xiàng)中的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)分別為：,，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。7．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可．【詳解】解：∵，∴，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．8．D【解析】

分析：由題意結(jié)合對(duì)數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解：由題意可知：，即，，即，，即，綜上可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對(duì)于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對(duì)于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．9．A【解析】

設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為，由任意角的三角函數(shù)的定義可以求得的值，依題有,則，利用誘導(dǎo)公式即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)直線直線與軸正半軸所成的最小正角為因?yàn)辄c(diǎn)在角的終邊上，所以依題有,則，所以，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用對(duì)稱性，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：直線過(guò)定點(diǎn)且在是關(guān)于對(duì)稱如圖通過(guò)圖像可知：直線與最多有9個(gè)交點(diǎn)同時(shí)點(diǎn)左、右邊各四個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合，難點(diǎn)在于正確畫出圖像，同時(shí)掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì)，屬難題.11．B【解析】

先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面，然后利用面面平行的性質(zhì)定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個(gè)平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12．D【解析】

利用向量運(yùn)算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可知：，且，從而可得值．【詳解】由題意可知：∴，即,∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．14．【解析】

求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入可得出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)；求出項(xiàng)的系數(shù)，利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為；令，令，即，解得，，，因此，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的求解，同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解，涉及展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.15．2【解析】

利用AB中有且只有一個(gè)元素，可得，可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16．【解析】

利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式即可求解.【詳解】第1次傳播，謠言一定不會(huì)回到最初的人；從第2次傳播開(kāi)始，每1次謠言傳播，第一個(gè)制造謠言的人被選中的概率都是，沒(méi)有被選中的概率是．次傳播是相互獨(dú)立的，故為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相互獨(dú)立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）由折疊過(guò)程知與平面垂直，得，再取中點(diǎn)，可證與平面垂直，得，從而可得線面垂直，再得線線垂直；（2）由已知得為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出線段長(zhǎng)，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦．【詳解】（1）易知與平面垂直，∴，連接，取中點(diǎn)，連接，由得，，∴平面，平面，∴，又，∴平面，∴；（2）由，知是中點(diǎn)，令，則，由，，∴，解得，故．以為原點(diǎn)，所在直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則．又易知平面的一個(gè)法向量為，．∴二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查證明線線垂直，考查用空間向量法求二面角．證線線垂直，一般先證線面垂直，而證線面垂直又要證線線垂直，注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化．求空間角，常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空間角．18．（1）；（2）最小值為，此時(shí)【解析】

（1）消去曲線參數(shù)方程的參數(shù)，求得曲線的普通方程.利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)相互轉(zhuǎn)化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及三角函數(shù)最值的求法，求得的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）消去得，曲線的普通方程是：；把，代入得，曲線的直角坐標(biāo)方程是（2）設(shè)，的最小值就是點(diǎn)到直線的最小距離.設(shè)在時(shí)，，是最小值，此時(shí)，所以，所求最小值為，此時(shí)【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查利用圓錐曲線的參數(shù)求最值，屬于中檔題.19．（1）l：，C：；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；

（2）由（1）可得曲線是圓，求出圓心坐標(biāo)及半徑，再求得圓心到直線的距離，即可求得的長(zhǎng).【詳解】（1）由題意可得直線：，由，得，即，所以曲線C：.（2）由（1）知，圓，半徑.∴圓心到直線的距離為：.∴【點(diǎn)睛】本題考查直線的普通坐標(biāo)方程、曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長(zhǎng)的求法、運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)椋?，分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在上遞增，在上遞減，可得出，由，構(gòu)造函數(shù)，證明出，進(jìn)而得出，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可證得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，此時(shí)函數(shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)為最大值；當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、且，，，構(gòu)造函數(shù)，其中，，令，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，則.所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，即，即，，且，而函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的最值求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，利用所證不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.21．（1）；（2）.【解析】

（1）對(duì)范圍分類整理得：，分類解不等式即可．（2）利用已知轉(zhuǎn)化為“當(dāng)時(shí)，”恒成立，利用絕對(duì)值