第四章：三角函數(shù)(模塊綜合調(diào)研卷)

(19題新高考新結(jié)構(gòu))

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的)

,、2sin(K-cr)+sin—+a

1.e|0"-|>cos2(z=-|,則-------------z--------()

I2J5,、(3TII

COS(H+a)+cosva

5

A.3B.-3C.5D.-

3

【答案】C

【分析】由倍角余弦公式、平方關(guān)系求得cosa=@,sinc=也，進(jìn)而有tan(z=2,再應(yīng)用誘導(dǎo)公式、

55

弦化切求目標(biāo)式的值.

【詳解】因?yàn)閏os2a=2cos2a-1=一3，?,所以cosa=正，sina=,

5I2j55

2sin(兀一a)+sin

2sina+cosa2tana+15$

J后/T二I'ltano?c-o2,/R/T二l、l(

3兀、1-cosa+sina-1+tana1

cos(兀+a)+cos----FCC

2)

故選：c

2.將函數(shù)/(x)=cos(2x-《j圖象上的所有點(diǎn)向左平移,個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則()

型

A.g(x)=8s2AB.g(x)在上單調(diào)遞增

(3

C.g(x)在0,：上的最小值為日

D.直線x是g(尤)圖象的一條對(duì)稱軸

【答案】D

【分析】由平移變換內(nèi)容得g(x)=/卜+7J=sin2x可判斷A；求出g(x)的增區(qū)間可判斷B；依據(jù)2%的范

圍即可求出g(x)的值域即可判斷C；根據(jù)對(duì)稱軸方程求解g(尤)的對(duì)稱軸方程即可判斷D.

7t(c371.?

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,由題意，可得g(x)=fx+7=cos—=cos2x-\-----|=sin2x,

6I2J

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,令一g+2EW2尤43+2E(左eZ),n+EWx+(左eZ),

所以g(x)在g：上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閤e0,1-,所以2xe0件,故sin2xe[0,1],

IT

??.g(x)在0,-上的最小值為0,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)g(x)=sin2x的對(duì)稱軸方程為2x=M+](左eZ),

化簡(jiǎn)可得x*+伊eZ),取I,可得用,

所以'號(hào)是g(“圖象的一條對(duì)稱軸，故D正確.

故選：D.

3.魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正24576邊形，求出圓周率兀約等于謂，和兀相比，其誤差小

于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才被打破.若已知兀的近似值還可以表示成4sin52。，則

71A/16-7T2

的值約為(

4

1

A.-32B.C.32D.

3232

【答案】C

?J16-兀2

【分析】將兀=4sin52。代入3,結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

cos3.5°+sin3.5°——

4

71^16-712

【詳解】將兀=4sin52。代入.3，

cos3.5+sin3.5——

4

71V16-712

可得3

cos43.5°+sin43.5°--

4

4sin52°-4cos52°

<1+COS7°Y<1-COS7°Y3

8sin104。

—cos27°-—

24

8sin104°

-（l+cosl4°）--

44

8cos14°__

=1---------=32

—cos14°

4

故選：c.

4.將函數(shù)y=2sin[2x+^]的圖象向右平移。（。>。）個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短

到原來(lái)的得到函數(shù)AM的圖象.若Ax）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則。的最小值為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)圖象平移寫(xiě)出Ax）解析式，結(jié)合對(duì)稱中心列方程求參數(shù)夕的表達(dá)式，即可得最小值.

【詳解】令gQ）=2sin（2x+=],

71

圖象向右平移夕（。>。）個(gè)單位長(zhǎng)度，貝!Jg（x—0）=2sin（2x—2。十:），

6

再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的J1,則“X）=2sin（4x-2o+gjr）,

又“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)事0）中心對(duì)稱，則嗎）=2sin（y-29+a=0,

所以1_2e=E#eZ,則°=9，左eZ,又0>0,故0n手

故選：A

5.函數(shù)/（x）=Asin（0x+°）（。>0,|。|<]）的部分圖象如圖所示，了⑺的圖象與y軸交于M點(diǎn)，與x軸

交于C點(diǎn)，點(diǎn)N在圖象上，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.函數(shù)〃無(wú)）的最小正周期是無(wú)

B.函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于點(diǎn)［不,0j對(duì)稱

C.函數(shù)Ax)在卜會(huì)-弓］單調(diào)遞增

IT

D.函數(shù)/(無(wú))的圖象向右平移;后，得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)為奇函數(shù)

【答案】C

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱得到C點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得到最小正周期T=TT；B選項(xiàng)，根據(jù)〃尤)

的圖象關(guān)于點(diǎn)。,寸稱和最小正周期得到B正確；C選項(xiàng)，求出。='=2,將［J,/代入解析式求出

夕=三，A>0,從而利用整體法判斷出了(x)在卜合一胃不單調(diào)；D選項(xiàng)，求出g(x)=Asin2x,得到其奇

偶性.

【詳解】A選項(xiàng)，點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，故0+T兀，

x=-----------=—

cr23

1Tt(jr?jr

設(shè)/(X)的最小正周期為T(mén),則57=§一［一71=5,故7=兀，A正確;

B選項(xiàng)，可以看出函數(shù)AM的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

又了⑺的最小正周期7=兀，

故函數(shù)Ax)的圖象關(guān)于點(diǎn)［￡,()］對(duì)稱，B正確；

2兀

C選項(xiàng)，又切>0,故刃=7=2,

寸［-/=M，故將［A，A］代入解析式得ASin12X2+"］=A,

2~V2J

7T7T

解得一+0=—+2E,左EZ,

62

又1。1<。故當(dāng)且僅當(dāng)上=0時(shí)，滿足要求，故。=『

ZJ

TT

又當(dāng)％=0時(shí)，/(x)=Asinj>0,故A>0,

貝l］/(x)=Asin(2x+］］,

(71兀c兀兀八、

當(dāng)r'一5，-"時(shí)，2尤+§/十2可毋

由于y=sinz在z—■],0j上不單調(diào)，

故=Asin^2x+^在Xe[gj]上不單調(diào)，C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，g(x)=Asin^2x+1-1^=Asin2x,定義域?yàn)镽,

Xg(-^)=Asin(-2x)=-Asin2x=-g(x),g(%)為奇函數(shù)，D正確.

故選：C

6.若sin(a-20)=則sin(2a+50)=()

'7tan20-V3')

1177

A.-B.一一C.——D.-

8888

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知可得sin(a-20)=-1,再利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值.

sin20sin20°cos20°

【詳解】根據(jù)題意,singer-20

tan20-^3sin20°-石cos20°

-sin40°

sin20°cos20°sin20°cos20°sin20°cos20°=2_____1

2sin(-40°)-2sin40°-2sin40°4'

2—sin20°-cos20

22

而sin(2a+50)=sin(2a—40+90)=cos2(a-20)

=l-2sin2(^-20)7

8

故選：D

7.古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種

三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)cot6=」，正割函數(shù)sec6>=—^,余割函數(shù)cscO=一二，

tanczcos61sin

正矢函數(shù)versin0=1-cos0,余矢函數(shù)vercos，=1-sina如圖角6始邊為x軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓

交點(diǎn)尸，A、8分別是單位圓與x軸和y軸正半軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作EW垂直x軸，作尸N垂直了軸，垂足

分別為M、N,過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，過(guò)點(diǎn)6作了軸的垂線分別交。的終邊于T、S,其中PS、BS、

N3為有向線段，下列表示正確的是()

B

Ax

A.versin0=AMB.esc?=PS

C.cotO=BSD.sec9=A?

【答案】C

【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知sin9=MP,COS3=OM9tan，=AT,然后結(jié)合新定義簡(jiǎn)單

計(jì)算可判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意，易得M9MP:WMT:YS5O:VPNO,

對(duì)于A,因?yàn)閘-cos夕=1-OA/=MA,BPversinO=MA,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，csc8='=工=黑=要=OS,故B錯(cuò)誤；

sin0MPMPOP

iir）AnT

對(duì)于D,根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得sec。=--=--=y—=^-=OT,故D錯(cuò)誤.

cos6OMOMOP

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題屬于新定義題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似

三角形相似比求解，注意有向線段.

8.己知函數(shù)/（x）=sin（0x+0）（0>O,|"|<5的圖象關(guān)于x=-?對(duì)稱，且/仁1=0,/⑴在全野上單

調(diào)遞增，則。的所有取值的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.4C.1D.2

【答案】D

【分析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱性和單調(diào)性的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】由于函數(shù)/?=sin（s+。）［。>0,|。|<的圖象關(guān)于x=-1對(duì)稱，

貝!J：—~—co+（p=kx7i+—,（左jwZ）①），

由于=所以20+0=%2乃（keZ）②，

②一①得：3①=（k?_k）兀_3,

故。為奇數(shù)，

711\JI

且/⑺在上單調(diào)遞增，

所以二=工±止一生，解得0<048.

2?243

當(dāng)左2-K=1,2,3,4,

故外的取值為：1,3,5,7,

jr

當(dāng)G=1時(shí)，可以求得/(尤)=5皿犬-7),

6

xe[，W]時(shí)，了一胃可胃，富仁[一9芻，滿足條件；

_324J662422

當(dāng)。=3時(shí)，因?yàn)樗?lt;拳所以不滿足條件；

7T

當(dāng)口=5時(shí)，/(x)=sin(5x+—),

6

?11萬(wàn)L_LL兀?59?_,「3?5兀、ert./工

XG

時(shí)，5x+—G[———]o[—,—],滿足條件；

_J，4J662422

jrjr137r737r

當(dāng)口=7時(shí)，/(x)=sin(7x--),7x--e[—,—],既有增區(qū)間，又有減區(qū)間，

66624

所以不滿足條件；

所以滿足條件的。的所有取值的個(gè)數(shù)是2,

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，正確解題的關(guān)鍵是要明確正弦型函數(shù)的對(duì)稱

性與單調(diào)性.

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分)

7112

9.若。〈?！础慈f(wàn)，且cosacosP=—,tanatm/3=—,貝|()

A.cos(a+/7)=gB.sin(a-/)=一^^

c5c兀

C.cos2a=——D.B<—

363

【答案】BD

【分析】

根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合兩角和(差)的正弦余弦公式逐一判斷即可.

【詳解】

由題意可得sinasin尸=cosacos/?tanatanf3=一,

所以cos(i+分)=cosacos用一sinasin尸=：,故A錯(cuò)誤;

cos^a-f3^=cosacosj3+sinasin/?=—,

6

IT

因?yàn)?<a<(3<—,

所以一:一力<0,所以sin(a_￡)=-Jl-cos?(a—尸)=,故B正確;

2v6

因?yàn)椤?lt;二</?<?,所以sin(a+/?)="l_cos2(a+夕)=在5,

26

所以cos2a=cos[(a+4)+(a-y0)]

=cos(a+〃)cos(1一￡)-sin(a+夕)sin(a—尸)=§+1385,故錯(cuò)誤:

36

cos2；0=cos[(a+￡)-(a-/7)]

=cos(a+,)cos(a-/)+sin(a+尸)sin(a-=

36

日n-A5-A/'3855—2012兀

即cos2B=——-——>------->——=cos——

363623

因?yàn)?。＜￡＜金TT，所以。＜2￡＜兀，

故24＜g,所以4＜],故D正確.

故選：BD

10.已知/(%)=卜inx|+cos|x|,則()

A.〃元)的最小正周期是兀B.〃尤)在；,兀上單調(diào)遞減

C.VXGR,/(%)=/(271-X)D.的值域是卜夜，應(yīng)]

【答案】BC

【分析】對(duì)于A,計(jì)算/(》+兀)是否等于/(X)可判斷A；根據(jù)正弦型函數(shù)丫=$也芯的單調(diào)性可判斷B；計(jì)算

/(2兀一%)是否等于/(%)可判斷C；分兀+2E、兀+2Evxv2E+2兀/cZ求出/(%)的值域可判斷

D.

【詳解】對(duì)于A,/(x+Ji)=|sin(x+7r)|+cos|x+7r|=|sin(x+7r)|+cos(x+K)=|sinx|-cosx|sinx|+cosx=f(x),

故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,當(dāng):兀時(shí)，有/⑴=卜欣|+cosIxl=sinx+cosx=>/2sinx+^

止匕時(shí)+寧〈自，顯然是〃x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間，所以〃x)在：,兀上單調(diào)遞減，故B正確；

對(duì)于C,VXGR,/(2K-x)=|sin(2TI-x)|+COS|2TL-^|=|sin(2K-x)|+cos(2K-x)=|sinx|+cosx=/(x),故C

正確；

對(duì)于D,當(dāng)2kliVx<兀+2版,左￡Z口寸，/(%)=|sinx|+cos|x|=sinx+cosx=y/2sinG[-1,行],

當(dāng)兀+2E<x<2^7I+2TT,keZ時(shí)，/(x)=|sinx|+cos|x|=-sinx+cosx=-A/2sin^x-^e(一1,拒],

所以了(%)的值域是/L&],故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.已知函數(shù)〃另=08也(8+夕)(0>0,。<。<3，/(x)為的/(x)導(dǎo)函數(shù)，且滿足"0)=1,則下列結(jié)

論中正確的是()

A71

A.V=-

B.函數(shù)g(x)="力+尸(x)的圖象不可能關(guān)于y軸對(duì)稱

C.若〃x)最小正周期為2兀，且/(a)=1,貝ijsin2a=-卷

D.若函數(shù)在卜：5]上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是(3,5]

【答案】ACD

【分析】代入了(。)=1即可求解A,根據(jù)。=1,結(jié)合輔助角公式即可求解B,根據(jù)二倍角公式即可求解C,

根據(jù)/(%)可得最值點(diǎn)滿足0無(wú)+：=]+E#eZ,即可列不等式求解D.

【詳解】對(duì)于A,f(0)=yflsmcp=1=＞sin^=,由于。＜夕＜，所以夕=/A正確,

224

對(duì)于B,g(%)=/(x)+/'(x)=&sin(s+9)+V^cos((uv+9),

當(dāng)G=1時(shí)，g(x)=V^sin[%+；]+0cos[x+；]=2sin[%+')=2cosx為偶函數(shù),

其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于c,“X)最小正周期為2兀，所以G=1,故/(X)=&sin[x+",

216..c16F”

故網(wǎng)20+^=l-2sinf+—,即13rsm2a=-----,C正確,

2525

71

對(duì)于D,因?yàn)?(x)=0sinCOXH---

4

兀7177r..J71kiti)

令A(yù)cox~\—=—Fkit,左￡Z,貝x------1----，左￡Z,

424。g

,,7K3K7i5TI

故尤=一--‘

4①4。4①4。

由于“X)在上恰有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn),

根據(jù)對(duì)稱可知這兩個(gè)極值點(diǎn)分別為-，

4G4G

7兀<兀<3兀

4。44①

故《，解得3<GW5,故D正確,

兀兀5兀

—<—<—

4。44。

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，利用整體代入法求得f(x)的最值點(diǎn)，從而得到關(guān)于。

的不等式，由此得解.

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.已知+貝l]sin]2x+gj=.

7

【答案】25/0,2S

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式可求解cos(2x+j=],進(jìn)而根據(jù)誘導(dǎo)公式即可化簡(jiǎn)求值.

【詳解】由c°s[x+]]=M得2cos+-l=cos(2%+￡]=2x[g]一1=(,

.(.2兀、.(.兀兀、<兀、7

sin2x-\-----=sin2x-\-------F—=cos2x+—=——,

I3)I62)I6)25

故答案為：(

13.已知函數(shù)〃x)=sin(s+e)(0>0,的最小正周期為T(mén),/[]=/[]，若在[0』內(nèi)恰

有10個(gè)零點(diǎn)則。的取值范圍是.

【答案】[9兀,10兀)

【分析】由=可得sin，+j=sin+Q,進(jìn)而可求夕，進(jìn)而根據(jù)〃x)在［0』內(nèi)恰有10

個(gè)零點(diǎn)，可求。的取值范圍.

【詳解】函數(shù)〃x)=sin(ox+0)(。＞0,冏＜5)的周期為7=生，

2o)

又所以/㈢=/

「71}?(2兀'］，即sin1|"+9］=sin+夕），

所以sincox---\-(p=sincox---

I3@J13G

712TI

因?yàn)閮姿?+0+可+0_7）解得夕=0,

22-2＞

所以/(x)=sins,因?yàn)閤e［0,l］,所以0＜GXKG,

要使f(x)在［0』內(nèi)恰有10個(gè)零點(diǎn),貝（J9兀＜〃＞＜1071.

所以。的取值范圍是［9兀,10兀).

故答案為：［9私10兀).

14.函數(shù)y=2sin＜ax+2j^cos2與--&（刃＞0）在區(qū)間［0,間上的值域?yàn)?/^,3］,則sin械＞的取值范圍

為_(kāi)____.

【答案】用

cos?望一向＞＞0）得y=3sin（G%+。），其中sin6=當(dāng),cos（9=-|,再

【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)y=2sins+26

利用函數(shù)V=3sin（5+。）在區(qū)間［0,間上的值域?yàn)椴?,3］,可得三改4%-2d,從而得到

sin-6^<sin機(jī)0Wsin（萬(wàn)一28）,再結(jié)合sin6>^2

，COS0=-f利用三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可得

y=2sincox+2A/5COS2-45=2sins+逐12cos2-汨

2

=2sins+^coss=3sin（0%+e）,其中sin0=,cos9=一,刃＞0,

3

函數(shù)y=3sin（&x+。）在區(qū)間［0,向上的值域?yàn)椴泛螅?3］，

ie_

??.當(dāng)y=3sin（Gx+夕）=3時(shí)，cox+0=—9x———-

22（L)

當(dāng)y=3sin（0x+6）=時(shí)，cox-\-0-0^a>x-\-0=7V-0,則％—0或x=，

CD

兀-26//九一2871-20/

-----<m<,貝n！iJl<m①<71—20,

2coeo-------2

sin0==sin—,cos:?二<3<],

324342

:.-<ie<7i,O<7T-20<-,貝!]0<匹一6<二，

2224

/.sin----0<sinmcoVsin(萬(wàn)一26),

X'''siR\J~~j=C0S~5，sin-20)=sin20=2sin0cos0=,

2一.J小

..—<sinma><---

39

「?sinMO的取值范圍為:

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

71

15.己知函數(shù)“無(wú))=sinX--

(1)若/(%)=:，x()e[0,27i],求％的值;

(2)設(shè)g(x)=/a>cos尤，求g(x)在區(qū)間0,。上的最大值和最小值.

.人人-.},..、5兀_p_137c

【答案】(1)石■或w

(2)最大值為工-變，最小值為一正

242

【分析】(1)根據(jù)條件，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)條件得到g(x)=gsin(2x-：)-乎，再利用y=sinx的圖象與性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】(])因?yàn)?x)=sin(x-1,由〃%)=3，得到sin(xo-：)=；,

解得x0——=—+2kli(k￡Z)或%=—+2kli(kGZ),

4646

STT1317r

即與=石_+2加依eZ)或尤0=—+2far(^eZ),又％e[0,2可,

所以修《或薦

(2)因?yàn)間(x)=/(x)?cosx=sin(x--^)?cosx=(sinxcosx-cos2x)=(^-sin2x-+

=-sin(2x--)--,

244

令”2「，因?yàn)門(mén)o,.得至。

由>=5皿彳的圖象與性質(zhì)知，$也€[-*,1],所以g(x)e-￥，g

所以g(x)在區(qū)間0今上的最大值為:一號(hào)，最小值為一日.

16.設(shè)方=光-V,z=tanx—tany.

(1)若X,y均為銳角且t=￡,求Z的取值范圍;

(2)若，=夕且z=3,求cos(x+y)的值.

0

【答案】⑴(L”)

(2)1-^

32

TT

【分析】(1)由題設(shè)條件求得把z表示成關(guān)于y的函數(shù)形式，再整理成對(duì)勾函數(shù)，利用其單調(diào)性

即可求得z的取值范圍；

(2)將條件等式化切為弦，逆用差角公式求得cosxcosy=,，再利用差角公式求得sinxsiny=3-工，最

626

后代入和角公式計(jì)算即得.

八九

0<%<—

2

17TTTTT

【詳解】(1)由0。<彳，可得，o<y<%%=y+?

244

71

x—y=—

[4

「er(兀、tany+1-(1-tany)+2

所以z=tanx-tany=tany+-—tany二--------tany=----------------------tany

I4J1-tany1-tany

22

=------------tany-l=------------F(1-tany]-2

1-tany1-tany

記.=l_tany,因0<y<T^T,可得fe(O,l),因函數(shù)/?)=：2+/在(0,1)上單調(diào)遞減，故/(。>/(1)=3,則z>l,

故z的取值范圍是(1,+e).

71

(2)tanx—tany=3,且x-y=一,

6

則：sinxsiny_sinxcosj-cosxsiny_sin(x-y)_2即得：cosxcosj；=-,

====36

cosxcosycosxcosycosxcosycosxcosy

又由cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny=,整理得：sinxsiny=-^-~—，

故cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny=+—=-

v762632

17.已知函數(shù)=26sinxcosx_2cos2x+1.

⑴若，求/(X)的值域;

⑵若關(guān)于％的方程/(%)-I=。有三個(gè)連續(xù)的實(shí)數(shù)根毛，4，x3,且玉<%2<%3，%+2石=3元2,求〃的值.

【答案】⑴[-四,2]

⑵±1

【分析】(1)將2%-?看成整體角z由xeY，空求得判斷y=sinz的單調(diào)性，求得函數(shù)

O_123」36

y=sinz的值域，繼而得〃x)的值域;

⑵結(jié)合函數(shù)(，的圖象，得=占+兀和X+X,ku兀，-r./口kji兀，一

”x)=2sin2x-]X3―^二——+一,左eZ,求得玉=kwZ,

22326

由方程a=2sinE+己即可求得a直

【詳解】(1)/(x)=2^3sinxcosx-2cos2A:+1=\/3sin2x-cos2x=2sin2x----

I6

712兀.-71?,717兀

因工￡z=2x~—,貝!

一123」636

因y=sinz在勺上單調(diào)遞增，在吟，當(dāng)上單調(diào)遞減，

3226

ffijsin(--)=-^-,sin—=--，故一^^Wsinjzx—殳]<1.

32622I6J

則—6</⑴W2,「./(%)的值域?yàn)椴?2].

(2)如圖，因〃x)=2sin12x-胃的最小正周期為兀，

當(dāng)〃=±2時(shí)，易得%2=%+兀,％3=須+2兀，不滿足七+2玉=3%,故舍去,

兀

當(dāng)一2<。<2時(shí)，依題意：%；=占+兀，代入七+2玉=3%得：%=X1+§-

I.-71,71,r—/口kjl71,r

由2x—=kuH—,k￡Z,可r付x-----1—,k￡Z.

6223

?X+Xr.ku71ir?八、、71/nkit71__

由—x--=—+—,左eZ,代入入2=玉+；，斛At1得再二丁+二，keTa,

223326

,"2sm]24+W用=2sm]E+'keZ,

當(dāng)左=2〃,〃eZ時(shí)，2sin[4兀+￡)=2sin|2〃兀+1)=1,〃eZ；

當(dāng)左=2〃+l,〃eZ時(shí)，2sin[加+看)=2sin12rar+看)=-1,〃eZ,

a)x+(p

18.已知函數(shù)/(x)=6sin(s:+?)+1-2cos之0>0,閘苦為奇函數(shù)，且〃尤)圖象的相鄰兩條對(duì)

TT

稱軸間的距離為7.

2

⑴求了(力的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)將函數(shù)/(X)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的;(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)

6/

y=g(x)的圖象，當(dāng)口嗚時(shí)，求方程2g2(%)+J§g(%)一3=0的所有根的和.

冗37r

【答案】(l)/(%)=2sin2x,—+kjt,—+kn,kwZ

,、5兀

”?

【分析】(1)利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解;

(2)利用圖象變換法，求得y=g(x)的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得g(x)的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)

的圖象和性質(zhì)分析求出即可.

【詳解】(1)由題意可得：

①x+(p:因?yàn)橥饬D象的

/(%)=6sin(3+夕)+1-2cos之=括sin(<wx+夕)-cos(ox+(P)=2sin]GX+0一弓

2

jr

相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為5,

所以“X)的最小正周期為7=兀，即可得0=2,

又/(X)為奇函數(shù)，則=

6

又所以9故/(x)=2sin2x.

jr3冗jr37r

令一+2kn<2x<---F2kji,左eZ,得一+---卜kit,kjZ,

2244

jr3冗

所以函數(shù)的遞減區(qū)間為-+ht,^+kn，左eZ.

(2)將函數(shù)的圖象向右平移煮個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=2sin(2xjj的圖象,

再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的!，得到函數(shù)V=g⑺=25畝]以-3的圖象，

又2g2(%)+6g(x)-3=0,則g(x)=-6或g(尤)=5，

=_,或si“4嗯)二號(hào).

即sin4x-j

令z=4x—1,當(dāng)時(shí)，z=4x--|e^-y,^,

■關(guān)于直線Z=；對(duì)稱，即Z]+Z2=?l,

，4)2

sinz=.3有馬=竺

23