專題06解三角形及應(yīng)用（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）（原卷版）專題06解三角形及應(yīng)用（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）（原卷版）/專題06解三角形及應(yīng)用（3大易錯(cuò)點(diǎn)分析+解題模板+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（新高考專用）（原卷版）專題06解三角形及應(yīng)用易錯(cuò)點(diǎn)一：易忽視三角形解的個(gè)數(shù)（解三角形多解情況)1．方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和Ａ?xí)r,解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無解2.在解三角形題目中,若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,要選擇“邊化角"或“角化邊"，變換原則常用:(1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（２）若式子含有的齊次式,優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”;（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”;（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（６)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角(或三個(gè)自由角)時(shí)，要用到。技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系,正弦定理能夠解決兩類問題問題1：已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解.問題2:已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。題設(shè)三角形中,已知一個(gè)角和兩個(gè)邊，判斷三角形個(gè)數(shù),遵循以下步驟第一步:先畫一個(gè)角并標(biāo)上字母第二步:標(biāo)斜邊（非對(duì)角邊）第三步：畫角的高,然后觀察（）易錯(cuò)提醒：利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，易忽視三角形解的個(gè)數(shù).例．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是(

）A．若，則B.若，則為鈍角三角形C。若，則符合條件的有兩個(gè)D．若,則為等腰三角形或直角三角形變式1．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,則下列說法正確的是（

)A.B。若，且,則為等邊三角形C。若,則是等腰三角形D．在中，，則使有兩解的的范圍是變式2。在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為．則下列結(jié)論正確的是（

）A.若，則B．若，則角為鈍角C.若均不為直角,則Ｄ。若,則唯一確定變式3。在中，角，,所對(duì)的邊分別是，,，下列敘述正確的是（

）Ａ．若,，,則滿足條件的三角形有且只有一個(gè)Ｂ．若,則為鈍角三角形C．若,則為等腰三角形D.若不是直角三角形,則１．在中,已知，，若有唯一值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A。 Ｂ.C．?D．2。在中,角所對(duì)的邊為，有如下判斷,其中正確的判斷是（

)A．若，則為等腰直角三角形Ｂ．若，則Ｃ。若，則符合條件的有兩個(gè)D．在銳角三角形中，不等式恒成立3．在中,角所對(duì)的邊分別為,以下說法中正確的是（

）Ａ．若，則Ｂ．若,則符合條件的三角形有一個(gè)Ｃ．若，則為鈍角三角形D。若,則直角三角形4.的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，ｂ，ｃ，則下列說法正確的是（

)A。若，則B.若,，,則有兩解C．若為鈍角三角形，則Ｄ。若，則此三角形為等腰三角形5.對(duì)于△ABC，有以下判斷，其中正確的是（

)A．若，則△ABC為等腰三角形B．若,則C．若，，，則符合條件的三角形有兩個(gè)D．若,則△ABC是銳角三角形6．對(duì)于，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A.若，則為等腰三角形B.若，則Ｃ．若，則符合條件的有兩個(gè)D．若，則是鈍角三角形7．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說法正確的是（

)A．若,則Ｂ.若,則C.若,則為等腰三角形D.若,，，則只有一解8.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為則下列說法正確的是（

)A．若，則有一個(gè)解B．若，則有兩個(gè)解C．若，則為等腰三角形D．若，則為鈍角三角形９.的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為ａ,b，ｃ,則下列說法正確的是(

）Ａ。若,則B.若,，,則有兩解C。若為鈍角三角形，則D．若，，則的面積是3１0．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為、，則下列說法正確的是（

)Ａ.若,則Ｂ.若,則有兩解Ｃ．若為鈍角三角形,則Ｄ。若三角形為斜三角形,則1１．對(duì)于中,有如下判斷,其中正確的判斷是（

)Ａ．若,，，則符合條件的有兩個(gè)B。若，則為等腰三角形或直角三角形C．若，則的最小值為D.若點(diǎn)在所在平面且,，則點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心易錯(cuò)點(diǎn)二：解三角形時(shí),出現(xiàn)類似于sin2Ａ=siｎ2B易漏解（解三角形問題）《正弦定理》①正弦定理：②變形:③變形：④變形:⑤變形：《余弦定理》①余弦定理：②變形:核心問題：什么情況下角化邊？什么情況下邊化角？⑴當(dāng)每一項(xiàng)都有邊且次數(shù)一樣時(shí),采用邊化角⑵當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊⑶當(dāng)每一項(xiàng)都是邊時(shí)，直接采用邊處理問題⑷當(dāng)每一項(xiàng)都有角《》及邊且次數(shù)一樣時(shí)，采用角化邊或變化角均可三角形面積公式①②其中分別為內(nèi)切圓半徑及的周長(zhǎng)推導(dǎo):將分為三個(gè)分別以的邊長(zhǎng)為底,內(nèi)切圓與邊相交的半徑為高的三角形，利用等面積法即可得到上述公式③（為外接圓的半徑）推導(dǎo):將代入可得將代入可得④⑤海倫公式（其中）推導(dǎo)：根據(jù)余弦定理的推論令，整理得正規(guī)方法：面積公式+基本不等式①②③易錯(cuò)提醒:當(dāng)解題過程中出現(xiàn)類似于sｉn２A＝sｉn2Ｂ這樣的情況要注意結(jié)合三角形內(nèi)角范圍進(jìn)行討論，另外當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)銳角三角形時(shí)一定要注意條件之間的相互“限制”例.對(duì)于，有如下命題:①若,則為等腰三角形;②若，則為直角三角形；③若,則為鈍角三角形。其中正確命題的序號(hào)是(

）Ａ．①② B.①③ C．③?D．②③變式1。在ΔAＢC中，已知,那么ΔABC一定是(

)A．等腰或直角三角形?B.等腰三角形Ｃ．直角三角形?D。等邊三角形變式2．在中,三個(gè)內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為a，ｂ，c，若，則是（

）Ａ.直角三角形?B.等邊三角形C。等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形變式3．在中,角所對(duì)的邊分別為，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)（

)(1）若，則(2）若，則一定為等腰三角形(3)若，則一定為直角三角形（4）若,且該三角形有兩解,則邊的范圍是A．1 B。２ C。３ D．４1。在中,，則（

)A.為直角?B.為鈍角?C．為直角 Ｄ．為鈍角２．在中，若，則該三角形的形狀一定是(

)A.等腰三角形 B。等腰直角三角形Ｃ.等腰三角形或直角三角形?D。等邊三角形3．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，若，則的形狀為（

）A．正三角形 B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．直角三角形?D。等腰直角三角形4．在中,三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為,，，若，則的形狀為（

)Ａ。等腰三角形 B．等邊三角形C。等腰直角三角形?D．等腰或直角三角形5.在中,內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，,則是(

)A．等腰三角形 B．直角三角形Ｃ。等腰直角三角形?Ｄ．等腰或直角三角形6．已知的內(nèi)角A，B，Ｃ所對(duì)的邊分別為a，b，ｃ,,且,則一定是(

）Ａ．等腰三角形 B。鈍角三角形?C。直角三角形 D.銳角三角形７.在中，已知，則的形狀為（

）A．直角三角形 Ｂ.等腰三角形?C。等腰直角三角形?Ｄ．等腰或直角三角形8．在△AＢC中,角A、Ｂ、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,若則該三角形一定是(

）A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形9。在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，則的形狀是(

)。A.等腰三角形?B。直角三角形 C．等腰直角三角形?D。等腰或直角三角形10.在中，若，則這個(gè)三角形是(

）Ａ.底角不等于的等腰三角形 Ｂ.銳角不等于的直角三角形C。等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形1１.的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為且滿足，且，則的形狀是（

）A。等腰三角形 B．等邊三角形C。等腰直角三角形?Ｄ.等腰三角形或直角三角形易錯(cuò)點(diǎn)三:實(shí)際問題中題意不明致誤(利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題）解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題的類型及解題策略1、求距離、高度問題（１）選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程（組），解方程（組）得出所要求的量.（2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.2、求角度問題(1）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫圖時(shí)，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準(zhǔn)確找到這些角。（2)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后,注意正、余弦定理的綜合應(yīng)用.易錯(cuò)提醒:實(shí)際問題應(yīng)用中有關(guān)名詞、術(shù)語也是容易忽視和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具體含義例.如圖所示,，兩處各有一個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向18km處,的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面處建一個(gè)發(fā)電廠,利用垃圾發(fā)電．要求發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離（單位:ｋm）與它們每天集中的生活垃圾量（單位:噸）成反比，現(xiàn)估測(cè)得,兩處中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為40噸和50噸．

（１)當(dāng)時(shí)，求的值;（２）發(fā)電廠盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)，也即要求的面積最大，問此時(shí)發(fā)電廠與垃圾中轉(zhuǎn)站的距離為多少?變式１。為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問題,某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型"氣候儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣候觀測(cè)，Ｂ,Ｃ，D三地位于同一水平面上,這種儀器在B地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn),兩地相距,，在Ｃ地聽到彈射聲音的時(shí)間比D地晚秒，在C地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)Ａ處的仰角為．（已知聲音的傳播速度為），求:

（1)B,Ｃ兩地間的距離；（2）這種儀器的垂直彈射高度AB．變式2。南京市人民中學(xué)創(chuàng)建于1887年,是南京市辦學(xué)歷史最長(zhǎng)的中學(xué)之一，位于南京市的珠江路南側(cè),中山路東側(cè)，長(zhǎng)江路北側(cè)如圖所示的位置。南京人民中學(xué)到長(zhǎng)江路和中山路十字路口約３30米，長(zhǎng)江路和中山路夾角約為70。5°，現(xiàn)小王和小張正位于如圖所示的位置分別距長(zhǎng)江路和中山路十字路口200米,300米，并分別按如圖所示的方向散步，速度均為６0米／分鐘

(1)起初兩人直線距離多少米？（參考數(shù)據(jù)：）；（2)t分鐘后兩人間直線的距離是多少？（從現(xiàn)位置開始計(jì)時(shí)到小張到南京市人民中學(xué)大門結(jié)束）；(3）什么時(shí)候兩人間的直線距離最短,最短距離時(shí)多少？（忽略路寬?等侯紅綠燈時(shí)間）變式３．如圖，某城市有一條從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北方向的公路，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路,并在上分別設(shè)置兩個(gè)出口在的東偏北的方向(兩點(diǎn)之間的高速公路可近似看成直線段），由于之間相距較遠(yuǎn)，計(jì)劃在之間設(shè)置一個(gè)服務(wù)區(qū)．

(1）若在的正北方向且,求到市中心的距離和最小時(shí)的值；（2)若在市中心的距離為，此時(shí)在的平分線與的交點(diǎn)位置,且滿足，求到市中心的最大距離．1．某景區(qū)有一人工湖，湖面有兩點(diǎn)，湖邊架有直線型棧道，長(zhǎng)為,如圖所示。現(xiàn)要測(cè)是兩點(diǎn)之間的距離，工作人員分別在兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)測(cè)得,;在點(diǎn)測(cè)得.（在同一平面內(nèi)）

（1)求兩點(diǎn)之間的距離；（２）判斷直線與直線是否垂直，并說明理由.2．如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體,以地面為基面，在基面上選取A，B，Ｃ,D四個(gè)點(diǎn)，使得，測(cè)得,,.（１)若B,D選在兩個(gè)村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點(diǎn)間距離；(2）求的值。３．某數(shù)學(xué)建模活動(dòng)小組在開展主題為“空中不可到達(dá)兩點(diǎn)的測(cè)距問題”的探究活動(dòng)中，抽象并構(gòu)建了如圖所示的幾何模型，該模型中，均與水平面垂直。在已測(cè)得可直接到達(dá)的兩點(diǎn)間距離，的情況下，四名同學(xué)用測(cè)角儀各自測(cè)得下列四組角中的一組角的度數(shù)，①，,，②，，，③，，,④,，。（1)請(qǐng)同學(xué)們指出其中一定能唯一確定,之間的距離的組號(hào)；（指出所有滿足條件的組號(hào))（2）若已知，，，，,，，請(qǐng)你結(jié)合自己在(1)中的選擇，從中選出一組利用所給數(shù)據(jù),求的值.（若多做,按第一種方案給分)4．如圖,某觀察站B在城A的南偏西２０°的方向，由城A出發(fā)的一條公路走向是南偏東40°,在B處測(cè)得公路上距B處32ｋm的C處有一人正沿公路向Ａ城走去，走了２0ｋm之后到達(dá)Ｄ處，此時(shí)B，D間的距離為2１km．這個(gè)人還要走多少路才能到達(dá)A城?

5.如圖，某日中午1２:00甲船以２4km/h的速度沿北偏東４０°的方向駛離碼頭,下午3：０0到達(dá)地．下午1:00乙船沿北偏東125°的方向勻速駛離碼頭，下午３：00到達(dá)地.若在的正南方向,則乙船的航行速度是多少？（精確到１kｍ／h）

６。如圖，某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上。在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口北偏西方向且與該港口相距的處，并以的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以的航行速度勻速行駛，經(jīng)過與輪船相遇.

(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？（2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到，試設(shè)計(jì)航行方案（即確定航行方向與航行速度的大?。?，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由．７．一顆人造地球衛(wèi)星在地球上空１600km處沿著圓形的軌道運(yùn)行，每2ｈ沿軌道繞地球旋轉(zhuǎn)一圈．假設(shè)衛(wèi)