專題10空間向量解決立體幾何問(wèn)題

目錄

oi考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................1

02知識(shí)導(dǎo)圖思維引航............................................................3

03知識(shí)梳理方法技巧............................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測(cè)............................................................6

05核心精講題型突破...........................................................17

題型一：線線平行'線面平行及面面平行17

題型二：線線垂直、線面垂直及面面垂直32

題型三：線線角與線面角的求算43

題型四：簡(jiǎn)單二面角的求算59

重難點(diǎn)突破：線上存在一點(diǎn)與二面角綜合考查72

0

—視?一標(biāo)導(dǎo)航

有關(guān)空間向量解決立體幾何的北京高考試題，立體幾何總體難度有所提升，但仍然以基礎(chǔ)性題目為主,

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注重考查數(shù)學(xué)文化，社會(huì)生活實(shí)踐中的數(shù)學(xué)問(wèn)題,解答題以常見(jiàn)兒何體為載體，重點(diǎn)考查空間中點(diǎn)，線、面的位

置關(guān)系的判斷與論證，以及空間角的求法，從能力上更加注重對(duì)空間想象，邏輯思維和運(yùn)算求解能力的考查，題

目多為中檔的綜合性問(wèn)題，立體幾何的題目考查形式多樣，且難度不定，需要學(xué)生在平時(shí)下功夫，加強(qiáng)對(duì)中低

檔題目的訓(xùn)練，打好基礎(chǔ),在平時(shí)訓(xùn)練中注意提高空間想象、邏輯推理和運(yùn)算求解能力。

考點(diǎn)要求目標(biāo)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

2024年北京卷第17題14分

熟練掌握線線、線2023年北京卷第16題13分

預(yù)測(cè)2025年高考，立

面及面面垂直與2022年北京卷第17題14分

平行的向量求算2021年北京卷第17題14分體幾何主要以線面、線線、

空間向量

公式；線線、線面2020年北京卷第16題13分面面位置關(guān)系及夾角求

及面面夾角的向2019年北京卷理科第16題13分算，充分利用好空間向量.

量求算公式2018年北京卷理科第16題13分

2017年北京卷理科第16題13分

2016年北京卷理科第17題14分

2015年北京卷理科第17題14分

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〃匆也裕理?,法怙五

1.法向量的求算

技巧總結(jié)卜三種方法》

（硬1、）眼神法：給定一個(gè)幾何體中，若所求平面的法向量直接可以從圖中看出，則此平面垂線的方向向量

即為平面的法向量.

②運(yùn)）待定系數(shù)法：步驟如下：

①設(shè)出平面的法向量為〃=（x,y,z）.

②找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量

a=（＜7j,,C1）,b=（a2,Z?2,c2）.

n-a=0

③根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,%z的方程組（一一

n-b=0

④解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.

注意：在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，方程組〈-有無(wú)數(shù)多個(gè)解，只需給x,%z中的一個(gè)變

量賦于一個(gè)值，即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量.

（方法三:）口訣:求誰(shuí)不看誰(shuí)，積差很崩潰（求外用外減，求內(nèi)用內(nèi)減）

向量?=（x1,j1,z1）,S=（x2,j2,z2）是平面a內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，貝IJ向量

n=-y2zx,x2zl-xlz2,xiy2一馬必）是平面a的一個(gè)法向量.

2.空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略

技巧總結(jié)

①：利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

②：利用線面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

③：利用面面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

④：利用正棱錐的中心與高所在的直線，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

⑤：利用底面正三角形，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

⑥：利用底面正方形的中心，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系

3.坐標(biāo)處理距離問(wèn)題

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技巧總結(jié)

2

PPi-a

結(jié)論L）《點(diǎn)線距離》d=n《異面直線求距離問(wèn)題》

|?|

推導(dǎo)過(guò)程：已知直線/的方向向量是萬(wàn)，點(diǎn)產(chǎn)色/,6?/,則直線尸耳與直線/夾角為e,則

（結(jié)論2：）《點(diǎn)面距離》

同

提示：P、吁分別是平面外及平面上的兩點(diǎn)，為是平面的法向量

PPn

結(jié)論3：）《線面距離》d=c

同

提示：P,吁分別是直線上及平面上的任意兩點(diǎn)，乃是平面的法向量

PPn

（結(jié)論4：）面面距離》d=c

同

提示：P,吁分別是平面1及平面2的任意兩點(diǎn)，乃是平面2的法向量

222

（結(jié)論5：）《點(diǎn)點(diǎn)距離》d=-x2）+（jj-y2）+（21-z2）

提示：Z（X],%,zJ與8（》2，%，22），28的距離為d

4坐標(biāo)處理角度問(wèn)題

技巧總結(jié):

\a-b\

異面直線所成角cos。=二^

I4H

①能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，寫(xiě)出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用結(jié)論求解

②不能建空間直角坐標(biāo)系時(shí)，取基底的思想，在由公式cosb，外求出

'/同料

關(guān)鍵是求出限B及同與W

AB?五

結(jié)論2：）線面角cosa=sin。=

AB.小

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提示：。是線48與平面法向量的夾角，6是線48與平面的夾角

（結(jié)論3：）二面角的平面角cos6=±gee（0,〃））

n\,%

提示：a是二面角的夾角，具體cos。取正取負(fù)完全用眼神法觀察，若為銳角則取正，若為鈍角則取負(fù).

二精淮畫(huà)測(cè)

1.（2024?北京?高考真題）漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量

器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱.若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次

為65mm,325mm,325mm,且斛量器的高為230mm,則斗量器的高為mm,升量器的高為mm

【答案】2357.5/—

2

65Y,(325

h7i

故%2=23mm,hx=—^―mm.

………115

故答案為：23mm,mm.

2.（2024?北京?高考真題）如圖，在四棱錐P—中，BCIIAD,AB=BC=\,力。=3,點(diǎn)E在4D上,

且PE」AD,PE=DE=2.

（1）若廠為線段尸E中點(diǎn)，求證：B尸〃平面PC0.

（2）若平面尸40,求平面尸45與平面尸CD夾角的余弦值.

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【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)嚕

【詳解】(1)取PD的中點(diǎn)為S,接防,SC,則M//E。,跖=」ED=1,

2

而ED//BC,ED=2BC,故SF//BC,SF=BC,故四邊形SFBC為平行四邊形,

故8F//SC,而3尸平面尸CD,SCu平面PCD,

所以AF〃平面尸CD.

(2)

因?yàn)椤?)=2,故/E=l,故AEHBC,AE=BC,

故四邊形/ECB為平行四邊形，故CEHAB,所以CE_L平面尸

而尸平面尸，故。￡_1尸￡,。石_1￡。，而尸E_L￡。，

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,-（⑼,3（1,-1,0）,41,0,0）,。（0,2,0）,尸（0,0,2）,

貝I]為=（0,-1,-2）,。=（1,-1,-2"=（1,0,-2，麗=（02-2

設(shè)平面尸48的法向量為灰=(x,y,z),

m-PA=0（-y-2z=0

則由＜可得,取應(yīng)=（0,-2,1）,

m?PB=0[x—y-2z=0

設(shè)平面尸CD的法向量為后=(a,ac),

n-PC=0a-2b=0

則由9可得取行=（2,1,1）,

n-PD=02b-2c=0

—1V30

故COS沅，方=

A/5xV6^0~

故平面PAB與平面PCD夾角的余弦值為叵

30

3.(2023?北京?高考真題)如圖，在三棱錐尸-48。中，尸4,平面45C,PA=AB=BC=1,PC=6

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⑴求證：3cl平面B42；

(2)求二面角N-PC-B的大小.

7T

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)

【詳解】(1)因?yàn)槭矫鍺3C,3Cu平面A8C,

所以尸同理P/L48,

所以AP/8為直角三角形，

又因?yàn)槭?=乂聲匚存=0，BC=1,PC=。，

所以依？+吹2=尸。2,則/Be為直角三角形，故BCLPB,

又因?yàn)锽C/PN,PAC\PB=P,

所以8。工平面尸4B.

(2)由(1)3C4平面尸48,又48u平面尸/B,則8C_L4B,

以A為原點(diǎn)，N8為x軸，過(guò)A且與3C平行的直線為了軸，4P為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A(0,0,0),P(O,O,1),C(1,1,0),B(l,0,0),

所以后=(0,0,1),AC=(1,1,0),5C=(0,l,0),PC=(1,1,-1),

,,,一/、AP=0\z=0,

設(shè)平面K4C的法向量為加=(再,加4),貝?卜_0,即jx}+)_0

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令再=1,則乂=-1,所以碗=（1,一1,0）,

ri-BC=0%=0

設(shè)平面尸的法向量為〃=（尤，），則一，即

8C2%/2?

"PC=Gx2+y2-z2=0

令％=1,則Z2=l,所以7=(1,0,1),

'一一\m'n11

所以cos儼"尸麗&

又因?yàn)槎娼?-PC-8為銳二面角,

TT

所以二面角/-PC-B的大小為g.

4.（2022?北京?高考真題）如圖，在三棱柱/3C-/4G中，側(cè)面8CC圈為正方形，平面BCqBJ平面/3四4,

AB=BC=2,M,N分別為4耳，/C的中點(diǎn).

⑴求證：“N〃平面BCC圈；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線N3與平面所成角的正弦值.

條件①：ABLMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【詳解】（1）取的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱ABC-AB?可得四邊形ABB4為平行四邊形,

而B(niǎo)[M=M4，BK=KA,則

而MK(Z平面BCC[B],BBXu平面BCC圈，故MKH平面BCClBl,

而CN=N4,BK=KA,財(cái)NK//BC,同理可得語(yǔ)〃平面8CC4,

而腔口AffiC=K,歡,研u平面,

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故平面MKNII平面BCClBl,而MNu平面MKN,故MN//平面BCClBi,

(2)因?yàn)閭?cè)面8CC4為正方形，故CB1啊

而CBu平面BCCR,平面CBBG1平面ABBH,

平面CBBgc平面ABBiA=BB1,故C8，平面ABB.A,,

因?yàn)镹K//BC,故NK_L平面

因?yàn)?8u平面/臺(tái)44，故NK工AB,

若選①，則45J_ACV,而詆_L4B,NKCMN=N,

故平面肱區(qū)，而平面MXK,故48_LMC,

所以4B_LAB],而C3_L84，CBcAB=B,故5g_L平面48。，

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(0,0,0),/(0,2,0),N0,1,0),M(0,1,2),

故第=(0,2,0),麗=(1,1,0),麗;=(0,1,2),

設(shè)平面BMW的法向量為"=(x,y,z),

則從而:取z=T,貝！I”=-2,2,-l,

設(shè)直線48與平面BMW所成的角為0,則

sin9=|cos(n,/8卜y.

若選②，因?yàn)镹KHBC,故腔_L平面而KMu平面耳4，

故NK1KM,而B(niǎo)iM=BK=l,NK=l,板B、M=NK,

而=MB=MN,故ABB1M*MKN,

所以NBB^M=ZMKN=90°,故吊耳_L,

而CBcAB=B,故區(qū)平面/3C,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則5(0,0,0),/(0,2,0),N(l,l,0)(0,1,2),

故血=(0,2,0),麗=(1,1,0),府=(0,1,2),

設(shè)平面BMVf的法向量為"=(x,y,z),

n-BN=Qx+y=0

則,從而取z=—l,則〃=（一2,2,-1）,

萬(wàn).兩=0y+2z=0

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設(shè)直線48與平面所成的角為0,則

5.（2021?北京?高考真題）如圖：在正方體/BCD-44aoi中，E為4A中點(diǎn)，4G與平面CDE交于點(diǎn)尸.

（2）點(diǎn)河是棱4巴上一點(diǎn)，且二面角尸C-E的余弦值為電，求點(diǎn)的值.

344

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）籌=；.

442

【詳解】（1）如圖所示，取為G的中點(diǎn)/，連結(jié)DE,EF',F，C,

由于/BCD-44GA為正方體，為中點(diǎn)，故跖，PCD,

從而C,D四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面C7）￡F,

據(jù)此可得：直線4G交平面CDE于點(diǎn)9，

當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)廠與點(diǎn)尸重合，

即點(diǎn)尸為4G中點(diǎn).

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(2)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。-乎,

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,設(shè)二±=X（0VXVI）,

則：M（2,22,2）,C（0,2,0）,F（l,2,2）,￡（l,0,2）,

從而：就=（-2,2-24-2）,而=（1,0,2｝麗=@-2,0）,

設(shè)平面放下的法向量為：m=（xl,yl,zl）,則：

Jm-MC=—2%+（2-22）弘一2zx=0

[mCF=X1+2^=0

令4=-1可得：前=

設(shè)平面CFE的法向量為：n=（x2,y2,z2）,貝I」：

fn-FE=-2y2=0

[n-CF=x2+2Z2=0'

令馬=—1可得：[=（2,0,—1）,

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6.（2020?北京?高考真題）如圖，在正方體/BCD-4片G2中，￡為臺(tái)片的中點(diǎn).

（II）求直線與平面所成角的正弦值.

7

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）

【詳解】（I）［方法一］:幾何法

在正方體48co-4月&0］中，/8〃4用且4B=44，44〃G2且4g=G4,

:.4B//CQi且4B=CA，所以，四邊形為平行四邊形，則

?.?8。1。平面/2石，4￡>—平面/2￡,r.8。］〃平面/2￡；

［方法二］:空間向量坐標(biāo)法

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以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,所在直線分別為x、了、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系/-xyz,

設(shè)正方體48co-/4GA的棱長(zhǎng)為2,則/(0,0,0)、4(0,0,2)、2(2,0,2)、￡(0,2,1),AD.（2,0,2）,

通=(0,2,1),

.、\n-AD,=0[2x+2z=0

設(shè)平面的法向量為〃=x,y,z,由,得.n,

n-AE=0[2y+z=0

令z=-2,則x=2,J=1,則為=(2,1,-2).

又?.響量西=(2,0,2),南為=2乂2+0義1+2>(-2)=0,

又?；BQ<Z平面ADXE,8C"/平面ADXE；

(II)[方法一]:幾何法

延長(zhǎng)CG到尸，使得G尸=3￡,連接E尸，交用。于G,

又QF/力瓦.?.四邊形BEFCX為平行四邊形，；.BCJIEF,

又：BCJ皿，:./"http://￡尸，所以平面4D|E即平面A。在，

連接作G〃_LAG,垂足為連接制，

:FC11平面AXBXCXDX,Dfiu平面4耳Ci。,/.FCA±DXG,

又-.?FC、cC、H=G,；?直線Dfi1平面QFH,

又V直線u平面DfiF,/.平面DfiF±平面QFH,

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???G在平面DfiF中的射影在直線FH上,???直線FH為直線FCX在平面DXGF中的射影，ZQFH為直線FCX

與平面b所成的角，

根據(jù)直線bq〃直線力4,可知為直線與平面力所成的角.

2x12

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則Cfi=GF=T,DTG=6：.CXH=

CH_2

sinNC]FH=X

~FH~3

即直線AAi與平面ADXE所成角的正弦值為I.

［方法二］:向量法

接續(xù)（I）的向量方法，求得平面平面的法向量〃=（2,1,-2）,

n

—?/\—T7?42

又.??乂=（0,0,2）,；.cos<",M>=砌=一一』，

...直線叫與平面ADXE所成角的正弦值為|.

［方法三］:幾何法+體積法

如圖，設(shè)3c的中點(diǎn)為凡延長(zhǎng)44,/瓦。廠，易證三線交于一點(diǎn)尸.

因?yàn)锽Bj/AA^EFaADi，

所以直線44與平面/。山所成的角，即直線耳￡與平面尸環(huán)所成的角.

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設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,在！PEF中，易得PE=PF=亞,EF=4i,

3

可得邑行=相

1311

由七棱颯-PE尸=唯棱觸-可即，得］*5.B］H=-X—xlxlx2,

整理得

RH7

所以sin/用即=妾=工.

4七j

所以直線44與平面AD.E所成角的正弦值為|.

［方法四］:純體積法

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)4到平面/比\的距離為兒

在△NE2中，AE=#>,AD[=26,DIE=3,

DE+AE?-AD；_9+5-8

cosAAEDX=

2DXE.AE2x3x也5

所以sin乙4￡Z)i=~^~9易得S“g=3.

114

由—E-AA'Di一囁i-AEDi，得]S4皿％/B]=飛S“EDJ卜，解得〃=§,

h2

設(shè)直線可與平面/ER所成的角為e,所以sine=77=6.

AA,J

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垓,p、靖過(guò)?顫gy空砧

題型一：線線平行、線面平行及面面平行

【典例1-1】如圖，為圓錐PO的底面直徑，點(diǎn)C,。為底面上前的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、M,N分別為尸月，

尸B的中點(diǎn).

(1)證明：MN//平面尸CD；

(2)若/8=4,尸/=2&，求直線4。與3河所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)題

【詳解】(1)證法一：因?yàn)镹分別為P4,尸8的中點(diǎn)，所以MN"AB,

連結(jié)OC,OD,因?yàn)辄c(diǎn)C,。為6的三等分點(diǎn)，

所以NNOC=NCOD=60°,A。。為等邊三角形，

所以NDCO=60°=//OC,斫以CDIIAB"MN,

又MV<Z平面PC。，CDu平面尸CD,所以MN//平面PCD,

證法二：連結(jié)OC,OD,因?yàn)辄c(diǎn)C,D為；B的三等分點(diǎn)，

所以NNOC=NCOD=60°,AOCD為等邊三角形,

所以NDCO=60°=//OC,所以CD〃/8,

取CD中點(diǎn)0,連結(jié)OQ,OP,則OQ_LCZ>,OQVAB,0尸_1平面/2。。，

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又/Bu平面/BOC,所以。尸_L4B,

設(shè)。8=2,PB=2?，則。尸=2,

以。為原點(diǎn)，OQ,OB,。尸所在的直線為x,了，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則cbg,-i,o),n(-V3,i,o),P(0,0,2),

所以正=卜百,-1,-2),麗=(0,2,0),

又點(diǎn)、M,N分別為P4,尸3的中點(diǎn),則M(0,T,l),N(0,l,l),

加=(0,2,0),

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為四=(X],%2J,

所以比4)?(0,2,0)=2%=0,貝！]必=0,

tn-PC=(xl,yl,zl)'(―S',—1,—2)=—忑彳—%—2Z]=0,

取玉=2,4=-右，可得應(yīng)=(2,0,-抬")，

所以前.加=0，即而_L加，

又MV.平面PC。，C￡>u平面尸8,所以NV//平面尸C。，

證法三：連結(jié)OC,OD,因?yàn)辄c(diǎn)C,。為必的三等分點(diǎn)，

所以NNOC=NCOD=60°,A。。為等邊三角形，

所以NDCO=60。=NNOC,所以CD///B,

取C〃中點(diǎn)。，連結(jié)OQ,OP,則OQ_LCD,OQ±AB,OP_L平面/8DC,

所以O(shè)PL4B,又08=2,尸8=20，則OP=2,

以。為原點(diǎn)，OQ,OB,OP所在的直線為無(wú)，V,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4-6,-1,0),Z)(-V3,l,0),M(o,-l,l),￡>(0,1,1),

所以函=(0,2,0),加=(0,2,0),

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則麗=加，所以而//加，由四點(diǎn)不共線，易得CD//MN,

又MVZ平面尸CD,CDu平面尸C。，所以AW//平面尸CD.

(2)解法一：取CD中點(diǎn)0,連結(jié)O0,OP,則OQ，C。，OQLAB,

OP_L平面48OC,又/Bu平面48。。，所以O(shè)P_L48,

又OB=2,尸8=2也，則。尸=2

以。為原點(diǎn)，OQ,OB,O尸所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則cbe,TO),^(0,-2,0)5(0,2,0),M(0,-l,l),

所以％=卜6,1,0),W=(0,-3,l),

AC-BM33A/10

設(shè)異面直線/C與所成角為凡則cos。——=-K=

AC\\BM2xJ1020

即直線AC與BM所成角的余弦值為生叵.

20

解法二：連結(jié)C2,AAOC=60°,ACMC為等邊三角形，所以NC4O=60°,

在V/3C中，由余弦定理可得

BC2=AC2+AB2-2AC-ABcos60-=22+42-2x2x4x-=12,

2

則2。2+/。2=452,由勾股定理得逆定理可知3c1AC,

過(guò)點(diǎn)C作直線///OP,因?yàn)镺P，平面/2OC,所以/，平面/2OC,

以C為原點(diǎn)，CA,CB所在的直線為x,了軸，/為2軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

―，——?33A/3

所以/C=（2,0,0）,BM=弓,一啜,1,

\7

AC-BM33^/10

設(shè)異面直線/C與BM所成角為凡則cos6==-K=*

AC^BM2xV1020

即直線AC與BM所成角的余弦值為女叵.

20

解法三：連結(jié)OC,因?yàn)辄c(diǎn)C,。為我的三等分點(diǎn)，所以44。。=60°，

19/86

連結(jié)。尸，貝?。軴P_L平面/BOC,所以。P_L48,OPLOA,OPVOC,

又08=2,PB=2?，則。尸=2,

取｛麗反，困為空間中的一個(gè)基底，可得：OP.OA=Q,OP-OC=Q,

OA-OC=2x2xcos60°=2，

________.3____i___

XAC^OC-OArBM=0M-0B=-0A+-0P+0A=-0A+-0P,

I4C-W-CZ4+-OPI=-X2+0--X22-0=-3,

122）22

所以函2=（云-珂=22+22-2x2=4,

?___2（3—?1-.V9cl.

\BMH\=-OA+-OP=-x22+-x22+0=10,

II（22J44

所以|明=2,|頡卜VHJ,

AC-BM33A/T7）

設(shè)異面直線AC與BM所成角為e,則COS。=一口一=—尸=4—

AC^BM2xV1020

即直線AC與BM所成角的余弦值為巫，

20

解法四：連結(jié)OC,OD,因?yàn)辄c(diǎn)C,。為6的三等分點(diǎn)，所以N/OC=NCOD=60°,

△/OC為等邊三角形，所以//CO=60°=/COD，所以/C//O。，

取4W中點(diǎn)￡,連結(jié)OE,所以O(shè)E為的中位線，OE//BM,

所以直線/C與所成角即為/E8或其補(bǔ)角，

又OP_L平面48AC,所以O(shè)P_L/8,

又OB=2,PB=272-

貝！|O尸=2=0/,/尸20=45。，

在△/OE中，由余弦定理可得

20/86

J5X后￡5

OE2=AE2+AO2-2AE-AO-cos45°=—+個(gè)一2xA2x'

(2J222

過(guò)點(diǎn)E作跖〃。尸，交AB于F,連結(jié)FZ),ED,則斯_L平面/BOC,

叵，EF=-

所以￡F_LFD,FD=

2

所以ED=

在A/X?E中，由余弦定理可得

22

20—當(dāng)由r-

2OEOD2心220

所以直線NC與所成角的余弦值為女叵.

20

【典例1-2】如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體538-44^4中，M、E分別是GA、44的中點(diǎn)，F(xiàn)是MC的

中點(diǎn).

(1)判斷A、C、M、4四點(diǎn)是否共面(結(jié)論不要求證明)；

(2)證明：EF〃平面4BC。；

(3)求異面直線4B與EF所成角的余弦值.

【答案】(1)A、C、/、4四點(diǎn)不共面(2)證明見(jiàn)解析(3)述

21/86

【詳解】(i)A、c、4三個(gè)不共線的點(diǎn)確定平面/CG4,顯然Me平面NCG4,

所以A、c、M、4四點(diǎn)不共面.

(2)方法一：如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,。。分別為X,y,Z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則￡(2,0,1),故而=(一2,|,0

又平面N3C。的法向量為河=(0,0,1)

所以而?方=0，故而_L方.

又E尸《平面ABCD,故EFH平面ABCD.

方法二：

如圖，取CD中點(diǎn)N,再取CN中點(diǎn)G,連接MN、FG和4G.

由尸為CM中點(diǎn)，貝!JFG〃aW,S.FG=-MN.

2

在正方體NBC。-4與G4中，E為441中點(diǎn)，

故AE//DDJ/MN,5.AE=^DDt=^MN,

所以尸G〃/￡且產(chǎn)G=/E,

則四邊形AEFG為平行四邊形，故EFHAG,

又￡/《平面/BCD,/Gu平面A8CD,故斯〃平面/BCD.

22/86

方法三：如圖，取。A中點(diǎn)N,連接EN、FN.

在梯形RMCZ)中，尸為CM中點(diǎn)，則用V〃CD.

因?yàn)閃VC平面48CD,CZ)u平面48c。，所以F7V//平面48CD.

在正方體NBCD-44GA中，E為中點(diǎn)，則EN//AD,

因?yàn)镋NC平面48CZ),4Du平面48c

所以EN〃平面48CA.

因?yàn)镋NcFN=N,EN,FNu平面EFN,所以平面EFN〃平面/BCD,

又EEu平面EFN,故斯〃平面/BCD.

(3)由(2)方法一可知麗=(-2，,0

又4(2,0,2),8(2,2,0),故祠=(0,2,-2),

A&EF3逑

所以--2>/210

HR2

故異面直線45與所所成角的余弦值為好

國(guó)OE3

(1)建立空間坐標(biāo)系，標(biāo)出各點(diǎn)坐標(biāo)

(2)線線平行

23/86

設(shè)直線44的方向向量分別是①不，則要證明/"〃2，只需證明3/萬(wàn)，即

線面平行

設(shè)直線/的方向向量是花，平面口的向量是力，則要證明///a,只需證明1_LzZ,即1?日=0

面面平行

若能求出平面〃的法向量4萬(wàn)，則要證明a〃￡,只需證明日/歷

【變式1-1］如圖，在四棱錐尸-/BCD中，平面尸CD_L平面/8C。，

AD1AB,AB//CD,AB=AD=1,CD=2,PD=PC=6，點(diǎn)￡在棱尸月上，PE=2EA.

(1)證明：尸C〃平面。BE；

(2)求PC與平面PAB所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)三

【詳解】(1)如圖，取CD的中點(diǎn)O,連接。P,08,則。2_1。,。2_18,且。。=OC=1,

由平面PCD_L平面ABCD,平面PCDc平面ABCD=CD,。尸u平面PCD,

所以O(shè)P_L平面48Cr),又OBu平面4BCD,所以。尸，。8,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

由PC=PD=&,OD=1,得OP=dPD。-OD?=1,

則^(1-1,0),B(l,0,0),C(0,1,0),0(0,-1,0),P(0,0,1),

由尸￡=2胡，得麗=2茄，BP(xE,yE,zE-\)=2(\-xE,-1-yE,-zE),

2

xE=2-2XE

左=一:，即E《，-|g)

得-'力=-2-2力，解得'

Z2Z

E~^=~E1

z=-

.EF3

所以麗=(I,I,O),5E=(|,|,|),PC=(0,1,-1),

設(shè)平面DSE的一個(gè)法向量為加=(a,仇c),

24/86

m?DB=Q+b=0

則<_—?211，令a=l,得b=—l,c=—l,

m-DE=—aHbH--c=0

I333

所以浣=(1,一1,一1),有以定=0-1+1=0,則Lj_定,

又PCU平面。5￡,所以PC//平面。

(2)由(1)知西而=(1,0,-1),PC=(0,l,-l),

設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

ii?PA=x—y—z=0

則<一,，令x=1,得z=1,y=0,

n?PB=x-z=0

所以1(1,0,1),設(shè)尸。與平面尸所成角為夕(夕為銳角),

?一?|加|11

則sin0=cosPC,n\=——=廠廠=-,

11\PC\\n\V2-V22

所以cos6=V1-sin20=,

2

即PC與平面PAB所成角的余弦值為B.

2

【變式1-2］如圖，已知棱長(zhǎng)為1的正方體44GA.

(1)證明：4D1//平面皮)￡；

25/86

⑵證明：平面/耳，〃平面BDJ；

(3)求平面4BR與平面BDQ的距離.

【答案】(D證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析⑶?

【詳解】(I)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為X軸，V軸，z軸建立如圖空間直角

坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),4(1,0,0),3(1,1,0)Q(0,0,1)6(0,u)再(1,1,1),

所以函=(一1,0,1),麗=(1,1,0),西=(0,1』.

設(shè)平面8￡>G的一個(gè)法向量為居=(x”WZ)，

多?竺=0,即X]+乂=0,

則取用=（1,一1,1）.

4?3=(),》+為=0,

所以函?匕=0,即函_L4.

又因?yàn)槠矫?￡>G，所以〃平面BOG.

(2)由(1)得平面犯。的一個(gè)法向量為耳=(1,-1,1).

設(shè)平面N42的一個(gè)法向量為瓦=仁,％/2),西=(-1,0,1)，函=0,1,1),

H-ADy—0,—xo+z,=0,/、

則2_即22八取為=1,7,1.

%+Z2=0,'7

n2-AB]=0,

故再〃%，而點(diǎn)片任平面BDCI，所以平面4BR//平面BDCX.

(3)由(2)得平面/片〃〃平面8OG，

所以平面4BR與平面出雞的距離即為A到平面3DG的距離.

26/86

又力高=(0,1,0),平面3DC1的一個(gè)法向量為*=(1,-1,1).

所以2到平面BDC、的距離為！|四用=一V3，

㈣3

即平面ABR與平面BDQ的距離為顯.

3

1.如圖，四棱錐尸的底面是正方形，側(cè)棱尸。,底面/BCD,E是尸。的中點(diǎn)，PD=DC=2,

尸為棱尸3上的點(diǎn)且尸尸=；P8.

(1)證明：尸/〃平面2DE；

⑵證明：直線尸3_L平面。EF;

(3)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)日

【詳解】⑴四棱錐尸-48。的底面/BCD是正方形，側(cè)棱尸。，底面48cD,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC、OP所在直線為x軸、了軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

由尸D=DC=2,則4（2,0,0）,尸（0,0,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,￡（0,1,1）,

貝1J秒=（2,0,-2）,詼=（0,1,1）,麗=（2,2,0）,

27/86

設(shè)々=（x/,z）是平面的一個(gè)法向量,

”->—>

n,-DE=y+z=0—,、

則由，一■，取尸-1,得4=(1,-1,1).

nx?DB=2x+2》=0

,?,方?點(diǎn)=2—2=0,：.PAlnif

又尸4a平面

P4〃平面BDE.

—?1—?22_2.77P24224

(2)由尸產(chǎn)=gP5=5，-'〔,DF=

3333'3'3333

又而二（2,2,-2）,瓦=（0,1,1）,

——?—?448__?__?

^PB-DF=-+---=0