重難點(diǎn)01以集合為背景的綜合題

明考情.知方向——

2025年考向預(yù)測：集合與函數(shù)綜合的解答題

重難點(diǎn)題型解讀

題型1集合新定義

題型2集合與函數(shù)綜合題

以集合為背景的綜合題題型3集合與三角函數(shù)綜合題

題型4集合與數(shù)歹監(jiān)合題

題型5集合與導(dǎo)數(shù)綜合題

題型1集合新定義

1.（2024?上海?模擬預(yù)測）考慮｛x|O<x<12,xeN）的非空子集8,滿足8中的元素個數(shù)等于B中的最小元素，

例如，8=｛4,6,8,11｝就滿足此條件.則這樣的子集8共有個.

2.（2024.上海嘉定.二模）若規(guī)定集合E=｛0,1,2,……㈤的子集｛4外,%,…,（｝為E的第左個子集，其中

k=T'+T1+X1+……+2%,則E的第211個子集是.

3.（2024?上海靜安?二模）如果一個非空集合G上定義了一個運(yùn)算*,滿足如下性質(zhì)，則稱G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的。,6WG,有a*0eG；

（2）結(jié)合律，即對于任意的。，及ceG,有（a*））*c=a*（6*c）；

（3）對于任意的a,beG,方程x*a=b與。*y=。在G中都有解.

例如，整數(shù)集Z關(guān)于整數(shù)的加法（+）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對

于任意的*Z,方程無+q=6與>=6都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集R關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（x）不構(gòu)成群，因?yàn)?/p>

方程Oxy=1沒有實(shí)數(shù)解.

以下關(guān)于“群”的真命題有（）

①自然數(shù)集N關(guān)于自然數(shù)的加法（+）構(gòu)成群；

②有理數(shù)集Q關(guān)于有理數(shù)的乘法（x）構(gòu)成群;

③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積（?）構(gòu)成群；

④復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（+）構(gòu)成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

4.（24-25高三上?上海?期中）已知集合加={（尤,劉丁="尤）},若對于任意實(shí)數(shù)對（下,弘”河，存在

（々,力）€加，使占9+%%=。成立，則稱集合/是“垂直對點(diǎn)集”.給出下列四個集合：

①M(fèi)=1（%州^=21；

②M={（x,y）|y=k>g2x}；

⑧M={（x,y）|y=2-2}

@M=|y=sinx+l}；

其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號的個數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素〃和最小元素機(jī)，則記A（X）=M-m.

下列命題中正確的是（）

A.已知X={—1/},丫={0力},且A（X）=A（y）,則6=2

B.已知X={x[〃x）Zg（x）,尤目-1,1]},若A（X）=2,則對任意xe[-U],都有/（x）2g（x）

C.已知X=[a,a+2],F=卜,=/,尤仁x},則存在實(shí)數(shù)a,使得八任）<1

D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],則對任意的實(shí)數(shù)。，總存在實(shí)數(shù)6,使得A（XuF）=3

6.（2022?上海黃浦?模擬預(yù)測）若集合A=kE=O.宓,〃cN*,,其中。和6是不同的數(shù)字，則A中所有元素

的和為（）.

A.44B.110C.132D.143

7.（2022?上海徐匯.模擬預(yù)測）已知集合X={1,2,3}，%={l,2,3「、〃},（"eN*）,設(shè)Sn={（a,b）\a整除

匕或匕整除a，aeX,beYn},令/（n）表示集合S,所含元素的個數(shù)，貝U“2022）=—.

8.（24-25高三上?上海?期中）設(shè)4={0,1},集合。={（%,彳2”-，馬4）|士，尤2，,玉84€4}，對于O中的任意兩個

元素。=（%,馬，…，玉84）、6=（%，％，…，％84），定義

a*fi=（xl+y1-^y1）+（^2+y2-x,y2）+---+（x384+y384-x384y384）,設(shè)“、VGQ,若a*a+v*v=384,則〃*v

的最小值為.

9.（23-24高三上?上海?開學(xué)考試）已知集合人=也,外,…,可}中的〃個元素都是正整數(shù)（/>2,〃eN）,且

q若對任意的x，yeA,且都有|x-y|z葛，則稱集合A具有性質(zhì)M.

⑴判斷集合A={1,2,3,4}是否具有性質(zhì)M,并說明理由；

11H-1

(2)已知集合A具有性質(zhì)M,求證：-----^―；

%an25

(3)已知集合A具有性質(zhì)求集合A中元素個數(shù)的最大值，并說明理由.

10.(23-24高三上?上海?期中)給定自然數(shù)i.稱非空集合A為減，集，若A滿足:

(i)AcN*,Aw{l}；

(ii)對任意x,yGN*,只要x+yeA,就有肛-ieA.問：

⑴直接判斷尸={1,2}是否為減0集，是否為減1集；

⑵是否存在減2集?若存在，求出所有的減2集；若不存在，請說明理由；

(3)是否存在減1集?若存在，求出所有的減1集；若不存在，請說明理由.

題型2集合與函數(shù)綜合題

11.(2025?上海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)y=的定義域是￡).對于左。，定義集合S/(,)={X『(X)2〃3.

(l)/(x)?log2x,求Sg

⑵對于集合A,若對任意xeA都有-xeA,則稱A是對稱集.若。是對稱集，證明：“函數(shù)y=/(x)是偶函

數(shù)”的充要條件是“對任意teD,是對稱集，，；

(3)若xeR,f(x)=e-^nx2.求機(jī)的取值范圍，使得對于任意6＜芍?。，都有4他)=S%).

12.(2022?上海楊浦?模擬預(yù)測)已知非常數(shù)函數(shù)/'(X)的定義域?yàn)?。，如果存在正?shù)T,使得對任意xdD,

都有『(x+T)=，〃x)恒成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)P(T).

⑴分別判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)尸(1),并說明理由；

①/(x)=sin27LX；②g(X)=C0S7LX.

s

⑵若〃具有性質(zhì)P⑵，"1)=1,〃2)=T,S”表示f⑺的前〃項(xiàng)和，G,=《2J,若

?2〃一1

6<1。&(。+1)+10恒成立，求。的取值范圍；

⑶設(shè)連續(xù)函數(shù)g(尤)具有性質(zhì)尸(T),且存在M>0,使得對任意尤GR,都有|g(x)|<M成立，求證：g(x)是

周期函數(shù).

13.(22-23高三上.上海嘉定?期中)⑴已知集合A={X||X-4<2},Bp軍■<且Aq3,求實(shí)數(shù)。的

取值范圍；

ny4-1

(2)已知函數(shù)了二一7(常數(shù)“eZ)問：是否存在整數(shù)。，使該函數(shù)在區(qū)間工內(nèi))上是嚴(yán)格減函數(shù)，并且

函數(shù)值不恒為負(fù)？若存在，求出符合條件的。，若不存在，請說明理由.

X

14.(22-23高三上?上海楊浦?階段練習(xí))已知/(%)=履+2,不等式|/(x)|<3的解集為(-1,5),不等式>1

“X)

的解集A.

(1)求集合A：

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=log2(方J2X+2)的定義域?yàn)?,若An3r0，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

⑶若函數(shù)〃口)=爐-3氏+在A上嚴(yán)格單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

X—a

15.(20-21高三上?上海徐匯?期中)記集合知=高⑴"(%)=二一,XG(-l,l),^e(-l,l)}.

1-ax

⑴若求證：/(x)e(-l,l)；

⑵設(shè)集合4=｛/(尤)"。)>0且/?)€〃｝,若geA,；￡A,求。的取值范圍;

(3)若/(x),g(x)eM,求證：f(g(x))eM.

題型3集合與三角函數(shù)綜合題

16.(石方-fSWT總異掌建；苣媼"]富滓美數(shù)列，〃=sin(a")，5差起薪(W8),使得口

”€]^,”21.若集合5=｛彳|*=2，〃€2〃21｝中只含有4個元素，貝！If的可能取值有()個

A.2B.3C.4D.5

17.(23-24高三上.上海?期中)己知VABC的三邊長之比為5：6：9,記VA3C的三個內(nèi)角的正切值所組成

的集合為M,則集合M中的最大元素為.

18.(22-23高三上?上海浦東新?開學(xué)考試)對開區(qū)間/=(。力)，定義M=6-a,當(dāng)實(shí)數(shù)集合M為〃段("為

正整數(shù))互不相交的開區(qū)間小6…、/”的并集時，定義1"1=￡聞，若對任意上述形式的(0,2乃)的子集A,

k=\

總存在后eZ,使得&訓(xùn)4其中A=,|xeAltan[x+4)<0-i，，則4的最大值為.

題型4集合與數(shù)列綜合題

19.(23-24高三上?上海虹口?期中)已知數(shù)列jaj的通項(xiàng)公式為4=2"+2”，其中常數(shù)XeR.

(1)若4=4%,求彳的值；

(2)若｛4｝前10項(xiàng)的和為1551,試分析｛%｝的單調(diào)性；

(3)對于常數(shù)f,記集合C,=｛川4="，試求當(dāng);I與f變化時，集合C,中元素個數(shù)的最大值.

k個

20.(2021?上海浦東新?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛?！埃?,-2,-2,3,3,3,-4m，…，占廣工;㈠戶*，

即當(dāng)(壯N*)時，記5,=%+々+???+4(〃eN*).

⑴求”>20的值;

⑵求當(dāng)"12<〃三(左+1)：+2)(丘N*),試用〃、左的代數(shù)式表示S.(〃eN*)；

⑶對于teN*,定義集合耳={“電是％的整數(shù)倍,“eN*,且求集合鳥網(wǎng)中元素的個數(shù).

21.(2022?上海金山?二模)對于集合入川知出,生,…,%},〃22且weN*,定義A+A={x+y|尤eA,yeA且

了片叫.集合4中的元素個數(shù)記為網(wǎng)，當(dāng)卜+川=”心時，稱集合A具有性質(zhì)「

⑴判斷集合A={1,2,3},4={L2,4,5}是否具有性質(zhì)r,并說明理由；

⑵設(shè)集合3={l,3,p,q}(p,qeN,且3Vp<q)具有性質(zhì):T,若B+8中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，求P、4的

值；

(3)若集合A具有性質(zhì)「，且A+A中的所有元素能構(gòu)成等差數(shù)列，問：集合A中的元素個數(shù)是否存在最大值？

若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.

22.(2021?上海松江?一模)對于由m個正整數(shù)構(gòu)成的有限集”={《,為，%，…,。J記尸(M)=9+/+??,+4，

特別規(guī)定尸(0)=0,若集合M滿足：對任意的正整數(shù)％4P(M),都存在集合〃的兩個子集43,使得

左=尸(4)-尸(2)成立，則稱集合M為“滿集”，

(1)分別判斷集合知|="，2}與=工4}是否為“滿集”，請說明理由；

(2)若%,2,…，金由小到大能排列成公差為d(deN*)的等差數(shù)列，求證：集合M為“滿集”的必要條件是

%=1,d=l或2；

(3)若%,2,…,冊由小到大能排列成首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，求證：集合M是“滿集”

23.（2021.上海黃浦三模）集合S={al,a2,--；an}^aiwN*,i=1,2…㈤,集合T=也跖=q+%』<i<jV"},

若集合T中元素個數(shù)為"U,且所有元素從小到大排列后是等差數(shù)列，則稱集合S為“好集合”.

2

(1)判斷集合*={1,2,3}、$2={1,2,3,4}是否為“好集合”;

(2)若集合$3={1,3,5,加}(租>5)是“好集合”，求m的值;

(3)“好集合”S的元素個數(shù)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

24.(21-22高三下.上海寶山.開學(xué)考試)設(shè)集合M={1,2,3,…㈤，其中n&N,在M的所有元素個

數(shù)為K(KeN,2<K<n)的子集中，我們把每個K元子集的所有元素相加的和記為「(KeN,2<K<n),

每個K元子集的最大元素之和記為&(KeN,2<K<n),每個K元子集的最小元素之和記為外(KeN,

2<K<n).

(1)當(dāng)〃=4時，求生、”的值；

(2)當(dāng)〃=10時，求心的值；

⑶對任意的底3,nwN,給定的KeN,2<K<n,左是否為與〃無關(guān)的定值？若是，請給出證明并求出這

aK

個定值：若不是，請說明理由.

題型5集合與導(dǎo)數(shù)綜合題

25.(2023?上海徐匯?三模)對任意數(shù)集A={?,%,%},滿足表達(dá)式為y=-..I且值域?yàn)锳的函數(shù)個

數(shù)為P.記所有可能的P的值組成集合B,則集合B中元素之和為.

26.(2023?上海松江.一模)已知定義在R上的函數(shù)”x)=*+6(e是自然對數(shù)的底數(shù))滿足〃x)=「(x),

且=刪除無窮數(shù)列/（1）、/（2）,/（3）、L、/（〃）、L中的第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、L、第3〃項(xiàng)、L、

（MeN,n>l）,余下的項(xiàng)按原來順序組成一個新數(shù)列乩｝,記數(shù)列乩｝前〃項(xiàng)和為人

⑴求函數(shù)“X）的解析式；

⑵已知數(shù)列匕｝的通項(xiàng)公式是r“=/（g（〃）），“eN,n>l,求函數(shù)g（〃）的解析式；

（3）設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的非空子集，如果正實(shí)數(shù)。滿足：對任意七、x2eX,都有上-/歸。，設(shè)稱。為集

合X的一個“閾度”；記集合"=------11<,?eN,?>l,試問集合H存在“閾度”嗎？若存

,3〃1+3.（-If

/-------------

24

、\7,

在，求出集合““閾度”的取值范圍；若不存在，請說明理由；

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（2023?上海寶山?一模）已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若aeS,則當(dāng)且僅當(dāng)。=相+根

其中〃z,〃eS且加w〃），或。=。+4（其中p,q交S,p,qeZ*且pwq）.現(xiàn)有如下兩個命題:①4Gs；②集合

｛x[x=3"+5,"eN｝=S.則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.①是真命題，②是真命題；B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題；D.①是假命題，②是假命題.

x,xeP

2.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（%）=x2”其中R〃是實(shí)數(shù)集R的兩個非空子集，又

—+—,XEM

、2x

規(guī)定A（P）={y|y=/（x）,xGP）,A（M）={y|y=f（x）,xeM},有下列命題：

①對任意滿足尸=R的集合尸和M,都有A（P）uA（M）=R；

②對任意滿足P2M豐R的集合尸和M,都有A（P）uA（M）^R,

則對于兩個命題真假判斷正確的是（）

A.①和②都是真命題B.①和②都是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

3.（24-25高三上?上海寶山?開學(xué)考試）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中.有重要地位，且群論的

研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論

知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個非空集合，是G上的一個代

數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：

①對任意的”,6eG,有a.beG；

②對任意的a,6,ceG,有（a.6>c=a.°.c）；

③存在eeG,使得對任意的aeG,有e/=a-e=a,e稱為單位元；

④對任意的aeG,存在人eG,使==稱。與6互為逆元.

則稱G關(guān)于新構(gòu)成一個群.則下列說法正確的有（）

A.G={0,1,2}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

B.自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群

C.實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群

D.G={a+?|a,6eZ}關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群

l,xeA

4.（23-24高三下?上海?階段練習(xí)）對于全集R的子集A,定義函數(shù)以（尤）=為A的特征函數(shù).設(shè)A，

8為全集R的子集，下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.若則B.介(x)=l-/⑸

C./ACB（X）=/A（X>/（X）D.AUBW=Z4W+/BW

5.（22-23高三上?上海浦東新?期中）在整數(shù)集Z中，把被5除所得余數(shù)為七的所有整數(shù)組成一個“類”，記為

回即因={5〃+H〃eZ},其中讓{0,1,2,3,4}.以下判斷不正確的是（）

A.2022e[2]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]D.若?！痪W(wǎng),則整數(shù)服b屬于同一“類”.

6.(2023?上海徐匯?一模)已知集合出={(尤,>—=/。)知若對于任意(x,y)eM,總存在與之相應(yīng)的

(尤',>')€M(其中工中/)，使得I?，+W|=舊+0-卜)2+(力2成立,則稱集合M是“。集合”.下

列選項(xiàng)為“O集合”的是()

A.M={(x,j)|y=—,x>0}B.M-{(x,y)|_y=ex-2}

X

C.M={(x,y)|y=cosx}D.M={(x,y)|y=x3}

7.(2022.上海.模擬預(yù)測)設(shè)P、。是R上的兩個非空子集，如果存在一個從尸到。的函數(shù)y=/(x)滿足：

(1)2={/WlxeP};(2)對任意占eP,當(dāng)王時，恒有/&)</(%)，那么稱這兩個集合構(gòu)成“Pf。

恒等態(tài)射”，以下集合可以構(gòu)成“PfQ恒等態(tài)射”的是()

A.RfZB.ZTQ

C.[1,2]f(0,1)D.(1,2)^7?

二、填空題

8.(24-25高三上?上海?階段練習(xí))已知集合"={尤假42017,xeZ},集合P是集合加的三元子集，叫

-11-1=—2

尸=他力,。}口尸中的元素〃，b,C滿足QbC,則符合要求的集合P有個數(shù)是

a+c=2b

9.(24-25高三上?上海?開學(xué)考試)已知全集。={(%曰|彳/?口},若集合AuU,且對任意a，%)eA,均

存在(%，%)€4，使得：e%+%%=。，則稱集合A為“對稱對點(diǎn)集”.給出如下集合：

(1)A={(x,y)|尤,yeZ}；(2)A=](x,y)|y=eR,xw0：；

(3)A={(x,y)|y=2x+l,xeR}；(4)A={(x,y)|y=x2,xeR,xw。}.

其中是“對稱對點(diǎn)集”的序號為(寫出所有正確的序號)

10.(23-24高三上.上海浦東新?期中)設(shè)集合4={1,2,3,…，科,“為正整數(shù)，記"〃)為同時滿足下列條件的

集合A的個數(shù)：①A=②若xeA,則2x任A,③若xeN,則貝廳。6)=

11.(2022?上海?模擬預(yù)測)對于復(fù)數(shù)a、b、c、d,若集合S={a,b,c,d}具有性質(zhì)“對任意x、yeS,必有肛eS”，

則當(dāng)〃=6=l,c2=/?時，abed=.

12.(22-23高三下?上海嘉定?階段練習(xí))定義兩個點(diǎn)集S、T之間的距離集為d(S,T)={|PQ||PeS,QeT},

其中|尸。|表示兩點(diǎn)P、Q之間的距離，已知左、teR,S={(x,y)|y=Ax+f,xeR},T={(x,y)|y="7W,xeR},

若d(S,T)=(l,y),貝心的值為.

三、解答題

13.(2022高三?上海?專題練習(xí))已知等差數(shù)列｛%｝的公差de(O,句，數(shù)歹式優(yōu)｝滿足“=sin(a“)，集合

(1)若q=0,4=飛~,求集合S；

(2)若求d使得集合S恰好有兩個元素；

(3)若集合S恰好有三個元素：bn+T=bn,T是不超過7的正整數(shù)，求T的所有可能的值.

14.(21-22高三下.上海徐匯.階段練習(xí))設(shè)自然數(shù)"W3,若由〃個不同的正整數(shù)4，出，…，?！睒?gòu)成的集

合5=｛仆％,…,4｝滿足：對集合S的任何兩個不同的非空子集A、B,A中所有元素之和與8中所有元素之

和均不相等，則稱集合S具有性質(zhì)P.

⑴試分別判斷在集合￡=｛1,2,3,4｝與邑=｛1,2,4,8｝是否具有性質(zhì)產(chǎn)，不必說明理由；

⑵已知集合5=…具有性質(zhì)P.

①記+L+必，求證：對于任意正整數(shù)左4",都有

Z=11=1

②令4=4-2-,2=之4,求證：2》0；

Z=1

⑶在(2)的條件下，求一+—+…+一的最大值.

15.（21-22高三上?上海黃浦?開學(xué)考試）若無窮數(shù)列｛%｝滿足：4是正實(shí)數(shù)，當(dāng)2時,

1%-%|=max｛q,%,…,％｝,則稱｛““｝是“r—數(shù)列”.

⑴若a｝是“y-數(shù)列”且q=1,寫出%的所有可能值；

（2）設(shè)｛?！埃恰皔-數(shù)列”，證明：｛乙｝是等差數(shù)列的充分必要條件是｛《｝單調(diào)遞減；

（3）若｛?！埃恰皔-數(shù)列”且是周期數(shù)列（即存在正整數(shù)T,使得對任意正整數(shù)”，都有%+”=4）,求集合

｛i\a;=o1,l</<2021,/eN*｝的元素個數(shù)的所有可能取值.

16.（20-21高三下?上海寶山?開學(xué)考試）已知集合AqR,若x”A（i=：l,2,…㈤且

，，+1

西>%22,〃wN*）,則稱x=%-%+W+…+（-l）xn為集合生成的一個“交錯數(shù)”,所有“交錯數(shù)”

組成的集合8稱為集合A生成的交錯集

（1）寫出集合A=｛2,5,7,9｝生成的交錯集；

（2）若集合A=｛x|x=3",〃eN*｝,求證：集合A的交錯數(shù)各不相同；

⑶無窮數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且對任意weN*都有S“=2a“-1.記A=｛小=%,〃N*｝,判斷集合A

生成的交錯集B與正整數(shù)集N*的關(guān)系，并說明理由.

17.(20-21高三上?上海寶山.開學(xué)考試)定義：有限非空數(shù)集。的所有元素的“乘積”稱為數(shù)集。的“積數(shù)”,

例如：集合。={1,2,3},其“積數(shù)”=lx2x3=6.

(1)若有限數(shù)集A={q,%,多},求證：集合A的所有非空子集的“積數(shù)”之和梟滿足

SA=(1+%)(1+2)(1+%)—1；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，對于有限非空數(shù)集A={%,外,…,4}(neN*,n*2),記集合A的所有非空子集的

“積數(shù)”之和S,，試寫出S?的表達(dá)式，并利用“數(shù)學(xué)歸納法”給予證明；

(3)若有限集。=…

①試求由。中所有奇數(shù)個元素構(gòu)成的非空子集的“積數(shù)”之和S奇教；

②試求由O中所有偶數(shù)個元素構(gòu)成的非空子集的“積數(shù)”之和SRa.

18.(21-22高三上?上海嘉定?期中)設(shè)非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素”和最小元素機(jī)，記A(X)=M-祖.

⑴已知x={-i,i},y={o,6},且A(x)=A(y),求實(shí)數(shù)從

⑵設(shè)X=[a,a+2],Y={y\y=x2,x^x},是否存在實(shí)數(shù)。，使得△(/)=1?若存在，求出所有滿足條件的

實(shí)數(shù)。，若不存在說明理由.

在區(qū)間上,7+1]上值域記為y,若對任意reg,l,函數(shù)都滿足△(/)?：1,

(3)設(shè)a>0,函數(shù)/(x)=log?-----FQ

X

求。的取值范圍.

19.(2022?上海青浦?二模)設(shè)函數(shù)/(x)=x2+px+q(p,qeR),定義集合烏={x"(/(x))=R},集合

%={x"(/(x))=0,xeR}.

(1)若。=4=。，寫出相應(yīng)的集合。,和%;

⑵若集合0={。},求出所有滿足條件的，夕；

⑶若集合得只含有一個元素，求證：p20,qN0.

重難點(diǎn)01以集合為背景的綜合題

明考情■知方向=

2025年考向預(yù)測：集合與函數(shù)綜合的解答題

重難點(diǎn)題型解讀

題型1集合新定義

題型2集合與函數(shù)綜合題

以集合為背景的綜合題題型3集合與三角函數(shù)綜合題

題型4集合與數(shù)"監(jiān)合題

題型5集合與導(dǎo)數(shù)綜合題

題型1集合新定義

1.（2024?上海?模擬預(yù)測）考慮｛x|O<x<12,xeN）的非空子集8,滿足8中的元素個數(shù)等于B中的最小元素，

例如，8=｛4,6,8,11｝就滿足此條件.則這樣的子集8共有個.

【答案】144

【知識點(diǎn)】組合數(shù)的計(jì)算、集合新定義

【分析】由題意，。e3,且集合8中的最小元素不能大于6,再根據(jù)集合8中的最小元素進(jìn)行討論，即可

得解.

【詳解】由題意，OeB,且集合8中的最小元素不能大于6,

當(dāng)集合8中的最小元素1時，這個的集合8只有｛1｝這1個，

當(dāng)集合B中的最小元素2時，這個的集合8有C；。=10個，

當(dāng)集合8中的最小元素3時，這個的集合8有C；=36個，

當(dāng)集合5中的最小元素4時，這個的集合8有C；=56個，

當(dāng)集合8中的最小元素5時，這個的集合8有C：=35個，

當(dāng)集合2中的最小元素6時，這個的集合B有Cr=6個，

所以滿足題意的子集8共有1+10+36+56+35+6=144個.

故答案為：144.

2.（2024?上海嘉定?二模）若規(guī)定集合E=｛0,1,2,……㈤的子集｛%,外,生,…,（｝為E的第左個子集，其中

笈=2"，+2傳+2%+……+2%,則E的第2n個子集是.

【答案】｛0」,4,6,7｝

【知識點(diǎn)】集合新定義、求集合的子集（真子集）

【分析】正確理解上的含義，左=211時，即要先求出滿足2"<211,2用>211的〃=7,即E的第211個子集

應(yīng)含有的元素，計(jì)算出211-27=83,再要求滿足2”<83,2向>83的〃=6,即E的第211個子集應(yīng)含有的元

素，如此類推即得.

【詳解】027=128<211,28=256>211,則E的第211個子集必包含7,止匕時211-128=83；

又因2S=64<83,27=128>83,則E的第211個子集必包含6,此時83-64=19；

又2"=16<19,25=32>19,貝UE的第211個子集必包含4,此時19-16=3；

又2i=2<3,2?=4>3,則E的第211個子集必包含1；而2°=1.

綜上所述，E的第211個子集是｛0,1,4,6,7｝.

故答案為：｛0,1,4,6,7｝.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于仔細(xì)閱讀題目所提供的信息，正確理解集合的新定義的含義，

將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言.

3.（2024?上海靜安.二模）如果一個非空集合G上定義了一個運(yùn)算*,滿足如下性質(zhì)，則稱G關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)

成一個群.

（1）封閉性，即對于任意的aSeG,有a*》eG；

（2）結(jié)合律，即對于任意的a,6,ceG,有（a*〃）*c=a*（Z?*c）；

（3）對于任意的a,6wG,方程x*a=6與。*y=b在G中都有解.

例如，整數(shù)集Z關(guān)于整數(shù)的加法（+）構(gòu)成群，因?yàn)槿我鈨蓚€整數(shù)的和還是整數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，對

于任意的a,/Z,方程x+o=6與a+y=6都有整數(shù)解；而實(shí)數(shù)集R關(guān)于實(shí)數(shù)的乘法（x）不構(gòu)成群，因?yàn)?/p>

方程Oxy=1沒有實(shí)數(shù)解.

以下關(guān)于“群”的真命題有（）

①自然數(shù)集N關(guān)于自然數(shù)的加法（+）構(gòu)成群；

②有理數(shù)集Q關(guān)于有理數(shù)的乘法（x）構(gòu)成群；

③平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積L）構(gòu)成群；

④復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法（+）構(gòu)成群.

A.0個；B.1個；C.2個；D.3個.

【答案】B

【知識點(diǎn)】集合新定義

【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個條件逐一判斷即可.

【詳解】對于①，x+3=2,在自然數(shù)集中無解，錯誤；

對于②，Oxy=l,在有理數(shù)集中無解，錯誤；

對于③，7B是一個數(shù)量，不屬于平面向量集，錯誤；

對于④，因?yàn)槿我鈨蓚€復(fù)數(shù)的和還是復(fù)數(shù)，且滿足加法結(jié)合律，

且對任意的a,6eC,方程尤+。=6與。+y=6有復(fù)數(shù)解，正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，用新定義解題.解題方法是根據(jù)新定義的

3個條件進(jìn)行驗(yàn)證，注意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律與新定義中運(yùn)算的聯(lián)系可以很快得出結(jié)論.

4.(24-25高三上?上海?期中)已知集合”={(尤4)1丁=了(力},若對于任意實(shí)數(shù)對存在

使占超+%%=。成立，則稱集合M是“垂直對點(diǎn)集”.給出下列四個集合：

①M(fèi)=1(x,y)|y=m；

②M={(x,y)|y=log2x}；

@M={(x,y)|y=2"-2}

@M={(x,y)|y=sinx+l}；

其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【知識點(diǎn)】集合新定義

【分析】根據(jù)“垂直對點(diǎn)集”的定義可判斷①；舉出反例判斷②；數(shù)形結(jié)合并結(jié)合“垂直對點(diǎn)集”的定義可判斷

③④,即可得答案.

【詳解】對于①，M=1(x,y)ly=:1,y=，為偶函數(shù)，定義域?yàn)?一8,0)口(0,+8),

對于任意實(shí)數(shù)對,

則存在‘滿足x'lj+Jxf=0,集合M是“垂直對點(diǎn)集”；

對于②，M={(x,y)|y=log2x),取實(shí)數(shù)對(1,0)eM,

假設(shè)存在(孫力)€加,々＞°，使Ixz+Ox%=。成立，貝IJ無2=。，與尤2＞。矛盾，

即Af={(x,y)|y=log?%}不是''垂直對點(diǎn)集“；

對于③，“={(羽＞)1、=2'-2},作出函數(shù))；=2，-2的圖象如圖，

圖象過點(diǎn)(0,-1),向右向上無線延伸，向左向下無限靠近直線＞=-2,

在y=2「2的圖象上任取一點(diǎn)A（/yJ,連接。4,作O3_LOA,

則。3總與函數(shù)圖象相交，設(shè)交函數(shù)圖象于3（%,%）,

即對于任意實(shí)數(shù)對（士,其）€加，總存在（尤2，%）€“，使得占尤?+%%=。成立，故集合〃是“垂直對點(diǎn)集”;

對于④M={（尤,y）ly=sinx+l},作出函數(shù)'=$向+1的圖象如圖，

圖象向左向右無線延伸，

在〉=$以+1的圖象上任取一點(diǎn)連接。4,作OBLOA,

則。8總與函數(shù)圖象相交，設(shè)交函數(shù)圖象于3（%,%），

即對于任意實(shí)數(shù)對（4yJeM,總存在（工2，%）?“，使得再多+%%=。成立，故集合M是“垂直對點(diǎn)集”;

故集合M是“垂直對點(diǎn)集”的有3個，

故選：D

5.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）若非空實(shí)數(shù)集X中存在最大元素M和最小元素〃?，則記A（X）=M-加.

下列命題中正確的是（）

A.已知x={—1』},丫={0,%且A（x）=A（y）,則b=2

B.已知X={巾若A（x）=2,則對任意都有〃x"g（x）

C.已知X=[a,a+2],Y^[y\y=x2,x^x],則存在實(shí)數(shù)a,使得A（y）＜l

D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],則對任意的實(shí)數(shù)。，總存在實(shí)數(shù)6,使得A（X3）=3

【答案】D

【知識點(diǎn)】函數(shù)新定義、集合新定義

【分析】由A（X）=A（y）,得到網(wǎng)=2,可判斷A；由=g（o）=。時可判斷B；分情況討論。的

范圍可判斷C,由b=a時，求得A（Xuy）=3可判斷D.

【詳解】A選項(xiàng)，由乂={-1,1},丫={02},可得A（X）=2,A（y）=|fe|,

因?yàn)锳(X)=A(y),所以同=2,b=±2,故A錯誤；

B選項(xiàng)，由A(X)=2知，TeX且leX,

則/⑴Ng(l)且/(-l)Ng(-l),

但是"0)2g(O)不一定成立，例如：/(x)=x2-l,g(0)=0,故B錯誤；

C選項(xiàng)，由*=[°,4+2],y={y3=x2,xex},

當(dāng)a+2W0,即aW-2時，A(y)=a2-(a+2)2=-4a-4>4；

當(dāng)-2<aW-l時，可得八(卜)=/21；

當(dāng)-1<”0時，可得△⑺=(a+2)2>1；

當(dāng)口20時，可得△(y)=(a+2)，2=4。+4",

所以不存在實(shí)數(shù)。，使得△(￥)<：!,故C錯誤；

D選項(xiàng)，由*=[°,。+2],Y=\b,b+3\,取。=a,

可得A(Xuy)=3,對任意實(shí)數(shù)a,總存在6使之成立，故D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)新定義的運(yùn)用，需要準(zhǔn)確把握定義要求，根據(jù)信息利用具體函數(shù)排

除法，反證法，分類討論法以及數(shù)形結(jié)合法一一判斷即可.

6.(2022?上海黃浦?模擬預(yù)測)若集合A=，〃E=0.而,“eN*，，其中。和6是不同的數(shù)字，則A中所有元素

的和為().

A.44B.110C.132D.143

【答案】D

【知識點(diǎn)】集合新定義、無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和

【分析】由題意得工=0."=*史，從而表示出10。+6=歸，再由(10a+b)eN*,得力的可能取值，從

n99n

而得。和6的值，可確定”的值.

?,;八7???O.abab

?、4e、e、r=\J.Clb+\J.\J\Jd7b+...+=-----；—=—

【詳解】因?yàn)?199，

100

1,,10〃4-h99

所以±=0.Qb=^^,所以10〃+。=',

n99n

所以〃可以為1,3,9,11,33,99,

所以(外切可以為(9,9),(3,3),(1,1),(0,9)(0,3),(0,1)

因?yàn)?。?是不同的數(shù)字,所以(。㈤可以為(0,1),(0,3),(0,9),

此時〃=99,33,11,所以A中所有元素的和為11+33+99=143,

故選：D

【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是理解0/3是循環(huán)節(jié)長度為兩位的循環(huán)純小數(shù)，從而得0.1％=黑，進(jìn)而代入集合

A化簡計(jì)算.

7.（2022.上海徐匯.模擬預(yù)測）已知集合X={1,2,3}，}；,={1,2,3,（neN*）,設(shè)Sn=[{a,b）\a整除

6或6整除a，aeX,此％},令/（?）表示集合Sn所含元素的個數(shù)，則/（2022）=—.

【答案】3709

【知識點(diǎn)】集合新定義

【分析】根據(jù)S“的定義進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】“2022）表示集合S皿所含元素的個數(shù)，

其中ae{l,2,3},be{1,2,3,…,2022},

6整除。的有（1,1）,（2,1）,（3,1）,（20,（3,3）共5個.

a整除6的：

（1）1整除1的有2022個;

（2）2整除b的有2己02匕2=1011個；

2

（3）3整除匕的有2名022-=674個.

重復(fù)的有（U），（2,2）,（3,3）共3個.

所以〃2022）=5+2022+1011+674-3=3035+674=3709.

故答案為：3709

8.（24-25高三上?上海?期中）設(shè)4={0,1},集合。={（%,々,…,玉84）|石，馬，…，W84e4},對于。中的任意兩個

元素a=（&Xj,…,/4）、尸=（乂，%上，，為84），定義

a*?=（玉+%-番+…+（.84+為84一.84%84），設(shè)〃、VGQ,若a*&+v*v=384,則a*v

的最小值為.

【答案】192

【知識點(diǎn)】集合新定義

【分析】由%（匕T）=0,可得玉+W+…+為84+必+%+…+為84=384,分析得芯,馬,…工384，%，必，…%84中有

384個1,384個0,進(jìn)而由〃*V=384-（M%+々為+…+—）可得最小值.

【詳解】設(shè)”=（為,％2,…,電84），丫=（%，%，-,，%84），

因?yàn)椋?/p>