江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合力=—,B={x|0<x<2},則4UB=()

A.{x|0<x<1}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<0}

2.若P(T〃z)為角a終邊上一點，且tana=；,則cosa=()

33-44

A.--B.-C.——D.-

5555

3."x>l是的()

A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在(0,+e)上單調(diào)遞減的為()

_22」J_

A.y_x3B.y=C?y=xD.y=

5.函數(shù)y=22i2的值域為()

A.[2,+^)B.(F,2]C.D.(0,2]

21

6.已知1cx<2,?=(log2x),b=\og2xfc=log2(2x),貝ij()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

7.形如2*+1(〃eN)的數(shù)稱為費馬數(shù)，記為￡,凡是一個冽位數(shù)，則加的值為(參考數(shù)據(jù):

lg2?0.3010)()

A.19B.20C.21D.22

8.若直線了=加與函數(shù)〃x)=|bg3x|的圖象從左至右交于點A,B,直線了與/'(x)

的圖象從左至右交于點C,D,記線段/C和2。在無軸上的投影長度分別為。，b,則當(dāng)機

變化時，的最小值為()

a

試卷第1頁，共4頁

A.2V2B.2A/3c.3V2D.3也

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=2cos(gx+|^,貝I]()

A.1(x)的最小正周期為兀

B./(x)在區(qū)間[0,可上單調(diào)遞減

C.點Y，o1是/(X)圖象的一個對稱中心

D.將/(尤)的圖象向右平移g個單位長度后，得到的圖象關(guān)于V軸對稱

io.已知函數(shù)/卜)=忙￥：X：,，若/(/.))=1,則實數(shù)“的取值可能為()

12—1,XSU.

A.-2B.-C.1D.27

3

11.若函數(shù)/(%)在定義域內(nèi)存在為,使得/(%+1)=/(/)+/(1)成立，則稱函數(shù)/卜)具

有性質(zhì)下列函數(shù)中，具有性質(zhì)M的有()

A.=：B./(x)=3，C./(x)=lgp^jD./(x)=x2+2'

三、填空題

12.已知扇形的周長為4cm,圓心角為2rad,則該扇形的面積為cm2.

13.若函數(shù)/(無)="2-。0&￥+”1在(-1,1)上恰有一一個零點，則實數(shù)。的值為.

14.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且當(dāng)x20時，/(x)=a、(a>l).若對任意的

xe[0,t+l],1[^+：]2[/(力丁恒成立，則實數(shù)/的取值范圍是.

四、解答題

、2

?10&21

15.(1)求值:lg4+21g5+27+3

試卷第2頁，共4頁

(2)已知tan(兀+。)=2,求的值.

1，3=例y=cos2x+2sinx+加｝.

16.設(shè)加為實數(shù)，集合/小尸lg77r

（1）當(dāng)加=1時，求Zc5；

（2）若（金工）。8=8,求機的取值范圍.

17.已知函數(shù)/(x)=Zsin(ox+0)A>0,1,0>0,忸區(qū)5的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)/（X）的解析式;

⑵若6小04],且〃0)=”求tane的值.

18.已知函數(shù)且⑴二三匚，令下（"=%，xeR.

（1）判斷函數(shù)尸（x）的單調(diào)性，并用定義證明:

⑵若存在x?ln21n3）,使得尸［/（2x）］+尸［2反（x）-3］>0,求實數(shù)2的取值范圍.

19.蘇教版必修一教材中有這樣一段話：對于等式〃=c（a>0,aWl）,如果將。視為自變量

x,6視為常數(shù)，c為關(guān)于。（即x）的函數(shù)，記為了，那么>=/,是幕函數(shù)；如果將。視

為常數(shù)，6視為自變量尤，。為關(guān)于6（即x）的函數(shù)，記為那么y=",是指數(shù)函數(shù);

如果將。視為常數(shù)，c視為自變量x,b為關(guān)于c（即x）的函數(shù)，記為了，那么y=bg“x,

是對數(shù)函數(shù).事實上，由這個等式還可以得到更多的函數(shù)模型.

如果c為常數(shù)e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），將。視為自變量x（x>0,尤R1）,貝1］6為x的函數(shù)，記

為九將了表示成x的函數(shù)/（x）.

（1）直接寫出函數(shù)/（X）的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性：（不用證明）

試卷第3頁，共4頁

⑵若不等式(X-(X)＞o對任意的Xe(0,1)u(1,y)恒成立，求實數(shù)用的值:

(3)當(dāng)函數(shù)〃(x)在區(qū)間［a,6］上連續(xù)，對任意X］,x2&［a,b］,

若恒有彳土產(chǎn))＞，叫，⑷，則稱函數(shù)〃(x)是區(qū)間楨,可上的上凸函數(shù)，

若恒有h［七強］＜，則稱函數(shù)〃(x)是區(qū)間［凡可上的下凸函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)玉=%時等號成立，這個性質(zhì)稱為函數(shù)的凹凸性.試判斷函數(shù)/(x)

在。,+⑹上的凹凸性，并證明你的結(jié)論.

試卷第4頁，共4頁

《江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號12345678910

答案BAACDBBDBCABD

題號11

答案BCD

1.B

【分析】根據(jù)并集的定義直接求解即可.

【詳解】因為4={X|T<X41},B={x|0<x<2},

所以/UB={x|-l<x<2}.

故選：B

2.A

【分析】由條件結(jié)合三角函數(shù)的定義列方程求加，再結(jié)合三角函數(shù)定義求cose.

【詳解】因為尸(-3,〃?)為角c終邊上一點，

所以tancc=,由已知---=一，

-333

所以加=-4,故點尸的坐標(biāo)為(-3,-4),

所以點P到原點的距離為^(-3)2+(-4)2=5,

--33

所以cosa=1-=一二.

故選：A.

3.A

【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.

11_

【詳解】解：由上<1,得二r<0,即(x-l)x>0解得x<0或x>l,

尤X

所以X>1是<1”的充分且不必要條件，

X

故選：A

4.C

【分析】根奇偶函數(shù)的性質(zhì)和幕函數(shù)的性質(zhì)對選項一一判斷即可得出答案.

_21

【詳解】對于A,y=x3=『的定義域為{小片0},

答案第1頁，共11頁

x2

且加了一席，所以在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，故A錯誤；

2

對于B,y=x3=^的定義域為R,

且再守=擊，所以y=/在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，故B錯誤；

_11

對于C,y=x3=-T=,的定義域為{x|xwo},

vx

1111

且玳=j=一正是奇函數(shù),因為-所以y=x^在(0,+°0)單調(diào)遞減，故C正確;

對于D,>=￡=近的定義域為R，且步習(xí)=-次是奇函數(shù)，

因為g>0,所以了=/在(0,+8)單調(diào)遞增，故D錯誤；

故選:C.

5.D

【分析】令:2尤--4],所以了=2'(/Vl),結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.

【詳解】令/=2x-x2=_(x_l『+lVl,所以了=2(W1),

因為y=2'在R上單調(diào)遞增，所以0<2'42,

所以函數(shù)〉=22*4的值域為(0,2].

故選：D.

6.B

【分析】先根據(jù)l<x<2求出/=log2xe(0,l),作差比較出c>b>a.

【詳解】因為1cx<2,所以f=log2^e(0,l),

2

故a=/=log2x=21og,x=2t,c=log2(2尤)=l+log2無=1+t,

。―6=1+/—2%=1—，>0,c>b,

b—ci=2t—t2=t(2—t^>0,故Z?〉a,

所以

故選：B

7.B

答案第2頁，共11頁

【分析】r=264+1,設(shè)/=264，兩邊取常用對數(shù)估算m的位數(shù)即可.

【詳解】?.乜=264+1,設(shè)”264,則兩邊取常用對數(shù)得

1g/=1g2'4=641g2=64xOjo1。=19,264.

J=10以26%ip,

故片的位數(shù)是20,

故選：B.

8.D

【分析】設(shè)/,B,C,。的橫坐標(biāo)分別為網(wǎng)用,馬,匕，根據(jù)題意得到再=,，W=',

X?X4

i2

2b—XAm+

乙=3",,匕=3罰，再由￡=廣3=%"4=32"求解.

【詳解】設(shè)4B,C,。的橫坐標(biāo)分別為士,馬,巧,匕，

貝Ulog,X]=-m,logx=m,logx=--——-,logx=-——-

32332m+1342m+1

112

再“2=1,%3,％4=1，所以再=屋，/=￡，/=3"/4=3利，

D21/cC2113

又mT------=—(2m+1)H---------->2——=—,

2m+l2、)2m+l222

當(dāng)且僅當(dāng)：i(2/+1)=17；,即機=:1時，等號成立，

2''2m+l2

3

所以馬233=3/，

故選：D

9.BC

【分析】由周期公式判斷A；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；由代值法判斷C；根據(jù)圖象

平移寫出解析式判斷奇偶性可判斷D.

T=空=4兀

【詳解】對于A,/(%)的最小正周期為1,故A不正確；

2

丫TT7T1TT

對于B,當(dāng)xe[0,句時，-+-e,由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)〃x)在[0,劃單調(diào)

答案第3頁，共11頁

遞減，故B正確;

對于C,因為H=2cos]；x；+m]=2cosT=0,故go）是/⑺圖象的一個對稱中心,

故C正確；

=2cos[$+I,顯然不關(guān)于了軸對稱，故D

不正確

故選：BC.

10.ABD

【分析】由題意可得1（。）=3或/（。）=-1,分類討論。>0和。<0,代入解方程即可得出答

案.

【詳解】令/（。）=乙所以/（〃叫=〃/）=1,

當(dāng)/>0時，〃。=1限，=1,解得：/=3,所以/■⑷=3,

當(dāng)°>0時，/（a）=log3a=3,解得：a=27,

當(dāng)a<0時，f（a）=2-a-l=3,解得：°=-2,

當(dāng)/W0,/（0=2-/-1=1,解得：t=-l,所以=

當(dāng)a>0時，/（a）=log3c!=-l,解得：=j,

當(dāng)aWO時，=無解，

綜上：實數(shù)。的取值可能為：（27,-2.

故選：ABD.

11.BCD

【分析】假設(shè)各選項中的函數(shù)具有性質(zhì)求對應(yīng)的%,若/存在則判斷該選項所給函數(shù)

具有性質(zhì)W,反之則說明該函數(shù)不具有性質(zhì)由此確定正確選項.

【詳解】A,設(shè)函數(shù)/（尤）=，具有性質(zhì)則存在看,滿足條件〃/+1）=/（%）+”1）,

所以--1,化簡可得工0=X0+1+%+%0,即X；+%o+l=O,

+1XQ

該方程無解，即滿足條件的X。不存在，矛盾，所以函數(shù)/（》）=：不具有性質(zhì)W,A錯誤；

答案第4頁，共11頁

B,設(shè)函數(shù)/(x)=3,具有性質(zhì)”，則存在天,滿足條件〃/+1)=/(/)+〃1),

所以3'川=3,。+3,化簡可得2了。=3,即3*。=],解得％=1-1叫2,

所以函數(shù)/(x)=3"具有性質(zhì)/，B正確；

C,設(shè)函數(shù)/(尤)=lgW■具有性質(zhì)則存在修,滿足條件〃x°+l)=/(x0)+/(l),

所以lg(x+；1+]=坨六+上；，化簡可得(X。+1)2+1=(片+1)2，

解得分=2或%=0,

所以函數(shù)/(x)=lgV1具有性質(zhì)”，C正確；

D,設(shè)函數(shù)/'(x)=x2+2,具有性質(zhì)/，則存在/,滿足條件〃/+1)=/&)+〃1),

所以(x0+1『+2'郵=片+2。+3,化簡可得2x0+2.-2=0,

因為函數(shù)了=2苫-2/=2工在(-00,+8)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)了=2x+2工-2在(-吟+⑹單調(diào)遞增，

而x=0,y=\-2=-1,當(dāng)x=l時，y=2f

所以方程2%+2與-2=0在(0,1)內(nèi)有解，

所以函數(shù)/(力=爐+2-'具有性質(zhì)M,D正確；

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算

五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助

于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新

題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.

12.1

【分析】設(shè)扇形的半徑為五,然后根據(jù)題意列方程求出尺，再由扇形的面積公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)扇形的半徑為R,

因為扇形的周長為4cm,圓心角為2rad,

所以2R+2R=4,得夫=1,

答案第5頁，共11頁

所以扇形的面積為1尺％=：XFX2=1.

22

故答案為：1

13.2

【分析】易知當(dāng)。=0時不符合題意；當(dāng)awO時，利用轉(zhuǎn)化的思想可知函數(shù)了=cos尤與

g(x)=ox2+a_i圖象在(T,I)上恰有一個交點，結(jié)合余弦函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析即

可求解.

【詳解】當(dāng)0=0時，/(x)=-cosx-l,令〃x)=0,解得x=(2斤+1)匹左eZ,

當(dāng)左=0時，x=?t免(-1,1),不符合題意；

因為函數(shù)/(無)在(-1，1)上恰有一個零點，

則方程辦2-cosx+a-1=0在(TJ)上恰有一個實根，

即函數(shù)V=cosx與g*)=ax?+a-1圖象在(-1,1)上恰有一個交點.

當(dāng)。<0時，g(x)的圖象為開口向下、頂點位于了軸的拋物線，

此時ga)max=g(0)=a-l<0,與了=cos無圖象無交點，不符合題意；

當(dāng)a>0時，COSXG[-1,1],

要使函數(shù)了=。。$》與g(x)=a?+a-1圖象在(-1,1)上恰有一個交點.

只需g(0)="l=l,解得a=2.

綜上，a=2.

故答案為：2

【分析】首先可得/(x)的單調(diào)性，再由[〃X)T=〃3X),即可得到對任意的尤+

x+；213M恒成立，從而得到對任意的x?0J+l]，(4x—)(8x+t)40恒成立，再分:0、

t>0、1<0三種情況討論，分別解出(4XT)(8X+/)W0,即可得到不等式組，從而求出參數(shù)

t的取值范圍.

【詳解】因為當(dāng)x"時，=所以f(x)在[0,+s)上單調(diào)遞增且

[/(x)T=(，J=/*=/(3x)，

又函數(shù)/(尤)是定義域為R的偶函數(shù)，

答案第6頁，共11頁

則當(dāng)x<0時，〃x）=〃-x）=「（a>l）,所以/（x）在（--0）上單調(diào)遞減且

[/（尤）T=（「）=。一”=/（玄），

所以[/（x）T=/（3x）,（xeR）,

因為對任意的xe[Oj+l],+；%[f（x）/恒成立,

即對任意的xe[O,/+l],/（x+；〉/（3x）恒成立，

顯然％+1>0,即"一1；

所以對任意的xw[O#+l],X+：2|3引恒成立，

即對任意的xe[Oj+l],8x2-fx--^-<0恒成立，

即對任意的xe[Oj+l],（4x-f）（8x+f）V0恒成立,

當(dāng)1=0時，不等式（4xT）（8x+f）W0,解得x=0,顯然不成立;

/>0

當(dāng)f>0時，不等式（4x-f）（8x+f）W0,解得一則-540,解得摩0；

O

->t+l

14

t<0

-<0

4Q

當(dāng)/<0時,不等式（4xT）（8x+f）V0,解得x<--,則<解得-1<%；

O

8

，>—1

綜上可得：實數(shù)才的取值范圍是1-1,-1

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為對任意的

xe[0j+l],x+；2|3x|恒成立.

15.(1)13(2)2

【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可;

（2）利用誘導(dǎo)公式化簡計算即可.

答案第7頁，共11頁

【詳解】(1)原式=2(lg2+lg5)+3%+2=2+9+2=13；

(2)因為tan(兀+a)=tana=2,

c(—cosa)?(—sina)

所以原式二^^-----甘-----』=tana=2.

cosa

16.(1)/門2=1,3

1,

【分析】(1)解不等式求出集合A,再根據(jù)二次函數(shù)和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出集合B,然后利

用交集的定義可求出4c/；

(2)先求出集合A的補集，再由=得jB,再利用二次函數(shù)和正弦函

數(shù)的性質(zhì)求出集合B,然后利用兩集的包含關(guān)系列不等式組可求得結(jié)果.

【詳解】⑴由2丫<一^5〉0,得(2x-5)(%+1)>0,解得x<-1或5

所以/=(-CO,-l)u[T，+8]，

當(dāng)加=1時，^=l-sin2x+2sinx+1=-(siwc-1)2+3,

因為所以B=

所以何8=悖3；

(2)因為/=(-8,T)U(g,+sJ,所以a/=-1,|,

因為他2)口8=凡所以他

即=B.

=1-sin2x+2sinx+m=-^inx-1)2+2+m,

因為sinxG[-1,1],所以5=[-2+m,2+m],

—2+m<-1

所以c5,解得[V/MVL

2+m>—2

2

17.(1)/3=sinf2x+y

(2)tan。=1

【分析】(1)觀察圖象確定函數(shù)的最值，由此可求A,觀察函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式求。,

答案第8頁，共11頁

由求。，由此可得函數(shù)解析式；

（2）由/（e）=g,結(jié)合特殊角三角函數(shù)值及正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求e,結(jié)合e的范圍確

定其值，再求tan。.

【詳解】（1）觀察圖象得函數(shù)/（X）的最大值為1,最小值為-1,故4=1,

觀察圖象可得7=2［善-白］=兀，xr=—,所以0=2,

V1212）co

由，［fl］=$出〔2*卷+=1,得0=5+2版,kwZ,

又冏W5,得夕=（，所以/（x）=sin（2x+；）；

（2）因為/⑻=$山（2。+：=；,

所以26+火=2版+殳，^26+-=2kTi+—,keZ

3636

jrjr

所以e=E---,或。=左兀+—,keZ,

124

又因為所以夕=：,

所以tan。=1.

18.⑴歹（x）是R上的增函數(shù)，證明見解析

7

⑵人-日

【分析】（1）先根據(jù)題意求得尸（無）=1-苫不，然后任取再,X2?R，且再〈無2,再化簡變

形尸（尤J-尸仁2）進行判斷符號,從而可判斷其單調(diào)性；

（2）先判斷尸（X）為奇函數(shù)，然后將不等式轉(zhuǎn)化為尸［;?。尤）］〉尸［3-22g（x）］,再根據(jù)尸（x）

71

是R上的增函數(shù)，得/'。力＞3-24g（x）,令ye-e-，，換元后將問題轉(zhuǎn)化為力＞：-g，

再構(gòu)造函數(shù)可求得結(jié)果.

【詳解】（1）尸（x）是R上的增函數(shù).

證明：由題意得，尸（"=黑=矢!1X2

2x-2xXGR,

-Xe+l-e+l

任取AweR,且王＜龍2,

答案第9頁，共11頁

2(2、2(e2xi-e2v2)

則P(xj-尸(9)=1--------11——=/,1、/,)、,

」I"J，e2X|+1(e2x2+lj(e2ri+l)(e2x2+l)

2V12x2

因為無i<Z,所以2占<2X2,e-<e,

所以e2w-e2*<0,Xe2x*+l>0,e2%2+1>0,

所以b(xj-尸(％)<0,即尸(再)〈尸卜2),

所以尸(無)是R上的增函數(shù);

(2)因為尸(f)=J上=-尸［),所以尸(x)是R上的奇函數(shù)，

ex+ex

由尸［〃2x)］+尸［2念(尤)-3］＞0,得/口(2切＞-尸［2志［)-3］,

所以網(wǎng)一2Xg(x)］,

又因為尸(x)是R上的增函數(shù)，所以/(2力＞3-2聞司,

J