人教A版（2019）選擇性必修第三冊第八章

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3.1分類變量與列聯(lián)表目錄學習目標01情景導入02新知探究03課本例題0405課本練習06題型探究方法歸納0807課本習題課堂小結(jié)1.了解探究分類變量之間關(guān)系的方法2.制作、理解2×2列聯(lián)表，用頻率分析法、圖形分析法探究兩個分類變量之間的關(guān)系3.能夠?qū)y(tǒng)計數(shù)據(jù)進行簡單整理、初步分析提升數(shù)學抽象、數(shù)據(jù)建模及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)學習目標飲用水的質(zhì)量是人類普遍關(guān)心的問題，根據(jù)統(tǒng)計，飲用優(yōu)質(zhì)水的518人中，身體狀況優(yōu)秀的有466人，飲用一般水的312人中，身體狀況優(yōu)秀的有218人．問題人的身體健康狀況與飲用水的質(zhì)量之間有關(guān)系嗎？情景導入變量數(shù)值變量分類變量如何利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)判斷一對分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性呢？對于這樣的統(tǒng)計問題，有時可以利用普查數(shù)據(jù)，通過比較相關(guān)的比率給出問題的準確回答，但在大多數(shù)情況下，需要借助概率的觀點和方法.我們先看下面的具體問題.情景導入例：人的身高；100米短跑所用時間；產(chǎn)品月銷量

數(shù)值變量的取值為實數(shù).其大小和運算都有實際含義.兩個數(shù)值變量之間的關(guān)系：回歸分析法；例：班級；性別；是否經(jīng)常鍛煉；是否每年體檢分類變量的取值可以用實數(shù)來表示；這些數(shù)值只作為編號使用，用來表示不同的類別；并沒有通常的大小和運算意義.例如,學生所在的班級可以用1,2,3等表示,男性、女性可以用1,0表示某中學需要了解性別因素是否對本校學生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對學生是否經(jīng)常鍛煉的情況進行了普查.全校學生的普查數(shù)據(jù)如下：523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù)，說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎？新知探究性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)192331523男生(X=1)128473601合計3208041124方法1——由頻率估計概率

結(jié)論：該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，男生更經(jīng)常鍛煉。性別在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異呢？性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y=0)經(jīng)常(Y=1)女生(X=0)192331523男生(X=1)128473601合計3208041124方法2——借助條件概率性別鍛煉總計不經(jīng)常（Y=0）經(jīng)常（Y=1）女生（X=0）192331523男生（X=1）128473601總計3208041124

結(jié)論：該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，男生更經(jīng)常鍛煉。性別在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異呢？方法3——借助等高堆積條形圖性別鍛煉總計不經(jīng)常（Y=0）經(jīng)常（Y=1）女生（X=0）192331523男生（X=1）128473601總計3208041124

性別在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異呢？在實踐中，由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成表格加以保存.我們將形如下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).組別甲(Y＝0)乙(Y＝1)合計A(X＝0)aba＋bB(X＝1)cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d概念歸納例1為比較甲、乙兩所學校學生的數(shù)學水平，采用簡單隨機抽樣的方法抽取88名學生．通過測驗得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學生中有10名數(shù)學成績優(yōu)秀；乙校45名學生中有7名數(shù)學成績優(yōu)秀．試分析兩校學生中數(shù)學成績優(yōu)秀率之間是否存在差異．我們將所給數(shù)據(jù)整理成表學校數(shù)學成績合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788例題講解由等高堆積條形圖可知，可以認為兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率比乙校學生的高.由2×2列聯(lián)表可得，甲校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為乙校學生中數(shù)學成績不優(yōu)秀和數(shù)學成績優(yōu)秀的頻率分別為作出等高堆積條形圖如圖示.甲校乙校1.00.80.60.40.00.2優(yōu)秀不優(yōu)秀學校數(shù)學成績合計不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計711788思考你認為“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的?事實上，“兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率存在差異”這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的.有可能出現(xiàn)這種情況:在隨機抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學生的數(shù)學成績優(yōu)秀率實際上是沒有差別的.這就是說，樣本的隨機性導致了兩個頻率間出現(xiàn)較大差異.在這種情況下，我們推斷出的結(jié)論就是錯誤的.后面我們將討論犯這種錯誤的概率大小問題.1.成語“名師出高徒”可以解釋為“知名老師指導出高水平學生的概率較大”，即老師的名聲與學生的水平之間有關(guān)聯(lián).你能舉出更多的描述生活中兩種屬性或現(xiàn)象之間關(guān)聯(lián)的成語嗎?解：例如水漲船高、登高望遠等.課堂練習2.例1中的隨機抽樣數(shù)據(jù)是否足夠確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率?為什么?解：不能.因為隨機抽樣得到的樣本具有隨機性，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算出來的頻率也具有隨機性.在統(tǒng)計推斷中，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以利用頻率推斷與X和Y有關(guān)的概率和條件概率，但由于頻率具有隨機性，這種推斷可能犯錯誤.因此，隨機抽樣數(shù)據(jù)不足以確定與X和Y有關(guān)的所有概率和條件概率.3.根據(jù)有關(guān)規(guī)定，香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.那么(1)吸煙是否對每位煙民一定會引發(fā)健康問題?(2)有人說吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙.這種說法對嗎?解：(1)從已掌握的知識來看，吸煙會損害身體的健康.但除了吸煙之外，身體的健康還受許多其他隨機因素的影響，它是很多因素共同作用的結(jié)果.吸煙導致患病的案例非常普遍，但也可以找到長壽的吸煙者.因此健康與吸煙有關(guān)聯(lián)，即從統(tǒng)計意義上講，吸煙會損害健康，但不一定會對每位煙民都引起健康問題.(2)這種說法不正確.雖然吸煙不一定會對每個人都引起健康問題，但根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，吸煙比不吸煙引起健康問題的可能性大，因此“吸煙不一定引起健康問題，因此可以吸煙”的說法是不對的.4.假設在本小節(jié)“問題”中，只是隨機抽取了44名學生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表:性別鍛煉合計不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯，并解釋原因.性別鍛煉合計不經(jīng)常(Y＝0)經(jīng)常(Y＝1)女生(X＝0)51520男生(X＝1)61824合計113344(1)據(jù)此推斷性別因素是否影響學生鍛煉的經(jīng)常性；(2)說明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯，并解釋原因.解：(1)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得男女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別為通過對比發(fā)現(xiàn)，男生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率與女生中不經(jīng)常鍛煉和經(jīng)常鍛煉的頻率分別相等，依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以推斷P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1).因此，可以認為性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響.(2)推斷可能犯錯誤.因為樣本是通過隨機抽樣得到的，頻率具有隨機性，因此推斷可能犯錯誤.【例1】某大學通過隨機詢問100名性別不同的大學生是否愛好某項運動后發(fā)現(xiàn)：愛好該項運動的男生有40人，接受調(diào)查的45名女生中有25人不愛好該項運動．請作出2×2列聯(lián)表．解：列表如下：題型1列2×2聯(lián)表是否愛好性別合計男女愛好402060不愛好152540合計5545100題型探究方法歸納分清類別是作列表的關(guān)鍵步驟．表中排成兩行兩列的數(shù)據(jù)是調(diào)查得來的結(jié)果．題型2用2×2列聯(lián)表分析兩分類變量間的關(guān)系解：2×2列聯(lián)表如下：飲食情況年齡合計在六十歲以上在六十歲以下以蔬菜為主432164以肉類為主273360合計7054124【例3】某學校對高三學生作了一項調(diào)查發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的學生426人中有332人在考前心情緊張，性格外向的學生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類型是否有關(guān)系．題型3用等高堆積條形圖分析兩分類變量間的關(guān)系解：作列聯(lián)表如下：考前心情性格合計內(nèi)向外向緊張332213545不緊張94381475合計4265941020相應的等高堆積條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認為考前緊張與性格類型有關(guān)．利用等高堆積條形圖判斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟【例4】某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長期培訓(稱為B類工人)．現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法(按A類、B類分兩層)從該工廠的工人中抽取100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))，結(jié)果如下表：表1：A類工人生產(chǎn)能力的頻數(shù)分布表規(guī)范答題樣板生產(chǎn)能力分組[110，120)[120，130)[130，140)[140，150)人數(shù)8x32表2：B類工人生產(chǎn)能力的頻數(shù)分布表生產(chǎn)能力分組[110，120)[120，130)[130，140)[140，150)人數(shù)6y2718(1)確定x，y的值；(2)完成下面2×2列聯(lián)表：工人類別生產(chǎn)能力分組合計[110,130)[130,150)A類

B類

合計

【解題思路探究】第一步，審題．審結(jié)論明確解題方向，確定x，y的值，可用分層隨機抽樣解決．審條件，挖解題信息，已知工廠中A，B類工人的人數(shù)和抽取工人數(shù)，進行分層隨機抽樣，可直接計算A，B類工人樣本數(shù)．第二步，確定解題步驟．分層隨機抽樣確定A，B類工人抽取數(shù)→求x，y的值→完成列聯(lián)表．第三步，規(guī)范解答．解：(1)∵從該工廠的工人中抽取100名工人，且該工廠中有250名A類工人，750名B類工人，∴要從A類工人中抽取25名，從B類工人中抽取75名，∴x＝25