7.4線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性與可觀性分析

可控性(controllability)和可觀測性(observability)深刻地揭示了系統(tǒng)的內(nèi)部結構關系，是由R.E.Kalman于20世紀60年代初首先提出并研究的這兩個重要概念。粗略地說，所謂系統(tǒng)的可控性問題是指：對于一個系統(tǒng)，控制作用能否對系統(tǒng)的所有狀態(tài)產(chǎn)生影響，從而能對系統(tǒng)的狀態(tài)實現(xiàn)控制。所謂系統(tǒng)的可觀性問題是：一個系統(tǒng)，能否在有限的時間內(nèi)通過觀測輸出量，識別出系統(tǒng)的所有狀態(tài)。經(jīng)典控制理論應用傳遞函數(shù)來研究系統(tǒng)的輸入/輸出關系，輸出量就是被控量，只要系統(tǒng)穩(wěn)定，輸出量就可以控制。而輸出量又總是可以量測的，所以在理論上和實踐上都不存在能否控制和能否觀測的問題。而在現(xiàn)代控制理論中，著眼于對狀態(tài)的控制，狀態(tài)向量x(t)的每個分量能否一定被控制u(t)控制呢？每個狀態(tài)變量的分量能否一定可用y(t)來量測呢？回答是不一定的。這兩個問題的答案完全取決于受控系統(tǒng)本身的特性。橋式網(wǎng)絡，選取電感電流和電容電壓作為狀態(tài)變量。當電橋處于非平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)可控可觀測；當電橋平衡時，系統(tǒng)不可控也不可觀測。7.4.1可控性與可觀測性的概念1、線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可控性(1)狀態(tài)可控，總有定義在時間域上的控制函數(shù)能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)，轉(zhuǎn)移到任意終止狀態(tài)則稱該系統(tǒng)的這一特定狀態(tài)時刻是可控的在對于系統(tǒng){A,B}及某一個特定的狀態(tài)，若對每一個(2)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控如果系統(tǒng)的每一個狀態(tài)都可控，則稱該系統(tǒng)為狀態(tài)完全可控，簡稱狀態(tài)可控。物理意義：不論初始狀態(tài)在何處，通過控制函數(shù)，可以將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定位置。2、線性連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性若對每一個系統(tǒng){A(t),B(t),C(t),D(t)}及某一個特定的初始輸出,總存在定義在時間域上的控制函數(shù)u(t),能把系統(tǒng){A(t),B(t),C(t),D(t)}從初始輸出,轉(zhuǎn)移到任意輸出,則稱該系統(tǒng){A(t),B(t),C(t),D(t)}為輸出完全可控的。物理意義：不論初始輸出在何處，通過控制函數(shù)u(t)，可以將初始輸出轉(zhuǎn)移到指定位置。3、線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測性(1)狀態(tài)可觀測性系統(tǒng){A(t),C(t)}及某一個特定的初始狀態(tài)可用有限時間區(qū)間量測到的輸出y(t)來確定，那么稱狀態(tài)時刻可觀測的。是若狀態(tài)在所有時刻都是可觀測的，則又稱該狀態(tài)為一致可觀測的。已知無外力作用時系統(tǒng)的狀態(tài)方程為物理意義：可控性和可觀性是狀態(tài)空間法設計問題完全解存在性的條件?？煽匦允菭顟B(tài)反饋的實現(xiàn)的必要條件；可觀性是狀態(tài)估計的必要條件。在進行系統(tǒng)設計之前，必須判斷系統(tǒng)是否可控和可觀。(2)系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測若系統(tǒng){A(t),C(t)}的狀態(tài)空間中每一個狀態(tài)都是可觀測的，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可觀測的，或簡稱狀態(tài)可觀測的。當系統(tǒng)狀態(tài)不可測量時，可以通過測量到的系統(tǒng)輸出估計出狀態(tài)值。7.4.2線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)

1、狀態(tài)可控性的格拉姆(Gramian)矩陣判據(jù)已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程該系統(tǒng)的可控性格拉姆(Gramian)矩陣為非奇異矩陣。2、線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性的秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng){A,B}狀態(tài)完全可控的充要條件是：線性連續(xù)系統(tǒng){A(t),B(t)}在時刻可控的充要條件是：可控性矩陣滿秩例：判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性解：此為3階系統(tǒng)，n=3系統(tǒng)狀態(tài)不完全可控例：若系統(tǒng)為可控標準型判斷狀態(tài)可控性解：可控性矩陣為下三角陣，所以滿秩，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控3、對角陣標準型和約當標準型判據(jù)若系統(tǒng)具有互異的n個特征根，可化為對角陣標準型，如下所示：所示系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是上式中沒有全零行。有重特征根，但系統(tǒng)可以化為對角陣時，此判據(jù)不成立。系統(tǒng)完全可控。約當陣標準型判據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是B中對應每個約當塊的最后一行不是全零行。系統(tǒng)完全可控。例：判斷系統(tǒng)可控性解：秩為2，不完全可控。雖然沒有全零行，但系統(tǒng)不完全可控。線性變換會不會改變系統(tǒng)的狀態(tài)可控性？因為P為非奇異矩陣，不影響矩陣的秩。線性變換不會改變系統(tǒng)狀態(tài)的可控性。4、系統(tǒng)輸出的可控性判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)系統(tǒng){A,B,C,D}輸出可控的充要條件是輸出可控性矩陣滿秩。線性變換不會改變系統(tǒng)輸出的可控性。7.4.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判據(jù)1、狀態(tài)可控性的格拉姆(Gramian)矩陣判據(jù)已知系統(tǒng)的動態(tài)方程線性連續(xù)系統(tǒng){A(t)，C(t)}在t0時刻可觀的充要條件是：該系統(tǒng)的可觀性格拉姆(Gramian)矩陣為非奇異矩陣。2、線性定常連續(xù)系統(tǒng)可觀性的秩判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng){A，C}在狀態(tài)完全可觀的充要條件是：可觀性矩陣Po滿秩，其中為可觀性矩陣。例：判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可觀性解：此為2階系統(tǒng)，n＝2系統(tǒng)狀態(tài)不完全可觀?？捎^測標準型可觀測標準型一定可觀測。3、對角陣標準型和約當標準型判據(jù)若系統(tǒng)具有互異的n個特征根，可化為對角陣標準型，如下所示所示系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀的充要條件是中沒有全零列。有重特征根，但系統(tǒng)可以化為對角陣時，此判據(jù)不成立。約當陣標準型判據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)完全可觀測的充要條件是中對應每個約當塊的第一列不是全零列系統(tǒng)不完全可觀因為P為非奇異矩陣，不影響矩陣的秩。線性變換不會改變系統(tǒng)狀態(tài)的可觀性。7.4.4對偶原理線性系統(tǒng)S1：為對偶系統(tǒng)。線性系統(tǒng)S2:可控標準型和可觀測標準型就是一對對偶系統(tǒng)。對于對偶系統(tǒng)有如下性質(zhì)，即對偶原理。對偶原理： 當且僅當系統(tǒng)S2完全可控（完全可觀測）時，系統(tǒng)S1才是完全可觀測（完全可控）的。7.4.5傳遞函數(shù)陣與可控性、可觀性的關系若系統(tǒng)是不可控或不可觀的，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣中一定會出現(xiàn)零極點對消。對單輸入－單輸出系統(tǒng)，若傳遞函數(shù)

g(s)＝c(sI一A)-1b十d中出現(xiàn)零極點對消（即傳遞函數(shù)的既約分母的階次小于系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù)），則該系統(tǒng)的可控性和可觀性至少有一個被破壞。例：分析下列系統(tǒng)的可控性、可觀性，并求傳遞函數(shù)?？煽氐豢捎^可觀但不可控同一系統(tǒng)，可控性和可觀性的差異是由于系統(tǒng)出現(xiàn)了零極點相消現(xiàn)象。系統(tǒng)是不可控還是不可觀，取決于狀態(tài)的選取。只有當傳遞函數(shù)沒有零極點對消時，系統(tǒng)才既可控，又可觀。同一個輸入輸出關系的系統(tǒng)如果找得到一個非奇異常數(shù)矩陣P,滿足系統(tǒng){A，B，C,D}與系統(tǒng)為等價動態(tài)方程。通過線性變換的等價動態(tài)方程具有相同的可控性和可觀性。如果找不到一個非奇異常數(shù)矩陣P,滿足不能保證具有相同的可控性和可觀性。凡是系統(tǒng)完全可控的狀態(tài)方程，一定可以通過線性變換變?yōu)榭煽貥藴市?。對于可控的單輸入單輸出系統(tǒng)單輸入單輸出系統(tǒng)可控標準型的變換陣是唯一的。凡是系統(tǒng)完全可觀的狀態(tài)狀態(tài)空間表達式，一定可以通過線性變換變?yōu)榭捎^標準型。作線性變換得到7.5線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋和極點配置

7.5.1狀態(tài)反饋和輸出反饋

考慮一個線性定常系統(tǒng)：{A，B，C}這個狀態(tài)空間表達式就是G(s),前面幾章介紹的是輸出反饋1、輸出反饋當系統(tǒng)為n階狀態(tài)，m個輸入，l個輸出時H叫做輸出反饋增益矩陣此時系統(tǒng)矩陣變?yōu)?，輸入矩陣和輸出矩陣沒變閉環(huán)系統(tǒng)（y對r）的傳遞函數(shù)矩陣是通過輸出反饋都改變了系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣，即系統(tǒng)閉環(huán)的特征方程也改變了，以達到改變系統(tǒng)閉環(huán)極點的目的?？梢宰C明，通過輸出反饋，不會改變系統(tǒng)的可控性和可觀測性。例：已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為希望將閉環(huán)極點配置在處試用輸出反饋進行設計，確定輸出反饋增益陣。解：首先選擇狀態(tài)變量，為了方便，建立可控標準型因為是單輸出，所以令反饋陣H＝h閉環(huán)后的特征方程應該等于希望的特征方程無解，即表明通過輸出反饋不能實現(xiàn)極點的任意配置。2、狀態(tài)反饋K稱為狀態(tài)反饋增益矩陣。此時系統(tǒng)矩陣變?yōu)?A-BK)，輸入矩陣和輸出矩陣沒變，所以閉環(huán)系統(tǒng)（y對r）的傳遞函數(shù)矩陣是通過狀態(tài)反饋改變了系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣,達到改變系統(tǒng)閉環(huán)極點的目的。可以證明，通過狀態(tài)反饋，不會改變系統(tǒng)的可控性，但有可能改變系統(tǒng)的可觀測性。試用狀態(tài)反饋進行設計，確定狀態(tài)反饋增益陣。解：設狀態(tài)反饋增益陣為K閉環(huán)后的特征方程應該等于希望的特征方程，狀態(tài)反饋可以任意配置極點。7.5.2狀態(tài)反饋進行極點的任意配置1、任意配置極點的充要條件狀態(tài)反饋可以任意配置閉環(huán)系統(tǒng)極點的充要條件是系統(tǒng){A，B，C}狀態(tài)完全可控。2、單輸入單輸出系統(tǒng)的極點配置步驟狀態(tài)反饋令狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)特征方程用待定系數(shù)法，求出k1，k2，‥‥kn。當系統(tǒng)階次高于3階，計算就很復雜。特殊情況：系統(tǒng)為可控標準型狀態(tài)反饋仍然是友矩陣的形式，直接寫出狀態(tài)反饋后的特征方程用待定系數(shù)法，可以直接寫出k當系統(tǒng)給出的狀態(tài)空間表達式表示可控標準型時，可以通過線性變換變成可控標準型；但注意，狀態(tài)不完全可控的系統(tǒng)不能通過線性變換變?yōu)榭煽貥藴市?；狀態(tài)反饋要求狀態(tài)可測；當狀態(tài)不可測時，通過構成觀測器，估計該狀態(tài)；估計該狀態(tài)的條件是該狀態(tài)可觀。小結狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型的概念已知微分方程求狀態(tài)空間表達式已知傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達式已知狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣線性變換線性變換的關系線性變換的特點——不變性特征方程不變、特征根不變、傳遞函數(shù)陣不變可控性不變、可觀性不變化對角陣、約當陣的變換陣的求法小結（續(xù)）狀態(tài)方程求解如何求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)可控性、可觀性概念判據(jù)狀態(tài)反饋狀態(tài)反饋的特點——任意配置極點配置極點的方法第二章掌握特定系統(tǒng)求微分方程彈簧—質(zhì)量—阻尼系統(tǒng)電路液位系統(tǒng)傳遞函數(shù)——零初始條件方塊圖化簡四個傳遞函數(shù)第三章求出時間響應——部分分式展開，拉氏反變換；動態(tài)性——一階、欠阻尼二階的性能指標公式；

——主導極點；

——主導極點以外的極點什么情況下可以忽略；穩(wěn)態(tài)性——穩(wěn)態(tài)誤差與型別、開環(huán)放大系數(shù)和輸入有關；穩(wěn)定性——勞斯穩(wěn)定性判據(jù)；系統(tǒng)設計——根據(jù)給出的性能指標確定參數(shù)；（一般原則）根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差或穩(wěn)定性求出K的范圍；再根據(jù)動態(tài)指標給出主導極點后，確定二階參數(shù)；第四章

頻率特性的物理意義

典型環(huán)節(jié)及開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性圖

Nyquist圖Bode圖

頻域穩(wěn)定性判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)對數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù)包圍、穿越、輔助線相對穩(wěn)定性幅值裕