新情景、新定義下的數(shù)列問(wèn)題

目錄

01方法技巧與總結(jié)..............................................................2

02題型歸納與總結(jié)..............................................................3

題型一：牛頓數(shù)列問(wèn)題...........................................................3

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義.................................................4

題型三：數(shù)列定義新概念..........................................................6

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算..........................................................7

題型五：數(shù)列定義新情景..........................................................9

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱(chēng)數(shù)列.....................................................10

題型七：非典型新定義數(shù)列.......................................................11

03過(guò)關(guān)測(cè)試....................................................................13

方法技巧與總經(jīng)

1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)新知識(shí)、新事物接受能力和加以

簡(jiǎn)單運(yùn)用的能力，考查了學(xué)生探究精神.要求解題者通過(guò)觀察、閱讀、歸納、探索進(jìn)行遷移，即讀懂和理

解新定義，獲取有用的新信息，然后運(yùn)用這些有效的信息進(jìn)一步推理，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識(shí)歸類(lèi)、套路總

結(jié)、強(qiáng)化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題.

2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問(wèn)題的策略：

(1)通過(guò)給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)的新問(wèn)

題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移,

達(dá)到靈活解題的目的.

(2)遇到新定義問(wèn)題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的

要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以順利解決.

(3)類(lèi)比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.

㈤2

臬幣日納與年

//ayu2

題型一：牛頓數(shù)列問(wèn)題

【典例1-11(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測(cè))牛頓選代法又稱(chēng)牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世

紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)了=/(力的一個(gè)零點(diǎn),

任意選?。プ鳛閞的初始近似值，在點(diǎn)(%,/(%))作曲線了=/(x)的切線4,設(shè)與4軸x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為占,

并稱(chēng)多為廠的1次近似值；在點(diǎn)(西,〃w))作曲線y=/(x)的切線4,設(shè)與4軸X交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，稱(chēng)

%為廠的2次近似值.一般地，在點(diǎn)(%,〃%))(〃€2作曲線了=〃”的切線4用，記加與x軸交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)為x“+i，并稱(chēng)x“+i為廠的"+1次近似直設(shè)+x-3(x")的零點(diǎn)為心取%=0,貝Ijr的1次近似

值為;若相為r的〃次近似值，設(shè)?！?芋若，〃eN*,數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)積為北.若任意力eN*,

…恒成立，則整數(shù)A的最大值為.

【典例1-2】記R上的可導(dǎo)函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為1(x),滿足五+1eN*)的數(shù)列｛x,｝稱(chēng)為函

數(shù)/(無(wú))的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列打,｝為函數(shù)/(x)=Y一》的牛頓數(shù)列,且數(shù)列｛對(duì)｝滿足

%=2嗎,>1.

x“T

(1)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列并求巴；

(2)設(shè)數(shù)列｛??)的前n項(xiàng)和為耳，若不等式(-1)"?電-144S；對(duì)任意的?eN*恒成立，求t的取值范圍.

【變式1-1]英國(guó)物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣

泛，若數(shù)列｛%｝滿足則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列，如果〃x)=/-x-2,數(shù)列｛%｝為牛

f,^Y

X+]

頓數(shù)列，設(shè)且4=1,x?>2,數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和為S,,,則$2必=()

X〃一2

A.22022-1B.22022-2C.

2

【變式1-21科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對(duì)于函數(shù)

/(X),若數(shù)列｛%｝滿足X向則稱(chēng)數(shù)列｛七｝為牛頓數(shù)列，若函數(shù)/(x)=/,數(shù)列｛七｝為牛頓

f'g'

數(shù)列且3=2,an=log2x?,則as的值是()

A.8B.2C.-6D.-4

題型二：高考真題下的數(shù)列新定義

【典例2-1](2024?北京?高考真題)已知集合

M=｛?,/,左,回卜€(wěn)｛1,2｝,/€｛3,4｝,左€｛5,6｝,師｛7,8｝,且，+/+左+可為偶數(shù)｝.給定數(shù)列N:…9，和序

列。:7]Z，-Z，其中對(duì)數(shù)列A進(jìn)行如下變換：將A的第川西,叫項(xiàng)

均加1,其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作刀⑷；將看(⑷的第作人，修，嗎項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變,得到數(shù)列記

作31(4);……；以此類(lèi)推，得到北…心工(/)，簡(jiǎn)記為。(⑷.

⑴給定數(shù)列41，3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫(xiě)出0(4)；

(2)是否存在序列。，使得。(4)為％+2,g+6,%+4,%+2,%+8,必+2,%+4%+4,若存在，寫(xiě)出一個(gè)符

合條件的。；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且％+%+%+%為偶數(shù)，求證：“存在序列。，使得。(⑷的各項(xiàng)都相等”

的充要條件為“%+。2=%+%=%+&=%+4''.

【典例2-2】(2024?全國(guó)?高考真題)設(shè)”為正整數(shù)，數(shù)列為,電，…,Q,”+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中

刪去兩項(xiàng)a,和4(i<j)后剩余的4m項(xiàng)可被平均分為機(jī)組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列,則稱(chēng)數(shù)列

%,%???,。4m+2是I,/)-可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫(xiě)出所有的億力，1口<八6,使數(shù)列為，電，…，。6是(，，/)-可分?jǐn)?shù)列；

⑵當(dāng)加23時(shí)，證明：數(shù)列％,電，…,。4,“+2是(2,13)-可分?jǐn)?shù)列；

⑶從1,2,...,4加+2中一次任取兩個(gè)數(shù)i和加</),記數(shù)列4,出，…,。4,“+2是億/)-可分?jǐn)?shù)列的概率為￡“，證

明：己

O

【變式2-1](2023?北京?高考真題)已知數(shù)列{%},也}的項(xiàng)數(shù)均為加(加>2),且a“也e{1,2,…,刈,

{%},{4}的前〃項(xiàng)和分別為4,紇，并規(guī)定4=穌=°.對(duì)于上e{0』,2,…,叫，定義

〃=max{il4.V4，ie{01,2,一、M},其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

(1)若％=2,g=1，%=3,々=1也=3也=3,求外,4,4的值;

(2)若％且2。4*1+5_],/=1,2,…，刃一1,,求小

(3)證明：存在0,4,5,/€{0,1,2「-,加},滿足0>4,s>t,使得4+瓦=4+4.

【變式2-2]（2022?北京?高考真題）已知。嗎,電，…，巳為有窮整數(shù)數(shù)列?給定正整數(shù)小，若對(duì)任意的

a

"e｛l,2,…,加｝,在0中存在%4+1，i+2，…，4?+j（72°）,使得%+aM+ai+2+??-+ai+J=n,則稱(chēng)0為加-連續(xù)

可表數(shù)列.

⑴判斷0：2,1,4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；

⑵若。:％,出,…，應(yīng)為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：左的最小值為4；

（3）若。:%,電，…，應(yīng)為20-連續(xù)可表數(shù)列，且％+出+…+的<20,求證：k>7.

【變式2-3]（2021?北京?高考真題）設(shè)〃為實(shí)數(shù).若無(wú)窮數(shù)列｛%｝滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)｛0“｝為%.

數(shù)列：

①q+p》0,>a2+p=0；

②%<%”,（"=1,2,…）；

③%+”e｛a.+a”+P，a.+a“+P+l｝，（加，"=1,2,…）.

（1）如果數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)為2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能為況2數(shù)列？說(shuō)明理由；

（2）若數(shù)列｛““｝是況。數(shù)列，求為;

（3）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為是否存在況。數(shù)列｛?！埃?使得S2凡恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，說(shuō)明理由.

題型三：數(shù)列定義新概念

【典例3-1](2024?廣東?模擬預(yù)測(cè))定義：任取數(shù)列｛與｝中相鄰的兩項(xiàng)，若這兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值為1,

則稱(chēng)數(shù)列｛2｝具有“性質(zhì)1”.已知項(xiàng)數(shù)為〃的數(shù)列｛%｝的所有項(xiàng)的和為河"，且數(shù)列｛七｝具有“性質(zhì)1”.

(1)若〃=4,且q=0,%=T,寫(xiě)出所有可能的的值；

(2)若%=2024,n=2023,證明：=2"是“欲＞%(左=L2,…,2022)”的充要條件；

⑶若％=0,"22,%=0，證明：〃=4加或"=4m+1(加eN*).

【典例3-2】對(duì)任意正整數(shù)〃，定義〃的豐度指數(shù)/(〃)=亞，其中S(〃)為〃的所有正因數(shù)的和.

n

(1)求/⑻的值:

(2)若?！?/(2”)，求數(shù)列｛加，的前〃項(xiàng)和「

⑶對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)。，私"，證明：/(p加〃)=/(/)“m”⑺，并求1(2024)的值.

【變式3-1](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))對(duì)于數(shù)列｛%｝,定義eN*),滿足

ax^a2=l,A(Aa?)=m(meR),記/(九”)=q加+電/+…+%”'，稱(chēng)/(肛〃)為由數(shù)列｛%｝生成的“加-函

數(shù)”.

⑴試寫(xiě)出“2-函數(shù)”f(2,n),并求"2,3)的值;

(2)若“1-函數(shù)”/(1,?)<15,求〃的最大值：

(3)記函數(shù)S(x)=x+2f+…其導(dǎo)函數(shù)為S'(x),證明：“m-函數(shù)”

加23717，

=——S\m）----S（加）+（加+1）￡m.

22；=i

【變式3-2](2024?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè))定義：在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形

成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，例如：數(shù)列1,2,3經(jīng)過(guò)第一次“和擴(kuò)充，，后得到

數(shù)歹收,3,2,5,3；第二次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1,43,5,2,7,5,8,3.設(shè)數(shù)列Ac經(jīng)過(guò)〃次“和擴(kuò)充”后得到的數(shù)列

的項(xiàng)數(shù)為匕，所有項(xiàng)的和為色.

(1)若4=2,6=3,0=4,求心,S2;

(2)求不等式勺22024的解集；

(3)是否存在數(shù)列。，瓦c(a,瓦ceR),使得數(shù)列｛S“｝為等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型四：數(shù)列定義新運(yùn)算

【典例4-1】（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）記集合S=｛｛a,｝|無(wú)窮數(shù)列｛七｝中存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*

對(duì)任意｛%｝eS,設(shè)9（｛%｝）=%+呼+…+%x"T+…,xeR.定義運(yùn)算◎若｛%｝,｛，｝eS,則

｛%｝?也｝eS，且0（｛%｝*也｝）=0（｛。"｝）3（也｝）.

⑴設(shè)｛%｝到4｝=｛?“｝,用％,%，。3力也，4表示4；

（2）若｛%｝,但｝,｛cJeS,證明：（｛4｝*也｝）到qj=｛*?（也髭匕｝）：

l〃+i『+i<<[m203-n<<

⑶若數(shù)列｛%,｝滿足%=*〃（〃+1）」-"一10°,數(shù)列｛，｝滿足6.=,⑴」-"-500,設(shè)

0,〃>100[0,n>500

｛4｝⑤也｝=｛4｝，證明：&（?<；?

【典例4-2】（2024?浙江杭州?三模）卷積運(yùn)算在圖象處理、人工智能、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)

用.一般地，對(duì)無(wú)窮數(shù)列｛%｝,但｝,定義無(wú)窮數(shù)列c“=￡＞也+_（〃eN+）,記作｛叫*也｝=｛%｝,稱(chēng)為

k=\

｛%｝與也,｝的卷積.卷積運(yùn)算有如圖所示的直觀含義，即｛%｝中的項(xiàng)依次為所列數(shù)陣從左上角開(kāi)始各條對(duì)

角線上元素的和，易知有交換律｛叫*也｝=也｝*｛叫.

⑵對(duì)ieN+，定義［｛%｝如下：①當(dāng)i=l時(shí)，北｛%｝=｛%｝；②當(dāng)此2時(shí)，北｛叫為滿足通項(xiàng)

0,H<Z

dn=的數(shù)列｛Z｝,即將｛%｝的每一項(xiàng)向后平移-1項(xiàng)，前項(xiàng)都取為0.試找到數(shù)列收）｝

2i

使得{4>{%}=1{叫;

(3)若雙=〃,{4}*{4}={&},證明：當(dāng)"23時(shí),"=c"-2%+*.

【變式4-1］（2024?山東青島?一模）記集合S=｛｛%｝|無(wú)窮數(shù)列｛七｝中存在有限項(xiàng)不為零，〃eN*｝,對(duì)

任意｛七｝eS,設(shè)變換/（｛%｝）=%+研+…+%無(wú)"~+…，xeR.定義運(yùn)算&若｛%｝,也｝eS,貝|

｛%應(yīng)也｝eS,/（｛叫兇也｝）=/（｛叫）./（｛2｝）.

⑴若{。"}?{4}={叫}，用(，%，。3，。4,61也也也表示加4；

(2)證明:({%}⑥也})到。,}={凡}旗也}到。,})；

(?+1)2+1『1丫眸"

...---...-,1<n<100—,1<??<500(7)())r口71

⑶右％=jH(?+1)，，{4}={%}叫a},證明:d2M<~.

0,?>100[o,77>500-

【變式4-2］任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上

述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-2-1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱(chēng)

“角谷猜想”）.如取正整數(shù)％=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6-3->10-?5-16->8-4->2-1,共需經(jīng)過(guò)

8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛?！埃凉M足：ax=m（m

2當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)

為正整數(shù)），。用=2'"'當(dāng)〃?=3時(shí)，a1+a2+a3+---+a60=（）

3%+1,當(dāng)丁為奇數(shù)時(shí)

A.170B.168C.130D.172

題型五：數(shù)列定義新情景

【典例5-1]（多選題）（2024?山東青島?三模）若有窮整數(shù)數(shù)列4：%,電，-%（力23）滿足：

a/+1-a,.e｛-l,2｝（i=l,2,且％=%=0,則稱(chēng)4具有性質(zhì)乙則（）

A.存在具有性質(zhì)7的4

B.存在具有性質(zhì)7的4

C.若4o具有性質(zhì)T,則4,電，…,。9中至少有兩項(xiàng)相同

D.存在正整數(shù)左，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的4,有色，出，…,中任意兩項(xiàng)均不相同

【典例5-2]（2024?河南?二模）已知無(wú)窮數(shù)列｛6｝是首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合

^=｛^eN*|t??<^<a?+1,weN*）,若對(duì)于集合A中的元素左，數(shù)列｛%｝中存在不相同的項(xiàng)4,%…，氣，使

得??+?,+■??+q=k,則稱(chēng)數(shù)列｛a,｝具有性質(zhì)N㈤，記集合8=｛用數(shù)列｛叫具有性質(zhì)N㈤｝.

（1）若數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式為?！?〃+6；>4，判斷數(shù)列｛%｝是否具有性質(zhì)N優(yōu)），若具有，寫(xiě)出集合A與

集合8；

（2）已知數(shù)列｛2｝具有性質(zhì)N伍）且集合A中的最小元素為人集合3中的最小元素為5,當(dāng)時(shí)，證明：

t=s.

【變式5-1](2024?北京東城?二模)已知4:%,%，…，氏(〃？3)為有窮整數(shù)數(shù)列，若4滿足：

aM-ai&{P,q\{i=1,2,-,n-\),其中P,9是兩個(gè)給定的不同非零整數(shù),且%=。“=0,則稱(chēng)4具有性質(zhì)

T.

(1)若。=-1,q=2,那么是否存在具有性質(zhì)T的人?若存在，寫(xiě)出一個(gè)這樣的4；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

⑵若尸=T,4=2,且4。具有性質(zhì)7,求證：％,出，…,。9中必有兩項(xiàng)相同；

(3)若p+q=l,求證：存在正整數(shù)左，使得對(duì)任意具有性質(zhì)T的4,都有％,電，…,中任意兩項(xiàng)均不相

同.

【變式5-2](2024?北京朝陽(yáng)?一模)若有窮自然數(shù)數(shù)列A：q,的,一,。"("上2)滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱(chēng)

A為紇數(shù)列:

(1)>max{a,+a2+ak_2ak_x+a[}(k,其中，11^*{再624一，4}表示玉,尤2「，，，怎，這5個(gè)

數(shù)中最大的數(shù)；

@ak<mm{al+ak_l,a2+ak_2,---,ak_1+al}+\(k=2,3,---,n),其中，minR,%,表示再汽,,這s

個(gè)數(shù)中最小的數(shù).

(1)判斷A：2,4,6,7,10是否為員數(shù)列，說(shuō)明理由；

(2)右A：,。2,…，“6是線數(shù)列，且“1,。2，。3成等比數(shù)列，求必；

(3)證明：對(duì)任意紇數(shù)列A：%,%，…，%("22),存在實(shí)數(shù)小，使得/=[以"=1,2,…，〃).(國(guó)表示不超

過(guò)x的最大整數(shù))

題型六：差分?jǐn)?shù)列、對(duì)稱(chēng)數(shù)列

【典例6-1］（多選題）如果項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列｛叫滿足%=%+皿=1,2…則稱(chēng)其為“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，設(shè)也｝

是項(xiàng)數(shù)為2左-1卜?2）的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中與，bk+l,是首項(xiàng)為50,公差為-4的等差數(shù)列，貝IJ

（）

A.若左=12,則々=10B.若左=14,則也｝所有項(xiàng)的和為622

C.當(dāng)k=13時(shí)，也｝所有項(xiàng)的和最大D.｛4｝所有項(xiàng)的和不可能為0

【典例6-2］若項(xiàng)數(shù)為"的數(shù)列｛%｝滿足：1=1,2,3,…，可我們稱(chēng)其為"項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”.例如：

數(shù)列1,2,2,1為4項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”；數(shù)列123,2,1為5項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”.設(shè)數(shù)列憶｝為2無(wú)+1項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，

其中G。2“心華是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)等于8,記數(shù)列｛%｝的前2左+1項(xiàng)和為若

$2）1+1=32,則尢=.

【變式6-1］（2024?四川南充?三模）對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定為數(shù)列｛與｝的一階差分，其中

M=%+「a"（"eN*）,規(guī)定A%“為數(shù)列｛%｝的左階差分，其中公包=屋％「A"%（〃eN*）.若

.”"（ly則公&=（）

6

A.7B.9C.11D.13

【變式6-2］（2024?四川南充?三模）對(duì)于數(shù)列｛0“｝,規(guī)定為數(shù)列｛%｝的一階差分，其中

M=an+l-an(neN*),規(guī)定Na“為數(shù)列{an}的階上差分，其中A%=優(yōu)eN)若

%」(〃一1)(21),則△4=()

6

A.7B.9C.11D.13

題型七：非典型新定義數(shù)列

/、

4142…ain

Qa???ci

【典例7-1】（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知〃行幾列（〃>2）的數(shù)表4=；?2.;中，滿足:

“1an2…a〃n.

%e{0,l},(z,)=1,2,….若數(shù)表A滿足當(dāng)ast=0時(shí)，總有X冊(cè)+￡與2〃,則稱(chēng)此數(shù)表A為典型數(shù)表,

Z=1j=l

此時(shí)記s.旬.

i=lj=\

0011

⑴若數(shù)表M=。01,N=[100,請(qǐng)直接寫(xiě)出M,N是否是典型數(shù)表；

,011J

'710oj

(2)當(dāng)〃=8時(shí)，是否存在典型數(shù)表/使得晨=31,若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)表/；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)若數(shù)表/為典型數(shù)表，求S.的最小值(直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明).

國(guó)1X12

【典例7-2](2024?遼寧葫蘆島?二模)設(shè)數(shù)陣X。=其中Xu,X]?,X]],X22e{1,2,3,4,5,6}.設(shè)^

'21'22

8={〃|,{L2,3,4,5,6},其中/<%<-<nk,左eN*且發(fā)46.定義變換為“對(duì)于數(shù)陣的每一列,

若其中有/或T,則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒(méi)有1且沒(méi)有T,則這一列中每個(gè)數(shù)都乘以T”

“8(工())表示“將萬(wàn)。經(jīng)過(guò)旃|變換得到吊，再將X1經(jīng)過(guò)V”變換得到*2,…，以此

類(lèi)推，最后將X-經(jīng)過(guò)〃改變換得到%.記數(shù)陣X*中四個(gè)數(shù)的和為々(X。).

⑴若8={2,5},寫(xiě)出X。經(jīng)過(guò)河2變換后得到的數(shù)陣X，并求〃(X0)的值；

⑵若X°=(：T，B={ni,n2,n3},求。(X。)的所有可能取值的和；

(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣X。，證明：心(4)的所有可能取值的和不大于-8.

【變式7-1】已知無(wú)窮數(shù)列｛%｝,給出以下定義：對(duì)于任意的〃eN*,都有a,+a“+222a”“，則稱(chēng)數(shù)列｛%｝

為“T數(shù)列”；特別地，對(duì)于任意的〃eN*,都有。"+七+2>2%,則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列｛6｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別為4，Bn,且%=2"-1,b“=-『,試判斷數(shù)列｛/“｝,數(shù)列

｛4｝是否為“T數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(2)證明：數(shù)列｛%｝為“T數(shù)歹廣的充要條件是“對(duì)于任意的左，機(jī)，〃eN*,當(dāng)左<加<〃時(shí)，有

(n-m)ak+[m-k^an>(n-k^am"；

(3)已知數(shù)列也｝為“嚴(yán)格T數(shù)列”,且對(duì)任意的〃eN*,"eZ,(=-8,%=-8.求數(shù)列｛4｝的最小項(xiàng)的

最大值.

【變式7-2](2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛2｝是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：1,1,2,3,5,8,13,

21,34…….這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：%=1，%=1，。,+2=。用+。，(〃eN*).數(shù)列也｝對(duì)于確定的正

整數(shù)左，若存在正整數(shù)〃使得4+“=4+"成立，則稱(chēng)數(shù)列｛“｝為“左階可分拆數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列｛c」?jié)M足C"=%a,(“eN*,機(jī)eR).判斷是否對(duì)V/neR,總存在確定的正整數(shù)左，使得數(shù)列上“｝

為“左階可分拆數(shù)列”，并說(shuō)明理由.

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“=y-a(fl>0),

(i)若數(shù)列｛4,｝為“1階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實(shí)數(shù)。的值；

(ii)在⑴問(wèn)的前提下，若數(shù)列｛<｝滿足/=白，?eN\其前〃項(xiàng)和為證明：當(dāng)〃eN*且“23時(shí)，

Tn<of+aI+a；+...+a~—a?a?+i+1成立.

過(guò)猛試

1.（2024?浙江紹興?三模）設(shè)OWq<g<…<須<%oo<1，已知%+i2W99）,若

max｛%+i-a,｝2加恒成立，則機(jī)的取值范圍為（）

A.m<—B.m<—

93

,2/

C.m<—D.m<—

39

2.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛0“｝不是常數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S”，且4>0.若對(duì)任意正整數(shù)“，存

在正整數(shù)機(jī)，使得|%-黑區(qū)4,則稱(chēng)｛七｝是“可控?cái)?shù)列”.現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列｛七｝是“可控

數(shù)列”；②存在等比數(shù)列｛4｝是“可控?cái)?shù)列”.則下列判斷正確的是（）

A.①與②均為真命題B.①與②均為假命題

C.①為真命題，②為假命題D.①為假命題，②為真命題

3.數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和為S“，若數(shù)列｛%｝與函數(shù)/（x）滿足：①/'（x）的定義域?yàn)镽；②數(shù)列｛%｝與函數(shù)

/（X）均單調(diào)增；③存在正整數(shù)"，使邑=〃與）成立，則稱(chēng)數(shù)列｛叫與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給

出下列兩個(gè)命題：（）

①與數(shù)列伽+1｝具有“單調(diào)偶遇關(guān)系，，的函數(shù)有有限個(gè)；

②與數(shù)列｛2"｝具有"單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè).

A.①②都是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①②都是假命題

4.（多選題）（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在股票市場(chǎng)中，股票的價(jià)格是有界的，投資者通常會(huì)通過(guò)價(jià)

格的變化來(lái)確保自己的風(fēng)險(xiǎn)，這種變化的價(jià)格類(lèi)似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)〃，使得對(duì)一

切正整數(shù)，，都有則稱(chēng)｛%｝為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無(wú)窮

大）的數(shù)列稱(chēng)為收斂數(shù)列，如數(shù)列g(shù)=工，顯然對(duì)一切正整數(shù)〃都有而工的極限為0,即數(shù)列

nn

｛%｝既有界也收斂.如數(shù)列4=（-1）”,顯然對(duì)一切正整數(shù)〃都有聞41,但不存在極限，即數(shù)列｛2｝有界但

不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（）

A.an=sinl+—IB.an=coslHK+—I

.(兀)

4=2,a=3,%=&±sin幾兀+——

c.2D.I2J

an-2an=------

n

a—a

5.（多選題）（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列｛《｝中，若對(duì)V〃eN*,都有2_向=。為常數(shù)）,

an+\~an

則稱(chēng)數(shù)列｛與｝為“等差比數(shù)列"，4為公差比，設(shè)數(shù)列｛。“｝的前〃項(xiàng)和是S,,,則下列說(shuō)法一定正確的是（）

A.等差數(shù)列｛%｝是等差比數(shù)列

B.若等比數(shù)列｛七｝是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同

C.若數(shù)列｛SJ是等差比數(shù)列，則數(shù)列用｝是等比數(shù)列

D.若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛5｝等差比數(shù)列

6.（多選題）（2024?山東煙臺(tái)?一模）給定數(shù)列｛%｝,定義差分運(yùn)算：

公。"=。,+1-%，&&=公。,+1-公%,〃€1<\若數(shù)列｛?！埃凉M足4="2+",數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)為1,且

M“=（〃+2）.2"T,〃eN*,則（）

A.存在M>0,使得恒成立

B.存在M>0,使得"。"〈河恒成立

C.對(duì)任意M>0,總存在〃eN*,使得，>〃

D.對(duì)任意M>0,總存在〃eN*,使得芋

7.（多選題）（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）“角谷猜想”是指一個(gè)正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1,如果是

偶數(shù)就除以2,這樣經(jīng)過(guò)若干次這兩種運(yùn)算，最終必進(jìn)入循環(huán)圖If4-2-1.對(duì)任意正整數(shù)旬，按照上述

規(guī)則實(shí)施第〃次運(yùn)算的結(jié)果為%（〃eN）,（）

A.當(dāng)％=7時(shí)，則%]=5

B,當(dāng)%=16時(shí)，數(shù)列｛?！埃龁握{(diào)遞減

C.若%=1,且q=3,4）均不為1,則％=5

D.當(dāng)g=10時(shí)，從％[=1,2,3,4,5,6）中任取兩個(gè)數(shù)至少一個(gè)為奇數(shù)的概率為不

8.（2024?高三?河北保定?期中）英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓

〃x“)

數(shù)歹『'在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列｛%｝滿足則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為牛頓數(shù)列?如果函數(shù)

x+2

2

f(x)=x-4,數(shù)列｛2｝為牛頓數(shù)列，設(shè)a〃=ln七p且4=1,x“>2.則。2必

Xn-Z

9.(2024?江西九江?模擬預(yù)測(cè))著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”,

它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對(duì)于函數(shù)/(X),若數(shù)列｛%｝滿足兌+1，則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為牛

f,M

頓數(shù)列，若函數(shù)/(x)=/,an=log2xn,且q=l,則。8=.

10.給定函數(shù)/(x),若數(shù)列伉｝滿足”-務(wù)則稱(chēng)數(shù)列｛%｝為函數(shù)/(X)的牛頓數(shù)歹！J.已知｛Z｝

為〃%)=/-4的牛頓數(shù)列，且為=ln￡1,q=l,x“>2("eN*),數(shù)列｛?！埃那啊?xiàng)和為九則

Xn~Z

11.將正整數(shù)"分解為兩個(gè)正整數(shù)占、質(zhì)的積，即〃=勺?右，當(dāng)左、質(zhì)兩數(shù)差的絕對(duì)值最小時(shí)，我們稱(chēng)其

為最優(yōu)分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即為20的最優(yōu)分解，當(dāng)左、融是〃的最優(yōu)分解時(shí)，定

義/(?)=。-可，則數(shù)列｛/(5")｝的前2024項(xiàng)的和為.

'a\2

ai3…

。21。22a23…a2n

?高三?甘肅蘭州?開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)表(〃)aa

12.(2024N",=。31。3233'..3n

n2…ann,

"11。121…如、C12C13,,%、

b??b23…b2nC21C22C23?,C2n

CC其中囹,4,%(

B（n,n）=Al，32。33…b3n，C（n,n）=3132033.?分別

Cn2Cn3,?Cnn）

也ibn2bn3…bnn,

表示/(〃,〃)，中第i行第/列的數(shù).若5j+%2b2j+…+。也,則稱(chēng)是

/(〃〃)，8(",〃)的生成數(shù)表.若數(shù)表/(2,2)=。3(2,2)==JO,且c(2,2)是

142o

J5,

4(2,2),8(2,2)的生成數(shù)表，則C(2,2)=.

13.%,?,…%o是一個(gè)1,2,3,…，10的排列，要求和%+i一定有一個(gè)大于%(，=2,3,…,9),則

滿足的排列的總數(shù)為.

14.(2024?北京通州?三模)若數(shù)列也,｝、匕“｝均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意正整數(shù)小都存在正整數(shù)%,

使得'e[%,C"+J,則稱(chēng)數(shù)列也｝為數(shù)列｛%｝的““數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)論中正

確的是.

①存在等差數(shù)列｛%｝,使得｛%｝是｛SJ的數(shù)列”

②存在等比數(shù)列也｝,使得缶"｝是岱“｝的數(shù)列”

③存在等差數(shù)列｛%｝,使得“,｝是｛%｝的數(shù)列”

④存在等比數(shù)列也｝,使得",｝是｛%｝的數(shù)列”

15.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于有窮數(shù)列｛4｝,從數(shù)列｛%｝中選取第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、…、第。項(xiàng)

（2<???<"），順次排列構(gòu)成數(shù)列出｝,其中乙=%”左W機(jī)，則稱(chēng)新數(shù)列他｝為｛%｝的一個(gè)子列，稱(chēng)

抄*｝各項(xiàng)之和為｛七｝的一個(gè)子列和.規(guī)定：數(shù)列｛%｝的任意一項(xiàng)都是｛心｝的子列.則數(shù)列1,2,4,8,16,32的

所有子列和的和為.

16.（2024?高三?山東日照?期中）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就

將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈這就是數(shù)學(xué)史上著

名的“冰雹猜想”（又稱(chēng)“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出

6—3—10—5—16—8—4—2—1,共需要8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列

—,a?=2k(keN.)

,2"+；.問(wèn)：當(dāng)機(jī)時(shí)，試確定使得?！?需

｛為｝滿足：％=機(jī)（"？為正整數(shù)），an+1I=171

3an+1,an=2左+1(斤eN)

要步“雹程”；若。6=1，則機(jī)所有可能的取值所構(gòu)成的集合為.

17.（2024?高三?北京朝陽(yáng)?期末）中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開(kāi)方運(yùn)算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著

作《少?gòu)V繾鑿》中用迭代法給出一個(gè)“開(kāi)平方捷術(shù)”，用符號(hào)表示為：己知正實(shí)數(shù)N,取一正數(shù)％作為亞