26第5章相似三角形之X型相似

一、單選題

1.如圖，△ABC中，NACB=90。，AB=12,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)O,

則OD的長(zhǎng)是（）

A.1.5B.1.8C.2D.2.4

2.如圖，在△ABC中，A3=15cm,AC=12cm,AZ）是N5AC的外角平分線，OE〃回交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,那么CE等于（）cm.

A.32B.24C.48D.64

3.如圖，在平行四邊形ABC。中,NA5C的平分線交AC于點(diǎn)E,交AO于點(diǎn)尸，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

BF

若AF=2FD,則——的值為（)

EG

1122

A.B.C.D.

2334

4.如圖，已知。。的內(nèi)接AA3C中，AB+AC=12,于。，A￡>=3,直徑AE交3c邊于點(diǎn)G,

有下列四個(gè)結(jié)論：①AGEG=BGCG；②BE?=EGAE；③當(dāng)A3=6時(shí)，。。的面積取得最大值

36萬；④三角形外接圓直徑等于它的任兩邊的積與第三邊上的高的比.其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.如圖，在正方形A3CD中，E,尸分別為3C,8的中點(diǎn)，連接AE,BF交于點(diǎn)G,將△3CF沿5尸

對(duì)折，得到尸尸，延長(zhǎng)EP交班延長(zhǎng)于點(diǎn)。，若？尸=1,則。5+豐A右的值為（）

7

A.1B.2C.3D.-

5

二、填空題

若黑=黑且AD=3‘則

6.已知^ABC中，AB=6,AC=9,D、E分別是直線AC和AB上的點(diǎn),

BE=.

7.如圖，在RtZkACfi中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，連接3D，E為AB

上一點(diǎn)，CELBD于點(diǎn)F,當(dāng)AO=CD時(shí)，求CE的長(zhǎng).

8.如圖，在△ABC中，A￡）是3c邊上的中線，R是4。上的一點(diǎn)，且”：ED=1:5,連結(jié)C歹并延

長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，則AE:E3等于（）.

9.如圖△ABC中，AB=AC=5,BC=8,G是4ABC的重心，GH±AB于H,則GH的長(zhǎng)為

10.如圖R3ABC中，NBAC=90。，42=3,AC=4,點(diǎn)尸為BC上任意一點(diǎn)，連接B4,以B4,PC為鄰

邊作平行四邊形R1QC,連接尸。，則PQ的最小值為一.

三、解答題

11.如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖.

35mm

(1)如果像高M(jìn)N是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)？

(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m,像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC//X軸，點(diǎn)、B、C的橫坐標(biāo)都是3,且5。=2,

點(diǎn)。在AC上，若反比例函數(shù)y=；(x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A。，且A。BC=3：2.

(1)求點(diǎn)。坐標(biāo);

(2)將△AQD沿著8折疊，設(shè)頂點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A'，試判斷點(diǎn)A'是否恰好落在直線5。上，為什么.

S1

13.已知，如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,對(duì)角線AC與8D相交于點(diǎn)。.若黃也=—,SABOC=八試

、bACD3

求^AOD的面積.

14.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，為0。的切線，3為切點(diǎn)，P為線段AB上一點(diǎn)，過尸點(diǎn)作

3C的平行線，交直線于點(diǎn)E,交直線AC于求證：APPB=PEPF.

15.如圖，CD、BE是AABC的兩條高，連DE.

(1)求證：AEAC=ABAD；

DE

(2)若NR4c=120。，點(diǎn)M為3C的中點(diǎn)，求——的值.

DM

16.如圖，在四邊形A尸中，ZQAF=45°,ADLDQ,AQ與陽相交于。點(diǎn)，線段。4=3,DO=2,

<9F=|,OQ=g.試問：AQ與”之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

17.如圖，矩形A3CD的對(duì)角線AC、6。相交于點(diǎn)。，過。點(diǎn)作OELAC交于E，連EC交OB于

M，若BC=4,AAOE的面積為5,求也的值.

MC

18.如圖，在等腰ZkABC中，AB=AC,分別過點(diǎn)3、C作兩腰的平行線，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與兩平行線

分別交于點(diǎn)。、E，連結(jié)。C、BE,DC與A6邊相交于點(diǎn)M，巫與AC邊相交于點(diǎn)N,求證：

AM=NC.（提示：關(guān)鍵是找出題中的“A”型與“X”型寫出比例線段進(jìn)行等比線段的代換）

13

19.已知，拋物線y=-N-x+—與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在8點(diǎn)的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)足

-44

（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為;8點(diǎn)坐標(biāo)為；尸點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）如圖1,C為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接AC,BF交于點(diǎn)M,若BM=FM,在直線AC下方的拋物

線上是否存在點(diǎn)P,使SAACP=4,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2,D、E是對(duì)稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的兩點(diǎn)，直線A。、AE分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，若

OM,ON=L求證：直線DE必經(jīng)過一定點(diǎn).

4

20.如圖1,A（-4,0）.正方形O8C￡）的頂點(diǎn)8在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若a=60。，OE^OA,求直線跖的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若a為銳角，tana=L，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，求正方形OEFG的面積.

3

(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)尸落在y軸上時(shí)，直線AE與直線PG相交于點(diǎn)P,AOE尸的其中兩邊之比能

否為0：1?若能，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，試說明理由.

26第5章相似三角形之X型相似

一、單選題

1.如圖，△ABC中，/ACB=90。，AB=12,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，CD與AE交于點(diǎn)O,

則0D的長(zhǎng)是（）

A.1.5B.1.8C.2D.2.4

【答案】C

【解析】根據(jù)直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半，求得CD的長(zhǎng)，根據(jù)中位線的性質(zhì)，得到DE〃AC,

求得△AOC-EOD,根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出0D和0C的關(guān)系，進(jìn)而得出0D和CD的關(guān)系，然后即可

求解.

【解答】解：:△ABC為直角三角形，

D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，

/.CD=—AB=6

2

D和E點(diǎn)分別為AB,BC的中點(diǎn)，

；.DE〃AC,DE=-AC

2

...AAOC^AEOD,

OPDE_1

OC~AC~2'

:.OD=-CD=2

3

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位線性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握中位線的性質(zhì),

能夠利用平行線判定兩三角形相似.

2.如圖，在△ABC中，AB=15cm,AC=12cm,是N8AC的外角平分線，。石〃交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

E,那么CE等于（）cm.

A.32B.24C.48D.64

【答案】C

【解析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

【解答】解：標(biāo)出字母，如圖:

??,在AABC中，AD是NBAC的外角平分線,

AZEAD=ZMAD,

???DE〃AB交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

AZEDA=ZMAD,ZBAC=ZCED,

???NEAD=NEDA,

???ED=EA,

???在三角形ABC與三角形CED中,

ZBAC=ZCED,ZBCA=ZECD,

AAABC^ACED,

.ABAC

??一,

DECE

*.*AB=15cm,AC=12cm,

設(shè)ED=15k,

ACE=12k,

???ED=15k=EA=EC+CA=12k+12,

A3k=12,

.*.k=4,

???CE=12k=48(cm),

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，本題的解題關(guān)鍵是由三角形相似邊的比例

關(guān)系即可得出答案.

3.如圖，在平行四邊形ABCQ中,/ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,交A。于點(diǎn)孔交CO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

RF

若AF=2PD,則——的值為()

EG

G

A_____FZD

BC

1123

A.—B.-C.-D.一

2334

【答案】c

【解析】由AF=2Z)F,可以假設(shè)。F=鼠則AF=2歷AD=3k,證明A8=AF=2A,DF=DG=k,再利用平

行線分線段成比例定理即可解決問題.

【解答】解：由4尸=2。尸，可以假設(shè)。F=七則&尸=2左，AD=3k,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

：.ZAFB=ZFBC=ZDFG,ZABF=ZG,

：BE平分/ABC,

/.ZABF^ZCBG,

：.NABF=NAFB=/DFG=/G,

：.AB=CD^2k,DF=DG=k,

：.CG=CD+DG=3k,

■:AB//DG,

：.AABEsACGE,

.BE_AB_2k_2

"EG-CG-3l-3；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行

四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知。。的內(nèi)接AA3C中，AB+AC^U,于。，AD=3,直徑AE交5C邊于點(diǎn)G,

有下列四個(gè)結(jié)論：①AGEG=BGCG；②BE?=EGAE；③當(dāng)A3=6時(shí)，。。的面積取得最大值

36"；④三角形外接圓直徑等于它的任兩邊的積與第三邊上的高的比.其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】本題需根據(jù)三角形外接圓、相交弦定理、相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理、二次函數(shù)的性質(zhì)去解

答.

【解答】由相交弦定理得①是正確的；

由條件并不能得出ABEG與AAEB相似，故②是錯(cuò)誤的；

由條件可證AABE與AADC相似，從而可得AC,進(jìn)而可得0。的半徑，

1

設(shè)AB=x,0。的半徑為V,則有y=--x9+2x,

故當(dāng)A3=6時(shí)，。。的最大面積為36?,故③是正確的；

由=這一結(jié)論一般化，得④是正確的，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外接圓、相交弦定理、相似三角形的性質(zhì)、圓周角定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是理解運(yùn)用這些性質(zhì)定理.

5.如圖，在正方形A3CD中，E,尸分別為5C,8的中點(diǎn)，連接AE,BF交于點(diǎn)G,將△3CR沿5尸

對(duì)折，得到延長(zhǎng)EP交助延長(zhǎng)于點(diǎn)Q,若則+的值為（）

35

Q'B

A.1B.2C.3

【答案】D

【解析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到△BCF會(huì)ZkBPF,RtAABM^RtABMP,在RtADMF中，MF2=FD2+DM2,

列式求出AM,再根據(jù)相似三角形求出AQ,得到BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，代入即可求解.

【解答】如圖，連接BM,

在正方形A3CD中，E,尸分別為5C,CD的中點(diǎn)，

???折疊，

.,.△BCF^ABPF

2

；.BC=BP,ZCBF=ZPBF,CF=PF=DF=j

41

；.AB=BP=-且BM=BM

5

RtAABM之RtABMP

在RtADMF中，MF2=FD2+DM2.

224

(-+AM)2=(-)2+(--AM)2

555

4

.?.AM=—,

15

448

51515

VDF//AQ

ADFM^AAQM

.DFDM

"AQ~AM

28

即5=與

AQ±

15

解得AQ=g

14

.\BQ=AQ+AB=-+y=l

：E點(diǎn)是AE的中點(diǎn),

.2

??BE=—,

5

則AE=JAB?+BE?=|75

??斗咚|火」

J527

???QB+—AE=l+-=~

555

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問

題是本題的關(guān)鍵.

二、填空題

ADAF

6.已知AABC中，AB=6,AC=9,D、E分別是直線AC和AB上的點(diǎn)，若——=—且AD=3,則

ACAB

BE=

【答案】4或8

【解析】通過比例式，可以確定AE的長(zhǎng)度，點(diǎn)E是直線AB上的點(diǎn)，沒有限定E的位置，只限定AE的長(zhǎng)

度，以點(diǎn)A為圓心，AE長(zhǎng)為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)是點(diǎn)E位置，有兩個(gè)，要分類求即可.

【解答】如圖

..ADAE

?AB—6,AC=9,AD=3,.......-------

ACAB

AD.AB3x6

AAE=------------=——=2,

AC9

當(dāng)E在AB上，

；.BE=AB-AE=6-2=4,

當(dāng)E在AB延長(zhǎng)線上,

BE=AB+AE=6+2=8,

則BE的長(zhǎng)為4或8.

故答案為：4或8.

【點(diǎn)睛】本題考查比例式下的線段問題，用比例求出的線段只限定長(zhǎng)度，要考慮線段的位置，要會(huì)分類計(jì)

算是解題關(guān)鍵.

7.如圖，在RtzXACfi中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)。為AC上一點(diǎn)，連接3。，E為AB

上一點(diǎn)，CELBD于點(diǎn)F,當(dāng)AO=CD時(shí)，求CE的長(zhǎng).

【答案】二姮

17

【解析】將RtzXACB補(bǔ)成矩形ACBH,延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)G,可得△3CDsZ\C4G,結(jié)合已知可求

AG=§、CG=￡姮，再由△AEGS/XBEC即可求出CE.

33

【解答】解：如解圖，補(bǔ)成矩形ACBH,延長(zhǎng)CE交于點(diǎn)G,

VZACB=90°,CELBD,

/.ZACG+NBCG=90°,ZABD+ZBCG=90°,

；?ZACG^ZCBD,

：.ABCDs^CAG,

,CDCBBD

"AG-AC-CG'

23V13

AG4CG

AG=§CGZ

33

???設(shè)CE=x,則=—x，

3

又?.?在矩形ACBH中,AG!IBC,

：.AAEGsABEC,

4A/13

AGEGan3---------x

---=----,即3

BCCE立3

3x

解得.照

17

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，直角三角形的性

質(zhì)，證明4G是本題的關(guān)鍵.

8.如圖，在ZVIBC中，A￡＞是3c邊上的中線，R是AO上的一點(diǎn)，且AF:ED=1:5,連結(jié)C尸并延

長(zhǎng)交AB于點(diǎn)E，則AE:￡B等于（

【答案此

【解析】先過點(diǎn)D作GD〃EC交AB于G,由平行線分線段成比例可得BG=GE,再根據(jù)GD〃EC,得出

FGFG

=—,最后根據(jù)AE:EB=-^-:2EG,即可得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)D作GD〃EC交AB于G,

：AD是BC邊上中線,

BG

——=1,即BG=GE,

~GEDC

又；GD〃EC,

AE_AF

EG~FD~3

5

AE:EB=——:2EG=1:10

5

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，用到的知識(shí)點(diǎn)是平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是求

出AE、EB、EG之間的關(guān)系

9.如圖△ABC中，AB=AC=5,BC=8,G是△ABC的重心，GH_LAB于H,則GH的長(zhǎng)為

Q

【答案】I

【解析】首先證明AEGF?AAG”,求得——=2,再證明AAGH~AEG/即可得到結(jié)論.

GE

【解答】連接AG并延長(zhǎng)交3C于E,連接3G并延長(zhǎng)交AC于F,連接EF,如圖,

A

?G點(diǎn)是重心，

.班；AE是AABC的中線，

.E,F分別是3C,AC邊的中點(diǎn),

.麻是△ABC的中位線，

.EF//AB,EF=-AB,

2

△EGF?AAGB,

ABAGc

EFGE

,AB=AC,E為BC的中點(diǎn)

.\AE±BC

.-.ZAEB=9Q°

-.-GH±AB

:.ZGHA^90°

:.NGHA=ZAEB

又/HAG=/EAB

:.AAGH~AABE

AGGH

"AB~BE

?.-BC=8

:.BE=4

在RtAABE中，AB=5,BE=4,

AE=NAB?-BE?=A/52-42=3

AGc

----=2,

GE

AG2

??—9

AE3

AG=2AE=2

3

…AGBF2x48

CJH=---------=------=—.

AB55

Q

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心，三角形重心的性質(zhì)為重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：

1.也考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

10.如圖R3A3C中，/BAC=90。，AB=3,AC=4,點(diǎn)尸為2C上任意一點(diǎn)，連接B4,以%,PC為鄰

邊作平行四邊形B4QC,連接尸。，則PQ的最小值為_.

【解析】利用勾股定理得到BC邊的長(zhǎng)度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知OP最短即為PQ最短，利用垂線

段最短得到點(diǎn)P的位置，再證明△C48s△CPO利用對(duì)應(yīng)線段的比得到OP的長(zhǎng)度，繼而得到PQ的長(zhǎng)度.

【解答】'：ZBAC=90°,AB=3,AC=4,

.-.BC=7AC2+AB2=5-

四邊形APCQ是平行四邊形,

：.PO=QO,CO=AO,

PQ最短也就是PO最短，

...過。作BC的垂線OP',

VZACB=ZP'CO,ZCP'O=ZCAB=90°,

：./\CAB^/\CP'O,

.COOP'

??二,

BCAB

.2OP,

,?一=,

53

6

：.0P'=~,

5

12

???則PQ的最小值為20P=y,

5-,12

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】考查線段的最小值問題，結(jié)合了平行四邊形性質(zhì)和相似三角形求線段長(zhǎng)度，本題的關(guān)鍵是利用垂

線段最短求解，學(xué)生要掌握轉(zhuǎn)換線段的方法才能解出本題.

三、解答題

11.如圖，是一個(gè)照相機(jī)成像的示意圖.

35mm

(1)如果像高M(jìn)N是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,拍攝點(diǎn)離景物有多遠(yuǎn)?

(2)如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點(diǎn)離景物有4m,像高不變，則相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為多少？

【答案】(1)7m.

(2)70mm.

【解析】

試題分析：(1)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高等于相似比即可列出比例式求解.

(2)和(1)一樣，利用物體的高和拍攝點(diǎn)距離物體的距離及像高表示求相機(jī)的焦距即可.

MNLC

解：根據(jù)物體成像原理知：ALMNs^LBA,——=—

ABLD

(1):像高M(jìn)N是35mm,焦距是50mm,拍攝的景物高度AB是4.9m,

3550.,口

---=----,斛得：LD=7.

4.9LD

二拍攝點(diǎn)距離景物7m.

(2)拍攝高度AB是2m的景物,拍攝點(diǎn)離景物L(fēng)C=4m,像高M(jìn)N不變，是35mm,

35LC-

——------------1解傳：LC=70.

24

.?.相機(jī)的焦距應(yīng)調(diào)整為70mm.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，AC//X軸，點(diǎn)6、C的橫坐標(biāo)都是3,且5。=2,

0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A。，且A。8c=3:2.

(1)求點(diǎn)。坐標(biāo);

(2)將△AOD沿著OD折疊，設(shè)頂點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為A',試判斷點(diǎn)A'是否恰好落在直線60上，為什么.

【答案】(1)。。,3)；(2)A不在直線5。上，理由見解析

【解析】(1)先根據(jù)AO：BC=3：2,BC=2得出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3可知BC〃AO,

故可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=8(x>0)的圖象上可求出k的值，由人(2〃*軸可設(shè)點(diǎn)

x

D(t,3)代入反比例函數(shù)的解析式即可得出t的值，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A作EF〃OA交AC于E,交x軸于F,連接OA，，根據(jù)AC〃x軸可知/A，ED=NATO=90。，由

m3—〃

相似三角形的判定定理得出△DEA，S/\A，F(xiàn)O,設(shè)A，(m,n),可得出一=----，再根據(jù)勾股定理可得出

nm-1

m2+n2=9,兩式聯(lián)立可得出m、n的值，故可得出A，的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出經(jīng)過點(diǎn)D(1,3),點(diǎn)B(3,

9

1)的直線函數(shù)關(guān)系式為y=-x+4,再把x=?代入即可得出結(jié)論.

【解答】⑴解：(1)VAO：BC=3：2,BC=2,

AOA=3,

???點(diǎn)B、C的橫坐標(biāo)都是3,

ABC//AO,

???B(3,1),

???點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=&(x>0)的圖象上，

X

k

1=—,解得k=3,

3

?「AC〃x軸，

???設(shè)點(diǎn)D(t,3),

/.3t=3,解得t=L

???D(1,3)；

(2)結(jié)論：點(diǎn)A，不在此反比例函數(shù)的圖象上.

理由：過點(diǎn)A作EF〃OA交AC于E,交x軸于F,連接O"(如圖所示),

?.?AC〃x軸,

JNA'ED=NA'FO=90。,

???ZOArD=90°,

???NA'DE=NOA'F,

AADEA^AATO,

設(shè)A'(m,n),

m3—n

nm—1

又在RtAATO中，m2+n2=9,

912912

m=—,n=—，BPAr(—,—),

55

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,

??,點(diǎn)D(L3),點(diǎn)B(3,1)在y=kx+b,

k+b-3

3k+b=l'

k=-l

<b=4

y=-x+4,

.9291112

??當(dāng)x=一時(shí)，y=------1-44=-W—

5555

.?.點(diǎn)A，不在直線BD±.

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象

上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，難度適中.

S1

13.已知，如圖，在梯形ABC。中，AD//BC,對(duì)角線AC與2。相交于點(diǎn)。.若黃也=—,5?！?九試

3AAe￡>3

求aAOD的面積.

H7

【答案】V

【解析】由題意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO邊上的高相等，所以面積比等于對(duì)應(yīng)邊AO,

CO的比值，進(jìn)而求出AO：CO的值，又因?yàn)椤鰽ODS/XBOC,利用兩三角形相似，面積比等于相似比的

平方即可求出SAAOD：SABOC的值；從而求出△A。。的面積.

【解答】過點(diǎn)D作DELAC于E,

?-AO-DE1

則沁-------=-1

?AACD-AC-DE3

2

.AO1

,,一,

AC3

y.\'AO+OC=AC,

.AO1

?,9

OC2

9

：AD//BCf

：.心跡=（型）2=上，即黑也」

S&BOCOC4m4

/.SAAOD=—

4

14.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，為0。的切線，3為切點(diǎn)，P為線段AB上一點(diǎn)，過尸點(diǎn)作

3C的平行線，交直線于點(diǎn)E，交直線AC于R,求證：APPB=PEPF.

【答案】見解析

D4PF

【解析】欲證PA?PB=PE?PF即證——=——，觀察圖形可得：證明線段所在的兩個(gè)三角形△PAFV^PEB相

PEPB

似即可.再根據(jù)弦切角和平行線的性質(zhì)證出對(duì)應(yīng)角相等，利用相似三角形的判定證出APAFS^PEB,從而

使命題得證

【解答】證明：如圖

?「BT為切線，BA為弦,

:.ZABE=ZC,

又??，EF〃BC,

ZC=ZAFP,

JZABE=ZAFP.

?.?ZAPF=ZEPB,

，AAPF^AEPB,

.PAPF

"'~PE~~PB

.".PA?PB=PE?PF.

【點(diǎn)睛】本題給出圓內(nèi)接三角形和圓的切線，求證線段的積相等.著重考查了弦切角定理、平行線的性質(zhì)

和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.

15.如圖，CD、BE是△ABC的兩條高，連DE.

(1)求證：AEAC=ABAD；

DE

（2）若44C=120°,點(diǎn)/為3c的中點(diǎn)，求——的值.

DM

【答案】（1）見解析;⑵1.

【解析】（1）由BE、CD是△ABC的高得NAEB=/ADC=90。，力口上/EAB=NDAC,根據(jù)相似三角形的判

定方法得到△AEBs^ADC,則AB：AC=AE：AD,利用比例性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）連結(jié)ME,由/BAC=120。得到/BAE=60。，則/EBA=30。，由點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MB=ME=MD=MC,于是可判斷點(diǎn)B、E、D、C在以M點(diǎn)為圓心，MD

為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理得/DME=2NEBD=60。，則可判斷△MED為等邊三角形，所以DE=DM.所

DF

以——的值為1

DM

【解答】（1）證明：

：BE、CD是△ABC的高，

ZAEB=ZADC=90°,

而/EAB=NDAC,

/.△AEB^AADC,

AAB：AC=AE：AD,

:?AE?AC=AB?AD；

(2)連結(jié)ME,如圖,

VZBAC=120°,

ZBAE=60°,

JZEBA=30°,

??,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

二?MB=ME二MD二MC,

???點(diǎn)B、E、D、C在以M點(diǎn)為圓心，MD為半徑的圓上,

JZDME=2ZEBD=2x30°=60°,

.,.△MED為等邊三角形，

???DE=DM.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)邊

的比等于相等，都等于相似比.也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及圓周角定理.

16.如圖，在四邊形人尸。。中，ZQAF=45°,ADA.DQ,A。與田相交于。點(diǎn)，線段。4=3,DO=2,

OF弓OQ=g.試問：AQ與A尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

【答案】AQ=y[2AF

55AOOFA

【解析】根據(jù)OA=3,DO=2,OF=3,OQ=§得到而=而，進(jìn)一步證明AAORs△。。。，

因?yàn)锳DLOQ,于是可得NOZM=45°,因此可證得△AODs△尸OQ.并推出尸。為等腰三角形,

因此AQ=在1/

【解答】解：如圖，???線段0A=3,DO=2,OF=),0Q=~,

23

.AOOF

''~DO~^Q'

又：ZAOF=NDOQ,

：.^AOFsADOQ,

：.ZODQ=ZFAO=45°.

而NADQ=90。，

Z(9ZM=45°.

AOFO

又?:——=——，ZAOD=ZFOQ,

DOQO

：.AAODsAFOQ.

：.ZAQF=ZODA=45°,

△A尸Q為等腰三角形，

AQ=CAF.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)定理

和判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，矩形A3CD的對(duì)角線AC、60相交于點(diǎn)。，過。點(diǎn)作OELAC交A6于E,連EC交0B于

M,若3。=4,"。石的面積為5,求也的值.

MC

【答案】正

4

【解析】先由矩形的性質(zhì)和勾股定理求得OA=2百，0E=下,然后證OEBC四點(diǎn)共圓得

NEOM=NECB,再證得VOEMsACW.最后由相似的性質(zhì)求出絲金的值.

MC

【解答】如題圖，；。為矩形A3CD對(duì)角線的交點(diǎn)，

二。為AC的中點(diǎn).

又?.?￡(?LC4,

,*?EC-AE，S^COE=5s~5,

SA/\Az,iiCE=-EACB=1Q,AE=5=EC.

在Rt^CfiE中根據(jù)勾股定理可知EB=3.

...在RtZXABC中。4=LAC=LL必百=26.

222

在RtAAOE中OE=VAE2-OA2=j52-(275)2=下■

又：EOJ_C4,NCBE=90。,

???OEBC四點(diǎn)共圓，

'.ZEOM=ZECB,

NOEMs&CBM.

.OM_OE_45

"CM_-V

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì).此題難度適中，注意四點(diǎn)共圓

在本題中的應(yīng)用.

18.如圖，在等腰八45。中，AB=AC,分別過點(diǎn)3、。作兩腰的平行線，經(jīng)過點(diǎn)A的直線與兩平行線

分別交于點(diǎn)。、E，連結(jié)。C、BE,DC與AB邊相交于點(diǎn)巫與AC邊相交于點(diǎn)N,求證：

AM=NC.（提示：關(guān)鍵是找出題中的“A”型與“X”型寫出比例線段進(jìn)行等比線段的代換）

【答案】見解析

【解析】首先延長(zhǎng)DB、EC交于點(diǎn)P,由BD〃AC,AB〃EC,可得四邊形ABPC為平行四邊形，又由AB=AC,

即可證得：nABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA,又可證得：△EACs^EDP與△AMCs/\pcD,根據(jù)

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則可證得：CN=AM.

【解答】證明：延長(zhǎng)DB、EC交于點(diǎn)P,

、?

?.,BD〃AC,AB〃EC,

工四邊形ABPC為平行四邊形，

VAB=AC,

**?DABPC是菱形，

???AB=BP=PC=CA,

VBD/7AC,

AAEAC^AEDP,

ACEC

,~DP~~EP

“NCEC

同理：---二----

BPEP

,AC_NC

,~DP~~BP

四邊形ABPC是平行四邊形，

???NBAC=NP,

VAC/7DP,

AZACD=ZCDP,

AAAMC^APCD,

MACP

,~CA~~DP

VAC=CP,

.MA_NC

,~CA~~BP

VAC=BP,

???AM=CN.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形，菱形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).此題綜合性很強(qiáng)，注

意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

13

19.已知，拋物線y=-N-x+—與x軸分別交于A、8兩點(diǎn)（A點(diǎn)在8點(diǎn)的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)足

44

(1)A點(diǎn)坐標(biāo)為；8點(diǎn)坐標(biāo)為；F點(diǎn)坐標(biāo)為；

(2)如圖1,C為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接AC,BF交于點(diǎn)M,若在直線AC下方的拋物

線上是否存在點(diǎn)尸，使&ACP=4,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖2,D、E是對(duì)稱軸右側(cè)第一象限拋物線上的兩點(diǎn)，直線A。、AE分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，若

OM?ON=二,求證：直線。E必經(jīng)過一定點(diǎn).

4

3

【答案】(1)(1,0),(3,0),(0,-)；(2)在直線AC下方的拋物線上不存在點(diǎn)P,使SAACP=4,見解

4

析；(3)見解析

【解析】(1)根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)建立方程求解，即可得出結(jié)論；

(2)在直線AC下方軸尤上一點(diǎn)，使SAACH=4,求出點(diǎn)”坐標(biāo)，再求出直線AC的解析式，進(jìn)而得出點(diǎn)”

坐標(biāo)，最后用過點(diǎn)”平行于直線AC的直線與拋物線解析式聯(lián)立求解，即可得出結(jié)論；

1,3

(3)聯(lián)立直線DE的解析式與拋物線解析式聯(lián)立，得出一好一(左+1)%+一一m=0,進(jìn)而得出a+Q4+4左，

44

加尸3—4"，再由得出型=任，進(jìn)而求出(?！?),同理可得ON=LS—3),

MOAO44

再根據(jù)OM-ON=L(a—3),S—3)=,，即可得出結(jié)論.

444

13

【解答】(1)針對(duì)于拋物線y=——0—九+―,

44

3

令1=0,則丁=一，

4

3

???F(0,-),

13

令y=0,則一爐0一元+—=0,

44

解得，冗=1或％=3,

A(1,O),8(3,0),

3

綜上所述：41,。），“。），2。,/；

3

(2)由⑴知，B(3,0),F(0,-),

4

:BM=FM,

嗚|），

???A(l,0),

33

.?.直線AC的解析式為：y=

44

33

y=—x——

44

聯(lián)立拋物線解析式得：《

123

y--X-x-\—

44

%2=6

石=1

解得：,或＜15，

%=0%;

。(6,9,

如圖1,設(shè)H是直線AC下方軸x上一點(diǎn)，A”=Q且SZ,AS=4,

=4,

24

32

解得：a=15

47

H(—,0),

15

過H作I//AC,

347

；?直線/的解析式為y=—三

聯(lián)立拋物線解析式，解得5必—35X+62=0,

A=49-49.6=-0.6<0,

即：在直線AC下方的拋物線上不存在點(diǎn)P,使S“CP=4;

(3)如圖2,過。，E分別作x軸的垂線，垂足分別為G,H,

設(shè)。(a,—々2—a+—),石(4b+—),直線DE的解析式為丁=日+機(jī),

4444

13

聯(lián)立直線DE的解析式與拋物線解析式聯(lián)立，得一d9_(左+1)%+——=Q

44mf

a+b—A-+4k,cib—3—4-m,

???OG_Lx軸，

C.DG//OM,

???ADAG^AMAO,

.DG_AG

??訪一而‘

即;(a—l)(a—

OM—1

OM=-(?-3),同理可得ON=！S—3)

44

444

cib—3(。+b)+5:=0,

即3—4m—3(4+4左)+5=0,

m=-3k—l,

直線DE的解析式為y=kx—3k—}=k{x—3)—1,

直線。E必經(jīng)過一定點(diǎn)(3,-1).

圖2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，交點(diǎn)的求法,

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等方法式解決本題的關(guān)鍵.

20.如圖1,A(-4,0).正方形02C。的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形。

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若a=60。，OE=OA,求直線所的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若a為銳角，tana=l，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，求正方形OEEG的面積.

3

(3)當(dāng)正方形。EFG的頂點(diǎn)月落在y軸上時(shí)，直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P,AOE尸的其中兩邊之比能

否為后：1?若能，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，試說明理由.

【答案】(l)y=/x+孚；(2)高;(3)4?！晔钠渲袃蛇叺谋饶転?：1,點(diǎn)尸的坐標(biāo)是：P(0,4),

P(-4,12),P(-12,24),P(-4,0),P(-12,4).

【解析】(1)過點(diǎn)E作即，OA于點(diǎn)H,EF與y軸的交點(diǎn)為由已知條件證明△AEO為正三角形，求

出點(diǎn)E的坐標(biāo)及OM的長(zhǎng)度，再利用E、M的坐標(biāo)即可求出解析式；

(2)無論正方形邊長(zhǎng)為多少，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)角a后得到正方形OEFG的頂點(diǎn)E在射線。。上，當(dāng)AE，。。

時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最小利用a為銳角，tana='及勾股定理求出邊長(zhǎng)OE2,即可求出正方形的面積；

3

(3)分點(diǎn)F在y軸的正半軸上或負(fù)半軸上，且點(diǎn)P與點(diǎn)F或點(diǎn)A重合或不重合時(shí)，利用AOEP的兩邊之

比為J5：1分別求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解