第三章第四節(jié)方差、協(xié)方差1/19

上一講我們介紹了隨機變量數(shù)學期望，它表達了隨機變量取值平均水平，是隨機變量一個主要數(shù)字特征.

不過在一些場所，僅僅知道平均值是不夠.2/19

比如，某零件真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結果X用坐標上點表示如圖：

若讓你就上述結果評價一下兩臺儀器優(yōu)劣，你認為哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結果

甲儀器測量結果很好測量結果均值都是

a

因為乙儀器測量結果集中在均值附近3/19又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標位置如圖：

你認為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果

乙炮射擊結果

乙很好因為乙炮彈著點較集中在中心附近.

中心

中心

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為此需要引進另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機變量取值在其中心附近離散程度.這個數(shù)字特征就是我們這一講要介紹

方差5/19一、方差定義

采取平方是為了確保一切差值都起正面作用，防止正負相消。注：有書上也把方差記作或設是一個隨機變量，若存在，則稱為方差，稱為標準差（或均方差、方差根）。6/19若取值比較分散，則方差較大.

可見，方差大小刻劃了隨機變量取值與其數(shù)學期望離散程度。若取值比較集中在附近，則方差較??；

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為離散型，

由定義知，方差是隨機變量函數(shù)數(shù)學期望.為連續(xù)型，

8/19二、計算方差一個簡化公式

二項式展開

證：利用期望性質(zhì)

這個公式很主要，它不但證實了普通情況下，而且經(jīng)慣用它來簡化方差計算。9/19例1、設r.v.服從參數(shù)為p0-1分布，求。解：由題知分布列為而前面我們已經(jīng)計算過從而10/19例2、設r.v.服從[a,b]上均勻分布，求。解：已知概率密度為而前面我們已經(jīng)計算過從而11/19解：已知概率密度為而前面我們已經(jīng)計算過從而例3、設r.v.服從參數(shù)為指數(shù)分布，求。12/19解:

例4、設隨機變量概率密度為以下，求a，b，c。13/19解聯(lián)立方程組得14/19三、方差性質(zhì)

與不一定獨立時，請思索。1、D(C)=0；設，為任意隨機變量，C為任意常數(shù)。

2、；3、；4、若，相互獨立，則；可推廣至有限個r.v.情形：設相互獨立，則

15/19例5、設隨機變量期望和方差為和,且,求:

解:

期望和方差。稱為是r.v.標準化隨機變量。16/19例6、設隨機變量期望存在，且，c為一常數(shù)，則

（）例7、設為一隨機變量，已知，則（）17/19小結：這一講,我們介紹了隨機變量方差.它是刻劃隨機變量取值在其