屆高三年級(jí)三月半月考數(shù)學(xué)試題時(shí)間：分鐘滿分：分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A.B.2C.D.1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)虛部概念求解.詳解】由可得，所以虛部為，故選：D.2.已知命題，命題，則（）A.和均為真命題B.和均為真命題C.和均為真命題D.和均為真命題【答案】A【解析】【分析】直接判斷命題的真假，再根據(jù)命題的否定可判斷.【詳解】對(duì)于命題p，當(dāng)時(shí)，，所以p為真命題；對(duì)于命題q，由于恒成立，所以恒有.綜上，p和q均為真命題.故選：A.3.已知向量滿足，則（）A.2B.1C.1D.2【答案】D第1頁/共20頁【解析】【分析】結(jié)合已知條件，求得，再對(duì)兩邊同時(shí)平方求出，【詳解】由得=，由，得又所以故選：D4.已知數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.中位數(shù)不變B.若，則數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為7.5C.平均數(shù)不變D.方差變小【答案】B【解析】【分析】利用中位數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析計(jì)算即可.【詳解】原來的中位數(shù)與現(xiàn)在的中位數(shù)均為，故中位數(shù)不變，故A正確；當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)按從小到大順序排列：.因?yàn)椋栽摻M數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)8，故B錯(cuò)誤；由于，故,,,,,原來的平均數(shù)為，去掉后的平均數(shù)為，平均數(shù)不變，故C正確；原來的方差為，去掉后的方差為，方差變小，故D正確.故選：B.第2頁/共20頁5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系可得，即可由正切的差角公式求解.【詳解】由可得，又，所以，故，，故故選：D6.已知正三棱臺(tái)的體積為，其上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，則該正三棱臺(tái)的側(cè)面上的高為（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件先計(jì)算出正三棱臺(tái)的高,在根據(jù)勾股定理求出該正三棱臺(tái)的側(cè)面上的高即可.【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)的高為，上、下底面的中心分別為，則，分別為的中點(diǎn)，連接，則,做，則點(diǎn)在上，則底面，底面，所以，由，平面，得平面，因?yàn)槠矫?，所以，即為?cè)面的高，上?下底面的面積分別為，，所以正三棱臺(tái)的體積為，解得，第3頁/共20頁，所以該正三棱臺(tái)的側(cè)面上的高為.故選：A.7.函數(shù)與函數(shù)公切線的縱截距為（）A.1或0B.1或0C.1或D.1或【答案】B【解析】【分析】先設(shè)切點(diǎn)分別為，并通過點(diǎn)斜式方程寫出兩條切線方程，根據(jù)公切線方程得，最后計(jì)算值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為，,且導(dǎo)數(shù)為，所以切斜方程為既為，也為，所以，所以，第4頁/共20頁所以，所以或，所以公切線的縱截距為或.故選：B.切線方程一樣來求解公切線斜率.8.類比數(shù)列，我們把一系列向量按照一定的順序排列，可得到向量列.已知向量列滿足，且滿足，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造得，再利用等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式即可.【詳解】，則，其中，則是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，則.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列說法正確的是（）A.是遞減數(shù)列B.C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值第5頁/共20頁【答案】AC【解析】【分析】利用求出可判斷ABC；對(duì)配方可判斷D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，對(duì)于A，，所以是遞減數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)，得，所以當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)，或時(shí)，取得最大值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.曲線在點(diǎn)處的切線方程為B.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.若有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的范圍是D.在上單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】AB出函數(shù)的極值，結(jié)合圖象，由零點(diǎn)的意義判斷C；確定單調(diào)性判斷D即可得解.【詳解】函數(shù)，得，對(duì)于A，，而，則切線方程為，即，故A正確；第6頁/共20頁對(duì)于B，，則的圖象關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，又當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，函數(shù)的零點(diǎn)，即直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的大致圖象如下：則當(dāng)直線與函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由對(duì)C分析知在上單調(diào)遞減，故D正確．故選：ACD.定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.D.在上單調(diào)遞增【答案】BC第7頁/共20頁【解析】【分析】對(duì)于A，賦值令，求解；對(duì)于B，賦值令，得到關(guān)于對(duì)稱，再結(jié)合函數(shù)圖像平移變換得解；對(duì)于C,賦值令，再令，再變形即可；對(duì)于D，賦值令，結(jié)合時(shí)，，舉反例可解.詳解】令，得到，則.故A錯(cuò)誤.令，得到，則，則或,由于當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，故時(shí)，，故時(shí)，，所以，而，故對(duì)任意恒成立，則關(guān)于對(duì)稱.可由向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位.則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確.令，得到，則.令，得到令，得到，兩式相減得，變形，即,時(shí)，，兩邊除以，第8頁/共20頁即，故C正確.令，則，時(shí)，，則，且，則，即.故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答此類有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的題目，難點(diǎn)在于要結(jié)合抽象函數(shù)性質(zhì)，利用賦值法以及代換法，推出函數(shù)相應(yīng)的性質(zhì).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則此雙曲線的離心率為__________..【答案】##【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程為，可得，利用離心率公式，計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，由直線是雙曲線的一條漸近線，可得：，，所以離心率為故答案為：13.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，其中，則__________.第9頁/共20頁【答案】1【解析】求即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，觀察圖象可得，所以，又，所以，又，所以，所以，，又，所以，所以，所以，故答案為：.14.切比雪夫不等式是191821.5~1894.12對(duì)于任一隨機(jī)變量，若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，有.根據(jù)該不等式可以對(duì)事件的概率作出估計(jì).在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列，現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號(hào)次，每次發(fā)射信號(hào)“0”和“1”是等可能的.記第10頁/共20頁發(fā)射信號(hào)“1”的次數(shù)為隨機(jī)變量，為了至少有的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)的值至少為______.【答案】1250【解析】【分析】由題意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可.【詳解】由題意知，所以，，若，則，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使發(fā)射信號(hào)“1”的頻率在區(qū)間內(nèi)，則，解，所以估計(jì)信號(hào)發(fā)射次數(shù)n的最小值為1250.故答案為：1250【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查二項(xiàng)分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將變形為，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題：本題共5小題，共分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求角A；（2）若，求邊.【答案】（1）；（2）【解析】第11頁/共20頁1）運(yùn)用正弦定理將邊化角，然后化簡(jiǎn)即可；（2）運(yùn)用余弦定理求解邊長(zhǎng)即可.【小問1詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?，因?yàn)?所以，所以，所以，因?yàn)椋?；【小?詳解】在中，，所以由余弦定理得，整理得，解得16.如圖，單位圓上的一質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，每一次在圓弧上等可能地逆時(shí)針或順時(shí)針移動(dòng)移動(dòng)次回到起始位置的概率為.（1）求及的值：（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），第12頁/共20頁（2）【解析】1）按著三種路線分別求概率即可，（2）由棋子移動(dòng)的方向分別按逆時(shí)針與順時(shí)針共有，，三種情況，故可得，，由數(shù)列的遞推公式，求得的通項(xiàng)公式，再求,即可由求和公式求解.【小問1詳解】如圖：設(shè)起始位置為，移動(dòng)2次回到起始位置，則；；所以，若移動(dòng)3次回到起始位置，；；所以，【小問2詳解】每次移動(dòng)的時(shí)候是順時(shí)針與逆時(shí)針移動(dòng)是等可能的，設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)到，，處的概率分別為：，，，所以．?dāng)S骰子次時(shí)，共有，，三種情況，故．，即，，又，第13頁/共20頁時(shí)，，又，可得，由，可得數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，，即，又．所以前項(xiàng)和為17.如圖，四棱錐中，底面為等腰梯形，平面平面，.（1）為上一點(diǎn)，平面，求的值：（2）平面與平面的交線為，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】1為，利用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)推理即得.（2）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，以為第14頁/共20頁原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】設(shè)為上一點(diǎn)，且滿足，連接，.由平面，且平面平面，得，即四邊形為平行四邊形，在等腰梯形中，，則，所以為的中點(diǎn)，，即.【小問2詳解】延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，設(shè)為中點(diǎn)，則平面與平面的交線為直線，連接，，由，得，且，又平面平面，平面平面，則平面，在中，，于是，且，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面法向量，則，取，得，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.第15頁/共20頁18.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率為.①求四邊形的面積的最大值；②設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.【答案】（1）；（2）①；②是，0【解析】1的方程為可求出，從而可求出橢圓方程；（2）①求出，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，將直線方是橢圓C上位于直線PQ第16頁/共20頁示出四邊形的面積，化簡(jiǎn)可求出其最大值；②表示出直線的斜率和直線的斜率，然后結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可得答案.【小問1詳解】設(shè)橢圓的方程為.由題意可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立，整理得：，由，可得.由韋達(dá)定理知：，又是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)，則，解得四邊形的面積故當(dāng)時(shí)，；②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，第17頁/共20頁則..所以的值為常數(shù)0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第（2）問解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后結(jié)合已知條件求解，考查計(jì)算能力，屬于較難題.19.如圖，在區(qū)間上，曲線與軸圍成的陰影部分面積記為面積，若（為函數(shù).設(shè)函數(shù)（1）若，求的值；（2）已知，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交于兩點(diǎn)（的面積為，寫出的表達(dá)式（用表示）并證明：：（3）函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，比較與的大小，并說明理由.【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）.第18頁/共20頁【解析】1）根據(jù)給定信息，令，直接代入計(jì)算即得.（2）利用矩形或梯形面積公式計(jì)算，再利用分析法推理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明