級高二下學(xué)期3月階段考數(shù)學(xué)（人教A版）試題D在答題卡上作答．第Ⅰ卷（選擇題共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共分，在每小題給出的四個選項中只有一項符合題目要求．1.（）A.14B.16C.18D.24【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合排列數(shù)和組合數(shù)的公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由排列數(shù)和組合數(shù)的公式，可得.故選：C.2.若橢圓C：的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別是雙曲線EE）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由橢圓的方程先求出雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合即可求解.【詳解】由橢圓可得，，，且焦點(diǎn)在y軸上，可知橢圓的長軸頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，所以雙曲線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，設(shè)雙曲線方程為，可得，，則，第1頁/共18頁所以雙曲線的方程為.故選：A.3.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】由，得，故．故選：B4.“點(diǎn)在圓外”是“直線與圓相交”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】由題意可知，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，若點(diǎn)在圓外，則，則圓心到直線的距離為，此時，直線與圓相交，即“點(diǎn)在圓外”“直線與圓相交”；若直線與圓相交，則，可得，不妨取，，則，此時，點(diǎn)在圓內(nèi)，在圓外”“直線與圓相交”.在圓外”是“直線與圓相交”的充分不必要條件.第2頁/共18頁故選：A.5.編號為1，2，3，4，5，6，7的七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，若任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案有（）A.10種B.12種C.15種D.18種【答案】A【解析】【分析】在四盞熄滅的燈中，使用插空法即可求解；【詳解】四盞熄滅的燈產(chǎn)生的5個空中放入3盛亮燈，即不同的開燈方案有（種）故選：A6.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，從而的最大值為，得到答案.【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)為，動點(diǎn)滿足，故點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，圓的方程為，圓心與原點(diǎn)的距離為，則的最大值為.故選：B7.已知是橢圓上兩點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，，則的離心率為（）A.B.C.D.第3頁/共18頁【答案】D【解析】，的周長為理，即可求出離心率.【詳解】由可知，，由得，點(diǎn)共線.又，設(shè)，連接，則，由橢圓的定義可知的周長為，則，解得，所以，再根據(jù)橢圓的定義可知，，則在中，，即，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，設(shè)，得到，由的周長為，可得，再在中，利用勾股定理即可.8.有甲、乙兩個不透明的袋子，甲袋子里有1個白球，乙袋子里有5個白球和5個黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機(jī)取出，則當(dāng)變大時（）A.變小B.先變小再變大第4頁/共18頁C.變大D.先變大再變小【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用超幾何分布與兩點(diǎn)分布，求解離散隨機(jī)變量的期望，然后判斷選項.【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個球，其中白球的個數(shù)服從超幾何分布，則．故從甲盒子里隨機(jī)取一球，相當(dāng)于從含有個白球的個球中取一球，取到白球的個數(shù)為，易知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，故，所以，隨著的增加，減小.故選：A二、選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則（）A.B.所有項的系數(shù)和為1C.沒有常數(shù)項D.的系數(shù)為14【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)計算判斷A，賦值法判斷B，根據(jù)通項公式判斷CD.【詳解】因為第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，故A錯誤;令，可得展開式中所有項的系數(shù)和為，故B正確;在中，第項，取，即，所以不存在常數(shù)項，故C正確;取，即，所以，所以的系數(shù)為14，故D正確.故選：BCD第5頁/共18頁10.如圖，某電子實驗貓線路圖上有AB兩個紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時，實驗貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，AB兩個指示燈工作相互獨(dú)立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為，A處遇到紅燈的次數(shù)為XAB兩處遇到紅燈的次數(shù)之和為Y，則（）A.B.一次實驗中，A，B兩處至少遇到一次紅燈的概率為C.D.當(dāng)時，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)二項分布的概率公式和方差公式計算可判斷選項AC事件的概率公式可判斷選項B；應(yīng)用數(shù)學(xué)期望公式可判斷選項D.【詳解】由題意可知：，所以,，故選項A、C錯誤.對于選項B：因為A，B兩個指示燈工作相互獨(dú)立，所以在一次實驗中A，B兩處都不遇到一次紅燈的概率為.根據(jù)對立事件的概率公式可得：一次實驗中，A，B兩處至少遇到一次紅燈的概率為，故選項B正確.第6頁/共18頁對于選項D：根據(jù)題意可知：Y的所有可能取值有：，，.當(dāng)時，,,.所以，故選項D正確.故選：BD.已知：的焦點(diǎn)為的準(zhǔn)線為在拋物線過點(diǎn)且與交于，兩點(diǎn)，則（）A.若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為3B.以線段為直徑的圓與直線相離C.點(diǎn)到直線的最小距離為D.可能為鈍角三角形【答案】AB【解析】【分析】由拋物線的定義可得A正確；設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立曲線方程，然后用韋達(dá)定理求出弦長，再利用換元法求出中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得B正確；由點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合二次函數(shù)可得C錯誤；由向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理可得D錯誤.【詳解】對于A，作于，由拋物線的定義可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，故A正確；第7頁/共18頁對于B，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，到準(zhǔn)線的距離為，則，設(shè)，則，所以，所以以線段為直徑的圓與直線相離，故B正確；對于C，設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，當(dāng)時，距離的最小值為，故C錯誤；對于D，設(shè)，則，由B可得，所以，故D錯誤.故選：AB第Ⅱ卷（非選擇題共分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知，設(shè)直線，，若，則______．【答案】【解析】【分析】由兩直平行得到，求解并驗證即可；第8頁/共18頁【詳解】因為直線，，，所以，即，當(dāng)時，直線重合，舍去，當(dāng)時，符合題意；故；故答案為：13.已知點(diǎn)在拋物線上，且到的焦點(diǎn)的距離為，則實數(shù)__________.【答案】##【解析】【分析】由拋物線定義求出，得到拋物線方程，再將點(diǎn)代入，即可求得.【詳解】由拋物線的定義可知，，解得，所以，將點(diǎn)代入得，，又,所以.故答案為：.14.如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著10的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，假定其每次碰到小木釘后，向左下落的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為0，1，2，，10，則小球落入_________號格子的概率最大.第9頁/共18頁【答案】【解析】【分析】利用次獨(dú)立重復(fù)試驗中，小球掉入號格子的概率為，設(shè)小球掉入號格子的概率最大，則，再利用組合數(shù)公式，結(jié)合題目已知條件即可求解.【詳解】小球下落需要10次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，小球掉入0號格子，需要向左10次，則概率為；小球掉入1號格子，需要向左9次，向右1次，則概率為；小球掉入2號格子，需要向左8次，向右2次，則概率為；小球掉入3號格子，需要向左7次，向右3次，則概率為；依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，設(shè)小球掉入號格子的概率最大，顯然，第10頁/共18頁則，即，即解得，又為整數(shù)，，則小球落入8號格子的概率最大.故答案為：.四、解答題：本大題共5個小題，共分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15一場小型晚會有個唱歌節(jié)目和個相聲節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（1）個相聲節(jié)目要排在一起，有多少種排法？（2）個相聲節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？（3）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，有多少種排法？（4）前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目，有多少種排法？（要求：每小題都要有過程，且計算結(jié)果都用數(shù)字表示）【答案】（1）2）3）4）.【解析】1）將個相聲節(jié)目進(jìn)行捆綁，與其它個節(jié)目形成個元素，利用捆綁法可求得排法種數(shù)；（2）將個相聲節(jié)目插入其它個節(jié)目所形成的空中，利用插空法可求得排法種數(shù)；（3）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，則個節(jié)目排在中間，利用分步乘法計數(shù)原理可求得排法種數(shù)；（4）在個節(jié)目進(jìn)行全排的排法種數(shù)中減去前個節(jié)目中沒有相聲節(jié)目的排法種數(shù)，由此可求得結(jié)果.1）將個相聲節(jié)目進(jìn)行捆綁，與其它個節(jié)目形成個元素，然后進(jìn)行全排，所以，排法種數(shù)為種；第11頁/共18頁（2）將個相聲節(jié)目插入其它個節(jié)目所形成的個空中，則排法種數(shù)為種；（3）第一個節(jié)目和最后一個節(jié)目都是唱歌節(jié)目，則其它個節(jié)目排在中間，進(jìn)行全排，由分步乘法計數(shù)原理可知，排法種數(shù)為種；（4）在個節(jié)目進(jìn)行全排排法種數(shù)中減去前個節(jié)目中沒有相聲節(jié)目的排法種數(shù)，可得出前個節(jié)目中要有相聲節(jié)目的排法種數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法、插空法、分步乘法計數(shù)原理以及間接法的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.16.某校體育節(jié)組織比賽，需要志愿者參加服務(wù)的項目有：60米袋鼠跳、100米、200米、1500米、3000米、4×100米接力．（1）志愿者小明同學(xué)可以在6個項目中選擇3個項目參加服務(wù)，求小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率；（2159名首選1006名首選4×10015名同學(xué)中再選3名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查．將其中首選4×100米接力的人數(shù)記作X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見詳解，.【解析】1）小明選擇60米袋鼠跳服務(wù)為事件，小明選擇3000米服務(wù)為事件，利用組合知識和古典概型概率公式求出，然后由條件概率公式可得；（2）根據(jù)超幾何分布概率公式計算可得分布列，再由期望公式可得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】記小明選擇60米袋鼠跳服務(wù)為事件，小明選擇3000米服務(wù)為事件，則，，所以，第12頁/共18頁即小明在選擇60米袋鼠跳服務(wù)的條件下，選擇3000米服務(wù)的概率為.【小問2詳解】由題知，的所有可能取值為，由超幾何分布概率公式得：，.得隨機(jī)變量X的分布列為：0123所以.17.如圖，在正四棱錐中，，為側(cè)棱SD的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求點(diǎn)到平面PAC的距離；（3）求平面SBC與平面PAC夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】第13頁/共18頁1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明垂直關(guān)系；（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)到直線的距離；（3）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，連接,因為是正四棱錐，所以平面，且平面，所以,又因為為正方形，所以,所以以方向為軸建立如圖所示空間指標(biāo)坐標(biāo)系，因為，所以,,所以,,所以,所以，，所以.【小問2詳解】設(shè)平面的一個法向量為，,所以，即，令，可得，第14頁/共18頁所以點(diǎn)到平面PAC的距離為.【小問3詳解】設(shè)平面的一個法向量為，,所以，即，令，可得，設(shè)平面SBC與平面PAC夾角為，則由圖可知為銳角，所以即為所求.18.已知過點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程為.的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上的點(diǎn)到其兩條漸近線的距離分別為，求的值；（3）已知點(diǎn)，求證：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】1）由漸近線方程得到，代入點(diǎn)即可求解；（2）由點(diǎn)到線的距離公式求解即可；第15頁/共18頁（3）設(shè)直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，由即可求證；【小問1詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，則，所以雙曲線方程為，即.【小問2詳解】因為在曲線上，則，漸近線方程：，所以：【小問3詳解】由（1）可知的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，由題意得，則，第16頁/共18頁所以，所以得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由，求證；19.致分為三個環(huán)節(jié)，簡記為工序，工序，工序．經(jīng)過試驗測得小李在這三道工序成功的概率依次為，，30200元，為了更好地激發(fā)參與者的興趣，舉辦方推出了一項工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在活動開始前付費(fèi)聘請技術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序，技術(shù)員只完成其中一道工序，且只能聘請一位技術(shù)員，