第1頁（共1頁）2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個性化分層教輔學(xué)困生篇《立體幾何初步》一．選擇題（共10小題）1．（2024?黔東南州開學(xué)）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB＝1，BC=3，DC＝2．將直角梯形ABCD繞BCA．26π+5π B．3π+5π C．11π2．（2024?蘇州模擬）已知圓錐的高為6，體積為高的43A．83 B．113 C．73．（2024?泰安三模）已知圓臺O1O2的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為（）A．24π B．25π C．26π D．27π4．（2023秋?大武口區(qū)校級月考）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，即V＝kD3，但歐幾里得未給出常數(shù)k的值．現(xiàn)算出k的值，進(jìn)而可得cosk＝（）A．0 B．12 C．22 5．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β D．若m⊥n，m⊥α，則n∥α6．（2023秋?南關(guān)區(qū)校級期末）若一個小球與一個四棱臺的每個面都相切，設(shè)四棱臺的上、下底面積分別為S1，S2，側(cè)面積為S，則（）A．S2＝S1S2 B．S＝S1+S2 C．S=S17．（2024春?株洲期末）若圓錐的表面積為12π，底面圓的半徑為2，則該圓錐的體積為（）A．433π B．43π 8．（2024?南開區(qū)學(xué)業(yè)考試）若圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為（）A．12 B．23 C．329．（2024?浙江模擬）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為（）立方厘米．A．10500 B．12500 C．31500 D．5250010．（2024?全國一模）陀螺又稱陀羅，是中國民間最早的娛樂健身玩具之一，在山西夏縣新石器時代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺．如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱的組合體，其中圓柱的底面半徑為2，圓錐與圓柱的高均為2，若該陀螺是由一個球形材料削去多余部分制成，則該球形材料的體積的最小值為（）A．8π B．64π3 C．32π D．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?湖北開學(xué)）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P是線段BC1上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．三棱錐A1﹣APD的體積為定值 B．A1P∥平面ACD1 C．AP+B1P的最小值為22D．當(dāng)A1，C，D1，P四點共面時，四面體B1PA1C1的外接球的體積為3（多選）12．（2024春?焉耆縣校級期末）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體．那么在AB，CD，EF，GH這四條線段中，則線段所在直線是異面直線是（）A．直線EF和直線CD B．直線AB和直線HG C．線EF和直線HG D．直線AB和直線CD（多選）13．（2024春?日照期末）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，M，P分別為AA′，AB的中點，點N滿足D′N→=λD′C′→(λ∈[0，1])，設(shè)平面MPN截正方體所得截面為Γ，其面積為S，設(shè)該截面將正方體分成兩部分的體積分別為VA．截面?？赡転槲暹呅?B．當(dāng)λ=12時，C．存在λ，使得V1＝V2 D．|V1﹣V2|的最大值為5（多選）14．（2024春?金安區(qū)校級期末）已知在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，CC1，C1D1，D1A1的中點，點E為正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列說法中正確的是（）A．PQ∥平面MBN B．平面PMN⊥平面BB1D1 C．三棱錐P﹣MBN的體積為34D．若點E到直線BB1與到直線AD的距離相等，則點E的軌跡為圓的一部分（多選）15．（2024春?宜賓期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為平面CDD1C1上一動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)點P為DD1的中點時，直線CP與BC1所成角的余弦值為1010B．當(dāng)點P在棱C1D1上時，AP+PB1的最小值為42C．當(dāng)點P在正方形CDD1C1內(nèi)時，若B1P與平面CDD1C1所成的角為45°，則點P的軌跡長度為π D．該正方體被過AA1，CC1，C1D1中點的平面α分割成兩個空間幾何體Ω1和Ω2，某球能被整體放入Ω1或Ω2內(nèi)，則該球的表面積的最大值為(12?6三．填空題（共5小題）16．（2024秋?泉州月考）要使正方體ABCD﹣A1B1C1D1以直線CA1為軸，旋轉(zhuǎn)n°后與其自身重合，則n的最小正值為．17．（2024春?長治期末）烽火臺是我國古代用于防御與通訊的軍事建筑．如圖為一類正四棱臺狀的烽火臺，已知該烽火臺底部邊長為10米，頂部邊長為8米，高為12米，忽略烽火臺凹陷部分，則該烽火臺的體積為立方米．18．（2024春?陽泉期末）如圖，△O'A'B'是△OAB在斜二測畫法下的直觀圖，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，則△OAB的面積為．19．（2024春?臨夏州期末）一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示（單位：cm），則此幾何體的表面積為cm2．20．（2024?子長市校級三模）在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓周長為C1，外接圓周長為C2，則C1C2=12．推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球表面積為S1，外接球表面積為四．解答題（共5小題）21．（2023秋?寶安區(qū)期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．22．（2024秋?江西月考）如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣EFGH中，將側(cè)面CDHG沿CG逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ至平面CD1H1G，其中θ∈(0，π2)，點P（1）當(dāng)tan∠D1PH1=23時，求四棱錐（2）當(dāng)直線DH1與平面CD1H1G所成的角為π6時，求cosθ23．（2023秋?沙依巴克區(qū)校級期末）如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和AC，BD的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MN⊥AB，MN⊥CD．24．（2024春?大新縣校級期末）如圖，棱錐的底ABCD是一個矩形，AC與BD交于M，VM是棱錐的高，若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求棱錐的體積．25．（2024春?龍巖期末）如圖，在幾何體CD﹣ABEF中，四邊形ABEF為正方形，CD∥EF，AF⊥DF．記二面角D﹣AF﹣E的大小為α，二面角C﹣BE﹣F的大小為β．（1）證明：AF⊥CE；（2）若DF=12AB=2，且α（i）求直線BD與平面CBE所成角的正弦值；（ii）作出二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，說明理由并求tanθ的值．

2025年高考備考高中數(shù)學(xué)個性化分層教輔學(xué)困生篇《立體幾何初步》參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?黔東南州開學(xué)）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AB＝1，BC=3，DC＝2．將直角梯形ABCD繞BCA．26π+5π B．3π+5π C．11π【考點】圓臺的側(cè)面積和表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】由圓臺的表面積公式求解即可．【解答】解：由題可知，該旋轉(zhuǎn)體為上底面半徑r1＝1，下底面半徑r2＝2，母線長l＝2的圓臺，則該圓臺的表面積S=π(r故選：C．【點評】本題考查圓臺表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?蘇州模擬）已知圓錐的高為6，體積為高的43A．83 B．113 C．7【考點】圓臺的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；作差法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意求出圓錐的體積，再根據(jù)相似比求出截去部分的體積，即可得出圓臺的體積．【解答】解：因為圓錐的高為6，體積為V=4用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺高是3，所以截去圓錐的體積為8×(所以圓臺的體積為8﹣1＝7．故選：C．【點評】本題考查了圓錐與圓臺的體積計算問題，是基礎(chǔ)題．3．（2024?泰安三模）已知圓臺O1O2的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為（）A．24π B．25π C．26π D．27π【考點】圓臺的側(cè)面積和表面積．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】作出圓臺的軸截面，利用其周長和兩底面圓半徑的關(guān)系列方程，求出r，代入公式，即可求得圓臺的表面積．【解答】解：作出圓臺的軸截面ABDC，如圖所示：設(shè)上底面圓O1的半徑為r，則下底面圓O2的半徑是3r，所以軸截面周長為16＝4+4+2r+6r，解得r＝1，所以上、下底面圓的面積分別為π，9π，圓臺側(cè)面積為S側(cè)＝π（1+3）×4＝16π，所以圓臺的表面積為π+9π+16π＝26π．故選：C．【點評】本題考查了圓臺的結(jié)構(gòu)特征與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．4．（2023秋?大武口區(qū)校級月考）古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，即V＝kD3，但歐幾里得未給出常數(shù)k的值．現(xiàn)算出k的值，進(jìn)而可得cosk＝（）A．0 B．12 C．22 【考點】球的體積和表面積．【專題】方程思想；綜合法；球；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】根據(jù)球的體積公式分析求解．【解答】解：因為V=kD3=所以cosk=cosπ故選：D．【點評】本題考查球的體積公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．5．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）設(shè)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A．若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥β B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，則m∥n C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β D．若m⊥n，m⊥α，則n∥α【考點】平面與平面平行；平面與平面垂直；直線與平面平行．【專題】對應(yīng)思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理．【答案】B【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一判斷即可．【解答】解：對于A：由m?α，n?β，m⊥n，可得α、β可能平行或相交，故A錯誤；對于B：由m∥α，m∥β，α∩β＝n，則由線面平行的性質(zhì)定理得m∥n，故B正確；對于C：由m?α，n?α，m∥β，n∥β，可得α、β可能平行或相交，故C錯誤；對于D：由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n?α，故D錯誤．故選：B．【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6．（2023秋?南關(guān)區(qū)校級期末）若一個小球與一個四棱臺的每個面都相切，設(shè)四棱臺的上、下底面積分別為S1，S2，側(cè)面積為S，則（）A．S2＝S1S2 B．S＝S1+S2 C．S=S1【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；棱臺的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)小球半徑為R，利用等體積法分析可得V=1【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)小球半徑為R，因為一個小球與一個四棱臺的每個面都相切，所以四棱臺的體積等于以球心為頂點，以四棱臺的上、下底面和四個側(cè)面為底面的六個四棱錐的體積之和，這6個小棱錐的高都是球的半徑R，同時，該棱臺的高是2R，則該四棱臺的體積為V=1變形可得：S=S1+故選：C．【點評】本題考查棱臺與球的接、切問題，涉及棱臺的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024春?株洲期末）若圓錐的表面積為12π，底面圓的半徑為2，則該圓錐的體積為（）A．433π B．43π 【考點】棱錐的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為h，母線為l，結(jié)合圓錐的表面積公式可得l的值，進(jìn)而求出h，代入錐體體積公式即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高為h，母線為l，若圓錐的表面積為12π，底面圓的半徑為2，則有12所以?=l故圓錐的體積為13故選：C．【點評】本題考查圓錐的表面積計算，涉及圓錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?南開區(qū)學(xué)業(yè)考試）若圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為（）A．12 B．23 C．32【考點】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】對應(yīng)思想；定義法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】B【分析】設(shè)出球的半徑，分別求出球與圓柱的體積，計算體積比即可．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則球的體積為V1=4所以球與圓柱體積的比值為V1故選：B．【點評】本題考查了球的體積與圓柱體積計算問題，是基礎(chǔ)題．9．（2024?浙江模擬）清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運送到全國各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為（）立方厘米．A．10500 B．12500 C．31500 D．52500【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】方程思想；數(shù)學(xué)模型法；立體幾何；數(shù)學(xué)抽象；數(shù)學(xué)運算．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用臺體體積公式計算即可求解．【解答】解：由題意可得，一斛米的體積為正四棱臺的體積V=13?(S故一斗米的體積大約為525005=10500cm故選：A．【點評】本題主要考查棱臺體積的求法，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?全國一模）陀螺又稱陀羅，是中國民間最早的娛樂健身玩具之一，在山西夏縣新石器時代的遺址中就發(fā)現(xiàn)了石制的陀螺．如圖所示的陀螺近似看作由一個圓錐與一個圓柱的組合體，其中圓柱的底面半徑為2，圓錐與圓柱的高均為2，若該陀螺是由一個球形材料削去多余部分制成，則該球形材料的體積的最小值為（）A．8π B．64π3 C．32π D．【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積．【專題】計算題；方程思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】D【分析】依題意當(dāng)該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小，設(shè)此時球形材料的半徑為R，由勾股定理求出外接球的半徑，即可求出其體積．【解答】解：依題意，當(dāng)該陀螺中圓錐的頂點及圓柱的下底面圓周都在球形材料表面上時，球形材料體積的最小，設(shè)此時球形材料的半徑為R，由題意得（4﹣R）2+22＝R2，解得R=5所以球形材料的體積最小值為43故選：D．【點評】本題主要考查球的體積的求法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共5小題）（多選）11．（2024?湖北開學(xué)）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，P是線段BC1上的動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．三棱錐A1﹣APD的體積為定值 B．A1P∥平面ACD1 C．AP+B1P的最小值為22D．當(dāng)A1，C，D1，P四點共面時，四面體B1PA1C1的外接球的體積為3【考點】球的體積；直線與平面平行；球內(nèi)接多面體；棱錐的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】ABD【分析】A選項，求出S△AA1D為定值，且P到平面ADD1AC選項，將兩平面展開到同一平面，連接AB1，交BC1于點P，此時AP+B1P最小，最小值即為AB1的長，由勾股定理得到最小值；D選項，點P在點B處，A1，C，D1，P四點共面，四面體B1PA1C1的外接球即正方體的外接球，求出正方體的外接球半徑，得到外接球體積．【解答】解：對于A，因為BC1∥AD1，BC1不在平面ADD1A1內(nèi)，AD1?平面ADD1A1，所以BC1∥平面ADD1A1，又P∈BC1，所以點P到平面ADD1A1的距離為1，又S△A故VA1?APD對于B，因為AD1∥BC1，AD1?平面AD1C，BC1?平面AD1C，所以BC1∥平面AD1C，同理可知A1C1∥平面AD1C，又BC1∩A1C1＝C1，BC1，A1C1?平面A1C1B，所以平面A1C1B∥平面ACD1，由于A1P?平面A1C1B，故A1P∥平面ACD1，B正確．對于C，展開兩線段所在的平面，得矩形ABC1D1及等腰直角三角形B1BC1，連接AB1，交BC1于點P，此時AP+B1P最小，最小值即為AB1的長，過點B1作B1N⊥AB，交AB的延長線于點N，其中AB=1，AD故AN=1+22，又勾股定理得AB對于D，點P在點B處，A1，C，D1，P四點共面，四面體B1PA1C1的外接球即正方體的外接球，故外接球的半徑為12+12+故選：ABD．【點評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．（多選）12．（2024春?焉耆縣校級期末）如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體．那么在AB，CD，EF，GH這四條線段中，則線段所在直線是異面直線是（）A．直線EF和直線CD B．直線AB和直線HG C．線EF和直線HG D．直線AB和直線CD【考點】異面直線的判定．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)抽象．【答案】BCD【分析】首先將正方體的展開圖還原成正方體，由異面直線的定義分析選項，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由展開圖還原正方體，如圖，依次分析選項：對于A，EF∥CD，不是異面直線；對于B，直線AB和直線HG是異面直線；對于C，直線EF和直線HG是異面直線；對于D，直線AB和直線CD是異面直線．故選：BCD．【點評】本題考查的是異面直線的判定，將正方體的展開圖還原成正方體，再利用異面直線的判定定理判斷是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．（多選）13．（2024春?日照期末）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，M，P分別為AA′，AB的中點，點N滿足D′N→=λD′C′→(λ∈[0，1])，設(shè)平面MPN截正方體所得截面為Γ，其面積為S，設(shè)該截面將正方體分成兩部分的體積分別為VA．截面?？赡転槲暹呅?B．當(dāng)λ=12時，C．存在λ，使得V1＝V2 D．|V1﹣V2|的最大值為5【考點】棱錐的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】ACD【分析】作圖說明判斷A；由λ=12時截面形狀并求出面積判斷B；由λ=12時截面形狀，結(jié)合對稱性判斷C；由λ從0變化到1的截面變化情況，得到|V1﹣V2|的變化情況，求出λ＝0和【解答】解：對于A，當(dāng)λ＝1，即點N與C′重合時，直線PM與B′A′，B′B的延長線分別交于點H，G，連接C′H，C′G分別交A′D′，BC于點F，E，連接PE，MF，得截面MPEC′F，截面Γ為五邊形，A正確；對于B，當(dāng)λ=12時，點N是D′其邊長為(12)2+(對于C，當(dāng)λ=12時，由對稱性知，截面Γ分成的兩部分是全等的，則體積相等，對于D，當(dāng)λ＝0，即點N與D′重合時，連接D′M并延長交DA延長線于K，連接KP，PC，顯然A是DK的中點，則Rt△APK≌Rt△BPC，∠APK＝∠BPC，點K，P，C共線，連接CD′，此時截面Γ為梯形MPCD′，當(dāng)λ從0變化到1時，截面從四邊形MPCD′變成五邊形MPEC′F，由選項C知，截面Γ將正方體分成的兩部分體積之差的絕對值先減小至0，再逐漸增大，因此|V1﹣V2|取最大值時對應(yīng)的λ＝0或λ＝1，當(dāng)λ＝0時，記V1為幾何體APM﹣DCD′的體積，則V1=VK?DCD′?當(dāng)λ＝1時，記V1為幾何體PBEC′FMA′的體積，在選項A中，A′H=A′M=BP=BG=1則A′FB′C′即A′F=BE=13，V2=1?V1=4772，|V1?V故選：ACD．【點評】本題考查立體幾何的綜合問題，正方體的截面問題，幾何體的體積問題，屬中檔題．（多選）14．（2024春?金安區(qū)校級期末）已知在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，CC1，C1D1，D1A1的中點，點E為正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，則下列說法中正確的是（）A．PQ∥平面MBN B．平面PMN⊥平面BB1D1 C．三棱錐P﹣MBN的體積為34D．若點E到直線BB1與到直線AD的距離相等，則點E的軌跡為圓的一部分【考點】棱錐的體積；直線與平面平行；平面與平面垂直．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】AB【分析】根據(jù)線面平行判定定理證明線面平行；根據(jù)面面垂直判定定理證明面面垂直；三棱錐等體積變換計算體積；根據(jù)拋物線定義判斷動點軌跡．【解答】解：對于A，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，CC1，C1D1，D1A1的中點，PQ∥A1C1∥MN，PQ=12A所以PQ∥平面MBN，選項A正確；對于B，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又MN∥A1C1，所以MN⊥B1D1，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，因為A1C1?A1B1C1D1，所以A1C1⊥BB1，因為MN∥A1C1，所以MN⊥BB1，又因為B1D1，BB1是平面BB1D1內(nèi)兩條相交直線，所以MN⊥平面BB1D1，因為MN?平面PMN，因此平面PMN⊥平面BB1D1，選項B正確；對于C，連接D1M，D1N，D1B，∴D1M∥BN，則三棱錐P﹣MBN的體積為V三棱錐P?MBN=V對于D，點E為正方形ABCD內(nèi)（包括邊界）的動點，點E到直線BB1與到直線AD的距離相等，轉(zhuǎn)化為當(dāng)點E到B的距離與點E到直線AD的距離相等，則點E的軌跡是拋物線的一部分，選項D錯誤．故選：AB．【點評】本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征應(yīng)用問題，也考查了推理與運算能力，是中檔題．（多選）15．（2024春?宜賓期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為平面CDD1C1上一動點，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)點P為DD1的中點時，直線CP與BC1所成角的余弦值為1010B．當(dāng)點P在棱C1D1上時，AP+PB1的最小值為42C．當(dāng)點P在正方形CDD1C1內(nèi)時，若B1P與平面CDD1C1所成的角為45°，則點P的軌跡長度為π D．該正方體被過AA1，CC1，C1D1中點的平面α分割成兩個空間幾何體Ω1和Ω2，某球能被整體放入Ω1或Ω2內(nèi)，則該球的表面積的最大值為(12?6【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角．【專題】數(shù)形結(jié)合；構(gòu)造法；立體幾何；邏輯推理．【答案】ACD【分析】求異面直線所成角的余弦值判斷選項A；將平面ABC1D1和平面A1B1C1D1展成同一平面，求距離和的最小值判斷選項B；由已知線面角，求點P的軌跡，求長度判斷選項C；結(jié)合圖形分析截面形狀，根據(jù)等體積法計算內(nèi)切球半徑和表面積判斷選項D．【解答】解：對于A，Q為AD中點，連接PQ，CQ，AD1，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，則四邊形ABC1D1為平行四邊形，有BC1∥AD1，P為DD1中點，Q為AD中點，所以PQ∥AD1，有PQ∥BC1，直線CP與BC1所成角為∠CPQ或其補(bǔ)角，CP=CQ=22+cos∠CPQ=C所以直線CP與BC1所成角的余弦值為1010，A對于B，點P在棱C1D1上時，將平面ABC1D1和平面A1B1C1D1展成同一平面，則AP+PB1的最小值為展開圖中的B1A，B1A2對于C，如圖連接C1P，因為點P在正方形CDD1C1內(nèi)，B1C1⊥平面CDD1C1，所以∠B1PC1即為B1P與平面CDD1C1所成的角，若B1P與平面CDD1C1所成的角為45°，則tan∠B所以C1P＝B1C1＝2，即點P的軌跡是以C1為圓心、以2為半徑的14所以點P的軌跡長度為14×2π×2=π，故D選項，如圖所示，P，Q，M，N，R，S分別為所在棱的中點，該正方體被過AA1，CC1，C1D1中點的平面α分割成兩個空間幾何體Ω1和Ω2，平面α在正方體上的截面為正六邊形PQMNRS，某球能被整體放入Ω1或Ω2內(nèi)，該球的表面積最大時，是以B1為頂點，底面為正六邊形PQMNRS的正六棱錐的內(nèi)切球，正六邊形PQMNRS的邊長為2，面積為6×1正六棱錐B1﹣PQMNRS中，側(cè)棱長為5，每個側(cè)面面積為32，棱錐的高為3設(shè)內(nèi)切球半徑為R，由體積法可得13×33所以該球的表面積為S=4πR2=(12?6故選：ACD．【點評】本題考查棱柱幾何特征以及線面角，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024秋?泉州月考）要使正方體ABCD﹣A1B1C1D1以直線CA1為軸，旋轉(zhuǎn)n°后與其自身重合，則n的最小正值為120°．【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】120°．【分析】由正方體的性質(zhì)可證得CA1⊥平面BDC1，且△BDC1為正三角形，所以只需要△BDC1旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，從而可求得答案．【解答】解：因為四邊形ABCD為正方形，所以AC⊥BD，因為AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以AA1⊥BD，因為AA1∩AC＝A，AA1，AC?平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C，因為A1C?平面AA1C，所以BD⊥A1C，同理可證得BC1⊥A1C，因為BC1∩BD＝B，BC1，BD?平面BDC1，所以CA1⊥平面BDC1，同理可證得CA1⊥平面AB1D1，因為△BDC1為等邊三角形，BC＝CC1＝DC，所以A1C過△BDC1的中心，設(shè)△BDC1的中心為點G，連接C1G，BG，DG，則∠BGD＝∠BGC1＝∠DGC1＝120°，同理A1C也過等邊△AB1D1的中心，若正方體繞CA1旋轉(zhuǎn)n°后與其自身重合，只需要△BDC1和△AB1D1旋轉(zhuǎn)后能和自身重合即可，因此至少旋轉(zhuǎn)120°．故答案為：120°．【點評】本小題主要考查正方體特征及垂直等知識；考查運算求解能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，屬于中檔題．17．（2024春?長治期末）烽火臺是我國古代用于防御與通訊的軍事建筑．如圖為一類正四棱臺狀的烽火臺，已知該烽火臺底部邊長為10米，頂部邊長為8米，高為12米，忽略烽火臺凹陷部分，則該烽火臺的體積為976立方米．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】976．【分析】作出正四棱臺，根據(jù)已知確定棱長和高，分別求出底面面積，代入體積公式即可求解．【解答】解：如圖：在正四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝10，A1B1＝8，O1O＝12，所以正四棱臺的上底面積為S1＝8×8＝64，下底面積為10×10＝100，所以正四棱臺的體積為V=1故該烽火臺的體積為976立方米．故答案為：976．【點評】本題考查棱臺的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024春?陽泉期末）如圖，△O'A'B'是△OAB在斜二測畫法下的直觀圖，其中O'A'＝O'B'＝2，且O'A'⊥O'B'，則△OAB的面積為42【考點】平面圖形的直觀圖；斜二測法畫直觀圖．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】42【分析】過B'分別作y'，x'軸的平行線，且交x'，y'軸于點M，N，求出O'N，O'M的長度，從而得到原坐標(biāo)系中點A，B的坐標(biāo)，再求出三角形的面積．【解答】解：過B'分別作y'，x'軸的平行線，且交x'，y'軸于點M，N，∴O′N=22，O'M∴在原坐標(biāo)系xOy中，點B(?2，42)，點∴S△OAB故答案為：42【點評】本題主要考查了平面圖形的直觀圖的畫法及應(yīng)用，其中熟記斜二測畫法的規(guī)則，畫出平面圖形的直觀圖是解答的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024春?臨夏州期末）一個幾何體由圓錐和圓柱組成，其尺寸如圖所示（單位：cm），則此幾何體的表面積為（20+42）πcm2．【考點】組合幾何體的面積、體積問題．【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算．【答案】（20+42）π．【分析】根據(jù)題意，分析可得該幾何體的表面積是由圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積及圓柱的底面積組成，分別求出圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積、圓柱的底面積，相加可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，該幾何體的表面積是由圓錐的側(cè)面積和圓柱的側(cè)面積及圓柱的底面積組成，圓柱的高為h＝4cm，底面半徑為r＝2cm，則其側(cè)面積S1＝2π×2×4＝16πcm2，其底面積S2＝πr2＝4πcm2，圓錐的底面半徑為r＝2cm，高為2cm，則圓錐的母線長l=4+4=2則圓錐的側(cè)面積S3＝πrl＝42πcm2，故該幾何體的表面積S＝S1+S2+S3＝（20+42）πcm2．故答案為：（20+42）π．【點評】本題考查幾何體的表面積的求法，注意常見幾何體的表面積計算公式，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?子長市校級三模）在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形ABC的內(nèi)切圓周長為C1，外接圓周長為C2，則C1C2=12．推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體ABCD的內(nèi)切球表面積為S1，外接球表面積為S2【考點】球的體積和表面積．【專題】轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；球；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】19【分析】直接利用勾股定理的應(yīng)用求出外接球的半徑，再利用分割法求出內(nèi)切球的半徑，進(jìn)一步利用球的表面積的公式的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)四面體ABCD的棱長為2，如圖所示：設(shè)外接球的半徑為R，所以根據(jù)勾股定理的應(yīng)用，求出錐體的高為22所以R2=(26利用分割法，4×13×1內(nèi)切球表面積為S1，外接球表面積為S2，則S1故答案為：19【點評】本題考查的知識要點：球的表面積公式的應(yīng)用，分割法的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．四．解答題（共5小題）21．（2023秋?寶安區(qū)期末）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．【考點】平面與平面垂直；直線與平面垂直．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；空間角．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）推導(dǎo)出BD⊥AC，BD⊥AA1，從而BD⊥平面ACC1A1，由此能證明A1E⊥BD．（2）設(shè)BD的中點為O，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，設(shè)CE＝m，（0≤m≤2），連結(jié)OE，OA1，以D為原點，DA、DC、DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)E為CC1的中點時，能使平面A1BD⊥平面EBD．【解答】證明：（1）∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．∴BD⊥AC，BD⊥AA1，∵AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1E?平面ACC1A1，∴A1E⊥BD．解：（2）設(shè)BD的中點為O，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，設(shè)CE＝m，（0≤m≤2），連結(jié)OE，OA1，以D為原點，DA、DC、DD1為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則O（1，1，0），E（0，2，m），B（2，2，0），D（0，0，0），A1（2，0，2），OE→=（﹣1，1，m），∵△BCE≌△DCE，∴ED＝EB，∴OE⊥BD，∵OA1→=（1，﹣1，2），∴∵OA1⊥BD，∴∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，∵平面A1BD⊥平面EBD，∴∠A∴OA1→?OE解得m＝1，∴當(dāng)E為CC1的中點時，能使平面A1BD⊥平面EBD．【點評】本題考查線線垂直的證明，考查滿足面面垂直的點的確定與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．22．（2024秋?江西月考）如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣EFGH中，將側(cè)面CDHG沿CG逆時針旋轉(zhuǎn)角度θ至平面CD1H1G，其中θ∈(0，π2)，點P（1）當(dāng)tan∠D1PH1=23時，求四棱錐（2）當(dāng)直線DH1與平面CD1H1G所成的角為π6時，求cosθ【考點】棱錐的體積；直線與平面所成的角．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；立體幾何；邏輯推理．【答案】（1）325（2）1+5【分析】（1）只需算出PG=25，并證明PG⊥平面CD1H1G（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用θ表示直線DH1的方向向量與平面CD1H1G的法向量，結(jié)合已知即可列方程求解．【解答】解：（1）由題意D1H1⊥平面EFGH，PH1?平面EFGH，所以D1H1⊥PH1，又因為tan∠D得D1H1P因為PG=25所以PG故PG⊥GH1，又D1H1⊥PG，GH1∩D1H1＝H1，故PG⊥平面CD1H1G，所以V四棱錐P?C（2）如圖，易知GH，F(xiàn)G，GC兩兩垂直，以G為原點，GH→，F(xiàn)G→，GC→由題知∠HGH1＝θ，則G（0，0，0），C（0，0，4），H1（4cosθ，4sinθ，0），D（4，0，4），故GC→設(shè)平面CD1H1G的一個法向量為m→由m→?取y＝1，得x＝﹣tanθ，故m→又DHsinπ即tanθ1+ta化簡可得4cos2θ﹣2cosθ﹣1＝0，解得cosθ=1+54【點評】本題考查棱錐體積計算以及直線與平面所成角，屬于中檔題．23．（2023秋?沙依巴克區(qū)校級期末）如圖，空間四邊形ABCD的每條邊和AC，BD的長都等于a，點M，N分別是AB，CD的中點，求證：MN⊥AB，MN⊥CD．【考點】直線與平面垂直．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由空間四邊形ABCD的每條邊和AC，BD的長都等于a，可知四面體A﹣BCD為正四面體，然后結(jié)合三角形全等得邊長相等，再由等腰三角形底邊上的中線即為底邊上的高證得答案．【解答】證明：如圖，∵AB＝BC＝AC＝AD＝BD＝CD＝a，∴△ABC≌△ABD，又M為AB的中點，∴CM＝DM，又N為CD的中點，∴MN⊥CD；同理可證，MN⊥AB．【點評】本題考查直線與直線垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是基礎(chǔ)題．24．（2024春?大新縣校級期末）如圖，棱錐的底ABCD是一個矩形，AC與BD交于M，VM是棱錐的高，若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，求棱錐的體積．【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】直接求解底面面積與高，然后求解幾何體的體積．【解答】解：由題意棱錐的底ABCD是一個矩形，AC與BD交于M，VM是棱錐的高，若VM＝4cm，AB＝4cm，VC＝5cm，可知，MC＝3，AC＝6，BC＝25，棱錐的底面面積為：25×4＝85所以棱錐的體積為：13×85×4=【點評】本題考查棱錐的體積的求法，基本知識的考查．25．（2024春?龍巖期末）如圖，在幾何體CD﹣ABEF中，四邊形ABEF為正方形，CD∥EF，AF⊥DF．記二面角D﹣AF﹣E的大小為α，二面角C﹣BE﹣F的大小為β．（1）證明：AF⊥CE；（2）若DF=12AB=2，且α（i）求直線BD與平面CBE所成角的正弦值；（ii）作出二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，說明理由并求tanθ的值．【考點】直線與平面垂直；直線與平面所成的角；二面角的平面角及求法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算．【答案】（1）證明見解答；（2）（i）2114；（ii）作圖見解答，tanθ=【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）（i）利用等體積法求解D到平面BCE的距離h，即可求解；（ii）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合二面角的幾何法（垂線法）即可得∠DHQ為二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，利用三角形的邊角關(guān)系即可求解．【解答】證明：（1）∵四邊形ABEF為正方形，∴AF⊥FE，∵AF⊥DF，DF∩FE＝D，DF，F(xiàn)E?平面EFDC，∴AF⊥平面EFDC，又CE?平面EFDC，∴AF⊥CE.解：（2）（i）∵AF⊥平面EFDC，AF?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC，過D作DG⊥EF，垂足為G，∵平面ABEF∩平面EFDC，DG?平面EFDC，∴DG⊥平面ABEF，由AF⊥DF，AF⊥FE知∠DFE為二面角D﹣AF﹣E的平面角，故∠DFE＝60°，由BE∥AF，得BE⊥平面EFDC，∵CE?平面EFDC，∴BE⊥CE，EF⊥BE，∴∠CEF為二面角C﹣BE﹣F的平面角，∠CEF＝60°．故四邊形CDFE為等腰梯形，∵四邊形ABEF為正方形，DF=1∴|DG|=3，|AF|＝4，|FG|＝1，|EG又∵CD∥EF，∴|CD|＝2，DB=D設(shè)D到平面BCE的距離為h，則VD﹣BCE＝VB﹣DCE，故?=S設(shè)直線BD與平面CBE所成角為φ，則sinφ=?（ii）由BE⊥平面DCEF，BE?平面BCE，得平面DCEF⊥平面BCE，過D作DQ⊥CE，過Q作QH⊥CB，連接QD，則∠DHQ為二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，理由：∵DQ⊥CE，DQ?平面DCEF，平面DCEF∩平面BCE＝CE，∴DQ⊥平面BCE，又BC?平面BCE，∴DQ⊥BC，∵QH⊥CB，DQ∩HQ＝Q，DQ，HQ?平面DQH，∴CB⊥平面DQH，又DH?平面DQH，∴CB⊥DH，∴∠DHQ為二面角D﹣BC﹣E的平面角θ，∵CD＝2，∠QCD＝60°，∴CQ=1，DQ=3，BC=又△QHC∽△BEC，∴QHQC=BEBC，即QH∴tan∠DHQ=DQ【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查二面角的求解，考查等體積法的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱1．兩個底面互相平行根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．2．棱臺的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認(rèn)識】1．棱臺：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺．2．認(rèn)識棱臺棱臺的上底面：原棱錐的截面叫做棱臺的上底面．棱臺的下底面：原棱錐的底面叫做棱臺的下底面．棱臺的側(cè)面：棱臺中除上、下底面外的所有面叫做棱臺的側(cè)面．棱臺的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱．棱臺的高：當(dāng)棱臺的底面水平放置時，鉛垂線與兩底面交點間的線段或距離叫做棱臺的高．棱臺的斜高：棱臺的各個側(cè)面的高叫做棱臺的斜高．3．棱臺的結(jié)構(gòu)特征棱臺1．底面是多邊形正棱臺的性質(zhì)：（1）側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，斜高相等．（2）兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個直角梯形．（3）棱臺各棱的反向延長線交于一點．4．棱臺的分類由三棱錐，四棱錐，五棱錐，…等截得的棱臺，分別叫做三棱臺，四棱臺，五棱臺，…等．正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．5．棱臺的體積公式設(shè)棱臺上底面面積為S，下底面面積為S′，高為h，V棱臺=13．球內(nèi)接多面體【知識點的認(rèn)識】1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點都在球面上，且球心到各頂點的距離都是半徑．球內(nèi)接多面體也叫做多面體外接球．球外切多面體的定義：球面和多面體的各個面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑．球外切多面體也叫做多面體內(nèi)切球2、研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：（1）球心與多面體中心的位置關(guān)系；（2）球的半徑與多面體的棱長的關(guān)系；（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；（4）能否做出軸截面．3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：（1）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為r，正方體的棱長為a，則：①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點處；②正方體的四個頂點都在球面上；③軸截面就是正方體的對角面；④在軸截面上，含有一個球的大圓和正方體的棱、面對角線、體對角線，且構(gòu)造一個直角三角形；⑤球半徑和正方體棱長的關(guān)系：r=324．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【知識點的認(rèn)識】側(cè)面積和全面積的定義：（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）5．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認(rèn)識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐=136．棱錐的體積【知識點的認(rèn)識】棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為V=1﹣底面面積計算：底面面積B可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算．【命題方向】﹣棱錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計算棱錐的體積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱錐體積計算．7．圓臺的側(cè)面積和表面積【知識點的認(rèn)識】圓臺的側(cè)面積和表面積依賴于底面和頂面圓的半徑r1、r2以及母線l和兩個底面圓的面積．【解題方法點撥】﹣側(cè)面積：計算公式為π（r1+r2）l．﹣表面積：包括兩個底面圓的面積和側(cè)面的面積，計算公式為πr【命題方向】﹣圓臺的表面積計算：考查如何計算圓臺的側(cè)面積和表面積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用圓臺的表面積計算．8．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【知識點的認(rèn)識】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱1．有兩個底面互相平行，且形狀、大小一樣的圓圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：V圓柱2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)圓錐1．只有一個頂點，只有一個底面為圓與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．母線長l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：V圓錐3．圓臺①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．②認(rèn)識圓臺③圓臺的特征及性質(zhì)圓臺1．上下底面平行，為半徑不等的圓平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺的體積和表面積公式設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：V圓臺9．圓臺的體積【知識點的認(rèn)識】圓臺的體積計算依賴于底面圓的半徑r1、頂面圓的半徑r2和圓臺的高度h．【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為V=1﹣實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的圓臺尺寸進(jìn)行體積計算．【命題方向】﹣圓臺的體積計算：考查如何根據(jù)底面和頂面的半徑以及高度計算圓臺的體積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用圓臺的體積計算．10．球的體積和表面積【知識點的認(rèn)識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體=3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．11．球的體積【知識點的認(rèn)識】球的體積依賴于球的半徑r，計算公式為43【解題方法點撥】﹣計算公式：體積計算公式為43﹣實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的球尺寸進(jìn)行體積計算．【命題方向】﹣球的體積計算：考查如何根據(jù)球的半徑計算體積．﹣實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用球的體積計算．12．組合幾何體的面積、體積問題【知識點的認(rèn)識】1、定義：組合體的表面積與體積主要通過計算組成幾何體的簡單幾何體的表面積與體積來求解．2、組合體的表面積和體積與球有關(guān)的組合體問題：一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認(rèn)真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心或點．3、求幾何體的體積的幾種常用方法：（1）分割求和法：把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積求和；（2）補(bǔ)形法：把不規(guī)則形體補(bǔ)成規(guī)則形體，不熟悉形體補(bǔ)成熟悉形體，便于計算其體積；（3）等體積轉(zhuǎn)化法：從不同的角度看待原幾何體，通過改變頂點和底面，利用體積不變的原理，求原幾何體的體積．13．平面圖形的直觀圖【知識點的認(rèn)識】1．直觀圖：用來表示平面圖形的平面圖形叫做平面圖形的直觀圖，它不是平面圖形的真實形狀．2．斜二測畫法畫平面圖形直觀圖的步驟：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點，畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它確定的平面表示水平平面．（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′或y′軸的線段（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半．14．斜二測法畫直觀圖【知識點的認(rèn)識】斜二測畫法的步驟：（1）在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于O點，畫直觀圖時，把它畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它確定的平面表示水平平面．（2）已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′或y′軸的線段（3）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段，長度為原來的一半．15．異面直線及其所成的角【知識點的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，π2]．當(dāng)θ2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：16．異面直線的判定【知識點的認(rèn)識】（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理．17．直線與平面平行【知識點的認(rèn)識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．18．直線與平面垂直【知識點的認(rèn)識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平