綜合解答題200題

一、解答題

已知集合A={a,b,c},其中a,b,c是三個連續(xù)的自然數(shù)。如果a,b,c能夠作為一個三角形的三邊

長，且該三角形的最大角是最小角的2倍，求所有滿足條件的集合A。

2、在五棱錐尸-Z8COE中，PA=AB=AE=2,PB=PE=242,BC=DE=\,NEAB=/ABC=NDEA=9Q°.

(1)求證：應(yīng)_L平面/8C〃￡；

(2)求二面角平面角的余弦值.

3、如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且垂直于底

面ABCD,底面ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=60°,M為PC的中點(diǎn).

(1)求證：PA//平面BDM；

(2)求直線AC與平面ADM所成角的正弦值.

4、已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-3x在x=±l處取得極值.(I)求函數(shù)f(x)的解析式；(II)求證：對于區(qū)間［一

1,1］上任意兩個自變量的值xi,xz,都有|f(xj—f(x》IW4；(IH)若過點(diǎn)A(1,m)(mW-2)可作曲線

y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

5、如圖，在四棱錐尸中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱尸刀上底面ABCD,PD-DC,E是PC的

中點(diǎn)，作即J■尸8交PB于點(diǎn)F；(I)證明產(chǎn)4〃平面EDB；(H)證明PB1平面EFD；

6、

己知數(shù)列{%}是等比數(shù)列，S“是它的前〃項(xiàng)和，若。2^3=2/，且%與2%的等差中項(xiàng)為:，求

4

7、設(shè)集合/={x|f<4},8={x［l<—

x+3

⑴求集合加8；

(2)若不等式2f+ax+6Vo的解集為8求a,6的值.

8、設(shè)二次函數(shù)=+￡的圖像過原點(diǎn)，g(x)=ax3+/?x-3(x>0),

/(x),g(x)的導(dǎo)函數(shù)為y/(x),g/(x),且r(0)=0/(—1)=-2,/(l)=g(l),1(l)=g/(l).

(1)求函數(shù)/(x),g(x)的解析式；

(2)求尸(x)=/(x)-g(x)的極小值；

(3)是否存在實(shí)常數(shù)左和加，使得/(x)NH+加和g(x)WH+〃?？若存在，求出左和〃?的值；若不存

在，說明理由。

9、設(shè)函數(shù)g(x)=；x3+；ax2+bx+c(a,beH)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，在其圖象上一點(diǎn)P(x,y)處的切線的

斜率記為/(x).

(1)若方程/(x)=0有兩個實(shí)根分別為-2和4,求/,(X)的表達(dá)式；

(2)若g(x)在區(qū)間［-1,3］上是單調(diào)遞減函數(shù),求?+/的最小值.

10、如圖所示，將一矩形花壇4?繆擴(kuò)建成一個更大的矩形

花壇施卯，要求6點(diǎn)在4萬上，。點(diǎn)在AV上，且對角線榔過C點(diǎn)，已知力6=3米，49=2米.

(1)要使矩形4野外’的面積大于32平方米，則&V的長應(yīng)在什么

范圍內(nèi)？

(2)當(dāng)"V的長為多少時(shí)，矩形花壇4仍￥的面積最??？并求出最小值.

Ng-----------|P

11、已知函數(shù)/(x)=上型上(。，0)是奇函數(shù)，并且函數(shù)/(X)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,3),(1)求實(shí)數(shù)

x+b

的值；(2)求函數(shù)/(x)的值域。

12、設(shè)函數(shù)/(X)=-gx3+x2+("?2-l)x,其中加>0

(1)求當(dāng)〃2=1時(shí)，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線的斜率；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(3)已知函數(shù)”X)有3個不同的零點(diǎn)，分別為0、占、x2,且可<》2,若對任意的xe[x”X2]，

f(x)>/(I)恒成立，求”，的取值范圍.

13、

已知函數(shù)/(X)=-/+〃x-lnx(tzGR).

(1)當(dāng)。=3時(shí)，求函數(shù)/(x)在；,2上的最大值和最小值;

(2)當(dāng)函數(shù)/(x)在單調(diào)時(shí)，求a的取值范圍；

(3)求函數(shù)/(x)既有極大值又有極小值的充要條件。

14、已知〃2、R,向量Q=(x,-m)花=((加+l)x,x)。(1)當(dāng)m>0時(shí)，若⑷<|B|,求X的取值范圍;

(2)若。石>1-〃?對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求加的取值范圍。

15、

某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件，如果降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星

期多賣出商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0WxW30)的平方成正比，已知商品單價(jià)降低2

元時(shí)，一星期多賣出24件。

(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)/'(X)；

(2)如何定價(jià)才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

16、

已知向量OP=(2cosx+l,cos2x-sinx+l),(?0=(cosx,-l),f(x)=OPOQ

(1)求函數(shù)/(x)最小正周期：

(2)當(dāng)xe0,1,求函數(shù)/(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x；

17、

已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)/"(力=x''(〃eN"),其導(dǎo)函數(shù)記為力(X)，且滿足

A(X2)2(X|)

/；[ax,+(l-a)x2]^/,

吃一毛其中為常數(shù)，MAX?.設(shè)函數(shù)

g(x)=(x)+mf2(x)-lnf3(x),(weR且m*0)

(I)求實(shí)數(shù)a的值；

(H)若函數(shù)8(對無極值點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)g'(x)有零點(diǎn)，求”的值；

(山)求函數(shù)g*)祗d[0,a]的圖象上任一點(diǎn)處的切線斜率k的最大值.

18、

某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的成本費(fèi)共由三部分組成：①原材料費(fèi)每件50元；②職工工資支出7500+20X元;

③電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為戈--30X+600元：其中x是該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù).

(D把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P(x)(元)表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；

(H)如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過170件且能全部銷售，根據(jù)市場調(diào)查，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)

2

J-x

為Q(x)(元)，且Q(X)=1240-30.試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最高?并求出最高總利潤.(總利潤=總銷

售額-總的成本)

19、

、cos2x

/(》)=--——

sin(--x)

已知函數(shù)

(I)化簡函數(shù)/(X)的解析式，并求其定義域和單調(diào)區(qū)間;

C4

f(a)=一

(II)若3,求sin2a的值.

20、.

設(shè)數(shù)列｛aJ的前〃項(xiàng)積為T”,已知對Vn,meN+,當(dāng)〃〉團(tuán)時(shí)，總有3?勺…"《>0是常數(shù)).

(1)求證：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)正整數(shù)左，m,n(左<〃?<〃)成等差數(shù)列，試比較7；七和區(qū),產(chǎn)的大小，并說明理由；

(3)探究：命題p：”對W〃，加eN+，當(dāng)〃>〃?時(shí)，總有a=工",4"-""'"(q>0是常數(shù))”是命題乙

1m

“數(shù)列｛a,J是公比為4(4>0)的等比數(shù)列”的充要條件嗎？若是，請給出證明；若不是，請說明理由.

21、

已知函數(shù)/'(x)=JJcos?x+gsin2x.

(I)求/(x)的最小正周期;

兀兀

（H）求小）在區(qū)間-了7上的最大值和最小值?

22、

已知6/G7?,/（x）=x3-ax2-4x+4〃.

（I）/'（一1）=0,求函數(shù)/（x）在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值；

（II）若函數(shù)/（%）在區(qū)間（-8,一2］和［2,+oo）上都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

23、

在某校舉辦的元旦有獎知識問答中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識的問題，已知甲回答

311

對這道題的概率是甲、丙兩人都回答錯的概率是一，乙、丙兩人都回答對的概率是一.（I）求乙、

4124

丙兩人各自回答對這道題的概率；（II）求甲、乙、丙三人同時(shí)回答這道題時(shí)至少有一人答錯的概率.

24、

由一個小區(qū)歷年市場行情調(diào)查得知，某一種蔬菜在一年12個月內(nèi)每月銷售量產(chǎn)（。（單位：噸）與上

市時(shí)間/（單位：月）的關(guān)系大致如圖（1）所示的折線力8C3E表示，銷售價(jià)格。⑺（單位：元/千克）

與上市時(shí)間/（單位：月）的大致關(guān)系如圖（2）所示的拋物線段GM?表示（”為頂點(diǎn)）.

（I）請分別寫出關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，并求出在這一年內(nèi)3到6月份的銷售額最大的月份？

（II）圖（1）中由四條線段用性拿線圍成的平面區(qū)域?yàn)椤?，動點(diǎn)P（x,y）在“內(nèi)（包括邊界），求

z=x-5y的最大值；

（III）由（H）,將動點(diǎn)P（xj）所滿足的條件及所求的最大值由加法運(yùn)算類比到乘法運(yùn)算（如

1《2》-3y03類比為14^63）,試列出P（x/）所滿足的條件，并求出相應(yīng)的最大值.

25、

選修4—5:不等式選講

已知函數(shù)/(x)=|3x-6|-|x-4|.

(1)作出函數(shù)y=/(x)的圖像；

(2)解不等式|3x-6|—年一4|>2》.

26、

設(shè)函數(shù)/(x)=x(x—Ip,x>0.

(I)求/(x)的極值；

(II)設(shè)0<aWl,記/(x)在(0,同上的最大值為E(a),求函數(shù)G(a)=土詈的最小值；

(III)設(shè)函數(shù)g(x)=lnx—2X2+4X+/?為常數(shù))，若使由外?工+加忘/(%)在(0,+8)上恒成立的實(shí)

數(shù)〃?有且只有一個，求實(shí)數(shù)加和f的值.

27、

已知向量加=(2sinx,2cosx),n=(V3cosx,cosx),f{x}=m-n-\

⑴求函數(shù)/(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵將函數(shù)V=/(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)先縮短到原來的工，把所得到的圖象再向左

2

7FTT

平移一單位，得到函數(shù)歹=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間［0,一］上的最小值.

68

28、

已知A48C的面積S滿足,且4B-4C=-8.

(I)求角4的取值范圍；

(II)若函數(shù)/(x)=cos2±-2sin2±+3jisin￡?cos±,求/(%)的最大值.

4444

29、

X2v2

己知點(diǎn)片,B分別為橢圓c：=3=1（。>b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，P到焦點(diǎn)F2

ab"

的距離的最大值為啦+1,且"百工的最大面積為1.

（I）求橢圓C的方程。

（ID點(diǎn)”的坐標(biāo)為（*,o）,過點(diǎn)B且斜率為％的直線￡與橢圓。相交于48兩點(diǎn)。對于任意的

4

左€凡忘?赤是否為定值？若是求出這個定值；若不是說明理由。

30、如圖，在一段筆直的國道同側(cè)有相距120米的A,C兩處，點(diǎn)A,C到國道的距離分別是119米、47

米，擬規(guī)劃建設(shè)一個以AC為對角線的平行四邊形ABCD的臨時(shí)倉庫，且四周圍墻總長為400米，

根據(jù)公路法以及省公路管理?xiàng)l例規(guī)定：建筑物離公路距離不得少于20米.若將臨時(shí)倉庫面積建到最

大，該規(guī)劃是否符合規(guī)定？

B

某單位設(shè)計(jì)一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個對角線在/上的四邊形電氣線路，如圖所示.為

充分利用現(xiàn)有材料，邊BC,W用一根5米長的材料彎折而成，邊掰，4〃用一根9米長的材料彎折而成,

要求N4和NC互補(bǔ)，且AB=BC.

(1)設(shè)/6=x米，cos』=f(x),求/'(x)的解析式，并指出x的取值范圍；

(2)求四邊形/奧面積的最大值.

(第18題圖)

32、如圖，N8C。是邊長為3的正方形，AFHDE,DE=3AF,8E與平面

/BC。所成角為60°.

(I)求證：4CJ?平面80C；

(II)求二面角F-BE-D的余弦值；

(111)設(shè)點(diǎn)M是線段BO上一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)〃的位置，使得4M〃平面8E/，并證明你的結(jié)論.

33、如圖，三棱柱48C-44G中，平面/8C,。、E分別為4與、4%的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在棱上,

S.AF=-AB.

(I)求證：EF//平面8Z)C1；

(II)在棱上是否存在一個點(diǎn)G,使得平面EFG將

三棱柱分割成的兩部分體積之比為1：15,若存在，指出

點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由.

34、如圖，在三棱柱48C-48c中，44，平面ZBC,/I8=ZC=2&，BC=BB,=4,D,E分別為BC,

83,的中點(diǎn)，點(diǎn)〃在棱8G上，且與與G.

(I)求證：平面ACE1平面AQD；

(II)若尸是側(cè)面/8與4上的動點(diǎn)，且W〃平面/CQ.

(i)求證：動點(diǎn)尸的軌跡是一條線段；

(ii)求直線/尸與平面/CQ所成角的正弦值的取值范圍.

35、

某日學(xué)在研究性學(xué)習(xí)中，收集到某制藥廠今年前5個月甲膠囊生產(chǎn)產(chǎn)量(單位：萬盒)的數(shù)據(jù)如下表

所示：

月份X12345

y(萬盒)44566

(I)該同學(xué)為了求出V關(guān)于x的線性回歸方程夕=公+&,根據(jù)表中數(shù)據(jù)己經(jīng)正確計(jì)算出8=0.6,試

求出4的值，并估計(jì)該廠6月份生產(chǎn)的甲膠囊產(chǎn)量數(shù)；

(II)若某藥店現(xiàn)有該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的甲膠囊4盒和三月份生產(chǎn)的甲膠囊5盒，小紅同學(xué)從

中隨機(jī)購買了3盒甲膠囊，后經(jīng)了解發(fā)現(xiàn)該制藥廠今年二月份生產(chǎn)的所有甲膠囊均存在質(zhì)量問題.記

小紅同學(xué)所購買的3盒甲膠囊中存在質(zhì)量問題的盒數(shù)為求J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

36、若數(shù)列｛叫滿足匕?=d,其中3為常數(shù)，則稱數(shù)列｛%｝為等方差數(shù)列

已知等方差數(shù)列｛”“｝滿足a?＞0嗎=1,%=3。

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)記〃=〃屋，則當(dāng)實(shí)數(shù)人大于4時(shí)，不等式屹＞〃(4-幻+4能否對于一切的〃eN*恒成立？請說

明理由

37、已知一條曲線C在丁軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(l,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1,

(1)求曲線C的方程。

(2)是否存在正數(shù)加，對于過點(diǎn)M(加,0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A,B的任一直線，都有成E而＜0?

若存在，求出加的取值范圍，若不存在，請說明理由.

1

38、(1)已知二階矩陣〃有特征值2=3及對應(yīng)的一個特征向量4=],并且矩陣"對應(yīng)的變換將點(diǎn)(-1,2)

變換成(9,15).求矩陣3

(2)已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合.若曲線C1的極坐標(biāo)方程為：p=2sin6,曲線C?的

x=2cos0

參數(shù)方程為：26(e為參數(shù))，曲線C1與C?交于M,N兩點(diǎn)，求M,N兩點(diǎn)間的距離.

y=---sinO

I3

(3)不等式++閆2x|+|x-l|對任意實(shí)數(shù)t恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

39、已知數(shù)列｛%｝中，q=l,a〃4+|=(g)",(〃eN*)

(1)求證：數(shù)列｛g.｝與｛的“-1｝(〃6N*)都是等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛4｝前2〃的和為《,,，令々,=(3-邑)?〃?(〃+1),求數(shù)列也,｝的最大項(xiàng).

40、

已知函數(shù)/(x)=73sinxcos(x+~)+~-

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)己知A48C中，角4民C所對的邊長分別為〃，“c,若/(Z)=0,

a=?b=2,求A48C的面積S.

41、

工人在包裝某產(chǎn)品時(shí)不小心將兩件不合格的產(chǎn)品一起放進(jìn)了一個箱子，此時(shí)該箱子中共有外觀完全相

同的六件產(chǎn)品.只有將產(chǎn)品逐一打開檢驗(yàn)才能確定哪兩件產(chǎn)品是不合格的，產(chǎn)品一旦打開檢驗(yàn)不管是否

合格都將報(bào)廢.記4表示將兩件不合格產(chǎn)品全部檢測出來后四件合格品中報(bào)廢品的數(shù)量.

(I)求報(bào)廢的合格品少于兩件的概率；

(II)求4的分布列和數(shù)學(xué)期望.

42、

22

已知橢圓。：=+占=1(。>6>0)的離心率為一，其左、右焦點(diǎn)分別為大、尺，點(diǎn)尸是橢圓上一

a~b2

點(diǎn)，且麗?麗=0,|。。|=1(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(I)求橢圓C的方程；

(II)過點(diǎn)S(0,-g)且斜率為人的動直線/交橢圓于48兩點(diǎn)，在夕軸上是否存在定點(diǎn)用，使以45

為直徑的圓恒過這個點(diǎn)?若存在，求出〃的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

43、

如圖，矩形/BCD中，AB=3,BC=4.E,尸分別在線段SC和2。上，EF//AB,將矩形

4BEF沿EF折起.記折起后的矩形為廣，且平面MNEF，平面EC。/7..

(I)求證：NC〃平面"EQ；U

(II)若EC=3,求證：ND1FC；/7s

(川)求四面體NPEC體積的最大值./：

44、如圖，從點(diǎn)片(0,0)做x軸的垂線交曲線y=，于點(diǎn)。(0,1),曲線在Q,點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2,

再從寫做x軸的垂線交曲線于點(diǎn)2,依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn)：8，。；。2，。2……；匕，2,記P.

(x?,0),Q.(x”,e“")(〃eN*).

(I)求點(diǎn)Q處的切線方程，并指出x“+i與七的關(guān)系；

(n)求山0+區(qū)匈+忸2|+…+幟@

45、

19.(本題共M分)已知等差數(shù)列(%)的公差大于。，且g.%是方程N(yùn)-14x+45=0的

兩根,數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S*,且2=號(?€?/).

(I)求數(shù)列(%).0J的通項(xiàng)公式，

(H)記%=4勾,求致列｛cj的前"項(xiàng)和7；.

46、已知函數(shù)/(x)==-------

廠一OX+Q

(1)當(dāng)0KaK4時(shí);試判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，對于任意的xe(l,f],恒有獷⑴一力⑺2/⑴-/。)，求/的最大值.

47、已知數(shù)列｛4｝,%=a,且/r+2a?=2"i(〃eN*),

(1)若囚,成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)。的值；(2)數(shù)列｛%｝能為等比數(shù)列嗎？若能,

試寫出它的充要條件并加以證明；若不能，請說明理由。

48、如圖是一幅招貼畫的示意圖，其中ABCD是邊長為2。的正方形，周圍是四個全等的弓形。己知O

為正方形的中心，G為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線OG上，弧AD是以P為圓心、PA為半徑的圓的一部分,

OG的延長線交弧AD于點(diǎn)H。設(shè)弧AD的長為/,(1)求/關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系

44

式；(2)定義比值—OP為招貼畫的優(yōu)美系數(shù)，當(dāng)優(yōu)美系數(shù)最大時(shí)，招貼畫最優(yōu)美。證明：當(dāng)角6滿足：

TC

，=tan（"R時(shí),招貼畫最優(yōu)美。

49、已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足8s“=a『+4a“+3（〃eN*）,且％依

次是等比數(shù)列也,｝的前三項(xiàng)。（1）求數(shù)列｛4｝及｛〃｝的通項(xiàng)公式；（2）是否存在常數(shù)a>0且awl,使

得數(shù)列｛%-1。8.4｝（〃€"*）是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由。

50、

國家教育部、體育總局和共青團(tuán)中央曾共同號召，在全國各級各類學(xué)校要廣泛、深入地開展全國億萬

大中小學(xué)生陽光體育運(yùn)動為此某網(wǎng)站于2010年1月18日至24日，在全國范圍內(nèi)進(jìn)行了持續(xù)一周的在線

調(diào)查，隨機(jī)抽取其中200名大中小學(xué)生的調(diào)查情況，就每天的睡眠時(shí)間分組整理如下表所示：

每天睡眠組中值頻率

序號（i）時(shí)間頻數(shù)

（叫）"）

（小時(shí)）

—

1[4,5)4.580.04/看入"/

2[5,6)5.5520.26

3[6,7)6.5600.30

4[7,8)7.5560.28

5[8,9)8.5200.10

6[9,10)9.540.02

/輸入s/

二^比約是多少？

（I）估計(jì)每天睡眠時(shí)間小于8小時(shí)的學(xué)生所占的百分

(II)該網(wǎng)站利用右邊的算法流程圖，對樣本數(shù)據(jù)作進(jìn)一步統(tǒng)計(jì)分析，求輸出的S的值，并說明S的

統(tǒng)計(jì)意義。

51、

已知橢圓C:—+/=1(?>0)的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為8,直線y=/與橢圓交于不同的兩點(diǎn)E,F,

a

若。(x,y)是以EE為直徑的圓上的點(diǎn)，當(dāng)，變化時(shí)，。點(diǎn)的縱坐標(biāo)y的最大值為2.

(I)求橢圓C的方程；

(H)竺(0,痣)且斜率左為的直線/與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)尸,。，是否存在左，使得向量

而+而與方共線？若存在，試求出左的值；若不存在，請說明理由.

52、已知曲線G：5-+—=1與曲線G：歹=一一1,設(shè)點(diǎn)尸J。)(汽>0)是曲線G上任意一點(diǎn)，

直線學(xué)+x0x=l與曲線G交于/、8兩點(diǎn).

(1)判斷直線與+x0x=l與曲線G的位置關(guān)系：

(2)以4、8兩點(diǎn)為切點(diǎn)分別作曲線。2的切線，設(shè)兩切線的交點(diǎn)為〃，求證：點(diǎn)用到直線人：

2x-y-2=0與乙：2x+y+2=0距離的乘積為定值.

53、

13

已知橢圓。的對稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，離心率6=5,且點(diǎn)(1,5)在該橢圓上;

(I)求橢圓C的方程;

672

(H)過橢圓C的左焦點(diǎn)片的直線/與橢圓C相交于N,B兩點(diǎn),若A4QB的面積為〒，求圓

心在原點(diǎn)，且與直線/相切的圓的方程.

54、

已知數(shù)列｛%｝滿足%=3,an+x-3a,,=3"(〃eN*),數(shù)列也｝滿足“喙；

(I)求證：數(shù)列血,｝是等差數(shù)列；

(II)設(shè)s,,=3+粵+&+…+4,求滿足不等式上＜工＜：的所有正整數(shù)〃的值.

345n+2128S2n4

55、

已知函數(shù)/(x)=(x+l)*,(左為常數(shù)，%H0).

(I)當(dāng)左=1時(shí)，求函數(shù)/(X)的極值；

(II)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間.

56、

如圖：已知在空間四邊形力38中，AB=AC=DB=DC,E為8C的中點(diǎn).

（I）求證：平面NOE±平面45C；

（II）若力8=5,BC=6,4,求幾何體力8c。的體積；

（III）在（H）的條件下，若G為VNa）的重心，試問在線段8C上是否存在點(diǎn)尸，使GF〃平面NOE?

若存在，請指出點(diǎn)尸在8c上的位置，若不存在，請說明理由.

57、

在某次測驗(yàn)中，有5位同學(xué)的平均成績?yōu)?0分，用當(dāng)表示編號

為〃（〃=1,2,3,4,5）的同學(xué)所得成績，且前4位同學(xué)的成績?nèi)缦?

編號“1234

81798078

成績

（I）求第5位同學(xué)的成績X5及這5位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差；

2

（注：標(biāo)準(zhǔn)差S=/一［（玉-x）2+（々-x）2H---F（xn-X）J,其中X為XI,X2…X”的平均數(shù)）

（II）從這5位同學(xué)中，隨機(jī)地選3名同學(xué)，求恰有2位同學(xué)的成績在80（含80）分以上的概率.

58、

對于給定數(shù)列｛g｝,如果存在實(shí)常數(shù)?均使得c.+i=pc“+q對于任意〃eN*都成立，我們稱數(shù)列

｛c“｝是“K類數(shù)列”.

(I)若%=2〃，(=32,nwN*,數(shù)列｛%｝、｛4｝是否為“K類數(shù)列”?若是，指出它對應(yīng)的

實(shí)常數(shù),若不是，請說明理由；

(II)證明：若數(shù)列｛%｝是“K類數(shù)列”，則數(shù)列｛%+a.+i)也是“K類數(shù)列”；

(III)若數(shù)列｛氏｝滿足q=2,a“+a,+|=3f-2"(〃eN"),，為常數(shù).求數(shù)列｛4｝前2012項(xiàng)的和.并

判斷｛a,J是否為"K類數(shù)列”，說明理由.

59、

甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在四場比賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)以莖葉圖記錄如下：

甲乙

18

600244

230

(I)求乙球員得分的平均數(shù)和方差；

(II)分別從兩人得分中隨機(jī)選取一場的得分，求得分和超過55分的概率.

(注：方差s2=U(x「a+(x2—a+…+(居一三丹

n

其中尤為玉，…%的平均數(shù))

60、分別以雙曲線G:土一匕=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線G的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓C。

169

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,3),在y軸上是否存在定點(diǎn)M,過點(diǎn)M且斜率為k的動直線/交橢圓于A、

B兩點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P,若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

61、甲乙兩個學(xué)校高三年級分別有1200人，1000人，為了了解兩個學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)六校

聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了110名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了頻數(shù)分

布統(tǒng)計(jì)表如下：

甲校：分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)

頻數(shù)34815

分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]

乙校：

頻數(shù)130,80)￡80,90)390,100)2100,110)

頻數(shù)1289

(I)計(jì)分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]算x，y

的值。

頻數(shù)1010y

~71六

(II)若'「1乂J儀后、1規(guī)定

考試成績在［120,150］內(nèi)為優(yōu)秀，請分別估計(jì)兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成優(yōu)秀績的

優(yōu)秀率。

非優(yōu)秀

由以卜編注和抿埴與右而2X2利摩夫.并判斷懇否有90%

的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異?？俰l-

參考數(shù)據(jù)與公式:

2

由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算長2=n(ad-be)

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

臨界值表

P(K>k0)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

62、如圖,正方形N5CD所在的平面與ACQE所在的

平面相交于CD,AE±平面CDE，且4E=3,48=6.

(1)求證：Z8_L平面

⑵求點(diǎn)￡到正方形/8CD所在平面的距離；

(3)求多面體/8C0E的體積.

E

D

BC

63、

如果一個數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的平方差是同一個常數(shù)，則稱該

數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差.

(I)若數(shù)列｛4｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；

(II)已知數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為2,公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足

a,,1=2n+'b?.若不等式＞加對V〃eN*恒成立，求機(jī)的取值范圍.

64、某旅游公司為甲，乙兩個旅游團(tuán)提供四條不同的旅游線路，每個旅游團(tuán)可任選其中一條旅游

線路.

(1)求甲,乙兩個旅游團(tuán)所選旅游線路不同的概率.

(2)某天上午9時(shí)至10時(shí)，甲，乙兩個旅游團(tuán)都到同一個著名景點(diǎn)游覽,20分鐘后游覽結(jié)束即離

去.求兩個旅游團(tuán)在該著名景點(diǎn)相遇的概率.

65、

2011年3月20日，第19個世界水日，主題是：“城市水資源管理”；2011年“六?五”世界環(huán)境日中

國主題：“共建生態(tài)文明，共享綠色未來”.活動組織者為調(diào)查市民對活動主題的了解情況，隨機(jī)對10?

60歲的人群抽查了〃人，調(diào)查的每個人都同時(shí)回答了兩個問題，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

(I)世界環(huán)境日中國主題世界力k日主題若以表中

的頻率近回答正確人數(shù)占本組人數(shù)頻率回答正確人數(shù)占本組人數(shù)頻率似看作各

年齡段回[10,20)30a300.5答活動主

題正確的概率，規(guī)定

[20,30)480.8300.5

回答正確世界環(huán)境

[30,40)360.6480.8

日中國主題的得20

[40,50)200.524b

元獎勵，回答正確世

[50,60]120.6100.5

界水日主題的得30

元獎勵.組織者隨機(jī)請一個家庭中的兩名成員(大人42歲，孩子16歲)回答這兩個主題，兩個主題能否

回答正確均無影響，分別寫出這個家庭兩個成員獲得獎勵的分布列并求該家庭獲得獎勵的期望；

(II)求該家庭獲得獎勵為50元的概率.

66、設(shè)”是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到2倍，縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換.

(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；

v.22

(2)求逆矩陣"T以及橢圓一+工=1在"T的作用下的新曲線的方程.

49

67、

已知函數(shù)/(x)是定義在［—e,O)U(O,e］上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,e］時(shí)，/(x)=ax+Inx(其中e是

自然對數(shù)的底數(shù)，a&R).

(1)求/(x)的解析式；

(2)設(shè)a=-l,g(x)=----,求證:當(dāng)xc(O,e］時(shí)，/(x)<g(x)+L恒成立；

x2

(3)是否存在負(fù)數(shù)。，使得當(dāng)xw(O,e］時(shí)，/(x)的最大值是一3?如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如

果不存在，請說明理由.

68、

數(shù)列｛a｝滿足：

"q+(〃-1)42+~+2《1+%=(4]+…+4+1"=1,2,3,…，).

(1)求％的通項(xiàng)公式；

(2)若”=-("+Da”,試問是否存在正整數(shù)左，使得對于任意的正整數(shù)"，都有成立？證

明你的結(jié)論.

69、

如圖一，平面四邊形48C。關(guān)于直線NC對稱，4=60。,/。=90。，。=2.

把沿8。折起(如圖二)，使二面角力一8。-。的余弦值等于半.對于圖二，完成以下各小題:

(1)求4,。兩點(diǎn)間的距離；

(2)證明：NC_L平面8C。；

(3)求直線力C與平面480所成角的正弦值.

A

D

70、

已知向量m=(sin/,；)與〃=(3,sin/+Jicos/)共線，其中A是A48C的內(nèi)角。

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若BC=2,求A48c面積S的最大值.

71、已知函數(shù)/(x)=log(I(x+l)-log(;(l-x)(a>0且aWl).

(1)求/(x)的定義域；

(2)判斷/(x)的奇偶性并予以證明:

72、已知函數(shù)/(》)=/一2奴+3/-1(。>0,0M》41),求/(x)的最大值和最小值.

73、

已知等比數(shù)列｛%｝的公比為q,S”是｛q,｝的前〃項(xiàng)和。

⑴若q=l,q>\,求lim巴■的值；

…sn

⑵若卬=1,|7|<1.S“有無最值？并說明理由。

⑶設(shè)4=；,若首項(xiàng)《和￡都是正整數(shù)，，滿足不等式：|，-63|<62,且對于任意正整數(shù)〃有9<S“<12

成立，問：這樣的數(shù)列｛%｝有幾個？

74、

敘述雙曲線的定義，并建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程.

75、已知/(%)=。區(qū),其中向量a=(2cosx,-J5sin2x),b—(cosx,l)(x￡R)

(I)求f(x)的周期和單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)在4ABC中，角A、B、C的對邊分別為,/(4)=-1,a=幣,AB?AC=3,求邊

長b和c的值(b>c)。

76、已知數(shù)列｛/(〃)｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=〃2+2〃.

(I)求數(shù)列｛/(〃)｝通項(xiàng)公式；

(II)若q=/(l),%+1='/'(a“)(〃eN*),求證數(shù)列｛a“+l｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)

和小

77、已知tan。=2

.71八、

⑴求tan(--^)的值;

(2)求cos2夕的值.

78、已知數(shù)列｛a；｝為等比數(shù)列，a3=18,a6=486,對于滿足OWkvlO的整數(shù)k,數(shù)列bib,……b",由

[a.(1<n<10-Z:)

b?確定，且記T=ab+a2b2+…+aiobio.

U…(10-左

(1)求數(shù)列伯口的通項(xiàng)公式；

(2)當(dāng)k=3時(shí),求產(chǎn)一二3輅一蕓的值

79、已知AABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,設(shè)向量加二(。,6),

〃二(sin5,sin/),0=(6-2,。-2).(1)若用〃〃，求證：AABC為等腰三角形;

一—兀

(2)若加_L夕，邊長c=2,角C=，求AABC的面積.

3

80、

已知MP22)是給定的某個正整數(shù)，數(shù)列｛%｝滿足：％=1,(攵+1)4+|=p6—p)%，其中

左=1,2,3,…，。-1.

(I)設(shè)。=4,求出,。3，。4；

(II)求q+a,+%+…+a「.

81、

口袋中有3個白球，4個紅球，每次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，如果取到白球,

就停止取球，記取球的次數(shù)為X.

(I)若取到紅球再放回，求X不大于2的概率；

(II)若取出的紅球不放回，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望.

-14

82、求矩陣/=./的特征值和特征向量.

26

83、

已知函數(shù)/(x)=xlnx.

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(II)若/(》)？-》2+辦一6在(0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍;

(III)過點(diǎn)4(一e二,。)作函數(shù)y=/(x)圖像的切線，求切線方程.

84、A題

如圖，NP4。是直角，圓0與AP相切于點(diǎn)T,與AQ相交于兩點(diǎn)B,C?求證：BT平分NO氏4

cos(X-sina

B題若點(diǎn)A(2,2)在矩陣"=.對應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(-2,2),求矩

sinacosa

陣M的逆矩陣

C題在極坐標(biāo)系中,A為曲線p?+2pcose-3=0上的動點(diǎn),B為直線pcose+psin6-7=0上的動點(diǎn),

求AB的最小值。

。題

已知％,名…%,都是正數(shù)，且外…％=1，求證：(2+a,)(2+a2)???(2+an)>3"

85、

設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“，己知5日=?邑+4(0國為常數(shù)，〃6”)，eg%=2g=L%=q-3P

(1)求P,q的值；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

S加2〃

(3)是否存在正整數(shù)m,n,使.匚〃-〈寸二成立?若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對(m,

2m+l

n)；若不存在，說明理由。

86、

現(xiàn)有一張長為80cm,寬為60cm的長方形鐵皮ABCD,準(zhǔn)備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利

用率為100%,不考慮焊接處損失。如圖，若長方形ABCD的一個角剪下一塊鐵皮，作為鐵皮盒的底面,

用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側(cè)面，設(shè)長方體的底面邊長為x(cm),高為y(cm),體積為V(cm3)

(1)求出x與y的關(guān)系式；

(2)求該鐵皮盒體積V的最大值；

87、

33、

已知矩陣/=,若矩陣/屬于特征值6的一個特征向量為a=,屬于特征值1的一個特